概率统计第六章

习题六解答

1. 设X

求出：以下随机变量的分布律。（1）2+X ；（2）1+-X ；（3）2X 。 解 由X

由此表可定出

（1）2+X

（2）1+-X

（3）2X 的分布律为

其中()

()()24

682242=+=-=+===X P X P X P 。

2. 设随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，记随机变量=Y ,

1,1;1,0>≤X X 若若试

求随机变量Y 的分布律。

解 由于X 服从参数1=λ的泊松分布，因此

(),,2,1,0,!

!11

1 ====--k k e e k k X P k

而 ()()()()11

12!

1!01010---=+==+==≤==e e e X P X P X P Y P ；

()()()1211111--=≤-=>==e X P X P Y P 。

即Y 的分布律为

3. 设X 的密度函数为()=x f ,

0,2x

,

;10其他<

X 2；

（2）1+-X ；（3）2X 。 解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果()x g y =为单调可导函数，则也可利用性质求得。

（1）解法一：设X Y 2=，则Y 的分布函数

()()()⎪⎭⎫ ⎝

⎛

≤=≤=≤=22y X P y X P y Y P y F Y

= ⎰⎰1

0220

2

xdx xdx y

1212002

≥<≤

=

1

40

2

y 2

200

≥<≤

= ,0,2122⋅⋅

y 其他

1

2

0<

,

2y 其他

20<

（2）设1+-=X Y ，则()()1,1-='=-=y h y h y x ，Y 的密度函数

()()()()='=y h y h f y f X Y

()()211

y -⨯- 其他110<-

=

()0

12-y 其他110<-

y h y y h 1

21,=

'=，因此Y 的密度函数为 ()()()()='=y h y h f y f X Y

,

0,1

212y y ⋅ 其他

10<

=

,

0,1

其他

10<

4. 对圆片直径进行测量，测量值X 服从()6,5上的均匀分布，求圆面积Y 的概率密度。

解 圆面积24

1X Y π=，由于X 均匀取()6,5中的值，所以X 的密度函数

()=x f X

,

0,1

.

;65其他<

且24

1

x y π=为单调增加函数()()6,5∈x ，其反函数

()()y y y h y

y y h πππ

π

1

1212

,24=

⋅

=

'==

， Y 的密度函数为

()()()()='=y h y h f y f X Y

,0,

1

y π ,

;

625其他<<

πy

= ,

0,

1y π .;

9425

其他ππ<

5. 设随机变量X 服从正态分布()1,0N ，试求随机变量的函数2X Y =的密度函数()y f Y 。

解 ()1,0~N X ，所以()+∞<<-∞=

-x e

x f x X ,212

π，此时2x y =不为单调

函数不能直接利用性质求出()y f Y 。须先求Y 的分布函数()y F Y 。

()()()

=≤=≤=y X

P y Y P y F Y 2

(

)

y

X y P ≤

≤-0

,

0;0≥

(

)

()⎰

⎰

---==≤

≤-y

y

y

y X dx e

dx x f y X y P x 2

21π

.

()()='=y F y f Y Y

,

0,

21

212121

2

2

y e

y

e

y

y

--+

π

π

,

;0其他>y

=

,

0,

21

y

e y -π

.

;0其他>y

6. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数X e Y =的密度函数()y f Y 。

解 ()=x f X ,

,

x e - .;0其他>x

x e y =的反函数()()y

y h y y h 1

,ln =

'=，因此所求的Y 的密度函数为 ()()()()='=y h y h f y f X Y

ln 1,0,

y e y - ,

;0ln 其他>y

= ,

0,12y .

;

1其他>y

7. 设X 服从()1,0N ，证明a X +σ服从()

2,σa N ,其中σ,a 为两个常数且0>σ。 证明 由于()1,0~N X ,所以()+∞<<-∞=

-x e

x f x X ,212

2

π，记a X Y +=σ，

则当0>σ时，a x y +=σ为单增函数，其反函数()()σ

σ1

,=

'-=y h a

y y h ,因此Y 的

密

度

函

数

为

()()()()()+∞<<-∞=⋅=

'=--

⎪⎭

⎫

⎝⎛--y e

e

y h y h f y f a y a y X Y ,211

212

2

2

221σσσ

πσ

π，

即证明了()

2,~σσa a X N +。