圆中的最值问题

拔咼专题圆中的最值问题

、基本模型构建

图

（1）图（2）

图（1）两点之间线段最短；

图（2）垂线段最短。

•在直线L上的同侧有两个点

A、B,在直线L上有到A、B 的距离之和最

短的点存在，可以通过轴对称来确定，

即作出其中一点关于直线L的对称

点，对称点与另一点的连线与直线L

的交点就是所要找的点.

二、拔高精讲精练

探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题

例1:如图，A点是O O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P 点是MN上一动点，O O的半径为3，求AP+BP的最小值。

解：作点A关于MN的对称点A '，连接A ' B，交MN于点P,连接0A AA •••点A与A '关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，

:丄 A ' 0N= / AON=60 ° , PA=PA 点B 是弧AN 的中点，

•••/ BON=30 ° ,•/ A ' 0B= / A ' 0N+ / BON=90。，又T OA=OA ' =3,

••• A' B=3・,2 •两点之间线段最短，••• PA+PB=PA ' +PB=A ' B=3 S .

常见模型

思考

【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置.根据轴对称和两点之间线段最短的知识, 把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。

探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题

例2:如图，在Rt△ AOB中，0A=0B=3 . 2 , O O的半径为1点P是AB边上的动点,

过点P作O 0的一条切线PQ (点Q为切点)，求切线PQ的最小值

解：连接OP、OQ.T PQ是O 0的切线，••• 0Q丄PQ;根据勾股定理知PQ2=Op2-OQ2,

Rt △ AOB 中，OA=OB=3 .2 ,

• PQ= 'OP? OQ? =2、2 .

【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画O 0, P是O 0是一动点且P在第一象限内，过P作O 0切线与x轴相交于点A ,与y轴相交于点B.求

解：(1)线段AB长度的最小值为4, 理由如下：

连接0P,

•/ AB 切O 0 于P,

•0P丄AB ,

取AB的中点C,

•AB=20C ;

当OC=OP时，0C最短，

即AB最短，

此时AB=4 .

【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最: 关键。是解决此类问题的