锐角三角函数章节复习
锐角三角函数全章复习(可用)
sin A cos A 1
2 2
sin A tan A cos A
巩固
5、 Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA
2 = ，则cosB的值为( 2 1 A. B. 2 2 2 3 C. D. 1 2
)
6、 如果sin2α+sin230o =1，那么锐角 α的值是( ) A. 15o B. 30o C. 45o D. 60o
坡度（坡比）：坡面的铅 直高度h和水平距离l的 比叫做坡度，用字母i表 示，则 i h tan
h
l
的形式.
l h 坡度通常写成 i tan l
练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度 i=______； ______，坡角α______度． 一段河坝的横断面为等腰三角形ABCD， 试根据下图中的数据求出坡角α和坝底 宽AD。（单位是米，结果保留根号）
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
6、准备在A、B两地之间修一条2千米的笔 直公路经测量，在A的北偏东60°方向，B 地的北偏西45°方向的C处有一个半径为 0.7千米的公园，问计划修建的公路会不 会穿过公园？为什么？ C
45°
60°
A
B
3.坡度、坡角
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
A. 45 C.
)
5 B.
1 D. 45
1 5
巩固 1、如图，在△ABC中，∠C=90°， BD为∠ABC的平分线，BC=3，CD= ，求∠ABC和AB。 A
3
D
C
B
二.特殊角的三角函数值
1 2
3 2
3 3
2 2
2 2
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)
锐角三角函数我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，tan aA b=，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系． 一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1sin 2A =，BD ＝2，求BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==．在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以212BC =．所以BC ＝4． 二、平方关系 由定义知sin a A c =，cos b A c=， 所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=（sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方）．又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2，所以sin 2A +cos 2A =22c c=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算． 例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．解：由余角关系知sin56°=cos（90°-56°）=cos34°． 所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭． 三、相除关系 由定义中sin a A c =，cos bA c=， 得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==．利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单． 例3 已知α为锐角，tan α=2，求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值．解：因为sin tan 2cos ααα==，所以sin α=2cos α， 所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---．求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例4 如图1， 在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =125，那么sin B 等于（ ） (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为tan A =125=b a ，所以可设a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得c =13k ， 所以sin B =1312=c b ．应选(B)．五、等线段代换法例5 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D 边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ，所以C F=CB ， 又C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以C D ：C F=4：5，图1 图2在Rt△D C F 中，c os∠D C F=54=CF DC ． 六、等角代换法例6 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（ ） （A ）311 （B ）113 （C ）119 （D ）911分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E ，所以只需求出tan∠CA E ．根据条件可知△AC E∽△B DE，所以ED CE BD AC =，即CECE-=1163， 所以C E=311，在Rt△A E C 中，tan∠CA E=9113311==AC CE ．所以tan α=911．七、等比代换法例7 如图4， 在Rt△ABC 中，ACB =90，C D⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（ ）(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析：由三角形函数的定义知tan α=DCDB， 由Rt△C D B ∽Rt△ACB ， 所以43==AC BC DC DB ，所以tan α=43，选(A)． ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°．2．比较大小：cot30°_________cot22°．3．比较大小：sin25°___________cos25°．4．比较大小：tan52°___________cot52°．5．比较大小：tan48°____________cot41°．6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积；②在△ABC中，若∠C=90°，则c=αsinA成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为（）A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9（新疆中考题）（1）如图（1）、（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。
锐角三角函数(复习巩固)
奇偶性
正弦函数是奇函数（sin(-A) = sinA），余弦函数是偶函数 （cos(-A) = cosA）。
图像特征
正弦和余弦函数的图像是连续的 波浪形曲线，正切函数的图像是 间断的折线。在直角坐标系中， 可以通过五点作图法绘制出这些
函数的图像。
02
三角函数关系式及诱导公 式
同角三角函数关系式
平方关系
锐角三角函数(复习 巩固)
目录
• 锐角三角函数基本概念 • 三角函数关系式及诱导公式 • 三角恒等变换与证明 • 解三角形相关知识点回顾
目录
• 锐角三角函数在几何中应用 • 复习策略与备考建议
01
锐角三角函数基本概念
正弦、余弦、正切定义
正弦（sine）
正切（tangent）
在直角三角形中，锐角的正弦等于对 边长度除以斜边长度，即sinA = a/c。
重点难点突破
在知识体系梳理的基础上，要针对重点难点进行突破。例如，对于正弦、余弦、正切等基本概念的理 解和应用，可以通过多做练习题来加深理解；对于与三角形相关的定理和公式，可以通过分析典型例 题来掌握解题方法。
常见题型分类及解题技巧总结
常见题型分类
锐角三角函数的常见题型包括求值题、证明题、应用题等。在复习时，要对各种题型进行分类，并总结相应的解 题技巧。
05
锐角三角函数在几何中应 用
相似三角形判定定理
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
相似三角形判定定理
如果两个三角形的两组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
相似比
相似三角形对应边之间的比值称为相似比。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
锐角三角函数 复习
C.扩大4倍
D.没有变化
2.（2013•温州）如图，在△ABC中， ∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（ C ）
A. 3
B. 4
C. 3
4
3
5
D. 4 5
3
3.在△ABC中，∠C＝90，BC＝6cm，sinA= ，
则AC的长为( B )
5
A.3cm B.8cm C.10cm D.5cm
边为c，a，b分别是∠A的对边和邻边，则
正弦：sinA=______=_______； A
b
余弦：cosA=______=_______；
C
正切：tanA=______=_______．
c aB
考点二：特殊角的三角函数 值30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
角度 三角函数
sinA
BE 5
AE
ABC为等腰直角三角形， AB AC 6， B 且A 45，在RtAED中，AE DE x,
由AB AE EB得 : 62 62 x 5x 解得x 12
AD AE2 DE2 122 122 12 2
14．如图，在某建筑物AC上，挂着“美丽家园”的宣传条 幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，再往 条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角 为，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到 0.1米）
D
A
O
B
C
11.（2008 泰安）直角三角形纸片的两直
角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，
使点 A 与点 B重合，折痕为DE，则
tan CBE 的值是
。
锐角三角函数 全章复习
锐角三角函数1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的值是()．A．3B．6 C．8D．9第1题图第2题图2．如图所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，tan∠DBE的值是( )．A. B.2 C. D.3．如图所示，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于()．A．B．C．D．4．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（）．A．30°B．50°C．60°或120°D．30°或150°5．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若，则AD的长为()．A．2B．C．D．16．如图所示，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，，则AC＝________．7．如图所示，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到，使点与C重合，连接，则tan∠的值为________．第6题图第7题图8.如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB 的延长线上的处，那么tan∠BAD′等于________．第8题图第9题图9．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，AC＝6，CD＝5，则sinA等于________．10.已知，如图，中，，，，求cos A及tan A．11. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)．已知立杆AB高度是3 m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．12．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．13．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求证：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB＝，ME＝，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E 旋转到AB上的G处，求旋角∠ECG的度数．14. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．(1)求证：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB＝:2，求⊙O的半径及DF的长．15. 如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．(1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据：≈1.732)(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要多少天?16．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为（i＝1:是指铅直高度DE与水平宽度CE的比)，CD的长为10 m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB的坡度；(2)求DE的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长(结果精确到.0.01 m)．。
中考数学【锐角三角函数】考点专项复习教案(含例题、习题、答案)
8．
cos 60°＝ 1 ，tan 30°＝
2
，∴cos 60°－tan 30°≠0，
∴(cos 60°－tan 30°)0＝1， 解：原式＝ 例7 分析
2 ＋1
3
十＋2
2 ＝3 2 ＋1．
1 32
1 计算 2
－(π －3.14)0－|1－tan 60°|－
3. 3 ＋1＋ 3 ＋2＝10.
第二十八章
本章小结 小结 1 本章概述
锐角三角函数
锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继 续，也是继续学习三角形的基础．本章知识首先从工作和生活中经常 遇到的问题人手， 研究直角三角形的边角关系、 锐角三角函数等知识， 进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题．只有掌握 锐角三角函数和直角三角形的解法， 才能继续学习任意角的三角函数 和解斜三角形等知识， 同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合 思想，应牢固掌握． 小结 2 本章学习重难点 【本章重点】 通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三 角函数(sin A，cos A，tan A)，知道 30°，45°，60°角的三角函数 值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题． 【本章难点】 综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解 决实际问题． 【学习本章应注意的问题】 在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角 的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素， 会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形 来求解， 会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模 型，从而提高分析问题和解决问题的能力．
.
tan 60°＝
解：原式＝8－1－
专题 3 锐角三角函数与相关知识的综合运用 【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查 综合运用知识解决问题的能力. 例 8 如图 28－124 所示，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，E 为 AC 边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝4．
锐角三角函数全章复习
B
D
C
专题二、锐角三角函数的性质
1.锐角三角函数的增减性： (1)当角度在00～900之间变化时， 正弦和正切值随角度的增大而增大； 余弦随角度的增大而减小。 (2)当∠A为锐角时， 0<sinA<1;0<cosA<1; tanA>0 2.互余两角的三角函数之间关系 ∠A为锐角时，sinA=cos(900-∠A) cosA=sin(900-∠A)
• 例4.若∠A为锐角，且 cosA≤0.5,则∠A的范围是（ ） A.00<∠A≤600 B.600≤∠A<900 C.00<∠A≤300 D.300≤∠A<900
• 例5.当锐角A>450时，下列不等式 中不成立的是 （ ）
2 A. sin A 2 2 B. cos A 2 C. t an A 1 D. t an A 1
• 例6.下列不正确的是（
A. sin 48 37 cos 41 21
0 / 0 / 2
）
B.RtABC中，C＝90 ，则sin A sin B 1
0 2
C.RtABC中，C＝90 ，则AB＝ACsinB
0
1 D.RtABC中，C＝90 ，则 sinB cosB tanB
0
专题三、解直角三角形及其应用
1.定义； 2.直角三角形边角关系； 3.解直角三角形的应用 (1)在测量距离方面的应用； (2)在工程建筑、航空、航海等 方面的应用.
• 例7.在△ABC中，
BC 1 3, B 60 ,
0
∠C＝450，求AB的长
A
B
C
• 例8.A、B之间有条河，原来从A到B需 过桥CD：A→D→C→B。 A 现建桥EF，可沿直线AB 从A到B.已知 D ∠A＝450， C ∠B＝300，BC＝ E 11km，CD∥AB， F 则现在从A到B比 原来少走多少路程？
锐角三角函数总复习ppt课件.pptx
基础自主导学
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=1,AB=2,则下列结论正确的 是( )
A.sin
A=
3 2
C.cos
B=
3 2
答案:D
B.tan A=12 D.tan B= 3
2.在正方形网格中,△ABC的位置如图,则cos B的值为( )
A.
1 2
C.
3 2
答案:B
B.
2 2
D.
┃ 知识归类
解直角三角形
1.三边关系：a2＋b2＝c2
2.三角关系：∠A＝90°－∠B
a
3.边角关系：sinA＝cosB＝ c
；
；
b
，cosA＝sinB＝c ，tanA
sinA
sinB
＝ cosA ，tanB＝ cosB
.
4.面积关系：sABC
1 2
ab
1 2
ch
(2)直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)， 就可以求出其余的3个未知元素．
[思路分析]设每层楼高为x m，由MC－CC′求出MC′的 长，进而表示出DC′与EC′的长，在直角三角形DC′A′中， 利用锐角三角函数定义表示出C′A′，同理表示出C′B′， 由 C′B′－C′A′求出 AB 的长即可.
解：设每层楼高为 x m， 由题意，得 MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m). ∴DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1. 在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°， ∴C′A′＝tDanC6′0°＝ 33(5x＋1).
1 2
，sin45°＝
2 2
，sin60°＝
3 2
锐角三角函数复习(一)
锐角三角函数复习题(一)一、要点梳理1、锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中，∠C =90°,则sin A ==A ∠的;cos A ==A ∠的; tan A ==A ∠的.2、特殊角的三角函数值3、解直角三角形（1）解直角三角形的定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有 元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中已知元素， 的过程，叫做解直角三角形. （2）直角三角形中的关系①边的关系：22a b +=;②两锐角的关系：A B ∠+∠= ; ③边角关系：sin A = ; cos A = ; tan A = .（3）直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题．①仰角与俯角②方位角③坡度 t a n hi lα==二、类型题组1、(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( )A.31010B.12C.13D.10102、(2014·温州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，则tanA 的值是 .3、如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD=3：2， 则tanB= 。
4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，5sin 13A =,则tan B = 。
第1题图第2题图 第3题图 第3题图A DC B第6题图5、在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin sin A B + 1, 22sin cos A A + 1(填“<”，“=”，“>”).6、如图，在△ABC ，AB=AC=1，∠A 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ，cosA 的值是 。
1、计算2cos600的值是 。
初三数学下《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解(提高)+巩固练习
《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确使用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A是个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A 30°45°60°sinAcosAtanA 130°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，除直角外的5个元素（3条边和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的3个未知元素，这叫作解直角三角形.解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方位角：要点诠释：1．解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
锐角三角函数复习.ppt
解得x=6
∴CD=6
A
B
C
D
例题解析
(2) BC=BD+CD=4+6=10=AD
在Rt△ACD中
在Rt△ABC中z x xk
问题2 要解一个直角三角形，除一个直角的已知元素外，还需要几个元素？为什么这些元素中至少要有一条边？试给出可以求解直角三角形的两个条件．
A
B
C
D
问题3 如果题中给出的图形不是直角三角形而是一个综合图形，我们用什么方法进行处理，就能把它转化为可以解的直角三角形？
问题4 你认为需要具备哪些知识、掌握哪些方法，就能较顺利地解决有关实际问题？请总结实际问题的一般步骤和注意点．
锐角三角 函数z x xk
特殊角的三 角函数
解直角三 角形
简单实际 问题
c
a
b
A
B
C
知识
特殊角的三 角函数
2
1
30°
1
1
45°
2
1
60°
30°＋ 60°= 90°
返 回
解直角 三角形
∠A＋ ∠ B＝90°
a2+b2=c2
三角函数 关系式
计算器
由锐角求三角函数值
由三角函数值求锐角
返 回
简单实 际问题
数学模型
直角三角形
等腰梯形
组合图形
等腰三角形
构建
解
作高转化为直角三角形
解
返 回
问题1 已知：如同，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝3，CD＝ ，怎样求sinA和cos∠BCD的值？怎样求∠B的正切值？
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC= ，求：（1）DC的长；（2）sinB的值．
第七章《锐角三角函数》复习
第七章《锐角三角函数》复习知识要点：考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值4、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）商（弦切）关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
第28章 锐角三角函数复习学案
锐角三角函数（复习）【学习目标】1.了解并掌握三个锐角三角函数：正弦（sinA）、余弦（cosA）和正切（tanA）.2.熟知30°，45°，60°角的三角函数值.3.能利用锐角三角函数解决简单的解直角三角形问题.基础部分活动1 复习回顾1.如右图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的三角函数值为：2.30°、45°、60°特殊角的三角函数值：30°45°60°sinAcosAtanA观察表格，谈谈你记忆以上三个特殊角三角函数值的诀窍：要点部分活动2 例题巩固考点一锐角三角函数的定义1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，则tanA=_____，sinA=_____.2.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为（）A．2 B．C．D．▲练习：如图，ABC的顶点都是正方形网格的格点，求BAC∠的正弦值为_____.考点二、特殊角的三角函数值的考查1. 已知sinA 3A为锐角，则∠A的度数为2.（1）sin260°＋cos260°－cos45°；（2）2sin30°+3cos60°－4tan45°3. 锐角A满足tan(A-15)o3A的度数。
4. 在△ABC中，若223cos sin022A B⎛-+-=⎝⎭(),A B∠∠均为锐角，求C∠的度数。
考点三、利用锐角三角函数解直角三角形1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，sinA =13，求cosA和tanA的值.▲练习：如图，在Rt ABC 中，590,sin 13B A ∠=︒=，点D 在AB 边上，且45,5BDC BC ∠=︒=．（1）求AD 长；（2）求ACD ∠的正弦值．拓展部分★在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．（1）初步尝试：我们知道：tan60︒=______，tan30︒=______，发现结论：tan A ______12tan 2A ；（选填“=”或“≠”）（2）实践探究：如图1，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2,1AC BC ==，求1tan2A 的值； 小明想构造包含12A ∠的直角三角形：延长CA 至点D ，使得DA AB =，连接BD ，所以得到12D A ∠=∠，即转化为求D ∠的正切值．请按小明的思路进行余下的求解； （3）拓展延伸：如图2，在Rt ABC 中，,1903,tan 3C AC A ∠===︒．求tan2A 的值．中午练习1.如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，P M ＝PN ，若MN ＝2，则OM ＝ ( ) A ．3； B ．4； C ．5； D ．62.在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cosB ＝22，则BC 边长为( ) A ．7 B ．8 C ．8或17 D ．7或173.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，则AB 的长为__________．4.求下列各式的值；（1）3tan30sin452sin60︒+︒-︒； （2）2sin 60tan30cos30tan 45︒-︒⋅︒+︒．5.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，BC ＝6. (1)求sinC ；(2)求AC 边上的高BD.。
锐角三角函数复习
∠A的邻边 斜边 (2)∠A的余弦：cosA＝
∠A的对边 (3)∠A的正切：tanA＝∠A的邻边
＝
b c
a b
；
＝
.
数学·新课标（RJ）
第28章复习 ┃ 知识归类 [易错点] 忽视用边的比表示锐角的正弦、余弦和正切的前 提是在直角三角形中．
2．30°，45°，60°角的三角函数值
1 sin30°＝ 2 3 cos30°＝ 2 tan30°＝ 3 3
，sin45°＝ ，cos45°＝ ，tan45°＝
2 3 2 ，sin60°＝ 2 ； 1 2 ，cos60°＝ ； 2 2 第28章复习 ┃ 知识归类
3．解直角三角形的依据
(1) 在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90°， a ， b ， c 分别是∠ A ，∠ B ， ∠C的对边．
三边关系：
三角关系： 边角关系：sinA＝cosB＝ cosA＝sinB＝ tanA＝ ， ，tanB＝
；
； ，
.
(2)直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的 2个元素(至少有一个是边 )， 就可以求出其余的3个未知元素．
数学·新课标（RJ）
第28章复习 ┃ 考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 锐角三角函数定义
如图28－2所示，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC
＝________.
3 2
数学·新课标（RJ）
第28章复习 ┃ 考点攻略
考点二特殊角的三角函数值（2014年 20题）
1 sin 60 32 1 8 3 1
数学·新课标（RJ）
►
如图所示，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》单元复习及典型例习题(含答案)
锐角三角函数第一部分同角三角函数“做一做”三角函数角αsin α cos α tan α30021 23 33 45022 22 160023 21 3从表中不难得出：130cos 30sin 022=+ ， 0030tan 30cos 30sin = 145cos 45sin 022=+ ， 0045tan 45cos 45sin =160cos 60sin 022=+ ，0060tan 60cos 60sin =那么，对于任意锐角A ，是否存在1cos sin 22=+B A ，A AAtan cos sin =呢？ 事实上，同角三角函数之间，具有三个基本关系：如图，在090,=∠∆C ABC Rt ，C B A ∠∠∠,,所对的边依次为a ，b ，c 则 ①1cos sin 22=+B A （平方关系）②A A A cos sin tan =，AAA sin cos cot = （商的关系） ③1cot tan =⋅A A （倒数关系） 证明：①222,cos ,sin c b a cbA c a A =+==Θ1cos sin 222222222==+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∴c c c b a c b c a A A 即 1cos sin 22=+A A ②abA b a A c b A c a A ====cot ,tan ,cos ,sin Θ A ba b c c a c b c aA A tan cos sin ==⋅==∴ A aba c cb ca c bA A cot sin cos ==⋅== 即 A A A cos sin tan =，A AA sin cos cot =③abA b a A ==cot ,tan Θ1cot tan =⋅=⋅∴abb a A A即 1cot tan =⋅A A通过以上证明，可以得出以下结论：①对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的平方和等于1，即1cos sin 22=+A A ．②对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的商等于A ∠的正切，即A AA cos sin tan =． ③对于任意锐角A ，A ∠的余弦与正弦的商等于A ∠的余切，即AAA sin cos cot =．④对于任意锐角A ，A ∠的正切和余切互为倒数，1cot tan =⋅A A ． 运用以上关系，在计算、解题的过程中，可以简化计算过程． 例1 已知A ∠为锐角，,53cos =A 求A A tan sin ，． 解：A ∠Θ为锐角1sin 0<<∴A又Θ,1cos sin 22=+A A 53cos =A 542516531cos 1sin 22==⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴A A345354cos sin tan ===∴A A A此题还可以利用定义求解，方法不唯一． 例2 计算02245tan 30sin 30cos -+ 解：原式=()130cos 30sin 0202-+=1-1 =0本题也可直接把特殊角的三角函数值代入计算，但过程较为复杂，同学们了解了同角三角函数之间的基本关系，不仿试解下面的题目．1．化简：0010cos 10sin 21+ 2．A ∠为锐角，化简cotAtanA 1sinA cosA 1+⋅⋅ 答案： 1．0010cos 10sin +（提示：1=02210cos 10sin +） 2．1 （提示： aAA A A A sin cos cot ,cos sin tan ==） 第二部分特殊角的三角函数特殊角的三角函数值有着广泛的应用，要求大家必须熟记，为了帮助记忆，可采用下面的方法．1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21sin45°=cos45°=22tan30°=cot60°=33tan 45°=cot45°=12、列表法：30˚12 3145˚ 12 12 60˚ 3说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从023 1变化，其余类似记忆．3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高效课堂“12345”教学案 课题
锐角三角函数章节复习 课时 2 主备人 刘传芳 时间
高效课堂 “12345” “1”—“确立一个中心”（以学生为中心，以学定教）。
“2”—落实“两个基本点”（突出重点，突破难点）。
“3”—精细“三个过程”（课前设计、课中导学、课后反
思）。
“4”—研究“四个维度”（基础知识、基本技能、活动方法、学科思想）。
“5”—做好“五个环节”（情境创设——自主探究——知识构建——基础训练——能力
创新）。
教学目标 1.掌握锐角三角函数的定义
2.熟记特殊角的三角函数值并会计算含有特殊角三角函数的代数式的值
3.会解直角三角形并会用解直角三角形的有关知识解决一些实际问题
教学重点 理解锐角三角函数章节知识点
教学难点 锐角三角函数章节知识点灵活运用
一、章节知识点梳理回顾
1.锐角三角函数的概念 sinA ＝
A a A c ∠=∠的对边的斜边 cosA=A ∠的邻边斜边=a c
tanA=A A ∠∠的对边的邻边=a b 对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是A 的函数．同样地，cosA ，tanA 也是A 的函数．
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数． 2.特殊角的三角函数值
3.什么叫解直角三角形
(1)三边之间关系 (2)锐角之间关系
a 2 +
b 2 =
c 2 (勾股定理) ∠A+∠B=90°
(3)边角之间关系
a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sin
b a B a b B
c a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin 4.解直角三角形的实际运用
利用太阳平行光等测量不可实际测量的物体的高度，俯角和仰角，方位角和坡度问题。
二、探究展示
例１学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价30元，学校建这个花园需投资多少元．(结果先保留根号，再精确到1元)
例２计算
sin45cos30
32cos60
︒+︒
-︒
-sin60°（1-sin30°）．
例３已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC= ，求：（1）DC的长；（2）sinB的值．
例４．（1）一飞艇飞经距世博和谐塔90m处时测得塔底俯角为60o，你能求出此时飞艇的高
吗？（2）飞艇还测得塔顶的仰角为45o，请求出世博和谐塔的高度。
三、知识构建
选择题
１（2011湖北武汉市，10，3分）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为
A．12秒． B．16秒． C．20秒． D．24秒．
C
D
A
B
5
3
【答案】B
（2016·山东省菏泽市·3分）如图，在正方形ABC D外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则t an∠EBC= ．
【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形．
2.
（2016·重庆市A卷·4分）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）
A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米【考点】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
填空题
１（2011浙江衢州，13,4分）在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达
、两地相距m.
目的地C(如图)，那么，由此可知，B C
【答案】200 ２（2011湖北襄阳，14，3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC 方向开山修路（如图3所示），为了加快施工速度，需要在小山的另一边同时施工.从AC 上的一点B 取∠ABD ＝140°，BD ＝1000m ，∠D ＝50°.为了使开挖点E 在直线AC 上，那么DE ＝ m.（供选用的三角函数值：sin 50°＝0.7660，cos 50°＝0.6428，tan 50°＝1.192）
【答案】642.8
３. （2015•浙江滨州,第14题4分）如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC =，则对角线AC 的长为 .
【答案】24
四、基础训练
（第13题）
30°
60°北
A B
C 图3 140°50°
E
D C B
A
五、能力创新
10．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E 交PA 、PB 于C 、D ，若⊙O 的半径为r ，
△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（ ）
A ．1312
5 B ．512 C ．1353 D ．133
2
10、考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
分析：（1）连接OA 、OB 、OP ，延长BO 交PA 的延长线于点F ．利用切线求得CA=CE ，DB=DE ，
PA=PB 再得出PA=PB=32 r ．利用Rt △BFP ∽RT △OAF 得出AF=23
FB ，在RT △FBP 中，利用勾股定理求出BF ，再求tan ∠APB 的值即可．
解答：解：连接OA 、OB 、OP ，延长BO 交PA 的延长线于点F ．
∵PA ，PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E
∴∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE ，DB=DE ，PA=PB ，
∵△PCD 的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r ，
∴PA=PB=
．
在Rt △BFP 和Rt △OAF 中，。