人教版八年级下册16.1二次根式的性质导学案

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(精品)最新八年级下册16.1二次根式第2课时二次根式的性质导学案新人教版

【变式题】实数a 、b 2244a ab b a b ++-.方法总结利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a ,b 的大小讨论绝对值内式子的符号.例5 已知a 、b 、c 是△AB C 的三边长，化简：()()()222.a b c b c a c b a ++-+-+-- 分析：针对训练 1.计算：22(1)(-2)(2)(-1.2). ；2.请同学们快速分辨下列各题的对错：()()()()()()()()2222(1)22(2)22(3)22(4)22-=--=--=---=-用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_______或____________连接起的式子，我们称这样的式子为代数式. 典例精析例6 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h ，船在静水中的速度是 v km/h ，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为53的长方形贺卡，若面积为S ，用代数式表示出它的长.方法总结列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．针对训练1.在下列各式中，不是代数式的是（） A.7 B.3＞2 C .2x D.2223x y + 2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S ，用代数式表示出钟的半径为__________.教学备注配套PPT 讲授4.探究点3新知讲授（见幻灯片22-25）5.课堂小结（见幻灯片30）利用三角形三边关三边长均为正数，a +b ＞c 两边之和大于第三边，b +c -a ＞0，c -b -a ＜0负数的算术平0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：。

新人教版八年级数学下册导学案(全册136页)

第十六章二次根式16．1 《二次根式(1)》学案课型: 新授课上课时间：课时： 1学习内容：二次根式的概念及其运用学习目标：1、理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习过程一、自主学习（一）、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．（3，3）．问题2：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．（46.）（二）学生学习课本知识（三）、探索新知 1、知识：如3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 •的式子叫做二次根式，“”称为．例如：形如、、是二次根式。

形如、、不是二次根式。

2、应用举例例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y•≥0）．解：二次根式有：；不是二次根式的有：。

例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？解：由得：。

当时，31x -在实数范围内有意义．（3）注意：1、形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2、利用“a （a ≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。

二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．(答案:2)(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)三、巩固练习教材练习．四、课堂检测（1）、简答题1．下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？ -7 37x x 4 16 8 1x（2）、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为5的正方形的边长为________．（3）、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．3.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数4.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．16．1 《二次根式(2)》学案课型: 新授课上课时间：课时： 2 学习内容：1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）．学习目标：1、理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a ≥0），并利用它进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a （a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a ）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学过程一、自主学习（一）复习引入1．什么叫二次根式？2．当a ≥0时，a 叫什么？当a<0时，a 有意义吗？（二）学生学习课本知识（三）、探究新知1、a （a ≥0）是一个数。

人教版八年级下册数学16.1二次根式导学案

【自助学习·我尝试自学】
1．平方根、算术平方根用符号怎么表示？
2．说出下列各式的意义，并计算：
，，，，，，.
得出新知：形如式子，，等叫做
讨论：式子只有在条件a 0时才叫二次根式，是二次根式吗？
归纳：二次根式有意义的条件是
【互助探究·我参与互研】
例1.当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
例2.x 是怎样的实数时，式子
在实数范围有意义？
例3. 当 x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？3x 呢？
【求助交流·我愿意分享】
1．判断下列各式是不是二次根式
2．a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
【补助练兵·我能用新知】
1、当x 取________时，二次根式4x -有意义．
2、若则．
3、使在实数范围内有意义的x 应满足的条件是．
4、使1x -有意义的x 的取值范围是．
5、当字母取何值时，下列各式为二次根式：
()2
2340a b c -+-+-=，=+-c b a 11
x -
（1）
(2) (3)
【共助反馈·我能够达标】已知：3x 22x y --+-=，求：4y x ）
（+的值。

人教版数学八年级下册16.1第2课时《二次根式的性质》教学设计

人教版数学八年级下册16.1第2课时《二次根式的性质》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第2课时《二次根式的性质》是初中数学的重要内容，主要让学生了解和掌握二次根式的性质。

教材通过引入实际问题，引导学生探究二次根式的性质，从而培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

本节课的内容为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念，具备了一定的代数基础。

同时，学生已经学习了二次根式的概念和简单的运算。

但学生在理解和运用二次根式的性质方面还存在一定的困难，因此，教师在教学过程中要注重引导学生理解和运用二次根式的性质。

三. 教学目标1.理解二次根式的性质，并能熟练运用。

2.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式的性质及其运用。

2.引导学生理解和运用二次根式的性质。

五. 教学方法1.情境导入：通过实际问题引入二次根式的性质，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究：引导学生独立思考，探究二次根式的性质。

3.合作交流：分组讨论，让学生在讨论中理解和掌握二次根式的性质。

4.巩固练习：设计有针对性的练习，让学生在实践中运用二次根式的性质。

5.总结提升：引导学生总结二次根式的性质，并展望后续学习。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入新课。

2.准备PPT，展示二次根式的性质及相关例题。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过呈现一个实际问题，引导学生思考二次根式的性质。

例如：一个正方形的对角线长度为8，求正方形的边长。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的性质，引导学生理解和掌握。

例如：二次根式√a的性质有：（1）√a2=a（a≥0）；（2）√a⋅√b=√ab（a≥0,b≥0）；（3）√a√b =√ab（a≥0,b>0）。

人教八下第十六章二次根式教学导学案

第十六章二次根式16.1 二次根式第1课时二次根式的概念学习目标1.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．2.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．重点：二次根式的概念，二次根式有意义的条件.难点：二次根式概念的理解，综合运用性质)0(0≥≥a a .学习过程1、回忆旧知识（1）什么叫做算术平方根？什么叫做平方根？（2）正数有几个平方根？0的平方根是多少？负数有平方根吗？2、用带根号的式子填空.（1）3的算术平方根是 .（2）直角三角形的两直角边是1和2，则斜边是 .（3）正方形的面积为3-b ，则边长为 .(4)自主完成课本第二页思考题.观察所列式子，有何共同特点？3、思考下列问题：开平方时，被开方数只能是和，为什么？4、请写出二次根式的概念：5、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x 请同学们思考并总结一下，判断一个式子是否是二次根式，需要考虑哪些要点：6、根据开平方时，被开方数只能是和这一依据，完成下题：例1：当x 是怎样的实数时，6-x 在实数范围内有意义？7、做完以上例题，请填空：当a 为正数时，a 是a 的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a 才有算术平方根.所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义.8、扩展思考：当a 是怎样的实数时，a 在实数范围内有意义？a 呢？9、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？10.达标测试1.在式子12x -，13x -x 可以取2和3的是（）A ．12x -B ．13x - C D2.x 必须满足（） A ．x ≤2 B ．x ≥2 C ．x ＞2 D ．x ＜23.x 可以取的最小整数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34.有意义，则x 的取值范围为_________.5.若y= 22-，则（x+y ）y =_________.6.已知a 、b 是一等腰三角形的两边的长，且满足等式，求等腰三角形的周长．7.小组精彩讨论的镜头：你想一起参加讨论吗？若参加你怎么评价这四位同学的解答？并写出你解答的过程？第2课时二次根式的性质学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 、)0()(2≥=a a a 和a a =2；2.能利用上述性质公式对复杂的二次根式进行化简. 重点：二次根式的性质a a =2．难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算.学习过程1、回忆旧知（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）二次根式52-x 有意义，则x . 2、计算并总结公式（1）计算：2)4(= 、2)16(= 、2)3(= 、2)21(= 、2)0(= 观察其结果归纳得到：当=≥2)(,0a a 时（2）、计算：=24 、=22.0 、=2)54( 、=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时（3）、计算：-2)4(= 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时（4）、计算：=20 ，所以当==2,0a a 时3、归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的两条非常重要的性质（公式）：（1）当=≥2)(,0a a 时（2）=2a4、化简下列各式：（1）、=23.0 （2）、=-2)5.0( （3）、=-2)6( （4）、()22a = （0<a ）5、请大家思考讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系.6、化简下列各式（1）)0(42≥x x (2) 4x （3）)3()3(2≥-a a7、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？8、达标测试 1.要使ba 是二次根式，则应满足的条件是（） A.a≥0且b≥0 B. a≥0且b ＞0 C.b a ＞0 D.ba ≥0且b≠0 2.把414写成一个正数平方的形式是（） A.2212⎪⎭⎫ ⎝⎛ B. 2212⎪⎭⎫ ⎝⎛或2212⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. 2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛或2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 3.函数21-=x y 中自变量的取值范围在数轴上表示为（） A. B. C. D.9.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：2a -2b -2)(b a -．10.已知x 、y 为实数，y=214422-+-+-x x x ，试求3x+4y 的值．11.甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简a 1+2a a 122-+ ，其中a=51. 甲同学的做法是：原式=a 1+2)a a1(-=a 1+a 1-a=a 2-a =10-51=549；乙同学的做法是：原式=a 1+2)a 1a (-=a 1+a-a 1=a=51. 到底谁错了？为什么？说明理由.16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法学习目标1a ≥0，b ≥0）a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简.2、通过学习和掌握知识目标的整个过程，培养学生对数学化简题目的敏锐度，同时培养学生的计算能力.重点：掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质.难点：会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.学习过程1．填空：（1；（2=____；（3．2、学生交流活动总结规律．一般地，对二次根式的乘法规定为：反过来例1、计算（1（2（3）3（4例2、化简（1（3（4（53、巩固练习（1）计算： ①②55×215 ③312a ·231ay（2）化简4、判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243 后再进行计算，你有什么好办法？注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数.2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解.（2）分解后把能开尽方的开出来.5、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？6、.达标测试1.下列计算正确的是（） A.912=912⨯=231 B.)4()9(-⨯-=49-⨯-=(-3)×(-2)=6 C.22y x +=y x y x +=+22 D.b a 224=ab a 642⋅=2|a|ab 62.如果232a a +=2+-a a ，则实数a 的取值范围是（）A.a≥0B.0≤a≤2C.-2≤a≤0D.a≤-23.把a a1-根号外的因式移入根号内的结果是（） A.a - B.a -- C.a D.a -9.计算：（1）27×123×385（2）3031×2140×3222310.某公路规定行驶汽车的速度每小时不得超过70千米，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16df ，其中v 表示车速（单位：千米/小时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示磨擦因数．经测量，d=20米，f=1.25，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？11.小明在微机课上设计了一幅矩形图片，矩形的周长是π140cm ，宽是π35cm ，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助小明求出圆的半径.第2课时二次根式的除法学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.2、通过学习和掌握知识目标的整个过程，使学生能熟练进行二次根式的除法运算及化简.3、培养学生的数学学习兴趣，感受实数的应用价值.重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.学习过程1、计算：（1）38×（-46）（2）3612ab ab ⨯2、填空：（1；规律：（2；（3；（4．一般地，对二次根式的除法规定：3、计算：（1（2（3（44、化简：（1（2（3（4注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数.2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式.5、阅读下列运算过程：==== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.利用上述方法化简：(1)３=_____ ___ (４=___ ___ 6、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？7、达标测试1.如果6-x x =6-x x 成立，那么（） A.x≥6 B.0≤x≤6 C.x≥0 D.x＞62.下列各数中，与32的积为有理数的是（） A.32+ B.32- C.32+- D.39.计算：32212332b b b ⋅÷10.（1A ．．2E ．0问题的答案是（只需填字母）：；（2.11.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如35，32，132+一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 553535535=⨯⨯= （一） 32＝363332＝⨯⨯ （二） 132+＝））（（）－（1313132-+⨯＝131313222---＝）（）（（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.132+还可以用以下方法化简：132+=1313+-=131)3(22+-=13)13)(13(+-+=13-.（四）（1)请用不同的方法化简352+. （2)①参照（三）式得 352+＝____________；②参照（四）式得352+＝__________. （2）化简：12121...571351131-+++++++++n n第3课时最简二次根式学习目标：1、理解最简二次根式的概念，把二次根式化成最简二次根式，熟练进行二次根式的乘除混合运算.2、使学生能熟练进行二次根式的乘除运算及化简.重点：最简二次根式的运用.难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算.学习过程1、化简（1）496x = （2=（3= (4= （5= 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：（1）．被开方数不含分母；（2）．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2、化简:(1) 2083、比较下列数的大小（1）8.2与432 （2）7667--与注：1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化.2、判断是否为最简二次根式的两条标准：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2．4、知识应用：设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=23，b=5.求a 的长.5、计算：（1）6·a 3·b 31 （2）16141÷ （3）50511221832++-6、探究计算：（1）（38+）×6 （2）22)6324(÷-7、探究计算：（1）)52)(32(++ （2）2)232(-8、练习计算：（1）12)323242731(-- （2）)32)(532(+-（3）2)3223(+ （4）（9、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？10、达标训练2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.22xB.12+bC.a 4D.x1 3.下列判断正确的是（） A ．3＜3＜2 B ．2＜2＋3＜3 C ．1＜5－3＜2 D ．4＜3·5＜59.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？15，24，ab 27，2235y x +，23，23，24m m +，2x10.把下列各式化成最简二次根式（1）500 （2）323b a （3）b a c abc 4322-（4）ay x 22-（x ＞y ） 11.比较下来各组数的大小(1)3与22 (2) 52与33 (3) 27与113 (4) 132-与63-(5) 3131-与7121- (6)3π与64216.3 二次根式的加减一、学习目标1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式.2、理解和掌握二次根式加减的方法.3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.重点：二次根式化简为最简根式．难点：会判定是否是最简二次根式．学习过程1、计算．（1）x x 32+；（2）222532x x x +-；（3）y x x 32++；（4）22223aa a +-2、学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3（4）由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如（与整数中同类项的意义相类似我们把33与32-；a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为同类二次根式）如：所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将同类二次根式进行合并．例1．计算（1（2例2．计算（1）（ 2）+归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．3、练习计算 (1) )27131(12-- (2) )512()2048(-++4、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？5、达标训练2.下列各组中，是同类二次根式的是（） A.45.0与81.0 B. b a 23与22abC.2x 与32xD.x x 3与xx 122 3.计算12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4831375的结果是（） A ．6 B ．43 C ．23+6 D ．129.（1）计算：⎛÷ ⎝（202)10.（1）先化简，再求值： (a-3)(a+3)-a(a-6)，其中a=5+21．（5）已知：a=2-1，求142--a a a ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--12a a 的值．11.有这样一道题：计算4422---+x x x x +4422-+--x x x x -2x （x ＞2）的值，其中x=1005，某同学把“x=1005”错抄成“x=1050”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由．。

人教版八年级下册16.1二次根式的性质导学案

数学（学科）导学案
课题16.1 二次根式的性质学案编号01使用时间班级姓名
学习目标
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
重
难
点
重点经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.
难点会运用二次根式的两个性质进行化简计算
一、自主学习
回顾思考：表示，a 的取值范围是.
1. 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把或连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
2. 你能列举一些你学过的代数式吗？
练一练：在下列式子中，是代数式的有_个，分别是.
π-3，a≠0
二、合作探究
探究1：用学过的方法完成下列式子的计算.
思考
归纳总结：
的性质：
一般地，＝.即一个的算术平方根的平方等于 .................
例题精讲
例
练一练
探究2：
1、计算
2、计算
3、对比发现
归纳总结
的性质：
即任意一个数的平方的算术平方根等于.
概念辨析：如何区分与？
例题精讲
（1）
练习
三、能力提升
1、实数a 在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
a
-1 0 1
2、已知，则x 的取值范围是.
五、中考链接
已知a、b、c 是△ABC 的三边长，化简：
老师我不会
老师我想说。

人教版八下数学16.1 第2课时二次根式的性质导学案

第十六章二次根式16.1 二次根式第2课时二次根式的性质一、学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：（a ）2=a （a ≥0）；a a =2；2.能利用上述性质对二次根式进行化简.二、学习重点、难点重点：二次根式的性质（a ）2=a （a ≥0）；a a =2．难点：综合运用性质对二次根式进行化简和计算。

三、学习过程（一）自学导航（课前预习）（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）二次根式52-x 有意义，则x 。

（3）在实数范围内因式分解：-=-226x x ( )2=（x + ）(y - )（二）合作交流（小组互助）1、计算(1) 2)4(= (2)()=23（3）2)5.0( = （4）2)31(= 根据计算结果，能得出结论：（0≥a ）2.计算：（1）=24 =22.0 =2)54(=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ﹥0时，=2a（2） =-2)4( =-2)2.0( =-2)54(=-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a<0时，=2a________)(2=a3.归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的非常重要的性质：性质一：（a ）2=a （a ≥0）；性质二：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2　a a 4. （1）阅读课本思考：什么是代数式？我们前面还学过那些代数式吗？（2）思考、讨论：二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。

四.精讲点评利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a ”的取值。

五.当堂达标1、化简下列各式（1）（5.1）2 （2）（52）2 （3）22)33()10(-+--计算：（4）)0(42≥x x (5)4x 2、化简下列各式（1）)3()3(2≥-a a （2）()232+x （x ＜-2）六.拓展延伸（1）a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(____________. (2) 把(2-x)21-x 的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得（） A 、x -2 B 、2-x C 、x --2 D 、2--x(3) 已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x七.教后反思。

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案1(新版)新人教版

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案1（新版）新人教版1、知道二次根式的概念。

2、知道二次根号下被开方数是非负数，并会加以应用。

【定向导学互动展示当堂反馈】课堂元素自学合学展学学法指导（内容学法成果。

时间）互动策略（内容形式时间）展示方案（内容方式时间）概念认知例题导析（学习内容）认真自研教材P2-3完成下列自研探究：旧知链接 :1、a的算是平方根的定义2、填空：（1）面积为3的正方形的边长为，面积为s的正方形的边长为。

（2）等腰直角三角形的面积为7平方厘米，则它的腰长为。

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面的时间t(s)与开始下落的高度h(m)满足关系式h=1/2gt2，用含h和g的关系式表示t为。

3、我们把形如的式子叫做二次根式，称为二次根号。

4、判断题：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、、（x≥0，y ≥0）、5、例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？解：由得：。

当时，在实数范围内有意义、小对子交流分享准备询问对子的问题：。

；互助组：4人冲刺挑战旧知链接2共同体：8人在学科组长的带领下：•做好展示任务分工，完成版面设计，做好展示前的预演。

展示方案提示：展示单元一：二次根式判定，运用。

应用探究例1：判定下列代数式中哪些一定是二次根式:，，，，，(x≦0)，，例2：已知：再实数范围内有意义，求X的取植范围。

（2）当x是多少时，+在实数范围内有意义？(3)当 X是怎样的实数时有意义，（）2 呢？展示方案二利用“（a≥0）”解决具体问题3要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。

应用探究例3：已知y=++5，求的值、梳理小结查学课本3页练习1，2第2页思考题评学（回家25分钟）日清三层级能力提升达标题自评：师评：基础题：1、当x 时，在实数范围内有意义。

2、计算：。

3、已知a=，则代数式的值是。

4、若+=0，求a2004+b2004的值。

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案2(新版)新人教版

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案2（新版）新人教版（二）一、明确目标1、掌握二次根式的基本性质：≥0(a≥0)，()2=a(a≥0)，(a≥0)、2、能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简。

重点：二次根式的性质及运用。

难点：运用二次根式的性质进行二次根式的化简。

二、自主预（复）习1、当a＞0时，表示a的__________，因此，__________0；当a＝0时，表示0的__________，因此，＝__________；就是说(a≥0)总是一个__________数。

2、根据算术平方根的意义填空：()2=__________；()2=__________；()2=__________；()2=__________；()2=__________；()2=__________；()2=__________、根据以上结果，你能发现什么规律？3、填空：=__________；=__________；=__________；=__________；=__________；=__________、代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把__________和表示数的__________连接起来的式子，叫做代数式。

三、合作探究1、由公式()2=a(a≥0)，我们可以得到公式a=()2，利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式、⑴把下列非负数写成一个数的平方的形式：5；、⑵在实数范围内因式分解：x2―7；4a2―11、四、当堂反馈1、计算：⑴()2；⑵(3)2；⑶()2；⑷()2、2、化简：⑴；⑵；⑶；⑷、五、拓展提升1、实数a，b在数轴上的位置如图：ab 0化简：、2、已知，化简：、六、课后检测。

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案(新版)新人教版

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案（新
版）新人教版
16、1二次根式学习目标
1、理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目
2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题、重点形如(a≥0)的式子叫做二次根式的概念难点利用
“（a≥0）”解决具体问题、预习引导活动
4、思考下列问题：①的运算结果是3，是不是二次根式？3是不是？②定义中为什么要加≥0？若a<0，表示什么？有无意义？③当 a=0时，表示什么？结果是什么？当 a>0时，表示什么？可不可能为负数？(≥0)是什么样的数呢？
问题导学课本思考
1、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
，，课本思考2：当x是怎样的实数时，，有意义？
1、若，则x和m的取值范围是x_____；m______、
2、已知，求的值各是多少？活动
5、完成课本探究1活动
6、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变、练习：课本例2活动
7、完成课本探究2活动
8、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数、练习：课本例3补充练习：
1、化简：，；
2、直角三角形的三边分别为a，b，c，其中c为斜边，则式子-与式子有什么关系？当堂检测作业P5习题
1、2
3、4板书设计知识与方法的建构教师学生反思小结。

人教版八年级下册数学第十六章二次根式导学案

《16.1二次根式》导学案小组名称____ 学生姓名：小组评价: ____ 教师评价—学习目标1 、理解和掌握二次根式的性质，正确区分（、a ） 123 4=a（a> 0）与.a2= a （a> 0）2、利用（a ）2=a （a>0）与1 a2= a （a > 0）进行计算和化简.重点、难点：二次根式的性质。

一、自主学习1. 什么叫二次根式？2 .当a > 0时，，a叫什么，a叫什么？当a<0时，a有意义吗?3、计算；（、,4 ）2= _____ ;（、9 ）2= _____ ；, -9 = ______ C, 0 ）2= ________.__ 22（后）= ___________ .（ a > 0）3计算（1）教材第四页第一题、第五页二题（4计算（-.3 ）2（3、.5 ）2（」）24二、探究新知5、在实数范围内分解下列因式7、猜一猜：.a 2 = 8、计算：（1）教材4页第二题、5页第二题 (2)当x>2,化简 (x-2)2 - ..(1-2x)2(3) 若-3 w x w 2 时，试化简 I x-2 | +、.(x 3)2 +、x 2 -10x 254、猜一猜：) 2= ____________ ; ( J 3 ) 2= (3、5)2 -(5'、3)2 (2、、3 3 ..2)(2、、3 -3 辽)4、拓展（.厂7 ） 2（x >0）(.a 2 2a 1)(：4x 2 -12x 9 ) 22(1) x-34(2) x-46、计算：JF= ____ ； Jo.0122(4) x-27 x +71）至（4）；、了 =9、先化简再求值：当 a=9时，求a+ “ _2a a 2的值10、若 11995-a | +、a -2000 =a ，求 a-19952的值.三、小结： (1)通过这节课的学习，你学到了哪些知识?(2) ( a )2与a 2相同吗？为什么?四、当堂检测:、选择题 1 •下列各式中,15、.. 3a 、乙 b 2-1、•一 a 2 b 2、二 m 2 20、. —144，3、当a >0时，.a 2、•,(-a)2、- -、a 2，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是 ().、填空题1 .（-庇）2= ___________ .-寸0.0004 = ________2•若J20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是 ________3 .已知...x - y • 1 + ••. x - 3 =0,求 x y的值.C.a 2 v . （「a ）2 <-、a 2 .a 2 > . （-a ）2 >-、a 2-.a 2 > a 2 = .. （「a ）2 次根式的个数是( )..1 ().《16.2二次根式的乘除》导学案(1)小组名称 _____ 学生姓名：小组评价: _____ 教师评价 —理解 Ta • J b = >/ab (a > 0, b >0), T ab = Ja • J b (a >0, b > 0),并利用它们进行计算和化简2、经历探索二次根式乘法法则的过程，发展观察、猜测、验证等能力。

人教版数学八年级下册16.1《二次根式(1)》导学案

16.1二次根式〔1〕学案学习目标：1.了解二次根式的意义；2.会判断二次根式，能求简单的二次根式中字母的取值范围。

学习重点：二次根式的概念及意义。

学习难点：二次根式的判断与字母取值范围确实定。

学习过程：一、温故互查1.什么叫平方根？2.什么叫算数平方根？3.〔算数〕平方根的性质平方根式是二、设问导读感受新知阅读课本，完成以下问题在课本思考框的问题中，结果分别是，结果都分别是表示65，S ，2，5h 的 . 我们知道：一个正数有两个平方根，它们；0的平方根是；在实数范围内，数没有平方根。

因此，开平方时，被开方数只能是 .【归纳】一般地，我们把形如〔a≥0〕的式子叫做，“〞称为．【注意】二次根式应满足两个条件：1.形式．．上必须是a 的形式； .三、自我检测例1.当x 是怎样的实数时，2 x 在实数范围内有意义？例2.当a<0时，a 有意义吗？【归纳】a 的双重非负性：1. a≥0 ; 2.四、稳固训练1.、1x x>0〕、、、1x y+〔x≥0，y ≥0〕．2.当x 是多少时，x 35-在实数范围内有意义？【课本练习】 1、2五、拓展提升1.当x 是怎样的实数时，以下各式在实数范围内有意义？〔1〕48-+x x 〔2〕2x 〔3〕3x2.〔1〕，求x y的值．〔2=0，求a 2021+b 2021的值．六、小结评价1.请你说说对二次根式的认识？〔口述给组长〕2.小组对你这节课表现进展评价：〔较好；好；一般；差；较差〕组长：。

人教版数学八年级下册二次根式的性质(导学案)

16.1 二次根式原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！师者，所以传道，授业，解惑也。

韩愈第2课时二次根式的性质一、新课导入1.导入课题我们知道二次根式a中a≥0，那么二次根式a还有哪些性质呢？今天我们学习“二次根式的性质”(板书课题).2.学习目标（1）知道a≥0(a≥0)，会用非负数的性质解题.（2）会用公式()2a=a(a≥0)进行计算.（3）知道形如2a的化简方法及结果.3.学习重、难点重点：a≥0(a≥0)，()2a=a(a≥0).难点：运用公式()2a=a(a≥0)和2a=a(a≥0)进行计算化简.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：探究：a(a≥0)及a(a≥0)中a的值的特点.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：围绕探究提纲进行演算归纳.（4）探究提纲：①当a>0时，a是什么数？当a=0时，a是什么数？当错误!未找到引用源。

有意义时，a 是什么数？②从①中我们可以探究得出：当a≥0时，a是非负数，即a≥ 0.③从a(a≥0)所表示的数值特点，你知道还有哪些式子的值具有这种特性？④已知()0112=++-y x,求x ，y 的值.(x=1,y=-1)2.自学：学生参照探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生在探究中存在的认识偏差和困惑.②差异指导：引导学生分析a 表示的数值特点，归纳已学过的非负数及其和为0时所足的条件.（2）生助生：学生相互交流、帮助. 4.强化（1）当a ≥0时，a ≥0，即a 的值为非负数.（2）回顾所学过的三类非负数：①一个数的偶次幂；②一个数的绝对值；③a (a ≥0). （3）非负数的性质：若x +2y +|z|=0，则x=y=z=0. （4）练习：已知01=+++y x x ,求x ，y 的值. 答案：x=-1,y=1.1.自学指导（1）自学内容：探究()2a (a ≥0)的结果.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：通过回顾算术平方根的意义，归纳()2a (a ≥0)的结果.（4）探究提纲：①∵3的算术平方根是3，∴()23 = 3 .②∵32的算术平方根是32，∴232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 32. ③∵非负数a 的算术平方根是a ，∴()2a (a ≥0)= a .④∵()222b a ab =，∴(()2223232=⨯= 18 .⑤计算：答案：3； 18； 25； 21. ⑥由①—⑤的探讨，归纳得出：一般地，()2a = a (a ≥0).2.自学：学生可结合探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对()2a (a ≥0)的值的理解.②差异指导：指导学生应用()2a (a ≥0)的结果进行计算.（2）生助生：相互交流帮助，矫正错误，归纳正确结论.4.强化（1）强调()2a =a (a ≥0)及其应用.（2）强调公式()2ab =22b a 和 2⎪⎭⎫ ⎝⎛b a =22ba在二次根式计算中的运用.（3）展示本节所学知识点和数学思想方法.1.自学指导（1）自学内容：探究：当a ≥0时，2a 等于什么？若a 的值无限定，2a 又等于什么？（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：结合探究提纲动手尝试2a (a ≥0)和2a 的化简，结果有何不同？（4）探究提纲：①==4222 ；==⎪⎭⎫⎝⎛4121221；==36.06.02 0.6 ；由此可以看出：当a ≥0时，2a = a 。

16.1二次根式 1课时导学案-人教版八年级数学下册

16.1 二次根式 1课时导学案-人教版八年级数学下册一、知识回顾在前面的学习中，我们学习了根式的概念和性质，了解了根式的化简、加减乘除等基本运算法则。

本节课我们将学习二次根式的相关知识。

请回顾以下问题：1.什么是根式？2.根式有哪几种运算法则？3.如何对根式进行化简操作？二、学习目标1.理解二次根式的概念；2.掌握二次根式的化简；3.能够利用二次根式的化简规律进行计算。

三、学习内容1. 二次根式的定义在代数中，我们把形如√a（a≥0）的式子称为二次根式，其中a称为被开方数，√称为二次根号。

2. 二次根式的化简对于二次根式的化简，我们可以利用一些化简规律来简化表达式。

（1）同底合并如果两个二次根式的底数相同，那么可以将它们合并为一个二次根式。

例如：√2 + √2 = 2√2（2）相乘化简如果二次根式与非二次根式相乘，可以移动根号进行化简。

例如：2√2 * 3 = 6√2（3）理数根号化简对于能整除被开方数的完全平方数，可以进行化简。

例如：√36 = 63. 二次根式的运算（1）加减运算相同底数的二次根式可以进行加减运算。

例如：√3 + √5 = √3 + √5（2）乘法运算二次根式的乘法运算仍然适用分配律。

例如：（√2 + √3）* (√2 + √3) = √2 * √2 + √2 * √3 + √2 * √3 + √3 * √3 = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6（3）除法运算对于二次根式的除法，可以利用有理化分母的方法进行运算。

例如：√6 / √2 = (√6 / √2) * (√2 / √2) = √12 / 2 = 2√24. 二次根式的化简综合运用将以上所学知识综合运用，化简以下二次根式：（1）3√6 + 2√8（2）√12 * √27（3）（√5 + √3）* (√5 - √3)（4）（√3 + √7）/ (√3 - √7)四、学习总结本节课我们学习了二次根式的概念和性质，掌握了二次根式的化简和运算法则。

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