自控原理—第2章 (1)

第二章控制系统的数学模型

数学模型

时域模型频域模型方框图和信号流图

第二章控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型

2-1 1 控制系统的时域数学模型

控制系统的复数域数学模型2 控制系统的复数域数学模型2-2

控制系统的结构图和信号流图3 控制系统的结构图和信号流图2-3

.

21 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型1.1. 1. 线性元件的微分方程线性元件的微分方程2.2.

2. 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立

3. 3. 线性系统的特性3.线性系统的特性

4. 4. 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解

5. 5. 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化

6.6.

6. 运动的模态运动的模态.

21 控制系统的时域数学模型

控制系统的时域数学模型

列写系统运动方程的步骤

•确定系统的输入量和输出量.

•根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件的运动方程.

•消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式

.

如图例2.1RLC 电路，试列写以u u c (t)为输出量的网络微分方程。

i(t))()()()(t u t Ri t u t di L r c =++解:u r (t)dt =dt t i t u c )(1)(∫c

)()()(22t u dt t du RC dt

t u d LC c c c =++

例2.2图为机械位移系统。试列写质量m 在外力F作用下位移(t)的运动方程在外力F作用下位移y(t)的运动方程。dt t dy f t F )()(1=解:阻尼器的阻尼力:

)()(2t ky t F =弹簧弹性力:)()()()(2122t F t F t F dt

t y d m −−=)()()()(22t F t ky t dy f t y d m =++整理得:dt dt

• 全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统运动的规律，确定系统的输入量和输出量；

•一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，一次列些它们的微分方程

•将各环节或元件的微分方程联立起来并消去中间变量，求取一个仅含有系统输入量和输出量的微分方程;

•将方程化成标准型。一般情况下微分方程的阶次和系统中独立储能元件的个数相等。

•线性——叠加性、齐次性2d )()()(2f t c t c dt d t c dt =++

•方法——经典法和拉氏变换法t r t r +=¾经典法

,系统齐次方程的解系统齐次方程的解,

,只与系统特性有)(t r 系统的全响应为：

)()(h 关，也称系统的自由响应或固有响应h ,特解,由系统的激励决定由系统的激励决定,的强制响应或受迫响应.)(t r p

¾拉氏变换法•考虑初始条件考虑初始条件,,对微分方程中的每一项进行拉氏变换行拉氏变换,,微分方程变换为s •求出输出量拉氏变换函数的表达式求出输出量拉氏变换函数的表达式;•对输出量拉氏变换函数求逆变换出量的时域表达式, 即为微分方程的解2d d 微分方程初始条件, 输入¾例2-6)(2u dt t u dt o o +1.0)0(,1.0)0(=′=o o u u

4. 4. 线性定常微分方程的求解4.线性定常微分方程的求解

微分方程求解方法

¾拉氏变换法常用变换公式)0()()(−−=⎥⎤⎢⎡f s sF t df L ⎦

⎣dt ()0()()(222−′−−=⎤⎡f f s s F s t f d L ⎥⎦

⎢⎣dt 部分分式法求拉氏逆变换.

lim lim 0sF t ==:)()(0f f s t ∞→→++

初值lim )(lim )(0sF t f f s t →∞→==∞终值:

•严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化

•非线性微分方程能进行线性化的一个基本假设是变量偏离其预期工作点的偏差甚小,这种线性化通常称为小偏差线性化

小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。

一附近变化、假设：x , y 在平衡点（x 0,y 0)附近变化，即

x =x 0+△x , y =y 0+△y

二x

dx x df y Δ⋅=Δ)(二、

近似处理x x =0+Δ⋅+=Δ+=00)()(x x df x f y y y 三、数学方法L

+Δ⋅=222)()

(10x dx x f d dx

x x =!20

x x )x (df y ⋅略去高阶无穷小项x dx )x (f y y 0

x x 00Δ+=Δ+==

¾将一个自变量的函数y =f (x 点处(x 0, y 0)展开展开,,进行线性化进行线性化..

y 设函数y =f (x )在(x 0, y 0)点连续可微点连续可微,泰勒级数展开泰勒级数展开,,

1+−+==''00'

0(!2))(()()(f x x x f x f x f y 当增量(x -x 0)较小时较小时,,略去其高次幂项略去其高次幂项, )(()()(0'

00x f x f x f y y =−=−x x x −=Δ0y y y −=Δ令

′线性化方程: , (,0x f K x K y =Δ=Δ

¾将两个自变量的函数y =f (x 工作点处(x 10, x 20)展开展开,,进行线性化进行线性化.设函数在(x 10, x 20)点连续可微点连续可微,,同样在该点附近用泰勒级数展开泰勒级数展开,,当增量较小时当增量较小时,,略去其高次幂项略去其高次幂项, −)

,(2010x x f y y −=Δ令1011x x x =Δ线性化方程:

22x x =Δ1x f x f y Δ⎟⎟⎞⎜⎜⎛∂+Δ⎟⎟⎞⎜⎜⎛∂=Δ,2,120102010x x x x x x ⎠⎝∂⎠⎝∂