常微分方程的初等解法与求解技巧
常微分方程的解
常微分方程的解是千儿的首篇笔记啦(^_−)☆这一系列笔记大概是来梳理一下各种常微分方程的解法。
证明部分暂时不会作为重点。
这篇笔记将梳理常微分方程的基本解法。
笔记主要采用的教材是丁同仁老师的《常微分方程教程》。
〇、一些名词1、常微分方程凡是联系自变量 x ，这个自变量的未知函数 y = y(x)及其直到 n 阶导数在内的函数方程f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0 叫做常微分方程，并称 n为常微分方程的阶。
如果在上式中， f 对 y,y',...,y^{(n)} 而言都是一次的，那么我们称该方程为线性常微分方程，否则称其为非线性的。
如果未知函数是多元的，那么称之为偏微分方程。
在学习常微分方程的过程中，需要辩证地看待常微分方程和偏微分方程的关系，并及时进行转换。
这样就可以灵活地求解常微分方程。
2、解和通解若函数 y = \varphi (x) 在区间 j 内连续，且存在直到n 阶的导数。
若把 \varphi (x) 及其对应的各阶导数代入原方程，得到关于 x 的恒等式，那么我们称 y = \varphi(x)是原方程在区间 j 上的一个解。
如果解 y = \varphi(x, c_1,c_2,...,c_n) 中包含 n 个独立的任意常数c_1,c_2,...,c_n ，那么我们称其为通解。
若解中不包含任意常数，那么我们称其为特解。
3、初等积分法初等积分法是用一些初等函数或它们的积分来表示微分方程的解的方法。
这也是我们在本节中讨论的方法。
一、恰当方程对于形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果存在一个可微函数 \phi (x,y) 使得 \text d \phi (x,y) = p(x,y)\text dx = q(x,y) \text dy，那么我们称其为一个恰当方程，或全微分方程。
恰当方程有解的充要条件是 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac{ \partial q(x,y)}{\partial x} 。
常微分方程的初等解法
常微分方程的初等解法1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
常微分方程的解法及应用(常见解法及举实例)
常微分方程的解法及应用 （常见解法及举实例）
课 程 名 称： 高等数学（2） 专 业 班 级： 成 员 组 成：
联 系 方 式：
2012 05月25 年日
摘要
常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的 研究中。求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分， 如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决 问题。本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结： 先对常微分方程
解法：
若得其解为则 原方程通解为
2.4二阶线性微分方程解的结构
形如： 若时，（方程一）称为：二阶线性齐次微分方程。
若时，（方程二）称为：二阶非齐次微分方程
2.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构
定理1 :如果函数与是方程(5.2)的两个解, 则
也是（方程一)的解，其中是任意常数.
定理2 : 如果与是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则
2.1.4 伯努利方程
形如：
当时， 一阶线性微分方程（公式法） 当时， 可分离变量微分方程 求通解过程： 作变量代换
（积分因子公式法）
2.2 一阶微分方程的应用举例
例1细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内 由100增长为400、那么前12h后总数是多少? 分析：
例2。。某人的食量是2500 cal／天，其中1200 cal用于基本的 新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16 cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量 100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是 怎样随时间变化的。 输入率=2500 cal／天
定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微 分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程， 并且用具体的实例分析常微分方程的应用。
_常微分方程的解法
第十五章 常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。
如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22x y dxdy+=，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。
§1 常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=0)(),(y a y bx a y x f dxdy(1)在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得|||),(),(|y y L y x f y x f -≤-这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点b x x x x a N =<<<<=Λ210处的近似值),,2,1(N n y n Λ=的方法，),,2,1(N n y n Λ=称为问题（1）的数值解，n n n x x h -=+1称为由n x 到1+n x 的步长。
今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数若用向前差商hx y x y n n )()(1-+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得),1,0())(,()()(1Λ=≈-+n x y x f hx y x y n n n n化简得))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ，则有),1,0(),(1Λ=+=+n y x hf y y n n n n （2）这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题 ⎩⎨⎧==+=+)(),1,0(),(01a y y n y x hf y y n n n n Λ （3）得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出Λ,,21y y 。
(最新版)常微分方程的初等解法_毕业论文
1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
微分方程解法
微分方程解法微分方程是数学中非常重要的一种方程，它描述了变量之间的变化率关系。
解微分方程是找到满足给定条件的函数，使得该函数满足微分方程。
本文将探讨微分方程的解法，并介绍一些常用的解法方法。
一、常微分方程的解法常微分方程是只含有一个未知函数的微分方程。
常微分方程的解法方法主要有以下几种：1. 可分离变量法对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，如果能将其分离成f(x)dx=g(y)dy 的形式，那么可以通过分别对方程两边进行积分来求得解。
这种方法适用于大部分可分离变量的微分方程。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx=F(y/x)的方程，如果能将其转化为F(z)=z的形式，其中z=y/x，那么可以通过引入新变量z来简化微分方程的求解。
这种方法适用于一类具有齐次性质的微分方程。
3. 线性微分方程法对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程，如果p(x)和q(x)都是已知函数，那么可以通过求解一阶线性常系数齐次微分方程的解，再利用特解和齐次解的线性组合求得原方程的解。
线性微分方程是常微分方程中最常见的一类方程。
对于形如dy/dx=F(ax+by+c)的方程，如果通过适当的变量替换，将方程化为直线的斜率不变的形式，那么可以通过直线积分求解。
这种方法适用于一类具有特殊形式的微分方程，在求解过程中可通过合适的变换将其转化为更简单的方程。
5. 特殊类型方程法除了上述常见的解法方法外，还有一些特殊类型的微分方程有自己独特的解法。
例如，一阶线性微分方程、二阶常系数线性齐次微分方程、二阶线性方程等都有一些特殊性质和求解方法。
二、偏微分方程的解法偏微分方程是含有多个未知函数及其偏导数的方程。
相对于常微分方程，偏微分方程的求解更加复杂，常用的解法方法有以下几种：1. 分离变量法对于形如u_t=F(x)G(t)的方程，如果能将其分离为F(x)/G(t)=h(u)=h(x)+k(t)的形式，那么可以通过分别对方程两边进行积分来求得解。
常微分方程的基本概念及其求解方法
常微分方程的基本概念及其求解方法常微分方程是数学中一种基础而又普遍的模型，它描述了自然界中大量的现象，例如物理运动、化学反应、生物生长等。
在科学和工程中，常微分方程的应用十分广泛，因此学习和掌握它是非常重要的。
本文将从常微分方程的基本概念和求解方法两方面，为读者介绍常微分方程。
一、常微分方程的基本概念1.1 定义常微分方程是指一个包含一个或多个未知函数及其导数的等式。
通常情况下，未知函数是一个关于一元变量的的函数。
例如，下面这个方程就是一个一阶常微分方程：y' = f(x, y)其中，y'表示y关于自变量x的导数，f(x, y)是一个已知的函数。
1.2 阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。
例如，y'' + 2y' + y = 0 是一个二阶常微分方程。
1.3 初值问题常微分方程有时也被称为初值问题，因为为了求解方程，我们需要先给出初值。
初值问题指的是给定某个时刻的函数值和导数值，以及常微分方程本身，求解函数在其他时刻的值。
例如，y' = f(x, y)，y(x0) = y0 就是一个初值问题，其中y(x0) = y0表示在x = x0时函数y的值为y0。
二、常微分方程的求解方法2.1 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最基本的方法。
它的基本思路是将未知函数的导数通过分离变量的方法移到等式的一侧，将其他项移到另一侧，从而实现变量的分离。
例如，对于y' =f(x)g(y)，我们可以将其改写成dy/g(y) = f(x) dx，然后对两边积分得到：ln |g(y)| = F(x) + C其中F(x)和C是常数，|g(y)|表示g(y)的绝对值。
通过取指数，我们可以得到g(y)的表达式，从而求得未知函数。
2.2 变量代换法当分离变量法难以应用时，可以采用变量代换法。
变量代换的基本思路是将因式分解，然后进行替换。
例如，对于y' + 2y/x =x^2，我们可以将y = ux^m代入方程，其中m是一个待定的整数。
常微分方程第二章 一阶微分方程的初等解法
du dx 1u2 x
两边积分得: ln u 1 u2 ln x ln c
整理后得 u 1 u2 cx
变量还原得 y 1 ( y )2 cx
x
x
du dx 1u2 x
最后由初始条件 y(1) 0,可定出c 1.
故初值问题的解为 y 1 (x2 1) 2
可2、化d为y 变a量1x 分b1 y离 方c1 法
由对数的定义有
y e p( x)dxc1
y e p( x)dxc1
即
y ec1e p(x)dx ce p(x)dx.
此外y 0也是方程的解,若在上式中充许c 0, 即知y 0也包括在上式中,
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
例：
y y sin x 0
并求满足条件的 y( ) 2 特解。
2
线性微分方程
例：
1、cos x dy y sin x cos2 x dx
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
故对应齐次方程通解为 y c(x 1)n
y
ce p(x)dx
ce
n dx x 1
c(x
1)n
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
令y c(x)( x 1)n为原方程的通解 , 代入得
dc(x) (x 1)n nc(x)(x 1)n1 nc(x)(x 1)n1 ex (x 1)n dx
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
常微分方程常见形式及解法【精选】
其中
常微分方程 毕文彬
10
03 一般二阶微分方程
04 线性方程 (最高到n阶)
微分方程 二阶
解法
原方程乘以 2dy/dx, 代换
通解
, 然后两次积分.
一阶线性，非齐次的函数系数
积分因子:
余函数 yc: 设 yc = eαx， 如果 b2 > 4c, 则: 代换并解出 α 中的多项
对于二阶常系数齐次常微分方程，常 用方法是求出其特征方程的解 对于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况， 然后得到方程的通解 一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):
(在的r1≠r2情况下): (在共轭复数根的情况下)：
常微分方程 毕文彬
7
一般通解
01
可分离方程
02
一般一阶微分方程
03
一般二阶微分方程
04
线性方程 (最高到n阶)
常微分方程 毕文彬
8
01
可分离方程
微分方程
解法
一阶，变量 x 和 y 均可分离
分离变量（除以P2Q1）。
一阶，变量 x 可分离
直接积分。
一阶，变量 y 可分离
分离变量（除以 F）。
一阶，变量 x 和 y 均可分离
整个积分。
常微分方程 毕文彬
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
常微分方程 毕文彬
5
01 一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
常微分方程的基本概念与解法
常微分方程的基本概念与解法常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述变化规律的方程中出现的微分项。
本文将介绍常微分方程的基本概念和解法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数和自变量之间的关系方程。
一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，y为未知函数，x为自变量，y'，y''，...，y^(n)为y的一阶、二阶，...，n阶导数，n为正整数。
常微分方程的阶数指的是方程中最高阶导数的阶数。
例如一阶常微分方程只包含y'，二阶常微分方程包含y'和y''，依此类推。
常微分方程可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。
常系数微分方程中的系数是常数，变系数微分方程中的系数可以是关于自变量x 的函数。
二、常微分方程的解法常微分方程的解法可以分为初值问题和边值问题。
1. 初值问题初值问题是指在方程中给定自变量x的某个初始值和未知函数y在该点的初值。
对于一阶常微分方程，求解初值问题的基本步骤如下：(1) 将一阶常微分方程改写成dy/dx = f(x, y)的形式；(2) 使用分离变量、全微分或变量代换等方法将方程转化为可分离变量的形式；(3) 对变量进行积分，得到通解；(4) 将初始条件代入通解中，求解常数，得到特解。
对于高阶常微分方程，可以通过转化为一阶常微分方程组的形式，然后利用类似的方法求解。
2. 边值问题边值问题是指在方程中给定自变量x在两个不同点上的值，要求找到满足这些条件的未知函数y。
对于二阶线性常微分方程的边值问题，可以使用常数变易法或格林函数法等求解方法。
三、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。
以下是常见的几个应用领域：1. 物理学常微分方程在描述物理系统的运动规律中起着重要的作用。
例如，牛顿第二定律可以表示为二阶线性常微分方程。
一阶常微分方程初等解法
dy 例6 求方程 x 1 ny e x 1 的通解， dx 这里n为常数. dy n y e x 1 . 解 将方程改写为 dx x 1 dy n y 0 的通解， 首先，求其次线性微分方程 dx x 1 为 y c x 1 .
容易验证，原方程的通解就是
u x, y c,
（ c 是任意常数）.
2 2 3
例7
3x 6 xy dx 6 x y 4 y dy 0 的通解.
2
解 这里 M 3x 6 xy , N 6 x y 4 y , 这时 M N 12 xy, 12 xy, 因此方程是恰当微分方程. y x 现在求 u, 是它同时满足如下两个方程： u u 3x 6 xy , 6 x y 4 y . x y 前一个式子，对 x 积分，得到 u x 3x y y ,
在上一张我们已经了解了微分方程的一些基本特点， 下面我们来看一个题来回忆一下微分方程：
dx x 例 求解方程 dy y .
解 可以变化为：ydy xdx ， y x c 两边积分，即得 2 2 2 ，
2 2
因而，通解为 x y c .
2 2
1.1变量分离方程
形如
2 2 2 3
2
2
2
3
3
2
2
将得到的方程对 y 求导，并使它满足上一个方程，即得 u d y 6x y 6x y 4 y , 于是 y dy d y 4 y , 积分后可得 y y , dy
2 2 3
4
3
u x 3x y y .
3 2 2 4
因此，方程的通解为
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要：本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧，分别是：特征根法；常数变易法；比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展，使之更加完善.关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法；常数变易法；比较系数法；二阶常系数非齐次线性微分方程.1.预备知识d2x dt2+a1(t)dxdt+a2(t)x=f(t) (1.1)其中a i(t)(i=1,2)以及f(t)都是连续函数并且区间是a≤t≤b. 如果f(t)≡0,则方程（1）就变成了d2x dt2+a1(t)dxdt+a2(t)x=0（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程，把方程（1.1）叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程(1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程.2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数C看作是t的待定函数C(t)，然后求出非齐次线性方程的通解.求解过程如下：设x1(t), x2(t)是方程（1.2）的基本解组，则x=x1(t)+ c2x2(t)（2.1.1）是方程（1.2）的通解.将常数C i看作是t的待定函数C i(t)(i=1,2),那么方程（2.1.1）就变成x=c1(t)x1(t)+c2(t)x2(t) （2.1.2）求x关于t的一阶导数得x′=c1′(t)x1(t)+c1(t)x1′(t)+c2′(t)x2(t)+c2(t)x2′(t)令c1′(t)x1(t)+c2′(t)x2(t)=0（2.1.3）得到x′=c1(t)x1′(t)+ c2(t)x2′(t)（2.1.4）再求x关于t的二阶导数得x′′=c1′(t)x1′(t)+ c1(t)x1′′(t)+ c2(t)x2′′(t)+ c2′(t)x2′(t)(2.1.5)把方程（2.1.4）、（2.1.5）带入到方程(1.1)中可得到2.2特征根法设方程（1.1）中a1、a2都是常数，即L[x]≡d2xdt +a1dxdt+a2x=0, （2.2.1）我们把上式叫做二阶常系数齐次线性微分方程.接着我们要求解方程（2.2.1）.那么方程（2.2.1）的通解是关键所在，我们只需要求出它的基本解组.下面是特征根法的具体介绍.由一阶常系数齐次微分方程dxdt+ax =0， 的通解是x=c e −at ,由此可以猜测二阶常数齐次微分方程有指数形式的解 x =e λt ,L[e λt ]≡d 2e λt dt 2+a 1de λt dt+a 2e λt=(λ2+a 1λ+a 2) e λt ≡F(λ) e λt ,所以F(λ)= λ2+a 1λ+a 2是λ的二次多项式.所以上式是方程（2.2.1）的解得重要条件是F(λ)= λ2+a 1λ+a 2=0 （2.2.2）问题转化为求解方程（2.2.2）的解λ. 下面就λ的不同形式进行讨论.2.2.1特征根是两个实根设特征方程（2.2.2）有两个不相等的实根λ1，λ2,所以该方程有如下两解：e λ1t ,e λ2t . 我们指出这两个解在上线性无关,于是它们就组成了方程的基本解组.事实上,这时 W （t ）=|e λ1te λ2tλ1eλ1tλ2e λ2t| =e (λ1+λ2) |11λ1λ2| =e (λ1+λ2)(λ2−λ1), ≠0,所以e λ1t , e λ2t 线性无关,上式得证. 所以此方程的通解可表示为x=c 1e λ1t +c 2 e λ2t （其中c 1,c 2为任意实数）.假设特征方程有复根,那么复根将成对共轭出现.设其中的一个特征根是λ1=α+iβ,那么另一个特征根是λ2=α−iβ,所以方程有两个复值解e (α+iβ)t =e αt (cos βt +i sin βt), e (α−iβ)t =e αt (cos βt −i sin βt). 所以,我们可求的方程（2.2.1）的两个实值解是e αt cos βt ,e αt sin βt .2.2.2特征根有重根若特征方程(2.2.2)有两个相等的实根λ1=λ2，此时a 12−4a 22＝0，即 有λ=-a12，于是方程(2.2.2)有一个特解x=e λ1t ，所以方程的另一个特解是 x 2=u x 1=u e λ1t其中u ＝u(t)为待定函数， 对x 2求一阶，二阶导数得a tb ≤≤dx 2dt=du dte λ1t +λ2ue λ1t =(du dt+λ2u ) e λ1t ，d 2x 2dt 2=(d 2udt 2+2λ1dudt +λ12u) e λ1t ，将它们代入方程(2.2.2)得(d 2udt 2+2λ1dudt +λ12u) e λ1t ＋a 1(dudt +λ2u) e λ1t ＋a 2ue λ1t ＝0， 整理得[d 2udt 2+(2λ1+a 1)dudt +(λ12+a 1λ1+a 2)u] e λ1t =0，因为e λ1t ≠0并且λ1是特征方程的根，所以λ12+a 1λ1+a 2=0，有因为λ1=−a12所以有2λ1+a 1=0，那么上式变成d 2u dt 2=0，显然满足d 2u dt 2=0的函数很多，我们取其中最简单的一个u(t)=t ,则x 2=te λt 是方程（2.2.1）的另一个解，并且x 1、x 2是两个线性无关的函数， 所以方程(2.2.1)的通解是 x=(c 1+c 2x)e λ1t .2.2.3 解得表λ1、λ2的情形方程（2.2.1）的通解两个不相等的实根（λ1≠λ2） x=c 1e λ1t + c 2e λ2t 两个相等实根（λ1=λ2） x=(c 1+c 2x)e λ1t一对共轭复根λ1=α+iβ、λ2=α−iβx=e αt (c 1cos βt +c 2sin βt )2.3比较系数法比较系数法中函数f(t)可以分为两个类型，这个方法是通过代数的方法来求得非齐次线性微分方程的特解，然后特解加上齐次线性微分方程的通解就是最后的通解.2.3.1 f(t)=(b 0t+b 1)e λt函数f(t)=(b 0t+b 1)e λt ，其中λ，b 0, b 1是确定的常数. 当方程d 2x dt2+a 1dxdt +a 2x=f(t)有形如 x ̃=t k (At+B) e λt的特解.其中A ，B 是未知的常数，k 是由特征方程F （λ）=0来决定.若λ是特征根，则k=1；若λ不是特征根，则k=0.⑴λ=0，f(t)=b 0t+b 1①当λ=0不是特征根时，即F （0）不等于0，所以a 2也不等于0，所以方程的特解为x̃=At+B .把特解带入非齐次线性方程中就可以得到a 1A +a 2(At +B)=b 0t+b 1, 由此可以得到 {a 1A +a 2B =b 1a 2A =b 0,可以求出A,B 的值，求出特解.②当λ=0是特征根时，即F （0）等于0，所以a 2等于0，所以方程的特解为x̃=t(At+B).把特解带入非齐次线性方程中就可以得到2A+a 1(2At +B)= b 0t+b 1 , 由此可以得到{2A +a 1B =b 12a 1A =b 0, 可以求出A ,B 的值，求出特解. ⑵λ≠0，引入x=y e λt 那么方程d 2x dt 2+a 1dxdt +a 2x=（b 0t+b 1）e λt 就可以变形为d 2y dt2+A 1dydt +A 2y=b 0t+b 1, 其中A 1，A 2都是常数.上式微分方程的形式则与（1）中f(t)的形式一样.①当λ是特征方程的单根时，由（1）的求解方式可以得到该方程有特解ỹ=t(B 0t+B 1), 所以方程的特解为x̃=t(B 0t+B 1) e λt , ②当λ不是特征方程的单根时，F （0）不等于0.则方程有特解ỹ=B 0t+B 1, 从而得到x̃=(B 0t+B 1) e λt . 2.3.2 f(t)=[A (t )cos βt +B(t)sin βt ]e αt设f(t)=[A (t )cos βt +B(t)sin βt ]e αt ，其中α，β是常实数，A(t),B(t)是t 的常实数多项式.且max(ðA (t ),ðB (t ))=m .f(t)=[A (t )cos βt +B(t)sin βt ]e αt= A (t )cos βt e αt + B(t)sin βt e αt= A (t )e (α+iβ)t2+ A (t )e(α−iβ)t2+ B (t )e(α+iβ)t2i- B (t )e (α−iβ)t2i=(A (t )2+B (t )2i) e (α+iβ)t + (A (t )2-B (t )2i) e (α−iβ)t=A (t )−iB(t)2e (α+iβ)t +A (t )+iB(t)2e (α−iβ)t=f 1(t)+ f 2(t),由上式可以看出f 1(t)̅̅̅̅̅̅ = f 2(t)，如果x 1是f 1(t)的解，那么x 1̅必然就是f 2(t)的解.所以该类方程的解为x ̃=t k D(t) e (α−iβ)t + t k D(t)̅̅̅̅̅̅e (α+iβ)t =t k [P (t )cos βt +Q(t)sin βt ]e αt ,其中D(t)是t 的m 次多项式，而P(t)=2Re{D(t)},Q(t)=2Im{D(t)}.3.常微分方程的简单应用 3.1常数变易法例1.求方程x ′′+x =1cos t 的通解.解：该方程所对应的特征方程是λ2+1=0，特征根为λ1=i, λ2=-i.是两个复根. 所以齐次微分方程的通解为 x=c 1cos t +c 2sin t , 应用常数变易法，则设x=c 1(t)cost+c 2(t)sint, (1.a)x ′=c 1′(t)cost+c 2′(t)sint-c 1(t)sint+c 2(t)cost令c 1′(t)cost+c 2′(t)sint=0 (1.b)则x ′=c 2(t)cost-c 1(t)sintx ″=c 2′(t)cost-c 2(t)sint-c 1(t)cost-c 1′(t)sint (1.c)把（1.a ）（1.c ）带入原方程得-c 1′(t)sint+c 2′(t)cost=1cos t .(1.d)联立（1.b ）（1.d ）就可以求得c 1′(t)=−sintcost c 2′(t)=1所以，c 1(t)=ln |cost |+γ1, c 2(t)=t+γ2.因此原方程得通解可以表示为X=γ1cost+γ2sint+ tsint+cost ln |cost |, 其中γ1，γ2为任意常数. 例2. 求方程t x ′′ -x ′=t 2在t ≠0上所有的解. 解：该方程所对应的齐次微分方程为 tx ″-x ′=0 将方程变形为x ″x ′=1t令 dxdt =y 则y ′y=1t 那么很容易得到y=ct 继而dxdt =ct解得x=c 1t 2+c 2，由此可知该方程所对应的齐次常微分方程的基本解组为t 2，1.我们把原方程进行变形得到x ″-1t x ′=t (2.a)利用常数变易法设x=c 1(t)t 2+c 2(t) (2.b) x ′=2t c 1(t)+ c 1′(t)t 2+c 2′(t)令c 1′(t)t 2+c 2′(t)=0 (2.c)则x′=2t c1(t) (2.d)x″=2c1(t)+ 2tc1′(t)(2.e)将（2.d）(2.e)带入（2.a）得到2tc1′(t)=t所以c1(t)=12t+γ1c2(t)=−16t3+γ2.所以原方程的通解为X=γ1t2+γ2+13t3，其中γ1，γ2为任意常数.3.2特征根法例5.求解方程d 2xdt2–x=0的通解.解：该方程所对应的特征方程是λ2−1=0，特征根为λ1=λ2=1.是两个相等的实根.所以方程的通解为x=(c1+c2t)e t,这里c1，c2是任意常数.例6.求解方程d 2xdt2 − 2dxdt–3x=0的通解.解：该方程所对应的特征方程是λ2−2λ−3=0，特征根是λ1=−1，λ2=3.是两个不相等的实根.所以该方程的通解为x=c1e−t+ c2e3t,这里c1，c2是任意常数.例7.求解方程d 2xdt2+ x=0的通解.解：该方程所对应的特征方程是λ2+1=0，特征根为λ1=i, λ2=-i.是两个复根. 所以方程的通解为x=c1cos t+c2sin t,这里c1，c2是任意常数.3.3比较系数法例8.求方程d 2xdt2 + 4dxdt+ 4x=cos2t的通解.解：该方程所对应的特征方程是λ2+4λ+4=0，特征根为λ1=λ2=−2.是两个相等的实根.所以齐次方程的通解为x=(c1+c2t)e−2t，设方程的一个特解为x̃=A cos2t+B sin2t,{dxdt=−2A sin2t+2B cos2td2x dt2=−4A cos2t−4B sin2t,将上式带入原方程，整理得8B cos2t-8A sin2t=cos2t,所以A=0，B=18⁄所以原方程的通解为sin2t.x=(c1+c2t)e−2t+184.结束语对于二阶常微分方程的初等解法及求解技巧，除了文中提及的三个方法之外还存在其他的求解技巧，针对不同的问题需要不同的解决方法.对多数问题而言,解决方法不止一种，同一问题的求解方法也有很多种，同时还需要根据自身对不同解法的熟悉程度选择合适的解题技巧.如果大家对解题方法还有独特的想法欢迎保持求知欲继续探索新未知.参考文献［1］王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程（第三版）北京：高等教育出版社，2006.7 ［2］黄赞，罗佩芳.一类二阶微分方程的几种解法[J].广东：中国科技信息，2009.［3］陈新一.一类二阶常微分方程的特解[J].兰州：高等教学研究，2010.［4］熊灿，谢建新.二阶常系数微分方程解法的简化[J].湖南：南昌工程学院报，2010.［5］周义仓，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用----方法、理论、建模、计算机[M].北京：科学出版社，2003.［6］朱德刚.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式[J].南京：高等数学研究，2010.［7］(瑞典)L.戈丁(Lars.Garding)著,胡作玄译.数学概观[M].科学出版社,2001：121-1［8］赵慈庚,朱鼎勋主编.大学数学自学指南[M].中国青年出版社,1984:74-91［9］李岚.一类常系数线性微分方程特解的求法[J]常州工学院学报,2012,6:54-56［10］楼红伟，林伟.常微分方程[M].上海：复旦大学出版社,2007.［11］李岚.二阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法[J].四川理工学院学报，2013,4:93-96 ［12］丁同仁，李承治.常微分方程.北京：高等教育出版社，1985［13］黄琳.稳定性理论.北京：北京大学出版社.1992［14］同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1996，（4）：387-394［15］张鹏.二阶常系数线性微分方程讨论[J].工科数学，1996,12(2).Elementary solutions of second order constant coefficient differentialequation solving skillsAbstract:This article summary introduced three kinds of elementary solutions of second order constant coefficient differential equation solution techniques, respectively is: characteristic root method; Constant variation method; Comparing coefficient method. At the same time combined with examples to explain in detail for. Although today's society about the second order ordinary differential equation of elementary solution method solving skills has acquired great achievements, but still do not have another practice meet its existing theory, need further development, make it more perfect.Key words:second order homogeneous linear differential equation with constant coefficients; Characteristic root method; Constant variation method; Comparing coefficient method; Second order constant coefficient non-homogeneous linear differential equations.。
常微分方程
u
u
例3 R-L-C电路 电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
电路的 第二定律: 第二定律 解: 电路的Kirchhoff第二定律 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零 在闭合回路中 所有支路上的电压的代数和为零. 所有支路上的电压的代数和为零
三 线性和非线性
dy d y 1.如果方程 F(x, y, , L , n ) = 0 dx dx n dy d y 的左端为y及 , L , n 的一次有理式, dx dx 则称其为n 则称其为n阶线性方程.
如 (1) dy = 2 x
n
dx
(2) xdy − ydx = 0
是线性微分方程.
d 4x d 2x ( 4) + 5 2 + 3 x = sin t 4 dt dt
例1 镭的衰变规律:
设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比, 且已知t = 0时, 镭元素的量为R0克, 试确定在 任意t时该时镭元素的量.
注：镭的变化率与镭的量成正比。
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t ),
dR(t ) 由于镭元素的衰变律就是R(t )对时间的变化律 , dt 依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
dR = −kR, dt R(0) = R0
这里k > 0, 是由于R(t )随时间的增加而减少.
解之得 : R(t ) = R0 e − kt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中, 在时刻 t = 0 时, 测得它的温度为
常微分方程初等积分法解法研究(三)一阶隐式方程及解的积分表示
x ( y c) 1.
2 2
不显含x的方程
二、可解出y或x的方程的解法化简整理之后可得dp (2 p x)( 1) 0 dx dp 对 1 0 积分就可以得到上式的通解 dx
p xC
2 2
（C 为任意常数）
x 把它代入到 y p xp ，便可以得到原方程通解 2 x2 y Cx C 2 2
（C 为任意常数）
例 5．解方程： y 2 y'3 2xy' y 0 解：在这里我们可以把原方程当作可就 x 解出的方程来求解，因此就有.
y y 2 y '2 x ' 2y 2
令 y ' =p，则可得：
y y2 p2 x 2p 2
dy 1 1 3 dp 两边对 y 求导，用 ' 代入整理可得 (1 2 yp ) dx y p dy
一阶隐式方程与解的积分表示
一、不显含y的方程
例1 求解方程
dy dy 2 x 1 ( ) , dx dx 解 这是不显含 y的隐式方程
dy 设p , 则方程变为 : dx
p x 1 p ,
2
引入参数t , 把方程表为参数形式
令p tan t ,
2
t
2
, 代入方程得
p 0 y
x sin t.
由于
p tant , x sin t
dy pdx tan t cos tdt sin tdt,
y sin tdt cost c
积分得
故原方程参数形式的通解为
x sin t y cos t c
可以消去参数 t , 得通解为
常微分方程教案
第二章 一阶微分方程的初等解法 §2.1 变量分离方程与变量变换 一、 变量分离方程定义：形如()()dy f x g y dx=(或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=)的方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数.例如：dy xy dx =，x y dy e dx +=可以分离；dy x y dx =+，x y dy e e dx=+不可以分离 求解方法（步骤）：（1）如果()0g y ≠，变量分离方程可化为()()dy f x dx g y =（*） （2）两边积分,得到()()dy f x dx c g y =+⎰⎰，即()()G y F x c =+，求出通解（3）再由()0g y =，解出原方程的常数解解题原理：设()y x ϕ=是()()1d d y f x x g y =（*）的解，则有()()()1d d x x f x x g x ϕϕ'=⎡⎤⎣⎦，从而()()()1d d x x f x x g x ϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰，即()()1d d y f x x g y =⎰⎰， 设()()F x G y 、分别为()()1f x g y 、的原函数，则()()G y F x c =+（**）， 可见，满足式（*）的解可满足式（**）反之，若()y x =Φ是式（**）的解，则()()()()()d d F x y x f x g y x G y ''Φ==='， 即满足（**）的解也满足（*）例：求解方程dy x dx y=- 解：变量分离，得ydy xdx =-两边积分，得22222y x c =-+因而，通解为22x y c +=（c 是任意的正常数）或解出显式形式y =例：求解方程dy y dx x= 解：当0y ≠，变量分离，得dy dx y x=两边积分，得ln ,(c 0)dy dx c y x =+≠⎰⎰ 即ln ln ln ln ln y x c y cx =+=或解出y ，得原方程通解为(c 0)y cx =≠显然，0y =是原方程的一个常数解最后，方程的通解可表示为y cx =（c 是任意的常数）例：解方程2cos dy y x dx=，并求满足初始条件：当0x =时.1y =的特解. 解：当0y ≠，变量分离，得2cos dy xdx y = 两边积分，得1sin x c y -=+ 因而，通解为1sin y x c=-+（c 是任意的常数） 此外，方程还有解0y =.以0x =.1y =代入通解中，确定常数c ，得到1c =-因而，所求的特解为11sin y x =- 例：求方程()dy P x y dx=的通解，其中()P x 是x 的连续函数. 解：当0y ≠，变量分离，得到()dy P x dx y = 两边积分，得ln ()y P x dx c =+⎰%（c %是任意常数） 从而()P x dx c y e +⎰=%，即()P x dx c y e e ⎰=±%g 令c e c ±=%，得()P x dx y ce ⎰= （c 是非零任意常数）此外，0y =也是方程的解所以原方程的通解为()P x dx y ce ⎰=（c 是任意常数）注：此题结论中的积分号中不再含任意常数注意:1.常数c 的表示与取值.2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件00()y x y =的一个解，表示的是一条过点00(,)x y 的曲线.思考题：求解方程dy dx = 二、可化为变量分离方程的类型（一）齐次方程定义：形如dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方程，称为齐次方程，这里的()g u 是u 的连续函数. 例如：dy x y dx x y+=-，22()0x y dx xydy ++=是齐次方程 对齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用变量替换化为变量分离方程再求解 解法步骤：令y u x =，即y ux =，于是dy du u x dx dx =+，代入原方程得()du x u g u dx += 整理后，得()du g u u dx x -=，是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解 然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程的解例：求解方程tan dy y y dx x x =+ 解：令,y dy du u u x x dx dx ==+则，代入原方程，得tan du x u u u dx +=+，即tan du u dx x= 当tan 0u ≠时，分离变量，得cot dx udu x = 两边积分，得ln sin ln u x c =+%，这里的c %是任意的常数整理后，得到sin u cx =当tan 0u =,即sin 0u =. 如果sin u cx =中允许0c =，则sin 0u =就包含在其中，这就是说，方程tan du u dx x=的通解为sin u cx = 代回原来的变量，得到原方程的通解为sin y cx x=例：求解方程(0)dy x y x dx +=<解：将方程改写为(0)dy y x dx x =<令,y dy du u u x x dx dx ==+则代入原方程，得du x dx=当0u ≠dx x = 两边积分，ln()x c =-+，即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+>这里的c 是任意常数当0u =时，0u =也是du x dx=2[ln()]u x c =-+中 代回原来的变量，即得原方程的通解2[ln()](ln()0)y x x c x c =-+-+>及解0y =. （二）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数. 分三种情况来讨论 （1）111222a b c k a b c ===的情形 这时方程化为dy k dx = （2）111222a b c k a b c ==≠的情形 则方程可写成22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++ 令22a x b y u +=，则方程化为22()du a b f u dx =+，这是一个变量分离方程 （3）1122a b a b ≠的情形 11122200a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩代表Oxy 平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ 令X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩ ，从而原方程变为1122a X b Y dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭ 因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程11122200a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩，设其解为,x y αβ==(2)作变换X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩将方程化为齐次方程(3)再经变换Y u X =化为变量分离方程 (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程的解例：求解方程13dy x y dx x y -+=+- 解：解方程组1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ 得1,2x y ==令12x X y Y =+⎧⎨=+⎩代入方程，则有dY X Y dX X Y -=+ （*） 再令Y u X =，即Y uX =，则上式化为2112dX u du X u u+=-- 两边积分，得22ln ln 21X u u c =-+-+%，因此22(21)c X u u e +-=±% 记1,c e c ±=%并代回原变量，就得2212Y XY X c +-=即221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----= 此外，易验证 2210u u +-=即2220Y XY X +-=也就是（*）的解因此方程的通解为22262y xy x y x c +---=，其中c 为任意的常数.上述解题的方法和步骤也适用于比方程更一般的方程类型 111222a x b y c dy f dx a x b y c ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭，()dy f ax by c dx++，()()0y xy dx xg xy dy +=，2()dy x f xy dx =，2dy y xf dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-= （其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.。
常微分方程的经典求解方法
常微分方程的经典求解方法常微分方程是研究函数\(y=y(x)\)及其导数与自变量\(x\)之间的关系的方程。
它在应用数学中有着广泛的应用，例如物理学、工程学、生物学等领域。
解微分方程的目标是找到函数\(y\)的表达式，使得方程成立。
经典的求解常微分方程的方法可以分为分离变量法、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程和常系数线性微分方程等几种方法。
一、分离变量法：对于形如\(y'=f(x)g(y)\)的微分方程，其中\(f(x)\)和\(g(y)\)是已知的函数，我们可以采用以下步骤求解。
1.将方程写成\[g(y)dy = f(x)dx\]的形式。
2.对方程两边同时积分，得到\[ \int g(y)dy = \int f(x)dx\]。
3.解释上述积分并恢复未知函数\(y\)即可。
二、一阶线性微分方程：形如\(y'+p(x)y=q(x)\)的微分方程称为一阶线性微分方程。
1.将方程写成标准形式，即\[ \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)\]。
2.利用积分因子法求解。
a.计算积分因子\(\mu(x)\)，即\(\mu(x) = e^{\int p(x)dx}\)。
b.将方程两边同时乘以积分因子\(\mu(x)\)，得到\[\mu(x)y' +\mu(x)p(x)y = \mu(x)q(x)\]。
c.左边可以写成\[\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)q(x)\]。
d.将上式两边同时积分，并解释上述积分求得未知函数\(y\)即可。
三、二阶线性微分方程：形如\(y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)\)的微分方程称为二阶线性微分方程。
1.将方程写成标准形式。
2.设方程有特解\(y_1(x)\)和齐次线性方程\(y''+P(x)y'+Q(x)y=0\)的通解为\(y_2(x)\)。
3.利用叠加原理，方程的通解为\(y(x)=y_1(x)+y_2(x)\)。
计算方法 常微分方程初值问题数值解法 Euler公式 龙格 库塔法
第12次 常微分方程初值问题数值解法
内容
1. 常微分方程初值问题解的存在性定理 2. Euler公式 3. 梯形公式 4. 两步Euler公式 5. 欧拉法的局部截断误差 6. 改进型Euler公式 7. 龙格-库塔法 8. 算法实现
常微分方程初值问题 解的存在性定理
欧拉法的局部截断误差
9.2.4． 欧拉法的局部截断误差
衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精 度, 因此引入局部截断误差和阶数的概念。
定义9.1 在yi准确的前提下, 即 yi y(xi)时, 用数值
方法计算yi+1的误差：
R i yi( 1 ) x y i 1
称为该数值方法计算时yi+1的局部截断误差。
通常表示成下列平均化形式
yi1的近似 y p y i hf(x i , y i )
yi1的近似 y c y i hf(x i 1 , y p )
yi1的更好 的近似
y i1
1 2
(y p
yc)
i 0, 1, 2 … , n 1
(9.12)
例9.2 用改进欧拉法解初值问题
y
y
2x y
f( y 1 ) x f,( y 2 ) x L y , 1 y 2 , y 1 ,y 2 R
则方程( 9.1 ) 在a, b上存在唯一的连续可微分的 解的解 y=y(x) 。
推论：如果函数f(x,y)对y的偏导数
f(x, y
y)
在带形
区域 R { a x b ,y - }
内有界。
两步欧拉公式的局部截断误差为：
y(i1 x )yi1O3 ()h
从而两步欧拉公式的阶数是2.推导过程省略。
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧
一、基本原理
二、求解步骤
1. 解本征方程
方程：$y^{\prime \prime}+Py^{\prime}+Qy=0$
$其中P,Q$分别为常数
首先，把方程化为本征方程：$x^2+Px+Q=0$
解本征方程：$x_{1,2}=-\frac{P}{2}\pm \sqrt{(\frac{P}{2})^2-Q}$，即特征根为：$x_{1,2}＝x_1，x_2$
2. 求通解
根据特征根求通解，$y=c_1e^{x_1t}+c_2e^{x_2t}$
其中$c_1，c_2$为任意常数，$x_1，x_2$为方程的特征根。
3. 求特解
从特征根的性质可以知道：
（1）当$x_1＝x_2$时，此方程有冗余解，即特解形式为：
$y=e^{x_1t}(A+Bt)$
（2）当$x_1＝-x_2$时，此方程有特解形式为：$y=e^{x_1t}(At+B)$（3）当$x_1$及$x_2$不相等时，此方程没有特解
4. 求积分常数
将我们从步骤2和3中得到的解带入原方程，得到
$b_1=\frac{e^{x_1t}}{x_1-x_2}$，$b_2=\frac{e^{x_2t}}{x_2-x_1}$把$b_1,b_2$代入积分常数的公式，$C_1=\frac{y_1(0)-
b_1y_2(0)}{b_1-b_2},C_2=\frac{y_2(0)-b_2y_1(0)}{b_2-b_1}$即可得到积分常数$C_1,C_2$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
山西师范大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名张娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧内容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................................................................................................................. 1 2.变量分离方程与变量变换 .. (1)2.1变量分离方程的解法 .............................................................................................. 1 2.2变量分离方程的举例 .............................................................................................. 2 2.3变量分离方程的几种类型 .. (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 ................................................................................. 6 3.2伯努利微分方程 .. (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 ......................................................................................................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dxdy变为dy dx 的形式 (18)6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 ........................................................................................................................... 21 参考文献 ........................................................................................ 错误!未定义书签。
致谢 .. (22)常微分方程的初等解法与求解技巧学生姓名：张娟 指导教师：王晓锋 1.引论常微分方程的实质就是一个关系式，这个关系式是由自变量、未知函数和未知函数的导数组成的，且自变量的个数为一个[1].其发展历史经历了一个很漫长的过程，在这个发展过程中涌现出很多科学家例如欧拉、拉格朗日、柯西等，他们对常微分方程的发展做出了很大的贡献.常微分方程的发展历史可分为三个阶段，分别是“求通解”阶段、“求定解”阶段、“求所有解”的新阶段[1].常微分方程在数学中占有很重要的地位，有很多伟人例如赛蒙斯都曾评价过常微分方程在数学中的地位，指出其在数学中的不可替代的作用[2].常微分方程非常重要，其初等解法有很多种，我们应该掌握其初等解法与技巧.2.变量分离方程与变量变换2.1变量分离方程的解法对于变量分离方程)()(y x f dxdyϕ=， 若0)(≠y ϕ，则有 ：dx x f y dy)()(=ϕ， 两边积分，得到:c dx x f y dy+=⎰)()(ϕ，c 为任意实数.如果0)(=y ϕ 得0y y =，验证一下0y y =是否包括在c dx x f y dy+=⎰)()(ϕ中，若不包括，需补上特解0y y =.2.2变量分离方程的举例（1）xy dxdy2=，求该方程的解． 解：当0≠y 时，xdx ydy2=， 两边积分，得到：12⎰⎰+=c xdx y dy，1c 为任意实数．故 2x ce y =，c 为任意实数． 显然y=0包括在2x ce y =中， 故方程的通解为：2x ce y =，c 为任意实数．2.3变量分离方程的几种类型 2.3.1齐次微分方程对于齐次微分方程)(xyg dx dy =， 解法：令xyu =则有： ux y =， （2-1） 两边对x 求导得：u dx dux dx dy +=，（2-2） 将（2-1），（2-2）代入齐次微分方程)(x yg dx dy =中可得：)(u g u dxdu x =+， 即 xuu g dx du -=)(， 从而可以求得其解．举例：求解方程)0(2<=+x y xy dxdyx .解：原方程可化解为：xy x y dx dy +=2()0<x ，这个方程为齐次微分方程，令u xy=， 则有 xu y =，两边对x 求导得：u dx du x dx dy +=，将u xy =和u dx du x dx dy +=代入原方程中得： u dxdu x 2=， 这个方程为可分离变量方程， 当0≠u 时解之可得：c x u +-=)ln(,其中c 为使等式有意义的任意常数.即当0=u 时，显然是u dxdux 2=的解，且不包含在c x u +-=)ln(中， 将u xy=代入0=u 或c x u +-=)ln(中可得： ⎩⎨⎧>+-+-=,0,0)(ln ,])[ln(2c x c x x y 当2.3.2有理比式222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=的三种类型 ①类型一==2121b b a a k c c =21（常数）情形，则原方程变为：k dxdy =， 故方程的通解为：c kx y +=，其中c 为任意常数.举例：求解下列方程的解12224++++=y x y x dx dy . 解：根据题意可得：212224=++++=y x y x dx dy ， 即2=dxdy， 故可得： c x y +=2，c 为任意常数. 因此原方程的通解为：c x y +=2，c 为任意常数.②类型二212121c c k b b a a ≠==情形，令 y b x a u 22+=，两边对x 求导可得：212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=， 这个方程是变量分离方程.举例：做适当变换求解方程25--+-=y x y x dx dy . 解：经判断为第二种类型，令 y x u -=， 两边对x 求导可得：dxdydx du -=1， 故可得:27--=u dx du ， 解之可得： 127221c x u u +-=-，1c 为任意常数.将y x u -=代入并化简可得：c x y xy y x =++-+104222，c 为任意常数.③类型三2121b b a a ≠情形，如果方程222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=中的1c ，2c 不全等于零，111c y b x a ++，222c y b x a ++都是x ，y 的一次多项式，则 ⎩⎨⎧=++=++,0,0222111c y b x a c y b x a （2-3）可以求得解为： ⎩⎨⎧==,,βαy x令 ⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X则（2-3）化解为： ⎩⎨⎧=+=+,0,02211Y b X a Y b X a故222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=化为: )(2211XY g Y b X a Y b X a dX dY =++=， 故可以解出该方程的解，解出其解，再将 ⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 带入其解中，从而得到所求方程的解.举例：解下列方程1212+-+-=y x y x dx dy . 解：显然2121b b a a ≠，故为第三种类型， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3131y Y x X 得： 31-=x ，31=y . 于是令 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,31,31Y y X x 代入原方程中，则有：XY X YYX Y X dX dY 21222--=--=， 这个方程为可变量分离方程，故令XYu =，则 uX Y =， 等式两边对X 求导可得：u dXduX dX dY +=， 将XY X Y dXdY 212--=代入u dX du X dX dY +=中得到： uuu dX du X 212--=+,化解得：uu u dX du X 212222-+-=， 解之可得：X c u u 1212)1(=+--，换入原来的变量得：c xy y x x y =--++22，其中c 为任意常数.故原方程的解为：c xy y x x y =--++22，其中c 为任意常数.上面三种类型解题方法和步骤也适用于下列类型的方程：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛=2x y xf dx dy ， (2)()c by ax f dx dy++=， (3))(2xy f dxdy x =，(4)0)()(=+dy xy xg dx xy yf .3.线性微分方程和常数变易法3.1线性微分方程与常数变易法 如果一阶线性微分方程可表示为：)()(x Q y x P dxdy+=，这里)(x P ，)(x Q 在定义域上是连续的函数.①如果0)(=x Q ，则原式变成y x P dx dy )(=，故形如y x P dxdy )(=的类型通常叫做一阶齐次线性微分方程[1].②如果0)(≠x Q ，则原式变成)()(x Q y x P dx dy +=，故形如)()(x Q y x P dxdy +=的类型通常叫做一阶非齐次线性微分方程[1].因y x P dxdy )(=为变量分离方程，其通解为： ⎰=dxx P ce y )(，c 为任意常数.下面讨论形如)()(x Q y x P dxdy+=形式的方程解的求法.由上可知其所对应的齐次微分方程的解为：⎰=dxx P ce y )(，令 ⎰=dxx P e x c y )()(， （3-1）两边对x 求导可得：⎰+⎰=dx x P dxx P e x P x c e dx x dc dxdy )()()()()(， （3-2） 将（3-1），（3-2）代入)()(x Q y x P dxdy+=中并化简可得：⎰=-dx x P e x Q dxx dc )()()(， 两边积分得：1)()()(c dx e x Q x c dxx P +⎰=⎰-，其中1c 是任意常数.因此可得原方程的通解为：))((1)()(c dx e x Q e y dxx P dxx P +⎰⎰=⎰-，这里1c 是任意常数.这种方法叫做常数变易法[1]. 举例：求解方程x y dxdysin +=.解：该方程所对应的齐次线性微分方程为：y dxdy=， 解之得：x ce y =，c 为任意常数.令()x e x c y =， （3-3）两边对x 求导可得：()x xe x c e dxx dc dx dy )(+= ，（3-4） 将（3-3），（3-4）都代到x y dxdysin +=中并化解可得： ()()()x e x c e x c e dxx dc x x xsin +=+， 因此有：()x dxx dc sin =， 从而可以求得该方程的解为：()1cos c x x c +=，1c 为任意常数.因此可得原方程的通解为：()x e c x y 1cos +=，这里1c 为任意常数.3.2伯努利微分方程定义：形如()n y x Q y x P dxdy)(+=的类型，0≠n ，1≠n ，并且n 是常数，其中()x P ，()x Q 关于x 是连续的，故我们称()n y x Q y x P dxdy)(+=为伯努利微分方程错误!未定义书签。