线性方程组解题归纳

第四章 线性方程组 解题方法技巧与题型归纳
题型一 线性方程组解的基本概念
❖ 1.如果α1、α2是下面方程组的两个不同的解 向量，则a的取值如何？
x1 x2 ax3 3 2x1 3x3 1 2x1 ax2 10x3 4
❖ 解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向 量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3， 对增广矩阵进行初等行变换
❖ 即 k1 3k2 2k3 1 2 0
2k1 k2 3k3 41 32 0 5k1 k2 4k3 71 42 0
7k1 7k2 20k3 1 22 0
1
A


2 5 7
3 1 1 7
❖ 例10 写出一个以X为通解的齐次线性方程组。
X c1 2,3,1,0T c2 2,4,0,1T
❖ 解：法1.
❖ 令α1=（2，-3，1，0）T，α2=（-2，4，0，1） T，以α1T α2T为行向量作矩阵B，
B

1T

t 2



2 2
3 4
题型5 与AB=0有关的问题
❖ 已知矩阵A，求矩阵B 使AB=0，此类问题常 将B按列分块，B=(b1,b2,….bn)，将列向量bi 视为Ax=o的解向量，因而可以利用Ax=o的一 些解或一个基础解系充当所求矩阵B的部分列 向量， B的其余列向量可取为零向量。
题型5 与AB=0有关的问题
❖ 例9 设A 92
1 0
10
❖ 只需写出Bx=0的一个基础解系β1=（1,0,-2,2）
T,β2=(0,1,3,-4)T,则所求齐次线性方程组的系
数矩阵为A，
A


1T

T 2


10
0 1
2 3
2 4

❖ 所求的一个齐次线性方程组为Ax=0,
即
xx12
2x3 3x3
❖ 情况3
❖ 已知一齐次方程组的通解及另一具体方程组， 求其非零公共解：常将通解代入另一方程组， 求出通解中任意常数满足的关系，即求出通 解中独立的任意常数，再代回通解，即得所 求的非零公共解。
❖ 简言之：已知的通解中满足另一具体方程组 的非零解即为所求的非零公共解。
❖ 例题8：课本p114第10题。
❖ 解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的 基础解系由4- r(A)= 1个向量构成，
❖ 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1） =（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的解，即其基 础解系可以是（0，2，3，4）T,
❖ 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b的一个解，故Ax=b的 通解是
❖ 分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解 系，判断r(A)的秩。
❖ 解：A是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A中第2，3 两行不成比例，故r(A)≥2，又因为
η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T, η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T是Ax=0的两个线性无关
的解向量，于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所 以ξ1+k1η1+k2η2是通解。
向量作矩阵，该矩阵即为所求的一个矩阵A.
❖ 法 2 初等行变换法
❖ 以所给的线性无关的向量作为行向量组成一 矩阵B,用初等行变换将此矩阵化为行最简形 矩阵，再写出Bx=0的一个基础解系，以这些 基础解系为行向量组成的矩阵，就是所求的 齐次线性方程组的一个系数矩阵A，从而求出 了所求的一个齐次线性方程组Ax=0.


0 0 0
1 0 0
0 1 0
1 02
❖ 得Ⅲ的基础解系为（-1，1，2，1）T
❖ 于是方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解为
X=k（-1，1，2，1）T,k取全体实数。
❖ 情况2 . 仅已知两齐次线性方程组的通解，求 其非零公共解：令两通解相等，求出通解中 任意常数满足的关系式，即可求得非零公共 解，简言之，两通解相等的非零解即为所求 的非零公共解。
❖ （2）当a1=a3=k，a2=a4=-k时，原方程组化
为

x1
x1

k x2 k x2

k 2 x3 k 2 x3

k3 k 3
❖ 系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，β2-β1=（-2， 0，2）T,是对应导出组的非零解，即为其基 础解系，故非齐次组的通解为
❖ X=c(β2-β1)+β1。（c为任意常数。）

a
2 4
x3

a
3 4
❖ （1）证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则线
性方程组无解；
❖ （2）设a1= a3 =k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1= （-1，1，1）T，β2=（1，1，-1）T是该方程组的 两个解，写出该方程组的通解。
❖ 解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式， 故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程组无解。
❖ 即k1=-3t/14, k2=4t/7, k3=0 ,λ1=t/2,λ2=t ❖ 于是可得λ1，λ2的关系为λ1=t/2=λ2/2，将此关
系式代入通解即为所求的公共解
❖ 为λ1β1+λ2β2 =（λ2/2) β1+λ2β2 = （λ2/2) (β1+2β2 )= （λ2/2) (3,-2 ,-1,5)T，=λ (3,-2 ,1,5)T，其中λ = λ2/2为任意实数。
2 0 0
2 0 0
6 0 0


A1
❖ r（(A1)，=2-,2n，=51,，因0而，一0个）基T, 础解系1 含有2 31个解0 向0量 α1=
α2=(1,-2,0,1,0)T, α3=(5,-6,0,0,1)T,
B


1 0 1
2 0 1 0 1 1 2 3 2
2 3 4 20
1 4 7 1
1
1
3 4 2



0 0 0
0
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
3
14 4
7

0

1 2

❖ 于是（k1,k2,k3,λ1，λ2）T= ❖ t(-3/14,4/7,0,1/2，1)T
A


2 9
2 5
1 2
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ



5 8
1 0
0 1

12
基础解系α1=（1，5，8，0）T,α2=(0,2,1,1)T 令B=(α1,α2) ,则B即为所求。
题型6 已知基础解系反求其齐次线性方程组
❖ 法1：解方程组法 ❖ （1）以所给的基础解系为行向量做矩阵B， ❖ （2）解Bx=0，求出其基础解系； ❖ （3）以（2）中所得基础解系中的向量为行
❖ (2)将方程组Ⅰ和 Ⅱ联立组成新方程组Ⅲ：
x1 x2 0
xx12
x4 x2
0 x3

0
x2 x3 x4 0
❖ 将其系数矩阵进行初等行变换
1 1 0 0 1 0 0 1
0

1 0
1 1 1
0 1 1
1
0 1

❖ 7.已知齐次线性方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系分 别是α1=（1，2，5，7）T,α2=(3,-1,1,7)T， α3=（2，3，4，20）T， Β1=（1，4，7，1）T， β2=（1，-3，-4，2） T。 求方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解。
❖ 解;显然方程组Ⅰ与Ⅱ的通解分别为
k1α1+k2α2+k3α3与λ1β1+λ2β2，令其相等得到 k1α1+k2α2+k3α3=λ1β1+λ2β2
0 1 3
1 1 2
0 00
方程组
x1 x2 x3 x4 x5 0
3x1 2x2 x3 x4 3x5 0

x2

2 x3

2 x4

6 x5

0
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 0
的解向量，问这四个行向量能否构成上方程组
继续讨论 ❖ ⑴参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)＜n，方程组
有无穷多解； ❖ （2）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n，方程
组有唯一解。
❖ 一、当方程个数与未知量个数不等的线性方 程组，只能用初等行变换求解；
❖ 二、当方程个数与未知量个数相等的线性方 程组，用下面两种方法求解：
❖ 1.初等行变换法
2 5
1 2
83求一个4×2矩阵B使
AB=0，且r(B)=2.
❖ 解：由AB=0知，B的列向量均为Ax=o的解向 量。显然r(A)=2，未知量的个数是4，因而 Ax=o的基础解系含有2个解向量，于是如果 求出Ax=o的基础解系，以其为列向量作矩阵 即得所求的矩阵B。
为此对A进行初等行变换得
❖ 2.系数行列式法，系数行列式不等于0时有唯 一解，可用克莱姆法则求之；系数行列式为0 时，用初等行变换进行讨论。
❖ 5.设线性方程组

x1

x1
x1

a1 x2 a2 x2 a3 x2
a12 x3

a
2 2
x3
a32 x3

a13
a
3 2
a33

x1

a4 x2
题型4 线性方程组的公共解、同解问题
❖ 情况1.已知两具体齐次线性方程组，求其非 零公共解：将其联立，则联立方程组的所有 非零解，即为所求。
A B
x

0
❖ 6.设如下四元齐次方程组（Ⅰ）与（Ⅱ） ， 求：
❖ （1）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的基础解系； ❖ （2）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解。
1 1 a 3 1 1
a
3
2 0 3 1 0 2
2a 3
5
2 a 10 4 0 0 2a 2 3a 14 5a 10
❖ 易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， ❖ 故知a=-2。
❖2.设A是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同 的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T, 3α1+α2= （2，4，6，8）T,求方程组 Ax=b的通解。
0 00
B矩阵的r3=r1-r2，r4=3r1-2r2， B中线性无关的行向量 只有1，2行，故B中4个行向量不能构成基础解系， 需增补α3。
题型3 含参数的线性方程组解的讨论
❖ 1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解； ❖ 2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)，方程组有解，
2x4 4x4

0 0
❖ 法2 把所给通解改写为
x1 2c1 2c2
2x3 2x4

x2 x3 x4

的基础解系？若不能，这4个行向量是多了还
是少了？若多了如何去掉，少了如何补充？
❖ 解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵
1 1 1 1 1 1 0 1 1 5
A


3 0 5
2 1 4
1 2 3
1 2 3
3 61


0 0 0
1 0 0
Ⅰ:

x1 x2

x2 x4

0 ; 0
(Ⅱ)
x1 x2

x2 x3

x3 x4

0 0
❖ 解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，
1）T，α2=（0，0，1，0）T；
❖ 同样得（Ⅱ）基础解系为α3=（1，1，0，-1）T， α4=(-1,0,1,1)T

1
,0,0,0
T

k0,2,3,4T
2

❖ 3.已知ξ1=（-9，1，2，11）T，ξ2=（1，- 5， 13，0）T，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程 组的三个解，求此方程组的通解。
2x1 a2 x2 3x3 a4 x4 d1 3x1 b2 x2 2x3 b4 x4 4 9x1 4x2 x3 c4 x4 d3
❖ 总结：
❖ 不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2， ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性 方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解， 此类题答案不唯一。
题型2 线性方程组求解
4.矩阵B 1 2 1 0 0 的各行向量都是


1 0 1
2 0 2