窄带高斯随机过程的产生

作出功率谱密度图像、模拟出的高斯随机过程图像：
1
PSD
0.5
0 -8000
-6000
-4000
-2000 0 2000 frequency(Hz)
4000
6000
8000
100 50 0 -50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t(ms) 3 3.5 4 4.5 5
X(t)
图 2 给定的功率谱密度函数及模拟产生的窄带高斯随机过程
(4)构建时域样本函数 X [i ] X (it )
k
X (k )e

j 2 f 0 k ( it ))
取 t 0.00001，也就是 0.5ms 的 1/ 500 。
deltat=0.00001; for n=1:501 for m=1:61 a(n,m)=x(m)*exp(j*2*pi*f1*k(m)*n*deltat); end h(n)=sum(real(a(n,:))); end
k
X (k )e

j 2 f 0 k ( it ))
。
X (t ) Ac (t ) cos 2 f 0t As (t ) sin 2 f 0t
用相同估计方法产生两次窄带高斯序列，分别为 Ac (t ) 和 As (t ) ，再带入上式与载 波相乘并作变换，就得到了窄带随机过程。
三、实验结果与分析
（一）. 相关高斯随机序列的产生
由题目要求，产生一段 5ms 的低通过程 Ac (t ) 和 As (t ) 。 (1) 这里 Td 5ms ，故 f 0 200Hz ，取 B 6f ，其中 f 1kHz ，则有 M (2) 计算系数 ： 首先计算
30.
得P2=11.09 则
P1 2196.6 198.05 P2 11.09
(3) 产生 2M+1 独立的高斯随机变量 X k ~ N (0, Gx (kf0 ))
for i=1:61 sigma(i)=sqrt(beta*P20(i)); %x(i)=normrnd(0,sigma(i)); x(i)=sigma(i)*randn(1); end
200 100
fo(t)
0 -100 -200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t(ms) 3 3.5 4 4.5 5
图 4 调制信号
用 fft 对调制信号进行频谱分析，作出调制信号的频谱图：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
X(w)
-800
-600
-400
-200
0 f(Hz)
200
400
600
本 科 实 验 报 告
实验名称：
窄带高斯随机过程的产生
一、实验内容
本实验模拟产生一段时长为 5ms 的窄带高斯随机过程 X (t ) 的样本函数。根据窄带随机 过程的理论， X (t ) 可以表示为
X (t ) Ac (t )cos2 f 0t As (t )sin2 f 0t
其中 Ac (t ) 和 As (t ) 均为低频的高斯过程，因此，要模拟产生 X (t ) ，首先要产生两个 相互独立的高斯随机过程 Ac (t ) 和 As (t ) ，然后用两个相互正交载波 cos2 f 0t 和 sin2 f 0t 进行调制，如图 1 所示。
cos2 f 0t
Ac (t )

sin2 f 0t
图 1 带通高斯随机过程产生

X (t )
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (t )
假定 Ac (t ) 和 As (t ) 的功率谱密度均为 Gc ( f ) Gs ( f )
1 ，其中 f 为功 1 ( f / f ) 4
率谱密度的 3dB 带宽。按照频域法或时域滤波器法分别产生 5ms 的低通过程 Ac (t ) 和
800
图 5 调制信号频谱图 可以看出，调制信号是一个窄带高斯随机过程，该过程是带通的，中心频率即为载 波频率，且带宽很窄。
四、心得体会
这次用 Matlab 实现窄带高斯随机过程，让我对课本上的相关知识有了一定的实践 应用体会，一是通过功率谱密度可以估计出一定时长的高斯随机噪声，二是经过载波信 号的调制高斯噪声保持了窄带特性，最后调制信号是一个带通的过程，符合课本上的理 论。但是也出现了一些问题，比如在估计有限长高斯噪声时用频域法估计，对公式的理 解程度还不够。没有进一步用时域滤波法产生来验证之前的估计。
As (t ) ，然后按图 5.21 合成 X (t ) ，其中 f 0 1000 / ，要求分别画出模拟产生的
Ac (t )、As (t ) 以及 X (t ) 的波形。
二、实验原理
（1）相关高斯随机过程的产生 模拟一个时长为 Td 的高斯随机过程机过程的一个样本函数 X(t),要求功率谱密度满足指 定的形式。步骤为：

B
B
Gx ( f )df ，用 matlab 的数值积分进行计算：
syms f real P1=int(1/(1+(f/1000)^4),-3000,3000) P1=vpa(P1,5);
得P1=2196.9 然后计算
k M
G (kf
x
M
0
):
k=-M:M; for i=1:61 P20(i)=1/(1+(f1*k(i)/deltaf)^4); end P2=sum(P20);
50 0 -50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t(ms) 3 3.5 4 4.5 5
图 3 模拟产生的相互独立的 Ac (t ) 和 As (t ) 按照题目要求，用两个正交的载波信号进行调制，并画出调制后的图像：
figure(3) f0=1000/pi; X=Ac.*cos(2*pi*f0*t)-As.*sin(2*pi*f0*t); plot(t,X); xlabel('t(ms)') ylabel('fo(t)')
作出其中 Ac (t ) 的频谱图如下：
1 0.8
Xact(w)
0.6 0.4 0.2
-500
-400
-300
-200
-100
0 f(Hz)
100
200
300
400
500
图 4 Ac (t ) 频谱图
可以看出， Ac (t ) 是一个低频慢变化的随机过程。 将得到的 Ac (t ) 和 As (t ) 带入 X (t ) Ac (t ) cos 2 f 0t As (t ) sin 2 f 0t ，得到序 列并作图如下：
（二）. 窄带高斯随机过程的产生
用同样的方法计算，就得到了两个相互独立的高斯随机过程 Ac (t ) 和 As (t ) 。作 出功率 Ac (t ) 和 As (t ) 的图像：
100
Ac(t)
50 0 -50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t(ms) 3 3.5 4 4.5 5
100
As(t)
(1) 根据时长 Td 确定 f 0 1/ Td ，根据功率谱的带宽确定 M [ B / f 0 ] ；
G ( f )df ； (2) 计算系数 G (kf )
B M x k M x 0
B
(3) 产生 2M+1 独立的高斯随机变量 X k ~ N (0, Gx (kf0 )) ； (4)构建时域样本函数 X (it ) 2. 窄带随机过程的产生方法