窄带高斯随机过程的产生
2.5 窄带随机过程
可见， 服从均匀分布。
第2章
随机过程
结论：
其包络aξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位 t 的一维分布 t 是均匀分布，并且就一维分布而言，aξ(t)与 是统计独立 一个均值为零，方差为 2 的窄带平稳高斯过程 ξ(t) ，
的，即有下式成立：
f (a , ) f (a ) f ( )
s (t ) a (t ) sin (t )
第2章
随机过程
2.5.1同相和正交分量的统计特性 t 的统计特性可由 a t , t 或c t , s t 的统计特性
确定。反之亦然。 1. 数学期望 2 设窄带过程是平稳高斯窄带过程，且均值为0，方差为 。 对式（2.5 - 2）求数学期望: E[ (t )] E[c (t )]cos ct E[s (t )]sin ct （2.5-5） 因为已设ξ(t)平稳且均值为零，那么对于任意的时间t，都有E ［ξ(t)］=0，所以由式（2.5-5）可得
E[ c (t )] 0 E[ s (t )] 0
（2.5-6）
第2章
随机过程
2. 自相关函数
R (t, t ) E[ (t ) (t )]
E{[ c (t ) cosc t s (t ) sin c t ]
[ c (t ) cosc (t ) s (t ) sin c (t )]}
第2章
随机过程
另外，因为ξ(t)是平稳的，所以ξ(t)在任意时刻的取值都
是服从高斯分布的随机变量， 故在式（2.5 - 2）中有
t t1 0 时, (t1 ) c (t1 )
t t2 时, (t2 ) s (t2 ) 2c
第五章 窄带系统和窄带随机过程
图5-2 窄带系统包络线
§5.1.1 窄带－对称网络的包络线定理 线性系统的冲激响应函数 变化域 时间域: (1) 单个元器件的传递函数 函数 ; (2) 拉普拉斯反变换
R
L
系统的传递
C
窄带系统冲激响应
窄带-对称系统的包络定理
窄带-对称系统的包络定理: 1) 求解出系统传递函数 的零-极点形式;
包络检波器
宽带随 机信号
高频窄带 系统
理想带通限幅器
低通网络
接收机
§5.3窄带随机过程的包络和相位分 布
准正弦振荡表示：
包络服从 瑞丽分布
相位服从等 概率分布
同一时刻，包络和 相位是相互独立
§5.4 窄代随机信号包络线的自相关特 性
R L
拖尾
C
具有相关性：
1.衰减因子 越长; ，衰减越快， 的拖尾(尾迹)
传递函数雷达系统发送机接收机hpflpf第五章窄带系统和窄带随机过程窄带系统窄带随机过程的一般概念窄带随机过程包络和相位分布窄带随机过程包络线的自相关特性正弦信号叠加窄带高斯噪声的合成振幅分布51窄带系统511窄带系统及其包络线特性一窄带系统只允许靠近中心频率附近很窄范围的频率成分通过的系统称为窄带系统
C
解 (1) 电路的传输函数
电路的品质因数>>1
2)画出
的“极点分布图”,得到
极点分布图；
3)对 其中
取拉氏反变换,得到
4）由
恢复
§5.2 窄带随机过程的一般概念
§5.2.1 定义 平稳随机过程
，若其功率谱密度函数
为
则称此随机过程为平稳随机过程。
窄带高通滤波器
§5.2.2 窄带随机过程表示为准正弦振荡
第6章 窄带随机过程
Z (t ) B(t ) cos[ (t )], 其中 B( t ) 0, ( t ) t ( t ) 。 0
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表达式1： Z ( t ) B( t ) cos[ 0 t ( t )],
B( t ) 0, ( t ) 0 t ( t ) 表达式2： Z ( t ) X ( t ) cos 0 t Y ( t ) sin 0 t
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二、解析信号与希尔伯特变换*
1． 解析信号的引入
S ( f ) s(t )e j 2 f t dt R( f ) jI ( f ) 时域实信号S(t)
S ( f )满足共轭对称性，即，
R( f ) R( f ), 偶函数 S ( f ) S ( f ) I ( f ) I ( f )， 奇函数
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2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
ˆ(t ) z( t ) s( t ) js
ˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为， 其中，s
s( t )
即，
h( t )
ˆ s( t )
z( t ) s( t ) js( t ) h( t )
ˆ ( t ) 的互相关函数满足： X
T
T
R X ( t , t )dt
性质5. 平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换
ˆ ( ) ˆ RX X ( ) R ( ), R ( ) R ˆ ˆ X X XX
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一种窄带高斯白噪声的生成与实现方法
一种窄带高斯白噪声的生成与实现方法窄带高斯白噪声是一种在频率范围较窄的情况下服从高斯分布的信号。
在通信系统中，窄带高斯白噪声经常用于模拟真实的通信环境以进行性能测试。
生成窄带高斯白噪声的一种简单方法是通过随机过程模拟。
下面将详细介绍生成与实现这种噪声的方法。
1.窄带高斯白噪声的特点：窄带高斯白噪声具有以下特点：-平稳性：在时间上是平稳的，即任意时刻的统计特性与时间无关。
-高斯性：噪声样本服从高斯分布，即符合正态分布。
-白噪声：在频率上是平坦的，即在所有频率上的功率谱密度相等。
2.实现窄带高斯白噪声的步骤：为了实现窄带高斯白噪声，我们可以按照以下步骤进行：-生成高斯分布的白噪声信号。
-通过一个窗函数将信号限制在指定的频带内。
接下来对每个步骤进行详细说明。
2.1.生成高斯分布的白噪声信号：生成服从高斯分布的白噪声信号可以通过伪随机数生成器来实现。
伪随机数生成器可以产生类似于高斯分布的随机数，我们可以利用这个特性来生成噪声信号。
生成随机数时需要注意选择合适的随机数生成算法，如Box-Muller变换等。
2.2.通过窗函数限制信号频带：生成的白噪声信号在频率上是平坦的，为了将其转换为窄带的噪声信号，我们需要通过一个窗函数来限制信号的频带。
常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、布莱克曼窗等。
矩形窗函数是一种简单的窗函数，它在指定的频带内给予信号全功率，在其他频带内给予信号零功率。
这样，只要我们选择一个合适的频带，并对生成的白噪声信号进行截断操作，就能获得窄带信号。
在Python中，我们可以使用NumPy和SciPy库中的函数来实现窄带高斯白噪声的生成。
以下是一个简单的示例代码：```pythonimport numpy as npfrom scipy.signal import windows#生成高斯白噪声信号#选择窗函数window = windows.hann(100)#对信号进行窗函数处理，限制在指定的频带内narrowband_noise = white_noise[:100] * window#打印信号的功率谱密度power_spectrum_density =np.abs(np.fft.fft(narrowband_noise))**2print(power_spectrum_density[:50]) # 前50个频率点的功率谱密度```总结：窄带高斯白噪声的生成与实现方法主要包括生成高斯分布的白噪声信号和通过窗函数限制信号频带。
09第八章窄带随机过程
4S (w) w 0 (t)的 功 率 谱 密 度 S (w) X 5) 解 析 过 程 X X w 0 0 ˆ 解 ： 已 知 R X ( ) 2[ R X ( ) jR X ( )]， 等 式 两 边 做 傅 氏 变 换 可 得 ： ˆ S X ( w ) 2[ S X ( w ) jS X ( w )] ˆ 其 中 ， S X ( w ) j sgn( w ) S X ( w ) 所 以 ： S X ( w ) 2[ S X ( w ) s g n ( w ) S X ( w )] 4SX (w) w 0 w 0 0
三、窄带随机过程的莱斯表达式
任 何 一 个 实 平 稳 随 机 过 程 X(t)都 可 以 表 示 为 ： X ( t ) = ( t ) c o s w 0 t b ( t ) s in w 0 t 式 中 ， 对 于 窄 带 随 机 过 程 来 说 ， w 0一 般 为 窄 带 滤 波 器 的 中 心 频 率 。
( t ) ， b ( t )为 另 外 两 个 随 机 过 程 。
ˆ ( t ) = X ( t ) c o s w 0t X ( t ) s i n w 0t ˆ b( t ) = - X ( t ) s i n w 0 t X ( t ) c o s w 0 t 证明：
证明： 若 X(t)为 实 随 机 过 程 ， 则 其 解 析 过 程 为 ： ˆ X ( t ) = X ( t ) jX ( t ) 用乘e
复随机过程
定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
Zt X
t
iY t
其中 i
1
，则称{Zt, t∈T}为复随机过程。
03第三讲：高斯过程、窄带过程
现在我们需要求 Zc(t)和Zs(t)的统计特性，即 f(Zc,Zs)＝?
对于窄带高斯过程来说，同相分量和正交分量是不相关的，或 者也可以说是统计独立的，而对于正弦波+窄带高斯过程来说, 它仍然属于窄带的范畴，所以其同相分量和正交分量也是相互 独立的，而且也是高斯过程。
对于同相分量:
由此可得同相分量Zc(t)的概率密度函数，
（2）y1、y2是x1、x2的函数：y1＝f1(x1,x2)，y2＝f2(x1,x2)， 反函数:x1＝g1(y1,y2)， x2＝g2(y1,y2)，
如果已知x1,x2的pdf为f(x1,x2)， 求：y1,y2的pdf，f(y1,y2)=? 解决此问题时，利用以下结论： f(y1,y2)＝|J|f(x1,x2) |J|是Jacobi行列式，
窄带随机过程的带宽 固定不变，载波频率 变大时，频谱图向高 频处搬移，对应样函数的包络频率不变，但样函数波形的频率 变 大。载波频率 变小时，频谱图向低频处搬移，对应样函数的包络 频率不变，但样函数波形的频率 变小。
二、窄带过程的数学表示
1、用包络和相位的变化表示
窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程, 过程中的
2
或erfc(x) 2 2( 2x)
2.6 窄带随机过程
一、引言
1.必要性：任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系 统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一 个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该 带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带 随机过程的规律是重要的。
为了能够借助于数表(误差函数表，概率积分表) 来计算高斯分布 ,需要引入概率积分函数或者误 差函数(互补误差函数)
6.窄带随机过程的产生 - 随机信号分析实验报告
计算机与信息工程学院综合性实验报告一、实验目的1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。
2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、概率密度函数、相关函数及功率谱密度等。
3、掌握窄带随机过程的分析方法。
二、实验仪器或设备1、一台计算机2、MATLAB r2013a 三、实验内容及实验原理基于随机过程的莱斯表达式00()()cos ()sin y t a t t b t t ωω=- (3.1)实验过程框图如下：理想低通滤波器如图所示：图1 理想低通滤波器()20AH ∆ω⎧ω≤⎪ω=⎨⎪⎩其它(3.2) 设白噪声的物理谱0=X G N ω（）,则系统输出的物理谱为 220=()=20Y X N AG H G ∆ω⎧0≤ω≤⎪ωωω⎨⎪⎩（）（）其它(3.3) 输出的自相关函数为:01()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ∞=⎰ /221cos 2N A d ωωτωπ∆=⎰ (3.4) 20sin 242N A ωτωωτπ∆∆=⋅∆ 可知输出的自相关函数()Y R τ是一个振荡函数。
计算高斯白噪声x(t)、限带白噪声()a t 、()b t 及窄带随机过程()y t 的均值，并绘出随机过程各个随机过程的自相关函数，功率谱密度图形。
四、MATLAB 实验程序function random(p,R,C) %产生一个p 个点的随机过程%--------------------------高斯窄带随机过程代码--------------------------% n=1:p;w=linspace(-pi,pi,p); wn=1/2*pi*R*C;[b,a]=butter(1,wn,'low'); %产生低通滤波器Xt=randn(1,p); %产生p 个点均值为0方差为1的随机数，即高斯白噪声 at=filter(b,a,Xt); %让高斯白噪声通过低通滤波器y_at=at.*cos(w.*n); %产生随机过程a（t）y_bt=at.*sin(w.*n); %产生随机过程b（t）yt=y_at-y_bt; %产生一个p个点的高斯窄带随机过程subplot(211)plot(yt)title('高斯窄带随机过程y(t)')subplot(212)pdf_ft=ksdensity(yt) ;plot(pdf_ft)title('y(t)的概率密度图')disp('均值如下')E_Xt=mean(y_at)E_at=mean(y_at)E_bt=mean(y_bt)E_ft=mean(yt)%-----------------------自相关函数代码如下--------------------------% figure(2)R_Xt=xcorr(Xt); %高斯白噪声X(t)的自相关函数R_at=xcorr(at); %限带白噪声的自相关函数R_y_at=xcorr(y_at); %随机过程a(t).coswt的自相关函数R_y_bt=xcorr(y_bt); %随机过程b(t).coswt的自相关函数R_ft=xcorr(yt);subplot(2,2,1);plot(R_Xt);title('高斯白噪声的自相关函数R_Xt'); %并绘制图形subplot(2,2,2)plot(R_at);title('限带白噪声的自相关函数R_a_bx'); %并绘制图形subplot(2,2,3)plot(R_y_bt);title('随机过程b(t)的自相关函数R_y_bt');subplot(2,2,4)plot(R_ft);title('高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R_yt');%------------------------功率谱密度代码如下---------------------------% figure(3)subplot(1,2,1)periodogram(Xt);title('高斯白噪声功率谱密度S_Xt');subplot(1,2,2)periodogram(at);title('限带白噪声功率谱密度S_a_bt');figure(4)subplot(3,1,1)periodogram(y_at);title('随机过程a(t).coswt概率密度概率密度S_y_at');subplot(3,1,2)periodogram(y_bt);title('随机过程b(t).sinwt功率谱密度S_y_bt');subplot(3,1,3);periodogram(yt);title('高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S_yt');五、实验结果将上述random 函数放在Path 中后，在Commaod Window 中输入：random(1000,10,0.001)时，输出结果如下：01002003004005006007008009001000-0.50.5高斯窄带随机过程y(t)0102030405060708090100246y(t)的概率密度图0500100015002000-50005001000高斯白噪声的自相关函数R X t 0500100015002000-101020限带白噪声的自相关函数R ab x 0500100015002000-50510随机过程b(t)的自相关函数R yb t 0500100015002000-101020高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R y t00.51-40-30-20-10010Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯白噪声功率谱密度S X t 00.51-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )限带白噪声功率谱密度S ab t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程a(t).coswt 概率密度概率密度S ya t00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程b(t).sinwt 功率谱密度S yb t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-40-30-20-10Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S y t在Commaod Window 中输出的结果如下：E_Xt = 0.0020 E_at= 0.0020 E_bt= -0.0020 E_ft = 0.0040六、实验结果分析：1、由于高斯白噪声Xt是标准正态的，所以均值趋近于零，而at，bt是由Xt通过一个线性系统（低通滤波器）得到的，所以输出均值不变，仍为零，从程序运行结果可以看出，Xt，at，bt均值都趋近于零。
第5章 高斯随机过程
T
协方差矩阵为
L L L
j
C1n C2n M C nn
其中
C ij = cov( x i , x j ) = rijσ iσ
一、多维高斯随机变量
3、n维分布 n维高斯分布的概率密度为
1 n n n φn (v1, v2 ,L, vn ; t1, t2 ,L, tn ) = exp j ∑ ai vi − ∑∑CX (ti , tk )vi vk 2 i =1 k =1 i =1
E[ X 2 (t )] < ∞
三、窄带平稳实高斯随机过程
一个零均值的窄带实平稳随机过程可表示为
τ = t1 − t 2
三、窄带平稳实高斯随机过程
可得二维联合概率密度为
p(a1 , a2 ;ϕ1 , ϕ2 ) =
a1a2 4π 2 C
exp{− 12
1 2C
[σ x2 (a12 + a22 ) − 2a(τ )a1a2 cos(ϕ2 −ϕ1 )]} 12
式中
0 ≤ ϕ 1 , ϕ 2 ≤ 2π
1 T −1 exp − (x − a) C (x − a) 1 2 2 C
若X(t)为平稳过程，则
ai = E[ X (ti )] = a
σ i 2 = D[ X (ti )] = σ 2
二、高斯随机过程
高斯过程是二阶矩过程 严格平稳和广义平稳等价 相互独立和互不相关等价 特征函数
= exp j (a1v1 + a2 v2 ) − (σ1 v1 + 2rσ1v1σ 2 v2 + σ 2 v2 ) 2
窄带随机过程
0 为高频载波。
窄带随机过程----- 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波
ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即如何 Gz ( ) Z(t ) 。
t t
称为Hilbert变换。
Hilbert 变换与反变换:
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
s(t) H 1[sˆ(t)] 1 sˆ( ) d sˆ(t) * 1
t
1
全通滤
| H( )|
波器
H ( )
0
90
1
0
f
0
f
0
90
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与sin0t 正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程
§6.1 窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的，
它们远小于其中心频率 ，0 这种系统只允许输入信号靠近
MATLAB 窄带随机过程
中山大学移动学院本科生实验报告（2015学年春季学期）课程名称：通信原理任课教师：刘洁 教学助理（TA ）：朱焱1、 实验要求1.产生窄带随机过程和其概率谱密度2.产生多个窄带随机过程3.求出窄带随机过程的均值和自相关函数2、 设计思路0sin(2)f t 00)()sin(2)f t b t f t对于第一个实验： 首先便是要搞懂如何产生一个窄带随机过程，按照TA 的提示，循序而进，从定义出发，获得答案。
按照上面的结构框图 ，由公式：t t b t t a t X 00sin )(cos )()(ωω-= 可以较为轻松的得到窄带随机过程（先产生高斯白噪声g =randn(1,1001)，产生低通[b,a] = butter(1,wn)的B/A 系数，由Y = filter （B ，A ,X ），得到a （t ）和 b （t ），之后zt = a(t)cos(wt) - b(t)sin(wt)，通过这个公式就容易了，再通过plot(zt);便可以得到窄带随机过程），后面的两个实验，是基于第一个实验来做的；对第二个实验： 加入for 循环，生成五个窄带随机过程，并且利用subplot 画小图。
对第三个实验： 产生窄带随机过程，利用函数mean 和xcorr 两个函数分别产生均值和自相关函数。
3、运行与测试Lab1：产生窄带随机过程和其概率谱密度在command命令框里写入：zhaidai，这是基于随机过程的莱斯表达式，产生一个1000个点的高斯窄带随机过程，和其概率谱密度（基本呈现正态分布）。
Lab2：产生多个窄带随机过程Subplot（5,2，x）让屏幕中有十个小图，分别为窄带随机过程，和其概率谱密度。
Lab3：求出窄带随机过程的均值和自相关函数分析：各个过程都是实的，中心点上相关程度最高，而且观察到：zt这个过程在中心点位置上有一个峰值，其他位置上，自相关函数会接近于零。
分析：以上是对两次窄带随机过程的均值，对于标准正态的，均值趋近于零，而at，bt是由标准正态通过一个线性系统得到的，所以输出均值不变，仍为零，从程序运行结果可以看出，均值u都趋近于零。
实验二：窄带高斯随机过程的产生
本科实验报告实验名称：窄带高斯随机过程的产生一、实验目的熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。
二、实验原理（一）窄带随机过程的产生原理窄带随机过程可以表示为下面的准正弦振荡的形式：cos X t A t ωτϕτ0()=()[+()]或者表示为同相分量与正交分量的合成：00cos sin c s X t A t t A t t ωω()=()-()其中c A t ()与s A t ()均为低频变化的随机过程，可以通过模拟其分布及功率谱特性来实现窄带随机过程的产生。
（二）用频域法模拟任意随机过程模拟一个时长为d T 的高斯随机过程的一个样本函数()X t , 要求功率谱密度满足指定的形式，先将()X t 进行周期性延拓，并做DFS()0201()j k k f kdX e f T X t π∞∞=-==∑% 若k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t %也是零均值的高斯随机过程。
若{}k X 是两两正交的序列()2220()(())k k k k X g f k G f E X f g δ=-∞∞=-=∑%即可以控制k g 得到期望的功率谱。
假定()(0)X G f B f =>，即()X G f 带限，则{}2k g 为有限项，对应的DFS系数{}k X 也为21M +项0()B M f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，因此只需产生21M +个相互正交的零均值高斯随机变量{}101,,,,,,M M M M X X X X X --+-L L ，其方差为22()k k E X g =。
2k g 应与()0X G kf 成比例，即()20X k G g kf β=，则有()()220()MMMBX XBMk kk k MMk G f G kf df E X g β=-=-=--===∑∑⎰∑即()()BX B MXMk G f G df kf β=--=⎰∑ 产生步骤： i. 根据要求的时长d T 确定01d f T = ，根据功率谱的带宽确定0B M f = ii. 计算系数βiii.产生21M +个独立的高斯随机变量，()0(0,)(,1,,0,,1~,)k X N k M X M G M M kf β=--+-L Liv.构建时域样本函数[]()02()Mf k Mj i t k k X X i i t X e π∆=-=∆=∑（三）用时域滤波法模拟任意随机过程功率谱为1的白噪声通过线性系统，输出的是服从高斯分布的，且输出的功率谱为()()2X G f H f =，因此要产生功率谱为()X G f 的有色高斯噪声，只需设计一个滤波器即可，该滤波器的传递函数应满足()()X H f G f =三、实验内容模拟产生一段时长5ms 的窄带高斯随机过程()X t 的样本函数。
第五章 窄带随机信号
c) R ( ) RX ( )
X
7
d) S
XX XX
( ) j sgn( ) S X ( ) S ( ) j sgn( ) S X ( ) S
XX XX
XX
( )
e) R ( ) R f )R
XX
( )
ˆ ( ) ( ) h( ) * RX ( ) R X
x( ) (1)实值函数x(t ), ( x ), x(t ) H [ x(t )] d t ^ 1 x(t ) 1 x(t ) x(t ) d d
^
1
Βιβλιοθήκη (2)相当于一个正交滤波器 1 x(t ) x(t ) * t
2 t 2
19
20
0 0
ˆ (t ) cos t b(t ) X (t ) sin 0t X 0 2. a(t )与b(t )在同一时刻是正交的,不相关，独立， 高斯RVS 3.若S X ( )是关于0 对称，则a(t ), b(t )是相互正交， 不相关及独立
14
二
f ab (at , bt )
^
x(t )
1 h(t ) t
x(t )
^
j 0 (3) H ( ) j 0
4
(4)希尔伯特变换是一90 全通相移网络 (5)希尔伯特逆变换 x(t ) H [ x(t )]
^ 1 ^
1
x(t )
^
^
d
11
Sa ( ) Sb ( ) LP[ S X ( 0 ) S X ( 0 )]
概率论第六章 窄带随机过程
pB (
ut )
1
2
2
exp(
ut
2
2
)
ut 0
可见，窄带高斯过程包络平方的一维概率密度函数 为指数分布。一个重要的特例是σ2=1的情况，此时有
pu (ut )
1 exp( ut ),
2
2
ut
0
其均值为E[ut]=2,方差为D[ut]=4.
§6.5余弦信号与窄带高斯过程之 和的概率分布
一、余弦信号加窄带高斯过程的包络和相位概率分布
类似地，如果一个随机过程的功率谱密度，只分 布在高频载波ω0附近的一个窄频率范围Δω内，在 此范围之外全为零，且满足ω0>>Δω时，则称之为 窄带过程。
一、窄带过程的物理模型和数学模型
一个典型的确定性窄带信号可表示为
x(t) a(t) cos[0t (t)]
其中，a(t)为幅度调制或包络调制信号，Ф(t)为 相位调制信号，它们相对于载频ω0而言都是慢变化的。
根据希尔伯特变换的性质： RXˆ ( ) RX ( )
RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
整理，得 RX ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
同理可以证明 RY ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
RX ( ) RY ( )
窄带过程性质的证明
第六章 窄带随机过程
6.1 窄带随机过程的一般概念 6.2希尔伯特变换 6.3 窄带随机过程的性质 6.4窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 6.5余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
§ 6.1 窄带随机过程的一般概念
窄带信号的频率或窄带系统的频率响应被限制在 中心频率ω0附近一个比较窄的范围内，而中心频率ω0 又离开零频足够远。
窄带实平稳高斯随机过程
29 窄带实平稳高斯随机过程概述窄带实平稳随机过程的一维包络分布和一维相位分布窄带实平稳随机过程，它的同相分量和正交分量 一个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 一个时刻包络和相位分量的联合概率密度：一个时刻包络和相位是相互统计独立的随机变量： 窄带实平稳随机过程的二维（两个时刻）包络和相位分布两个时刻信号的表达式：两个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 两个时刻同相分量和正交分量的协方差矩阵：两个时刻同相分量和正交分量的联合概率密度函数： 两个时刻包络和相位的联合概率密度函数： 两个时刻包络的联合边缘分布：两个相距无穷远时刻的包络联合边缘分布： 一个时刻包络的边缘分布： 两个时刻相位的联合边缘分布：两个时刻相位和两个时刻包络的分布不是统计独立的：29.1 窄带实平稳随机过程的一维包络分布和一维相位分布 29.1.1 窄带实平稳随机过程，它的同相分量和正交分量tf t t f t t x t f t t f t t x c c s cc c πξπξπξπξ2cos )(ˆ2sin )()(2sin )(ˆ2cos )()(−=+=以及t f s t x t f t x t tf t x t f t x t cs c c c s c c ππξππξ2cos )(2sin )()(ˆ2sin )(2cos )()(−=+=因为窄带实平稳高斯随机过程的Hilbert 变换是一个高斯随机过程，它的同相分量与正交分量是它和它的Hilbert 变换的线性变换，同相分量和正交分量也是高斯过程。
上述高斯随机过程是联合高斯的。
29.1.2 一个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的：同相分量和正交分量的一维相关矩阵，)(),(t x t x s c 的相关矩阵，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=)0(00)0(ξξξξR R R 同相分量和正交分量的联合概率密度是，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+−=⋅=22222exp 21)()(),(ξξσσπy x y f x f y x f s c s c x x x x 29.1.3 一个时刻包络和相位分量的联合概率密度：同相分量、正交分量与包洛和相位分量的关系是，)(sin )()()(cos )()(t t V t x t t V t x s c φφ⋅=⋅=以及，)()(tan)())(())(()(122t x t x t t x t x t V c s s c −=+=φ同相分量、正交分量到包洛和相位分量的变换行列式是，)()(cos )()(sin )()(sin )(cos ),(),(t V t t V t t V t t V x x s c =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∂∂φφφφφ 一个时刻包洛和相位分量的联合概率密度是πφσσσσπφφξξξξφ21)(2exp 1)(2exp 21),(),(222222＝f r r r f r r y x f r r f V x x V s c ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=⋅= 29.1.4 一个时刻包络和相位是相互统计独立的随机变量：)()(),(φφφφf r f r f V V ⋅=一维包洛分量的数字特征是：{}{}{}2222/12222ξξξσπσσπ⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=V D V E V E29.2 窄带实平稳随机过程的二维包络和相位分布 29.2.1 两个时刻信号的表达式：两个时刻信号的同相分量和正交分量表达式11111111112cos )(2sin )()(ˆ2sin )(2cos )()(t f s t x t f t x t t f t x t f t x t c s c c c s c c ππξππξ−=+=22222222222cos )(2sin )()(ˆ2sin )(2cos )()(t f s t x t f t x t t f t x t f t x t c s c c c s c c ππξππξ−=+=两个时刻信号的包络和相位表达式)](2cos[)()(1111t t f t V t c φπξ+= )](2cos[)()(2222t t f t V t c φπξ+=两个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的：由于ξ(t)是高斯分布的随机过程，而x c (t 1),x c (t 2),x s (t 1),x s (t 2)都是由ξ(t)经过线性变换得到的，它们是联合高斯分布的随机变量。
5.8窄带高斯随机过程包络和相位的特性 - 副本
随机信号分析目录CONTENTSCONTENTS窄带高斯随机过程的产生窄带高斯随机过程包络的特性窄带高斯随机过程相位的特性小结窄带高斯随机过程的产生用宽带随机过程激励一个高频窄带线性系统，当滤波器的带宽远小于输入过程功率谱的带宽时，根据中心极限定理，滤波器输出端的随机过程可以认为是一个窄带高斯随机过程。
假设X(t)窄带平稳高斯实随机过程，具有零均值和方差。
将X(t)表示为准正弦振荡形式为2σ其中：))(cos()()(0t t t A t X ϕω+=——中心频率或称载波频率()A t ()t ϕ0ω——包络——初相位对任意给定的时刻，对其包络进行采样，得到，其一维概率密度为A t ⎩⎭⎨⎬=−≥⎧⎫σσf A A A A A t t t t 2()exp ,0222称为瑞利（Rayleigh ）概率密度函数，或简称瑞利分布。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）瑞利概率密度函数对任意给定的时刻对其相位进行采样，得到，其一维概率密度为ϕt =≤≤πϕϕπϕf t t 2(),021随机相位在区间内呈均匀分布。
π(0,2)且有，=ϕϕϕϕf A f A f A t t A t t (,)()()即在同一时刻，随机变量和相互独立，但不意味着随机过程和相互独立。
A t ϕt ϕt ()A t ()有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）窄带高斯随机过程包络的一维概率密度满足瑞利分布。
窄带高斯随机过程相位的一维概率密度满足均匀分布。
222()exp ,02tt A t t A A f A A σσ⎧⎫=−≥⎨⎬⎩⎭1(),022t t f ϕϕϕππ=≤≤在同一时刻，窄带高斯随机过程包络和相位的采样相互独立，但包络和相位不相互独立。
第7章 窄带随机过程
h(t ) 1/ t
| H ( ) |
2 ( ) 2
90
0 0
H ( ) 的相移
1
0
0
H () 1
90
2
解析信号（用信号的希尔伯特变换构造解析信号）
• 由实信号 x(t ) 作为复信号 z(t ) 的实部， x(t ) 的希尔伯特变 换作为复信号 z(t ) 的虚部，即
H () 1
/ 2 0 ( ) /2 0
相频特性为：
正 交 滤 波 器
1 希尔伯特变换 希尔伯特变换相当于一个正交滤波器
1 ˆ (t ) x(t ) * x t
H ( )
+j 0 -j
j 0 H ( ) j 0
什么叫窄带？当信号的带宽远小于载波频率时， 则该信号称为窄带信号，如通信系统中的调幅信号 和调频信号。正弦信号或余弦信号为单频信号（谱线）， 是最窄的一种窄带信号，实际上它的带宽等于 0 ， 而扩频信号则为宽带信号。这些概念对于理解 窄带随机过程是很重要的。
窄带随机过程
高斯白噪声是一种典型的随机过程，它的概率密度函数为正 态分布（又称高斯分布） ，它的功率谱在整个频率范围内为常数， 故称之为“白” 。当它通过一个窄带滤波器后，就形成了一种窄带 高斯噪声， 它是一种典型的窄带随机过程， 如图所示。 图中 ni (t ) 为 输入高斯白噪声， n0 (t ) 为输出窄带高斯噪声，NBPF 为窄带滤波 器，根据前面随机信号通过线性系统的结论，得输出窄带高斯噪 声的功率谱及窄带随机过程的时域波形如下页图所示。
5
1. 窄带随机过程的定义
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度：
《随机信号分析基础》第5章 课件 _窄带随机过程
N (t) = Ac(t)cos w0t - As(t)sin w 0t
因此
X(t) = [acosq+Ac(t)]cosw0t -[asinq+As(t)] sinw0t = A(t)cos[w0t+F(t)]
Gx (w)
A
w 0
w0
W
解：（1）零均值平稳窄带高斯信号 X(t) 的正交表达式为
X(t) = Ac(t)cos w 0t - As (t)sin w 0t
ò 基于功率谱计算功率得 P
=
Rx (0)
=
s2
=
1 2p
¥
G X (w)dw
-¥
=
AW 2p
5‐ 6 / 7
X(t) 为 0 均值的高斯随机信号,所以 X(t) N (0, s 2)
Ps(w) = 2121p Pm(w) * p[d(w - wc ) + d(w + wc )]
=
1 4
[Pm
(w
-
wc)
+ Pmd(w
+
wc ]
功率
P
=
Rsm (0)
=
1 2
Rm
(0)
cos
0
=
1 2
或则
ò ò P
=
1 4
⋅
1 2p
¥ -¥
Ps
(w)d
w
=
1 2p
¥ -¥
[Pm
(w
-
wc )
+
Pm (w
fAcAs (ac,as ) = fAc(ac )fAs (a s ) =
窄带随机过程的模拟
实验报告实验题目：窄带随机过程的模拟一、实验目的了解随机过程特征估计的基本概念和方法，学会运用MATLAB软件产生各种随机过程，对随机过程的特征进行估计，并通过实验了解不同估计方法所估计出来的结果之间的差异。
二、实验原理（1）高斯白噪声的产生提示：利用MATLAB函数randn产生（2）自相关函数的估计111()()ˆ()1ˆ()N m n x N m x n m n n x n m x n N R m R m x x N m --=--+=⎧+⎪⎪=⎨⎪=⎪-⎩∑∑对有偏估计对无偏估计提示：MATLAB 自带的函数为xcorr()，阐述xcorr 的用法（3）功率谱的估计利用周期图方法估计功率谱，21ˆ()()xG X N=ωω 其它谱估计方法：…….提示：MATLAB 自带的函数为periodogram()，阐述periodogram()的用法;阐述其它谱估计方法的用法。
（4）均值的估计111ˆ()N x n mx n N -==∑ 提示：MATLAB 自带的函数为mean()（5）方差的估计12211ˆ[()]N xn x n x N -==-∑σ提示：MATLAB 自带的函数为var()(6) AR(1)模型的理论自相关函数和理论功率谱对于AR(1)模型()(1)()X n aX n W n =-+，自相关函数为2||2()1m X a R m a =-σ ，其功率谱为22()(1)X j G aeωσω-=-。
三、实验内容1. 相关高斯随机序列的产生按如下模型产生一组随机序列()(1)()x n ax n w n =-+，其中()w n 为均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。
（1）产生并画出a=0.8和a=0.2的x(n)的波形； （2）估计x(n)的均值和方差；（3）估计x(n)的自相关函数，并画出相关函数的图形。
2. 两个具有不同频率的正弦信号的识别设信号为12()sin(2)2cos(2)()x n f n f n w n ππ=++，1,2,,n N = ，其中()w n 为零均值正态白噪声，方差为2σ。
窄带高斯随机过程
窄带高斯随机过程
嘿，朋友们！今天咱来聊聊窄带高斯随机过程。
这玩意儿啊，就像是生活中的一场奇妙冒险！
你看啊，窄带高斯随机过程就像是天气。
有时候阳光明媚，有时候又乌云密布，变幻莫测得很呢！它那起伏不定的特性，不就跟天气一会儿晴一会儿雨一样嘛。
它的高斯特性呢，就好像是一群人排队，大多数人都在中间，高的矮的只是少数，很有规律的样子。
在通信领域里，窄带高斯随机过程可重要啦！就好比是一座桥，连接着信息的这头和那头。
要是没有它，那信息传递还不得乱了套呀！
想象一下，我们打电话的时候，如果没有窄带高斯随机过程在背后默默工作，那声音可能一会儿清楚一会儿模糊，甚至还可能断了线，那多烦人呐！
它也像个神秘的小精灵，在各种电子设备里跑来跑去，发挥着自己独特的作用。
而且哦，研究窄带高斯随机过程就像是探索一个神秘的宝藏。
你得一点点去挖掘，去发现它的秘密和规律。
有时候可能会遇到困难，觉得哎呀，怎么这么难搞呀！但当你真的搞懂了一些，那种成就感，可别提多棒啦！
咱再说说它在信号处理中的作用，那可真是不容小觑啊！它能帮助我们更好地理解和处理那些复杂的信号，让它们变得清晰明了。
这就好像是给一幅模糊的画慢慢擦拭干净，让它露出原本美丽的模样。
在实际应用中，工程师们可都得跟窄带高斯随机过程打交道呢。
他们得像驯兽师一样，把这个有点调皮的家伙驯服，让它乖乖为我们服务。
总之，窄带高斯随机过程虽然有点复杂，有点神秘，但它真的非常非常重要！我们可不能小瞧了它。
我们要努力去了解它，掌握它的规律，让它为我们的生活和科技发展做出更大的贡献！这就是我对窄带高斯随机过程的看法啦，你们觉得呢？
原创不易，请尊重原创，谢谢!。
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(1) 根据时长 Td 确定 f 0 1/ Td ，根据功率谱的带宽确定 M [ B / f 0 ] ；
G ( f )df ； (2) 计算系数 G (kf )
B M x k M x 0
B
(3) 产生 2M+1 独立的高斯随机变量 X k ~ N (0, Gx (kf0 )) ； (4)构建时域样本函数 X (it ) 2. 窄带随机过程的产生方法
得P2=11.09 则
P1 2196.6 198.05 P2 11.09
(3) 产生 2M+1 独立的高斯随机变量 X k ~ N (0, Gx (kf0 ))
for i=1:61 sigma(i)=sqrt(beta*P20(i)); %x(i)=normrnd(0,sigma(i)); x(i)=sigma(i)*randn(1); end
B
B
Gx ( f )df ，用 matlab 的数值积分进行计算：
syms f real P1=int(1/(1+(f/1000)^4),-3000,3000) P1=vpa(P1,5);
得P1=2196.9 然后计算
k M
G (kf
x
Mห้องสมุดไป่ตู้
0
):
k=-M:M; for i=1:61 P20(i)=1/(1+(f1*k(i)/deltaf)^4); end P2=sum(P20);
(4)构建时域样本函数 X [i ] X (it )
k
X (k )e
j 2 f 0 k ( it ))
取 t 0.00001，也就是 0.5ms 的 1/ 500 。
deltat=0.00001; for n=1:501 for m=1:61 a(n,m)=x(m)*exp(j*2*pi*f1*k(m)*n*deltat); end h(n)=sum(real(a(n,:))); end
k
X (k )e
j 2 f 0 k ( it ))
。
X (t ) Ac (t ) cos 2 f 0t As (t ) sin 2 f 0t
用相同估计方法产生两次窄带高斯序列，分别为 Ac (t ) 和 As (t ) ，再带入上式与载 波相乘并作变换，就得到了窄带随机过程。
50 0 -50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t(ms) 3 3.5 4 4.5 5
图 3 模拟产生的相互独立的 Ac (t ) 和 As (t ) 按照题目要求，用两个正交的载波信号进行调制，并画出调制后的图像：
figure(3) f0=1000/pi; X=Ac.*cos(2*pi*f0*t)-As.*sin(2*pi*f0*t); plot(t,X); xlabel('t(ms)') ylabel('fo(t)')
cos2 f 0t
Ac (t )
sin2 f 0t
图 1 带通高斯随机过程产生
X (t )
As (t )
假定 Ac (t ) 和 As (t ) 的功率谱密度均为 Gc ( f ) Gs ( f )
1 ，其中 f 为功 1 ( f / f ) 4
率谱密度的 3dB 带宽。按照频域法或时域滤波器法分别产生 5ms 的低通过程 Ac (t ) 和
200 100
fo(t)
0 -100 -200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t(ms) 3 3.5 4 4.5 5
图 4 调制信号
用 fft 对调制信号进行频谱分析，作出调制信号的频谱图：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
X(w)
-800
-600
-400
-200
0 f(Hz)
200
400
600
800
图 5 调制信号频谱图 可以看出，调制信号是一个窄带高斯随机过程，该过程是带通的，中心频率即为载 波频率，且带宽很窄。
四、心得体会
这次用 Matlab 实现窄带高斯随机过程，让我对课本上的相关知识有了一定的实践 应用体会，一是通过功率谱密度可以估计出一定时长的高斯随机噪声，二是经过载波信 号的调制高斯噪声保持了窄带特性，最后调制信号是一个带通的过程，符合课本上的理 论。但是也出现了一些问题，比如在估计有限长高斯噪声时用频域法估计，对公式的理 解程度还不够。没有进一步用时域滤波法产生来验证之前的估计。
作出功率谱密度图像、模拟出的高斯随机过程图像：
1
PSD
0.5
0 -8000
-6000
-4000
-2000 0 2000 frequency(Hz)
4000
6000
8000
100 50 0 -50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t(ms) 3 3.5 4 4.5 5
X(t)
图 2 给定的功率谱密度函数及模拟产生的窄带高斯随机过程
三、实验结果与分析
（一）. 相关高斯随机序列的产生
由题目要求，产生一段 5ms 的低通过程 Ac (t ) 和 As (t ) 。 (1) 这里 Td 5ms ，故 f 0 200Hz ，取 B 6f ，其中 f 1kHz ，则有 M (2) 计算系数 ： 首先计算
30.
（二）. 窄带高斯随机过程的产生
用同样的方法计算，就得到了两个相互独立的高斯随机过程 Ac (t ) 和 As (t ) 。作 出功率 Ac (t ) 和 As (t ) 的图像：
100
Ac(t)
50 0 -50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t(ms) 3 3.5 4 4.5 5
100
As(t)
本 科 实 验 报 告
实验名称：
窄带高斯随机过程的产生
一、实验内容
本实验模拟产生一段时长为 5ms 的窄带高斯随机过程 X (t ) 的样本函数。根据窄带随机 过程的理论， X (t ) 可以表示为
X (t ) Ac (t )cos2 f 0t As (t )sin2 f 0t
其中 Ac (t ) 和 As (t ) 均为低频的高斯过程，因此，要模拟产生 X (t ) ，首先要产生两个 相互独立的高斯随机过程 Ac (t ) 和 As (t ) ，然后用两个相互正交载波 cos2 f 0t 和 sin2 f 0t 进行调制，如图 1 所示。
作出其中 Ac (t ) 的频谱图如下：
1 0.8
Xact(w)
0.6 0.4 0.2
-500
-400
-300
-200
-100
0 f(Hz)
100
200
300
400
500
图 4 Ac (t ) 频谱图
可以看出， Ac (t ) 是一个低频慢变化的随机过程。 将得到的 Ac (t ) 和 As (t ) 带入 X (t ) Ac (t ) cos 2 f 0t As (t ) sin 2 f 0t ，得到序 列并作图如下：
As (t ) ，然后按图 5.21 合成 X (t ) ，其中 f 0 1000 / ，要求分别画出模拟产生的
Ac (t )、As (t ) 以及 X (t ) 的波形。
二、实验原理
（1）相关高斯随机过程的产生 模拟一个时长为 Td 的高斯随机过程机过程的一个样本函数 X(t),要求功率谱密度满足指 定的形式。步骤为：