(全面突破)高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 3.1变化率与导数、导数的运算学案

3.1变化率与导数、导数的运算

考情分析

1.导数的实际意义是指瞬时变化率,几何意义是指曲线在某一点处切线的斜率.

2.求导公式和运算法则是利用导数研究函数问题的基础,须熟练掌握.

3.高考中,通常以选择题或填空题的形式考查导数的几何意义,也可以在大题中考查.导数的运算每年必考,一般不单独命题考查,而是在应用中考查.仅做为一个考点或工具出现,难度不大,但基础性很强. 基础知识

1.导数的概念

(1)函数)(x f y =在0x x =处的导数:一般地,函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率0000()()lim

lim x x f x x f x y x x δ∆→→+∆-∆=∆∆,称其为函数)(x f y =在0x x =处的导数,记作00()|x x f x y =''或

(2)当()()x f x f x '变化时,称为的导函数,则()f x y ''==0()()lim

x f x x f x x ∆→+∆-∆ 2.导数的几何意义

函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义,就是曲线)(x f y =在点0(,)o p x y 处切线的斜率,过点P 的切线方程为: 000()()y y f x x x '-=-

3.基本初等函数的导数公式:

(1) 0c '=(c 为常数) (2) 1()()x nx Q ααα-*'=∈

(3) (sin )cos x x '= (4) (cos )sin x x '=-

(5) ()x x e e '= (6) ()ln x x

a a a '= (7) 1(ln )x x '= (8) 1(log )ln a x x a

'= 4.导数的运算法则:

(1) [()()]()()f x g x f x g x '''±=± (2) [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅

(3) 2

()()()()()[](()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ''⋅-⋅'=≠ 注意事项

1.曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

2.(1)导数的四则运算法则．

(2)复合函数的求导法则．

3.（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

（2）要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别．

（3）正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．

题型一 导数的定义

【例1】利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3

在x ＝x 0处切线与曲线f (x )＝x 3的交点．

解 f ′(x 0)＝lim x →x 0 f x －f x 0x －x 0＝

lim x →x 0 x 3－x 3

x －x 0

＝lim x →x 0 (x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 2

0.

曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为

y －x 30＝3x 2

0·(x －x 0)，

即y ＝3x 20x －2x 3

0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3

，y ＝3x 20x －2x 3

0，

得(x －x 0)2

(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.

若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 3

0)；

若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．

【变式1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数． 证明 法一 设y ＝f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有f (－x )＝－f (x )

f ′(x )＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f x

Δx

则f ′(－x )＝li m Δx →0 f －x ＋Δx －f －x

Δx

＝li m Δx →0 f x －Δx －f x

－Δx ＝f ′(x )

因此f ′(x )为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数．

法二 设y ＝f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有

f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－f (－x )

因此f ′(x )＝[－f (－x )]′＝－ [f (－x )]′＝f ′(－x )

则f ′(x )为偶函数

同理可证偶函数的导数是奇函数．

题型二 导数的运算

【例2】求下列各函数的导数：

(1)y ＝x ＋x 5＋sin x

x 2；

(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；

(3)y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝11－x ＋1

1＋x ；

解 (1)∵y ＝x 12

＋x 5＋sin x

x 2＝x －3

2＋x 3＋sin x

x 2，

∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3

2′＋(x 3)′＋(x －2

sin x )′

＝－3

2x －5

2＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .

(2)法一 y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，

∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.

法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′

＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)· (x ＋2)

＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)

＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)

＝3x 2＋12x ＋11.

(3)∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x

2＝－1

2sin x ，

∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1

2sin x ′＝－12(sin x )′＝－1

2cos x .

(4)y ＝1

1－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x

1－x 1＋x ＝2

1－x ，

∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2

1－x ′＝－21－x ′1－x 2＝2

1－x 2.

【变式2】 求下列函数的导数：

(1)y ＝x n e x ；

(2)y ＝cos x

sin x ；

(3)y ＝e x ln x ；

(4)y ＝(x ＋1)2(x －1)．

解 (1)y ′＝nx n －1e x ＋x n e x ＝x n －1e x (n ＋x )．

(2)y ′＝－sin 2x －cos 2

x

sin 2x ＝－1

sin 2x .