高中数学竞赛专题讲义之不定方程

不 定 方 程

【知识精要】

形如x +y =4，x +y +z =3，y

x 11+=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解．

对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：

定理1．二元一次不定方程ax +by =c ，（1）若其中（a ，b ） c ，则原方程无整数解；

（2）若（a ，b ）=1，则原方程有整数解；（3）若（a ，b ）｜c ，则可以在方程两边同时除以（a ，b ），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形． 如：方程2x +4y =5没有整数解；2x +3y =5有整数解．

定理2．若不定方程ax +by =1有整数解⎩⎨⎧==00y y x x ，则方程ax +by =c 有整数解⎩

⎨⎧==00cy y cx x ，此解称为特解．方程方程ax +by =c 的所有解（即通解）为⎩

⎨⎧-=+=ak cy y bk cx x 00（k 为整数）． 对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：

（1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解；

（2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解；

（3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解．

【例题精讲】

一 二元一次不定方程

例1．求方程4x +5y =21的整数解．

解：因为方程4x +5y =1有一组解⎩⎨⎧=-=11y x ，所以方程4x +5y =21有一组解⎩

⎨⎧=-=2121y x ． 又因为方程4x +5y =0的所有整数解为⎩

⎨⎧-==k y k x 45（k 为整数）， 所以方程4x +5y =21的所有整数解为⎩

⎨⎧-=+-=k y k x 421521（k 为整数）．

说明：本题也可直接观察得到方程4x +5y =21的一组特解⎩

⎨⎧=-=51y x ，从而得到4x +5y =21的通解⎩

⎨⎧-=+-=k y k x 4551（k 为整数）．

练习1．求方程5x +3y =22的所有正整数解．

解：方程5x +3y =1有一组解为⎩

⎨⎧=-=21y x 所以方程5x +3y =22有一组解为⎩

⎨⎧=-=4422y x 又因为5x +3y =0的所有整数解为⎩

⎨⎧-==k y k x 53，k 为整数 所以方程5x +3y =22的所有整数解为⎩

⎨⎧+-=-=445223k y k x ，k 为整数 由⎩⎨⎧>+->-04450223k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<>5

44322k k ，所以k =8，原方程的正整数解为⎩⎨⎧==4

2y x ． 说明：由此题可见，求不定方程的正整数解的方法是先求不定方程的所有整数解（通解），然后再求其中的正整数解．这通常需要解不等式组求出通解中k 的取值范围．

若一次不定方程的特解不易观察得出，我们可以用辗转相除法求特解．下面通过例题说明这种方法．

例2．求方程63x +8y =－23的整数解．

解：（1）用x 、y 中系数较大者除以较小者．63=8×7+7．

（2）用上一步的除数除以上一步的余数．8=7×1+1

（3）重复第二步，直到余数为1为此．

（4）逆序写出1的分解式．

1=8－7×1=8－（63－8×7）×1=8－63+8×7=8×8－63．

（5）写出原方程的特解和通解．

所以方程63x +8y =1有一组特解⎩

⎨⎧=-=81y x ，方程63x +8y =－23有一组特解

⎩⎨⎧⨯-==23823y x ，所以原方程的所有整数解为⎩

⎨⎧-⨯-=+=k y k x 63238823，k 为整数．

练习2．求方程37x +107y =25的整数解．

解：107=2×37+33

37=1×33+4

33=4×8+1

所以1=33－4×8=33－（37－1×33）×8=37×（－8）+33×9=37×（－8）+（107－2×37）×9=107×9+37×（－26）

所以方程37x +107y =1有一组整数解为⎩

⎨⎧=-=926y x ，原方程的所有整数解为⎩

⎨⎧-⨯=+⨯-=k y k x 372591072526，k 为整数．

二 多元一次不定方程（组）的整数解

多元一次不定方程的整数解问题可转化为二元一次不定方程来求解．下面通过例题进行说明．

例3．求方程12x +8y +36z =100的所有整数解．

解：原方程可化为3x +2y +9z =25．

将①分为⎩⎨⎧=+=+25923z t t y x ②的一组解为⎩

⎨⎧-==t y t x ，所以②的所有整数解为⎩⎨⎧--=+=1132k t y k t x k 1为整数． ③的一组解为⎩⎨⎧==27z t ，所以③的所有整数解为⎩⎨⎧-=+=22297k z k t k 2为整数．

将⑥代入④⑤，消去t 得，⎪⎩

⎪⎨⎧-=---=++=212122397297k z k k y k k x （k 1，k 2为整数）．

练习3．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，② ③

④

⑤ ⑥ ⑦

黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3．小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21，则小明摸出的球中红球个数最多为几个？

解：设红、黄、蓝球各摸出x 、y 、z 个，则

⎩

⎨⎧=++=++213210z y x z y x )2()1( （2）－（1）消去x 得y +2z =11 （3）

（3）的通解为⎩

⎨⎧-=+=k z k y 521，k 为整数． 所以x =10－y －z =4－k ，当k =0时，x 最大，此时y =1，z =5．

所以小明摸出的球中红球个数最多为4个．

三 其他不定方程

例4．求不定方程2

111=+y x 的正整数解． 解：原式变形为2x +2y =xy ，即（x －2）（y －2）=4

所以⎩⎨⎧=-=-2222y x 或⎩⎨⎧=-=-1242y x 或⎩

⎨⎧=-=-4212y x 解得⎩⎨⎧==44y x 或⎩⎨⎧==36y x 或⎩

⎨⎧==63y x ．

练习4．求方程x 2－y 2=105的正整数解．

解：（x +y ）（x －y ）=105=3×5×7

所以⎩⎨⎧=-=+1105y x y x 或⎩⎨⎧=-=+335y x y x 或⎩⎨⎧=-=+521y x y x 或⎩⎨⎧=-=+7

15y x y x 解得⎩⎨⎧==5253y x 或⎩⎨⎧==1619y x 或⎩⎨⎧==813y x 或⎩

⎨⎧==411y x ．

例5．求方程y 2+3x 2y 2=30x 2+517的所有正整数解

解：原方程可变形为y 2+3x 2y 2－30x 2－10=517，即：（y 2－10）（3x 2+1）=3×13×13． 由于3（3x 2+1），所以3｜（y 2－10）．

又因为3x 2+1>1，所以y 2－10>0，经实验可知y 2－10=39，3x 2+1=13．

所以x =2，y =7．