高等数学的矩阵在实际生活中的应用

矩阵在实际生活中的应用

一．【摘要】

随着科学技术的发展，数学的应用越来越广泛，可以说和我们的生活息息相关。而高等数学中的线性代数，也同样有着广泛的应用。本篇论文中，我们就对线性代数中的矩阵在生产成本、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行研究。

【关键词】

高等数学矩阵实际应用

二．应用举例

1.生产成本计算：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。但是得到的原始数据往往纷繁复杂，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。

例1.某工厂生产三种产品A、B、C。每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。

表1.生产单位产品的成本（元）表2.每种产品各季度产量（件）

解 我们用矩阵的方法考虑这个问题。两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。如下所示： 通过矩阵的乘法运算得到

MN 的第一行元素表示了四个季

度中每个季度的原料总成本；

MN 的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本；

MN 的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。

MN 的第一列表示了春季生产三种产品的总成本； MN 的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本； MN 的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本； MN 的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。

对总成本进行汇总，每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到，每一季度的总成本可由每一列相加得到。如下表：

表3. 总成本汇总表

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=200040003500250030003700480028002000250030002000N

这样，我们就利用矩阵的乘法把多个数据表汇总成一个数据表。从而比较直观地反映了该工厂生产的成本。

2.人口流动问题

例2.假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：

（1） 在这40万就业人员中，目前约有25万人从事农业，10万

人从事工业，5万人经商；

（2） 在务农人员中，每年约有10%改为务工，10%改为经商； （3） 在务工人员中，每年约有10%改为务农，20%改为经商； （4） 在经商人员中，每年约有10%改为务农，20%改为务工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。

解 若用三维向量(x i ,y i ,z i )T 表示第i 年后从事这三种职业的人员总数，则已知(x 0,y 0,z 0)T =(25，10，5)T 。而欲求(x 1,y 1,z 1)T ，(x 2,y 2,z 2)T 并考察在n →∞时(x n ,y n ,z n )T 的发展趋势。 依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为

即：

以(x 0,y 0,z 0)T =(25，10，5)T

代入上式，即得: 即一年业人员的人数分别为21.5万10.5万、8万人。

⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001117.02.01.02.07.01.01.01.08.0z y x A z y x Z Y X

以及

即两年后从事各业人员的人数分别为19.05

万、11.1万、9.85万人。进而推得：

即n 年之后从事各业人员的人数完全由 决定。 在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。不得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具。

3. 应用矩阵编制Hill 密码

密码学在经济和军事方面都起着极其重要的作用。在密码学中将信息代码称为密码，没有转换成密码的文字信息称为明文，把密码表示的信息称为密文。从明文转换为密文的过程叫加密，反之则为解密。现在密码学涉及很多高深的数学知识。

1929年，希尔（Hill ）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密码学史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。

假设我们要发出“attack ”这个消息。首先把每个字母a ，b ，c ，d ……x ，y ，z 映射到数1，2，3，4……24，25，26。例如1表示a ，3表示c ，20表示t ，11表示k ，另外用0表示空格，用27表示句号等。于是可以用以下数集来表示消息“attack ”： 把这个消息按列写成矩阵的形式： 第一步：“加密”工作。现在任选一个三阶的可逆矩阵，例如:

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛85.91.1105.190002

111222z y x A z y x A Z Y X ⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000111z y x A z y x A Z Y X n n n n n n n n A ⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=210211321A

于是可以把将要发出的消息或者矩阵经过乘以A 变成“密码”（B ）后发出。

第二步：“解密”。解密是加密的逆过程，这里要用到矩阵A 的逆矩

阵A -1

这个可逆矩阵称为解密的钥匙，或称为“密匙” 。当然矩阵A 是通信双方都知道的。即用

从密码中解出明码：

通过反查字母与数字的映射，即可得到消息“attack ”。

在实际应用中，可以选择不同的可逆矩阵，不同的映射关系，也可以把字母对应的数字进行不同的排列得到不同的矩阵，这样就有多种加密和解密的方式，从而保证了传递信息的秘密性。上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用，将高等代数与密码学紧密结合起来。运用数学知识破译密码，进而运用到军事等方面。可见矩阵的作用是何其强大。

4. 计算机图形变换

本学期我们学习了计算机图形学这门基础专业课程，其中接触到很多与矩阵变换有关的知识，这激发了我们的学习兴趣。下面将简单列举矩阵在这门课中的重要作用。

在计算机中点的坐标用齐次向量坐标来表示，即用n+1维向量来表示n 维向量。如点A （x,y,z ）用齐次向量坐标表示为A(x,y,z,1)。

例3：在二维直角坐标系中有三角形ABC ，坐标分别为（2，3），（3，1），（1，1），现将其向x 轴正方向平移2个单位，向y 轴正方向平移2个单位，求平移后各点对应的齐次坐标及相应的变换矩阵?

B

AM =⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2560266140101112032011210211321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-111122110

1

A