质数分解

★引子

前天，俺在《俺的招聘经验[4]：通过笔试答题能看出啥？》一文，以"求质数"作为例子，介绍了一些考察应聘者的经验。由于本文没有政治敏感内容，顺便就转贴到俺在CSDN 的镜像博客。

昨天，某个CSDN网友在留言中写道：

老实说,这个程序并不好写,除非你背过这段代码

如果只在纸上让别人写程序,很多人都会出错

但是如果给一台电脑,大多数人都会把这个程序调试正确

出这个题目没啥意义

只能让别人觉得你出题水平低

首先，这位网友看帖可能不太仔细。俺在文中已经专门强调过了，评判笔试答题，"思路和想法"远远比"对错"更重要，而他/她依然纠结于对错；其次，这位网友居然觉得这道题目没啥意义，这让俺情何以堪啊？！看来，有相当一部分网友完全没有领略到此中之奥妙啊！

算了，俺今天就豁出去了，给大伙儿抖一抖这道题目的包袱。当然，抖包袱的后果就是：从今天开始，就得把"求质数"这道题从俺公司的笔试题中去掉，然后换上另外一道全然不同的。这么好的一道题要拿掉，真是于心不忍啊 :-(

★题目

好，言归正传。下面俺就由浅入深，从各种角度来剖析这道题目的奥妙。

为了避免被人指责为"玩文字游戏"（有些同学自己审题不细，却抱怨出题的人玩文字游戏），在介绍各种境界之前，再明确一下题意。

前一个帖子已经介绍过，求质数可以有如下2种玩法。

◇需求1

请实现一个函数，对于给定的整型参数 N，该函数能够把自然数中，小于 N 的质数，从小到大打印出来。

比如，当 N = 10，则打印出

2 3 5 7

◇需求2

请实现一个函数，对于给定的整型参数 N，该函数能够从小到大，依次打印出自然数中最小的 N 个质数。

比如，当 N = 10，则打印出

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

★试除法

首先要介绍的，当然非"试除法"莫属啦。考虑到有些读者是菜鸟，稍微解释一下。

"试除"，顾名思义，就是不断地尝试能否整除。比如要判断自然数 x 是否质数，就不断尝试小于 x 且大于1的自然数，只要有一个能整除，则 x 是合数；否则，x 是质数。

显然，试除法是最容易想到的思路。不客气地说，也是最平庸的思路。不过捏，这个最平庸的思路，居然也有好多种境界。大伙儿请看：

◇境界1

在试除法中，最最土的做法，就是：

假设要判断 x 是否为质数，就从 2 一直尝试到 x-1。这种做法，其效率应该是最差的。如果这道题目有10分，按照这种方式做出的代码，即便正确无误，俺也只给1分。

◇境界2

稍微聪明一点点的程序猿，会想：x 如果有（除了自身以外的）质因数，那肯定会小于等于 x/2，所以捏，他们就从 2 一直尝试到 x/2 即可。

这一下子就少了一半的工作量哦，但依然是很笨的办法。打分的话，即便代码正确也只有2分

◇境界3

再稍微聪明一点的程序猿，会想了：除了2以外，所有可能的质因数都是奇数。所以，他们就先尝试 2，然后再尝试从 3 开始一直到 x/2 的所有奇数。

这一下子，工作量又少了一半哦。但是，俺不得不说，依然很土。就算代码完全正确也只能得3分。

◇境界4

比前3种程序猿更聪明的，就会发现：其实只要从 2 一直尝试到√x，就可以了。估计有些网友想不通了，为什么只要到√x 即可？

简单解释一下：因数都是成对出现的。比如，100的因数有：1和100，2和50，4和25，5和20，10和10。看出来没有？成对的因数，其中一个必然小于等于100的开平方，另一个大于等于100的开平方。至于严密的数学证明，用小学数学知识就可以搞定，俺就不啰嗦了。◇境界5

那么，如果先尝试2，然后再针对 3 到√x 的所有奇数进行试除，是不是就足够优了

捏？答案显然是否定的嘛？写到这里，才刚开始热身哦。

一些更加聪明的程序猿，会发现一个问题：尝试从 3 到√x 的所有奇数，还是有些浪费。比如要判断101是否质数，101的根号取整后是10，那么，按照境界4，需要尝试的奇数分别是：3，5，7，9。但是你发现没有，对9的尝试是多余的。不能被3整除，必然不能被9整除......顺着这个思路走下去，这些程序猿就会发现：其实，只要尝试小于√x 的质数即可。而这些质数，恰好前面已经算出来了（是不是觉得很妙？）。

所以，处于这种境界的程序猿，会把已经算出的质数，先保存起来，然后用于后续的试除，效率就大大提高了。

顺便说一下，这就是算法理论中经常提到的：以空间换时间。

◇补充说明

开头的4种境界，基本上是依次递进的。不过，境界5跟境界4，是平级的。在俺考察过的应聘者中，有人想到了境界4但没有想到境界5；反之，也有人想到境界5但没想到境界4。通常，这两种境界只要能想到其中之一，俺会给5-7分；如果两种都想到了，俺会给8-10分。

对于俺要招的"初级软件工程师"的岗位，能同时想到境界4和境界5，应该就可以了。如果你对自己要求不高，仅仅满足于浅尝辄止。那么，看到这儿，你就可以打住了，无需再看后续的内容；反之，如果你比较好奇或者希望再多学点东西，请接着往下看。

★筛法

说完"试除法"，再来说说筛法（维基百科的解释在"这里"）。俺不妨揣测一下：本文的读者，应该有2/3以上，从来没有听说过筛法。所以捏，顺便跟大伙儿扯扯蛋，聊一下筛法的渊源。

这个筛法啊，真的是一个既巧妙又快速的求质数方法。其发明人是公元前250年左右的一位希腊大牛——埃拉托斯特尼。为啥说他是大牛捏？因为他本人精通多个学科和领域，至少包括：数学、天文学、地理学（地理学这个词汇，就是他创立的）、历史学、文学（他是一个诗人）。真的堪称"跨领域的大牛"。

他最让俺佩服的是：仅仅用简单的几何方法，测量出了地球的周长、地球与月亮的距离、地球与太阳的距离、赤道与黄道的夹角......而且，这些计算结果跟当代科学家测出的，相差无几。要知道他生活的年代，大概相当于中国的春秋战国。而咱们的老祖宗，一直到明朝还顽固地坚信：天是圆的、地是方的、月亮会被天狗给吃喽......

好了，扯蛋完毕，言归正传。