自动控制原理(第三版)第4章根轨迹法(2)
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自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
第四章 线性系统的根轨迹法-4-2——【南航 自动控制原理】
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程，有
m
n
K (s zi )+ (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹起点 K =0 s pi , i 1, , n n个开环有限极点
由根轨迹方程，又有
m
n
(s zi )+(K )1 (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹终点 K s zi , i 1, , m m个开环有限零点
a
(2k 1)
nm
， k 0, 1,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
=
(a1 n
b1 m
)
由多项式的根与系数关系
n
n
a1 pi b1 zi
i 1
i 1
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
例4.2-1 已知单位反馈系统的开环传递函数为
K G(s)
s(s 3) (s )2 2
0, 0
试分析开环极点参数变化时渐近线。
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
分离点处相邻两条根 轨分迹离分点支处切一线共之有间多的少
夹条角根等轨于迹分支/？l
分离点处根轨迹的分离角d 为
d (2k 1) / l k 0,1,
分离点处，根轨迹进
侧的开环实有限零极点数为奇数。
系统的开环零极点分为 两类：实数零极点和复数 零极点，且复数零点或复 数极点必共轭成对。
系统开环零极点的分布为
图示，取实轴任一点 s=s1
·对复共轭开环极点
p4 j, p5 p4 j,
(s1 j)+(s1 +j)=2
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理第4章(2)
j
1 1 1 + = ( d + 1 + j ) ( d + 1- j ) d + 2
d1 = - 3.414, d 2 = - 0.586(舍去）
2
0
5、起始角：
pi (2k 1) （所有开环零点到起始点相角之和-所有开环极点到起始点相角之和）
qp1 = 180? ? ( 2 + 1- j) - 90? 135?, qp 2 - 135
绘制系统的根轨迹，并求系统有超调响应时K*的取值范围。(P153) 解：1、一个开环零点z1=-2，两个开环极点p1=-1+j,p2=-1-j； 两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。 2、实轴上根轨迹（-，-2]。 3、渐近线与负实轴重合。 4、求分离点：
j = (2k + 1)p , k = 0, j 1 = p 2- 1
• 法则4：实轴上根轨迹
在实轴上某区域右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数， 则该区域为根轨迹。
• 法则5：根轨迹分离点
m 1 1 设分离点坐标为d,则 j 1 d p j i 1 d zi n
6、根轨迹的起始角和终止角： 根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处切线与 正实轴的夹角：
=1
Ta = 0.8
作业
• P180 4-3(1) • P183 4-21
=0.5,cos=0.5, =60°
s1 = - 0.5+j 3 / 2 s2 = - 0.5 - j 3 / 2
等线
j
0
Ta | - 0.5 + j 3 / 2 | | - 0.5 + j 3 / 2 + 0.1+ j 0.995 || - 0.5 + j 3 / 2 + 0.1- j0.995 |
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
第4章 线性系统的根轨迹法(《自动控制原理》课件)
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹 将会非常不方 人们利用前面介绍的几个式子, 便. 人们利用前面介绍的几个式子 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 利用导出的法则 可方便地绘制出根轨迹的大至形状 叫概略根 轨迹, 轨迹 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了.
(2) 当0<K<=0.25时, 一个根的绝对值随 的增大而增大 另 的增大而增大, 时 一个根的绝对值随K的增大而增大 一个根的绝对值随K的增大而减小 两根的变化轨迹如下图所示: 的增大而减小, 一个根的绝对值随 的增大而减小 两根的变化轨迹如下图所示 jω ω σ -2 -1.5 -1 0
当K=0.25时, 两根相等 均为 时 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25<K<+∞ 时, 两根为共軛复根 且其实部均为 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而 +∞ 虚部的绝对值随K的增大而增大 两根的变化轨迹如下图所示: 的增大而增大, 虚部的绝对值随 的增大而增大 两根的变化轨迹如下图所示 jω ω σ
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 本节通过一个例子 介绍绘制根轨迹的七条法则 但对法则 不予推导和证明. 不予推导和证明 需指出的是, 需指出的是 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量 为参变量. 传递函数的零点和极点的具体数值 一般以 为参变量 某闭环系统的开环传递函数为: 例: 某闭环系统的开环传递函数为
阶数. 阶数 K叫开环系统的增益 K’叫开环系统的根轨迹增益 叫开环系统的增益, 叫开环系统的根轨迹增益, 叫开环系统的增益 叫开环系统的根轨迹增益 K与K’的本质相同 仅它们间的值有一系数关系, 即: 与 的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系 的本质相同
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
一般有两个解，从中
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
自动控制原理第四章2
10
开、闭环零极点与根轨迹设计
给F(s)增加零点(续)
F(s) =
K
,
s(s + a)(s + b)
C
a > 0, b > a.
z 给F(s)增加零点： s = – c， c > b .
原系统根轨迹的共轭复 根部分向左弯曲
增加零点可以改善系统 的相对稳定程度
12
开、闭环零极点与根轨迹设计
增加开环零点对根轨迹的影响
渐近中心: ？ C
有两条复根根轨迹，向右弯曲得更厉害
D
给F(s)增加极点将使根轨迹的 主导部分向右半s平面移动 9
开、闭环零极点与根轨迹设计
给F(s)增加零点
z增加一个实零点：
F (s)
=
K(s + b) ,
s(s + a)
a > 0, b > a.
z增加一对共轭复零点： B
σ
A
原系统根轨迹的共轭复根部分向
F(s)
=
K(s + s2(s +
b) a)
.
图C a = 8.
图D a = 3.
图E
a = b = 1.
极点 s = – a 和 零点 s = – b 相互抵消
分离点式子
s1,2
=
−
a
+ 4
3
± 1 a 2 − 10 a + 9 4
对于 a < 9 无意义
系统退化为二 阶情形，根轨 迹为整个虚轴
17
分离点式子
s1,2
=
−
a
+ 4
3
±
1 4
a2 − 10a + 9
开、闭环零极点与根轨迹设计
给F(s)增加零点(续)
F(s) =
K
,
s(s + a)(s + b)
C
a > 0, b > a.
z 给F(s)增加零点： s = – c， c > b .
原系统根轨迹的共轭复 根部分向左弯曲
增加零点可以改善系统 的相对稳定程度
12
开、闭环零极点与根轨迹设计
增加开环零点对根轨迹的影响
渐近中心: ？ C
有两条复根根轨迹，向右弯曲得更厉害
D
给F(s)增加极点将使根轨迹的 主导部分向右半s平面移动 9
开、闭环零极点与根轨迹设计
给F(s)增加零点
z增加一个实零点：
F (s)
=
K(s + b) ,
s(s + a)
a > 0, b > a.
z增加一对共轭复零点： B
σ
A
原系统根轨迹的共轭复根部分向
F(s)
=
K(s + s2(s +
b) a)
.
图C a = 8.
图D a = 3.
图E
a = b = 1.
极点 s = – a 和 零点 s = – b 相互抵消
分离点式子
s1,2
=
−
a
+ 4
3
± 1 a 2 − 10 a + 9 4
对于 a < 9 无意义
系统退化为二 阶情形，根轨 迹为整个虚轴
17
分离点式子
s1,2
=
−
a
+ 4
3
±
1 4
a2 − 10a + 9
第4章-自动控制原理(第3版)-余成波-清华大学出版社
可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能：
（3）当Kg=0.25时，闭环特征根为相同 负实根，系统处于临界阻尼状态，其阶 跃响应为非周期过程。
（4）当Kg>0.25时，闭环特征根为共轭 复根，系统呈欠阻尼状态，其阶跃响应 为衰减的振荡过程。
（5）有一个为0的开环极点，系统为Ⅰ 型系统，其阶跃作用下的稳态误差ess为 零。
（4）当0.25＜Kg＜∞时，s1,2 =－0.5±j0.5 4Kg 1， 两个闭环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实 部不随Kg变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚 轴的直线上。
（5）当Kg→∞时， s1 = －0.5+ j∞、s2 = －0.5－ j∞，此时s1、s2将趋于无限远处。
2020年6月12日
2020年6月12日
arccos，阻尼角 Kg ， ， ， %
EXIT
第4章第11页
由上述分析过程可知，系统的根轨迹分析的意义在于： 由较易获取的开环零极点分布分析闭环极点的性质，从而， 对系统的动态性能和稳态性能进行分析。
但是，试探法不是绘制根轨迹的最合适方法，而且也 太费时间。对于高阶系统，用这种解析的方法绘制出系统 的根轨迹图是很麻烦的。实际上，闭环系统的特征根的轨 迹都是根据开环传递函数与闭环特征根的关系，以及已知 的开环极点和零点在根平面上的分布，按照一定的规则用 图解的方法绘制出来的。
2020年6月12日
EXIT
第4章第3页
1948年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方 法——根轨迹法。 考虑到开环零极点更易获取，在开环零、极点分布已 知的情况下，可绘制闭环极点随系统参数变化（如 放大系数）而在s平面上移动的轨迹（根轨迹）。 用途：① 对系统的性能进行分析；
自动控制原理_第4章_2
z ( 2 l 1)
1
(z
j 1
n
1
pj)
(z
i2
m
1
zi )
l 0, 1, 2,
5
注意 以上两式只给出了 p 1 和 z 1 的出射角和入射角， 若计算其他开环虚数零、极点处的入射、出射角， 只要将该点的编号改为1即可。
绘制根轨迹时， 横、纵坐标的单位长度必须一致。 由根轨迹关于实轴对称的原则，只要求出一个
开环虚数零、极点的入射、出射角，则与之共轭
的开环虚数零、极点的入射、出射角即可推得。
6
[例4-5] 负反馈系统的开环传递函数为
G (s)H (s) k ( s 1) s 3 s 3 .2 5
2
出射角
绘制该系统的根轨迹。
汇合分离点
2 0 6 .6
p1
0
Im
1
z1
-2.12 -2
p2
-1
zi
i 1, 2, , m
pj
0
Re
j 2, 3, , n
开环虚数极点出射角求取示意图
绘制根轨迹的基本规则（续）
7 始于开环虚数极点的根轨迹的出射角为
p ( 2 l 1)
1
( p
i 1
m
1
zi )
( p
j2
n
1
pj)
终止于开环虚数零点的根轨迹的入射角为
2
绘制该系统根轨迹的大致图形。
17
Im
2
p2
1
p4
-3
-2
-1
0 p1
-1
1
Re
p3
1
(z
j 1
n
1
pj)
(z
i2
m
1
zi )
l 0, 1, 2,
5
注意 以上两式只给出了 p 1 和 z 1 的出射角和入射角， 若计算其他开环虚数零、极点处的入射、出射角， 只要将该点的编号改为1即可。
绘制根轨迹时， 横、纵坐标的单位长度必须一致。 由根轨迹关于实轴对称的原则，只要求出一个
开环虚数零、极点的入射、出射角，则与之共轭
的开环虚数零、极点的入射、出射角即可推得。
6
[例4-5] 负反馈系统的开环传递函数为
G (s)H (s) k ( s 1) s 3 s 3 .2 5
2
出射角
绘制该系统的根轨迹。
汇合分离点
2 0 6 .6
p1
0
Im
1
z1
-2.12 -2
p2
-1
zi
i 1, 2, , m
pj
0
Re
j 2, 3, , n
开环虚数极点出射角求取示意图
绘制根轨迹的基本规则（续）
7 始于开环虚数极点的根轨迹的出射角为
p ( 2 l 1)
1
( p
i 1
m
1
zi )
( p
j2
n
1
pj)
终止于开环虚数零点的根轨迹的入射角为
2
绘制该系统根轨迹的大致图形。
17
Im
2
p2
1
p4
-3
-2
-1
0 p1
-1
1
Re
p3
自动控制原理-线性系统的根轨迹法 (2)
閉環控制系統的動態性能與閉環極點在S平面上的 分佈位置是密切相關的,分析系統的性能時,往往要求 確定系統閉環極點的位置.另一方面,在分析和設計系 統時,經常需要研究一個或幾個參量變化時,對系統的 極點和系統性能的影響。
採用分解因式的古典方法求特徵方程式的根通常不容 易,特別是當某一參量發生變化(靈敏度)時,需要反復進 行計算,這時採用上述方法就顯得十分煩瑣,難以在實際 中應用。
K＝0.5 K＝0
該系統對於所有的K都是穩定的 穩態性能：
-1 0
原點處有一個極點 Ⅰ型系統
根軌跡上的K值就 是靜態誤差係數
0 K 0.5 : 过阻尼系 ，階统 躍回應為非週期過程
動態 K＝0.5：临界阻尼 ，階系 躍回统應為非週期過程
性能：
K
0.5：欠阻尼，階系躍统 回應為阻上尼頁振盪下過頁程
返回
根據相角條件,在同一分離點分離的各條根軌跡 分支,它們的切線將均分360度。2條根軌跡在分離 點相隔180度,4條根軌跡在分離點相隔90度。
分離點的座標為:
m
1
n
1
i1 d zi
j1 d p j
分離角：根軌跡進入分離點的切線方向與離開分離點的切 線方向之間的夾角
(2k 1)
l
l－進入並立即離開分離點的 根軌跡條數
根軌跡：當系統某一參數在規定範圍內變化時，相應的系
統閉環特徵方程根在s平面上的位置也隨之變化移動，一個
根形成一條軌跡。
系統特徵根的圖解方法!!!
廣義根軌跡:系統的任意一變化參數形成根軌跡。
狹義根軌跡（通常情況）：
變化參數為開環增益K，且其變化取值範圍為0到∞。
自動控制原理
一 根軌跡的概念
根軌跡法:系統某一參數變化時,繪製特徵方程的根在 S平面的位置變化軌跡的圖解方法。 根軌跡法的優點： 1：從已知的開環零、極點的位置及某一變化參數來求 取閉環極點的分佈，即解決閉環特徵式的求根問題。
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dK * (4 s 3 24 s 2 72 s 80) 0 ds b1 2 b2, 3 2 j 2.45
p3、p4的连接线上
大连民族学院机电信息工程学院
自动控制原理
规则6
根轨迹的出射角和入射角
入射角 根轨迹进入开环复 数零点处的切线方向与实 轴正方向的夹角
i 1 i 1
d m d n ln (s1 pi ) ln (s1 zi ) ds1 i 1 ds1 i 1
或
m d d ln( s p ) ln(s1 zi ) 1 i ds ds i 1 i 1 1 1
n
即得
G( s) K ( s 1) s( s 4)(s 2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4
一个开环零点：-1
渐近线与实轴交点：
a＝ i 1
n-m=4-1=3
p z
i i 1
n
m
i
nm
(0) (1 j) (1 j) (4) (1) 5 4 1 3
n m
或
(s
i 1
n
1
pi ) K ' ( s1 zi )
i 1
m
m d n ' d ( s p ) K (s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1
两式相除
d n d m ( s p ) ( s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1 n m (s1 pi ) (s1 zi )
大连民族学院机电信息工程学院
自动控制原理
根轨迹的终点是指当根轨迹增益K 时根轨迹的位置。
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1 m 1 n ( s pl ) ( s z i ) 0 K l 1 i 1
n
m
当 K 时，它将蜕化成为m次方程，而m≤n。
自动控制原理
例
G (s) K s(s 1)(s 2)
由 极值点求解
s1 0.42 s 2 1.58
[-1，-2]区间无根轨迹舍去
b 0.42
180 180 b 90 l 2
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自动控制原理
规则1、2、3 根轨迹对称于实轴， K* G( s ) H ( s ) 有四条根轨迹分支，分别起始 s( s 4)( s 2 4s 20) 于极点0，－4和－2±j4，终止于 无限远零点。 实轴上0～－4区段为根轨迹。
i 1 i 1 1 5
？ G( s1 ) H ( s1 )＝ (2k 1)180
每对共轭复数极点所提供 的幅角之和为360°；
s1右边所有位于实轴上的每一个极
点或零点所提供的幅角为180°； 点或零点所提供的幅角为0°。
s1左边所有位于实轴上的每一个极
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自动控制原理
系统的闭环传递函数
n m
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1
根轨迹的起点是指当K=0时，根轨迹的位置。由上式 可知，当K=0时，该方程便蜕化为开环特征方程，即
(s p ) 0
l l 1
n
2,,n) 就是开环传 上式表明了根轨迹的起点 s pl (l 1, 递函数的极点。
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1
n
m
一般来说，由于n≥m，所以特征方程是n次的。当K 取任何数值时，它总有n个根，由此便知根轨迹共 大连民族学院机电信息工程学院 有n条分支。
自动控制原理
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若 n > m，还有n-m 条根轨迹终止于s平面无穷远处。
a＝
n
一个开环零点：-4
m
p z
i 1 i i 1
i
nm
(0) ( 1) ( 5) ( 4) 1 31
渐近线与实轴正方向的夹角：
a
(2k 1)180 nm
a 90 、 270
-1
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自动控制原理
例 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。
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自动控制原理
规则2
根轨迹的分支数、起点和终点
根轨迹的分支数等于开环极点数目与开环零点数目 大者。
系统的开环传递函数
K ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn ) 系统的闭环传递函数
n 1 1 i 1 s1 zi i 1 s1 pi
m
解出s1，即为分离点d
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自动控制原理
2、由重根法求解d
G( s) H ( s) KB ( s) A( s)
A( s) B ' (s) A' (s) B(s) 0
由代数方程式解的性质可知，特征方程式出现 重根的条件是s值必须满足下列方程，即
计算入射角的表达式
j 1 j l
D(s) A(s) KB(s) 0
D ' (s) A' (s) KB ' (s) 0
3、由极值点求解d
dK ds 0
dK A( s) B ' ( s) A' ( s) B( s) ds [ B( s)]2
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A( s ) K B( s)
已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。
K ( s 1)( s 4)( s 6) G( s ) s 2 ( s 2)( s 3)2
[-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
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自动控制原理
规则4
根轨迹的渐近线
(s p1 ) (s p2 )
(s p4 ) / 2
(s p3 ) / 2
n i i 1 i
(s z ) (s p ) (2k 1)
i 1
m
根据规则5求根轨迹的分离点
K* 0 2 s( s 4)( s 4s 20) 2 K* s( s 4)( s 4s 20) ( s4 8s3 36s2 80s) 1 G( s ) H ( s ) 1
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自动控制原理
例 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。
G( s ) K (0.25 s 1) K *( s 4) s( s 1)(0.2 s 1) s( s 1)( s 5)
三个开环极点：0、-1、-5
n-m=3-1=2 渐近线与实轴交点：
n 1 1 d z i 1 i 1 d pi i m
解析法 试凑法
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自动控制原理
坐标值d由分式方程解出 (s z )
m
G ( s) H ( s) K
i
*
(s p )
i i 1
i 1 n
D( s) ( s pi ) K
n q 将两端同乘以 ，便得
1 (1 qp1 ) (1 pq n ) q n m (1 qz1 ) (1 qz m ) 0 K
当 K 时，它化为
q nm (1 qz1 )(1 qzm ) 0
1 , zm
这仍是n次方程，它有n个根：
1 q 0(n m重)， , z
i 1
n
'
(s z ) 0
i i 1
m
根轨迹在S平面上相遇并有重根，设重根为s1，根据代数中 的重根条件，有
D( s1 ) ( s1 pi ) K ' ( s zi ) 0
i 1 i 1 n m
d d D(s1 ) (s1 pi ) K ' (s1 zi ) 0 ds1 ds1 i 1 i 1
自动控制原理
第四章 根轨迹法
Chapter 4 ROOT LOCUS
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College of Electromechanical ＆ Information Engineering
自动控制原理
4.2
绘制根轨迹的基本法则
根轨迹的连续性和对称性 根轨迹分支数、起点和终点
实轴上的根轨迹
2. 渐近线与实轴的交点
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自动控制原理
(2k 1) ＝ nm
a＝ i 1
p z
i i 1
n
m
i
nm
1）当k值取不同值时，a 有（n－m）个值，而a不变； 2）根轨迹在s∞时的渐近线为 （n－m）条与实轴交点为a 、倾角a为的一组射线。
若m < n ,当 k →∞时有 n-m 条根轨迹沿着 n-m 条渐近线趋于s平面无穷远处。
1. 渐近线的倾角
(2k 1) ，k 0,1, 2, , (n m 1) nm
m n ( pl ) ( zi ) i 1 l 1 nm
(s z ) 0
i i 1
m
通常m < n , 还有n-m 条根轨迹终止在什么地方？
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自动控制原理
p3、p4的连接线上
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自动控制原理
规则6
根轨迹的出射角和入射角
入射角 根轨迹进入开环复 数零点处的切线方向与实 轴正方向的夹角
i 1 i 1
d m d n ln (s1 pi ) ln (s1 zi ) ds1 i 1 ds1 i 1
或
m d d ln( s p ) ln(s1 zi ) 1 i ds ds i 1 i 1 1 1
n
即得
G( s) K ( s 1) s( s 4)(s 2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4
一个开环零点：-1
渐近线与实轴交点：
a＝ i 1
n-m=4-1=3
p z
i i 1
n
m
i
nm
(0) (1 j) (1 j) (4) (1) 5 4 1 3
n m
或
(s
i 1
n
1
pi ) K ' ( s1 zi )
i 1
m
m d n ' d ( s p ) K (s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1
两式相除
d n d m ( s p ) ( s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1 n m (s1 pi ) (s1 zi )
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根轨迹的终点是指当根轨迹增益K 时根轨迹的位置。
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1 m 1 n ( s pl ) ( s z i ) 0 K l 1 i 1
n
m
当 K 时，它将蜕化成为m次方程，而m≤n。
自动控制原理
例
G (s) K s(s 1)(s 2)
由 极值点求解
s1 0.42 s 2 1.58
[-1，-2]区间无根轨迹舍去
b 0.42
180 180 b 90 l 2
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规则1、2、3 根轨迹对称于实轴， K* G( s ) H ( s ) 有四条根轨迹分支，分别起始 s( s 4)( s 2 4s 20) 于极点0，－4和－2±j4，终止于 无限远零点。 实轴上0～－4区段为根轨迹。
i 1 i 1 1 5
？ G( s1 ) H ( s1 )＝ (2k 1)180
每对共轭复数极点所提供 的幅角之和为360°；
s1右边所有位于实轴上的每一个极
点或零点所提供的幅角为180°； 点或零点所提供的幅角为0°。
s1左边所有位于实轴上的每一个极
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自动控制原理
系统的闭环传递函数
n m
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1
根轨迹的起点是指当K=0时，根轨迹的位置。由上式 可知，当K=0时，该方程便蜕化为开环特征方程，即
(s p ) 0
l l 1
n
2,,n) 就是开环传 上式表明了根轨迹的起点 s pl (l 1, 递函数的极点。
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1
n
m
一般来说，由于n≥m，所以特征方程是n次的。当K 取任何数值时，它总有n个根，由此便知根轨迹共 大连民族学院机电信息工程学院 有n条分支。
自动控制原理
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若 n > m，还有n-m 条根轨迹终止于s平面无穷远处。
a＝
n
一个开环零点：-4
m
p z
i 1 i i 1
i
nm
(0) ( 1) ( 5) ( 4) 1 31
渐近线与实轴正方向的夹角：
a
(2k 1)180 nm
a 90 、 270
-1
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自动控制原理
例 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。
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自动控制原理
规则2
根轨迹的分支数、起点和终点
根轨迹的分支数等于开环极点数目与开环零点数目 大者。
系统的开环传递函数
K ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn ) 系统的闭环传递函数
n 1 1 i 1 s1 zi i 1 s1 pi
m
解出s1，即为分离点d
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2、由重根法求解d
G( s) H ( s) KB ( s) A( s)
A( s) B ' (s) A' (s) B(s) 0
由代数方程式解的性质可知，特征方程式出现 重根的条件是s值必须满足下列方程，即
计算入射角的表达式
j 1 j l
D(s) A(s) KB(s) 0
D ' (s) A' (s) KB ' (s) 0
3、由极值点求解d
dK ds 0
dK A( s) B ' ( s) A' ( s) B( s) ds [ B( s)]2
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A( s ) K B( s)
已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。
K ( s 1)( s 4)( s 6) G( s ) s 2 ( s 2)( s 3)2
[-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
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规则4
根轨迹的渐近线
(s p1 ) (s p2 )
(s p4 ) / 2
(s p3 ) / 2
n i i 1 i
(s z ) (s p ) (2k 1)
i 1
m
根据规则5求根轨迹的分离点
K* 0 2 s( s 4)( s 4s 20) 2 K* s( s 4)( s 4s 20) ( s4 8s3 36s2 80s) 1 G( s ) H ( s ) 1
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例 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。
G( s ) K (0.25 s 1) K *( s 4) s( s 1)(0.2 s 1) s( s 1)( s 5)
三个开环极点：0、-1、-5
n-m=3-1=2 渐近线与实轴交点：
n 1 1 d z i 1 i 1 d pi i m
解析法 试凑法
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坐标值d由分式方程解出 (s z )
m
G ( s) H ( s) K
i
*
(s p )
i i 1
i 1 n
D( s) ( s pi ) K
n q 将两端同乘以 ，便得
1 (1 qp1 ) (1 pq n ) q n m (1 qz1 ) (1 qz m ) 0 K
当 K 时，它化为
q nm (1 qz1 )(1 qzm ) 0
1 , zm
这仍是n次方程，它有n个根：
1 q 0(n m重)， , z
i 1
n
'
(s z ) 0
i i 1
m
根轨迹在S平面上相遇并有重根，设重根为s1，根据代数中 的重根条件，有
D( s1 ) ( s1 pi ) K ' ( s zi ) 0
i 1 i 1 n m
d d D(s1 ) (s1 pi ) K ' (s1 zi ) 0 ds1 ds1 i 1 i 1
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第四章 根轨迹法
Chapter 4 ROOT LOCUS
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4.2
绘制根轨迹的基本法则
根轨迹的连续性和对称性 根轨迹分支数、起点和终点
实轴上的根轨迹
2. 渐近线与实轴的交点
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(2k 1) ＝ nm
a＝ i 1
p z
i i 1
n
m
i
nm
1）当k值取不同值时，a 有（n－m）个值，而a不变； 2）根轨迹在s∞时的渐近线为 （n－m）条与实轴交点为a 、倾角a为的一组射线。
若m < n ,当 k →∞时有 n-m 条根轨迹沿着 n-m 条渐近线趋于s平面无穷远处。
1. 渐近线的倾角
(2k 1) ，k 0,1, 2, , (n m 1) nm
m n ( pl ) ( zi ) i 1 l 1 nm
(s z ) 0
i i 1
m
通常m < n , 还有n-m 条根轨迹终止在什么地方？
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