自动控制原理(第三版)第4章根轨迹法(2)

2. 渐近线与实轴的交点
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(2k 1) ＝ nm
a＝ i 1
p z
i i 1
n
m
i
nm
1）当k值取不同值时，a 有（n－m）个值，而a不变； 2）根轨迹在s∞时的渐近线为 （n－m）条与实轴交点为a 、倾角a为的一组射线。
dK * (4 s 3 24 s 2 72 s 80) 0 ds b1 2 b2, 3 2 j 2.45
p3、p4的连接线上
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规则6
根轨迹的出射角和入射角
入射角 根轨迹进入开环复 数零点处的切线方向与实 轴正方向的夹角
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例
G (s) K s(s 1)(s 2)
由 极值点求解
s1 0.42 s 2 1.58
[-1，-2]区间无根轨迹舍去
b 0.42
180 180 b 90 l 2
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规则1、2、3 根轨迹对称于实轴， K* G( s ) H ( s ) 有四条根轨迹分支，分别起始 s( s 4)( s 2 4s 20) 于极点0，－4和－2±j4，终止于 无限远零点。 实轴上0～－4区段为根轨迹。
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例 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。
G( s ) K (0.25 s 1) K *( s 4) s( s 1)(0.2 s 1) s( s 1)( s 5)
三个开环极点：0、-1、-5
n-m=3-1=2 渐近线与实轴交点：
n 1 1 d z i 1 i 1 d pi i m
解析法 试凑法
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坐标值d由分式方程解出 (s z )
m
G ( s) H ( s) K
i
*
(s p )
i i 1
i 1 n
D( s) ( s pi ) K
已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。
K ( s 1)( s 4)( s 6) G( s ) s 2 ( s 2)( s 3)2
[-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
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规则4
根轨迹的渐近线
i 1 i 1 1 5
？ G( s1 ) H ( s1 )＝ (2k 1)180
每对共轭复数极点所提供 的幅角之和为360°；
s1右边所有位于实轴上的每一个极
点或零点所提供的幅角为180°； 点或零点所提供的幅角为0°。
s1左边所有位于实轴上的每一个极
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根据规则4 根轨迹有四条渐近线
(2k 1)180 a 45， 135 nm
a＝ i 1
p z
i i 1
n
m
i
nm

0 (4) (2)＋(2) 2 4
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K* 辐角条件 p3、p4的连接线 G( s ) H ( s ) s( s 4)( s 2 4s 20) 为根轨迹
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根轨迹的终点是指当根轨迹增益K 时根轨迹的位置。
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1 m 1 n ( s pl ) ( s z i ) 0 K l 1 i 1
n
m
当 K 时，它将蜕化成为m次方程，而m≤n。
计算入射角的表达式
j 1 j l
(s z ) 0
i i 1
m
通常m < n , 还有n-m 条根轨迹终止在什么地方？
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1 我们在上式中做置换，令 s q 1 1 1 1 1 ( p1 ) ( pn ) ( z1 ) ( zm ) 0 K q q q q
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第四章 根轨迹法
Chapter 4 ROOT LOCUS
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4.2
绘制根轨迹的基本法则
根轨迹的连续性和对称性 根轨迹分支数、起点和终点
实轴上的根轨迹
根轨迹的渐近线 根轨迹的分离点和汇合点 根轨迹的起始角和终止角 根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程根之和与根之积
！绘制注意点 1）实轴、虚轴相同的刻度
2）“×”、 “〇” 3）加粗线及箭头
4）关键点的标注
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规则1
根轨迹的对称性
实际系统的开环零极点以及闭环零极点总是 实数或共轭复数对。它们往往在s平面上的分布是 关于实轴对称的。因此根轨迹也是关于实轴对称 的。利用对称的特点，只需绘制实轴上半平面的 根轨迹就可以了。
G( s) K ( s 1) s( s 4)(s 2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4
一个开环零点：-1
渐近线与实轴交点：
a＝ i 1
n-m=4-1=3
p z
i i 1
n
m
i
nm

(0) (1 j) (1 j) (4) (1) 5 4 1 3
i 1 i 1
d m d n ln (s1 pi ) ln (s1 zi ) ds1 i 1 ds1 i 1
或
m d d ln( s p ) ln(s1 zi ) 1 i ds ds i 1 i 1 1 1
n
即得
渐近线与实轴正方向的夹角：
a (2k 1)180 nm
a 60、 180、 300
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规则5 根轨迹的分离点和汇合点 分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后 又立即分开。
分离点必然是为D(s)某一数值时的重根点。
1、d坐标值由分式方程解出
n 1 1 i 1 s1 zi i 1 s1 pi
m
解出s1，即为分离点d
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2、由重根法求解d
G( s) H ( s) KB ( s) A( s)
A( s) B ' (s) A' (s) B(s) 0
由代数方程式解的性质可知，特征方程式出现 重根的条件是s值必须满足下列方程，即
可见方程(4-13)在时n个根应是
s (n m重)， z1 , , zm
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规则3
根轨迹在实轴上的分布
实轴上的根轨迹只能是其右侧开环实数零、极点总 数为奇数的线段。共轭复数开环零、极点对确定实 轴上的根轨迹无影响。
G( s1 ) H ( s1 ) ( s zi ) ( s pi )
n q 将两端同乘以 ，便得
1 (1 qp1 ) (1 pq n ) q n m (1 qz1 ) (1 qz m ) 0 K
当 K 时，它化为
q nm (1 qz1 )(1 qzm ) 0
1 , zm
这仍是n次方程，它有n个根：
1 q 0(n m重)， , z
a＝
n
一个开环零点：-4
m
p z
i 1 i i 1
i
nm

(0) ( 1) ( 5) ( 4) 1 31
渐近线与实轴正方向的夹角：
a
(2k 1)180 nm
a 90 、 270
-1
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例 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。
(s p1 ) (s p2 )
(s p4 ) / 2
(s p3 ) / 2
n i i 1 i
(s z ) (s p ) (2k 1)
i 1
m
根据规则5求根轨迹的分离点
K* 0 2 s( s 4)( s 4s 20) 2 K* s( s 4)( s 4s 20) ( s4 8s3 36s2 80s) 1 G( s ) H ( s ) 1
系统的闭环传递函数
n m
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1
根轨迹的起点是指当K=0时，根轨迹的位置。由上式 可知，当K=0时，该方程便蜕化为开环特征方程，即
(s p ) 0
l l 1
n
2,,n) 就是开环传 上式表明了根轨迹的起点 s pl (l 1, 递函数的极点。
若m < n ,当 k →∞时有 n-m 条根轨迹沿着 n-m 条渐近线趋于s平面无穷远处。
1. 渐近线的倾角

(2k 1) ，k 0,1, 2, , (n m 1) nm
m n ( pl ) ( zi ) i 1 l 1 nm
p1 出射角
出射角 根轨迹离开开环复 数极点处的切线方向与实 轴正方向的夹角
根据相角条件确定
z1 入射角
出射角和入射角
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出射角的一般表达式为
l (2k 1) i j
i 1
m
n
l 为待求开环复数极点 p 的出射角； j 式中， l 为除去 pl 外的其余开环极点指向极点 pl 的矢量的 相角； i 为开环零点指向极点 pl 矢量的相角。
i 1
n
'
(s z ) 0
i i 1
m
根轨迹在S平面上相遇并有重根，设重根为s1，根据代数中 的重根条件，有
D( s1 ) ( s1 pi ) K ' ( s zi ) 0
i 1 i 1 n m
d d D(s1 ) (s1 pi ) K ' (s1 zi ) 0 ds1 ds1 i 1 i 1
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1
n
m
一般来说，由于n≥m，所以特征方程是n次的。当K 取任何数值时，它总有n个根，由此便知根轨迹共 大连民族学院机电信息工程学院 有n条分支。
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根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若 n > m，还有n-m 条根轨迹终止于s平面无穷远处。
D(s) A(s) KB(s) 0
D ' (s) A' (s) KB ' (s) 0
3、由极值点求解d
dK ds 0
dK A( s) B ' ( s) A' ( s) B( s) ds [ B( s)]2
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A( s ) K B( s)
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规则2ຫໍສະໝຸດ Baidu
根轨迹的分支数、起点和终点
根轨迹的分支数等于开环极点数目与开环零点数目 大者。
系统的开环传递函数
K ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn ) 系统的闭环传递函数
n m
或
(s
i 1
n
1
pi ) K ' ( s1 zi )
i 1
m
m d n ' d ( s p ) K (s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1
两式相除
d n d m ( s p ) ( s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1 n m (s1 pi ) (s1 zi )