高中数学常见题型解法归纳 - 四种算法案例

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高中数学各大题型详细解题方法总结，建议高考生收藏！

高中数学各大题型详细解题方法总结，建议高考生收藏！高考数学大题考查的包括三角函数、立体几何、数列、圆锥曲线、函数与导数。

每类题都有对应的出题套路，每一种套路都有对应的解题方法：三角函数三角函数的题有两种考法，其中10%~20%的概率考解三角形，80%~90%的概率考三角函数本身。

1. 解三角形不管题目是什么，要明白，关于解三角形，只学了三个公式——正弦定理、余弦定理和面积公式。

所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。

至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试一下也未尝不可。

2. 三角函数然后求解需要求的。

套路一般是给一个比较复杂的式子，然后问这个函数的定义域、值域、周期、频率、单调性等问题。

解决方法就是，首先利用“和差倍半”对式子进行化简。

化简成：掌握以上公式，足够了。

关于题型，见下图：立体几何立体几何的相关题目，稍微复杂一些，可能会卡住一些人。

这个题目一般有2~3问，一般会考查某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直，以及求二面角。

这类题目的解题方法有两种：空间向量法和传统法。

这两种方法各有利弊。

向量法：使用向量法的好处在于：没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。

缺点就是计算量大，且容易出错。

使用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。

建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。

其形式为AB=（a，b，c），然后进行后续证明与求解。

箭头指的是利用前面的方法求解。

如果有些同学会觉得比较乱，以下为无箭头标注的图。

传统法：在学立体几何的时候，有很多性质定理和判定定理。

但是针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了上图中6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。

所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。

另外，还有一类题，是求点到平面距离的，这类题百分之百用等体积法求解。

数列从这里开始，会明显感觉题目变难了，但是掌握了套路和方法，解决这类题目并不困难。

高中数学数列题型归纳及解题方法梳理

1数列典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得＝，解得d ＝1，d ＝0（舍去），故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)==2n+1-2.小结与拓展：数列{}na 是等差数列，则数列}{na a 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}na 的121d +1812d d++2ma 2(12)12n --公差。

（a>0且a≠1）.【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例 2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．求数列{a n}与{b n}的通项公式。

解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n－1)(n∈N*) ②①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，2∴数列{b n＋1－b n}的公差为－2－(－4)＝2，∴b n －b n＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，＋1法一（迭代法）b n＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b n－b n－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二（累加法）即b n－b n－1＝2n－8，b n－1－b n－2＝2n－10，…b3－b2＝－2，b2－b1＝－4，b1＝8，相加得b n＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)34 ＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n∈N *)．小结与拓展：1）在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。

高中数学之算法案例

算法案例（讲义）➢ 知识点睛典型算法举例： 1. 辗转相除法①方法概述：两数相除，较大数除以较小数，得商和余数，继而较小数除以余数，重复操作，直至除尽，此时除数即为最大公约数．②原理：在a =bq +r 中，除数b 和余数r 能被同一个数整除，那么被除数a 也能被这个数整除．或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数． 2. 秦九韶算法把一个n 次多项式改写成如下形式：1110121102312101210()()(())((()))n n n n n n n n n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a ----------=++++=++++=+++++==+++++……………… 记0n v a =，11n n v a x a -=+，…，10n n v v x a -=+．求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v 1，然后由内向外逐层计算． 3. 进位制①k 进制：若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式．110()n n k a a a a -…11011000n n n n a a a a N a k a a a k --∈<<<≤（，，…，，，，，…，，）②进位制数相互转化：k 进制转十进制，计算k 进制数a 的右数第i 位数字i a 与1i k -的乘积1i i a k -⋅，再将其累加，重复操作求和．十进制数转k 进制数（除k 取余法）：如右图，十进制数化为二进制数， 89=1011001（2）．➢ 精讲精练1. 用“辗转相除法”求下列数的最大公约数：（1）459和357的最大公约数是____________；余数2222222012511224489（2）三个数324243135，，的最大公约数是____________．2. 用秦九韶算法求多项式的值：（1）计算多项式x x x x x x x f 876543)(23456+++++=在1.0=x 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是_______，_______；（2）求多项式23456()1235879653f x x x x x x x =+-++++在x =-4的值时，4v 的值为_______；（3）计算多项式5432()853261f x x x x x x =+++++，当2x =时的值为________． 3. 完成下列进制的转化：(3)(10)10202____=； (10)__________(8)101=；1231(5)=_____________(7)．4. 三位七进制的数表示的最大的十进制的数是（）A ．322B ．402C ．342D ．3655. 在下列各数中，最小的数是（）A ．)9(85B ．)6(210C ．)4(1000D ．(2)1111116. 已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，按照从小到大的顺序排列为________________．7. 已知()175r =(10)125，则r =________．8. 如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 的值分别为14，18，则输出的a 的值为（） A ．0B ．2C ．4D ．149. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（） A ．35B ．20C ．18D ．910.下面是把二进制数(2)11111化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．5i>？B．4i≤？C．4i>？D．5i≤？11.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A．715816P<≤B．1516P>C．3748P<≤D．715816P<≤12.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)（例如a=815，则I(a)=158，D(a)=851）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=________．13. 已知函数232 1 01 012 1x x y x x x x x -<⎧⎪=+<⎨⎪+⎩≤≥（）（）（），写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．14. 设计一算法，求使20063212222>++++n Λ成立的最小正整数n 的值.15.设计算法计算：1112131415167S=++++++，画出程序框图．【参考答案】1. （1）51；（2）272. （1）6；5；（2）220；（3）3813. 101 145 3624. C5. D6. (4)(16)(7)331225<<7. 88. B9. C 10. C 11. C 12. 495 13. 略 14. 略 15. 略算法案例（随堂测试）1. 372和684的最大公约数是（）A ．36B ．186C ．12D ．5892. 用秦九韶算法计算多项式65432()3567983512f x x x x x x x =+++-++在x =-4时的值时，v 2的值为（）A ．-57B ．-22C ．34D ．743. 1234（8）=________（10）；300=________（5）；300=_______（6）．4. 设计一个算法，输入正整数n ，输出111123n++++…．【参考答案】1. C2. C3. 668；2 200；1 2204. 略算法案例（习题）➢ 巩固练习5. 求下列数的最大公约数：（1）1 443与999的最大公约数是_____________；（2）319，377，116的最大公约数是___________．6. 用秦九韶算法求n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++…，当x =x 0时，0()f x 需要算乘法、加法的次数分别为（） A ．n 2，nB ．2n ，nC ．n ，2nD ．n ，n7.已知532=++++，运用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（）()231f x x x x xA．27 B．11 C．109 D．368.用秦九韶算法求多项式765432=++++++在x=3时的值为________．()765432f x x x x x x x x9.把21化为二进制数，则此数为（）A．10011（2）B．10110（2）C．10101（2）D．11001（2）10.一个k进制的三位数与某六进制的二位数等值，则k不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．711.下列各数中，最小的数是（）A．75B．210（6）C．111111（2）D．85（9）12.若a=33（10），b=52（6），c=11111（2），则三个数的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c13.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7B．12C．17D．34第9题图第10题图14.如图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是（）A．11112310++++…B．11113519++++…C．111124620++++…D．231011112222++++…15.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？11第11题图第12题图16. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A ．S ≤34？B ．S ≤56？C ．S ≤1112？ D ．S ≤1524？17. 设计一个算法，输入两个数，输出两个数中较大的一个．18.已知函数21111131x x y x x x x ⎧-<-⎪=+-⎨⎪+>≤≤（）（）（），试画出求函数值的程序框图．19. 对任意给定的正整数n ，写出一个求13+23+33+…+n 3的算法程序框图．20.设计算法求111112233499100++++⨯⨯⨯⨯…的值，要求画出程序框图．【参考答案】1.（1）111 （2）292.D3.D4.213245.C6.D7.C8.D9.C10.C11.A12.C13.略14.略15.略16.略12。

解密高中数学常见题型解析与实例解答技巧与思路

解密高中数学常见题型解析与实例解答技巧与思路高中数学作为学生普遍认为比较困难的学科之一，经常让同学们感到头疼。

在高中数学学习的过程中，我们会遇到各种不同的题型，有些题目看似简单，实际上需要通过一定的方法和技巧来解答。

本文将针对高中数学常见题型进行解析，并给出实例解答的技巧和思路。

一、代数方程题代数方程题在高中数学中属于基础题型，但也是容易出错的题目之一。

对于一些常见的代数方程题，我们可以采用以下技巧和思路进行解答。

1. 一次方程与二次方程一次方程和二次方程是最基本的代数方程类型。

在解一次方程时，我们可以通过逆向思维来确定未知数的值，即从已知的结果逆推回去。

而对于二次方程，可以利用求根公式或配方法等方式来求解。

2. 分式方程分式方程在解题时需要注意分母不能为零，可以通过通分、消分母等方法来简化方程，进而求解未知数的值。

3. 绝对值方程绝对值方程可以通过分情况讨论的方式来解答。

要注意绝对值的取值范围和绝对值函数的性质。

二、几何题几何题在高中数学中占据重要地位，解几何题需要掌握一定的几何知识和技巧。

以下是一些常见的几何题的解答技巧和思路。

1. 直线与圆的相交问题当直线与圆相交时，我们可以利用相切线的性质和角的性质来解答。

对于特殊情况，如直径、垂径等，需要注意对应的特殊性质。

2. 三角形的面积问题解三角形的面积问题时，可以利用海伦公式、正弦定理、余弦定理等几何定理来求解。

同时要注意计算时的单位换算和精度控制。

3. 圆锥与球的体积问题解圆锥和球的体积问题时，可以利用体积公式进行计算。

要注意单位的统一，对于圆锥的特殊情况如棱锥、斜锥等，需要注意对应的计算方法。

三、概率题概率题是高中数学中的一类难点题型，需要运用概率知识和统计方法来解答。

以下是一些常见的概率题的解答技巧和思路。

1. 条件概率解条件概率题时，需要根据已知条件计算出对应的概率。

可以利用条件概率公式和全概率公式来求解。

2. 排列组合与概率在一些涉及排列组合的概率题中，我们可以通过计算不重复的事件数和总事件数来计算概率。

高中数学常见题型解法归纳斜二测画法直观图的面积的求法

高中数学常见题型解法归纳斜二测画法直观图的面积的求法的面积S可以用等腰梯形的面积公式求解，即S=（上底+下底）×高÷2.例1】画一个边长为2的正三角形的斜二测直观图，用公式法求此直观图面积.解：首先求出原图形的面积S.由于是正三角形，所以S=√3÷4×2²=√3.代入公式S直观图=2S÷4=√3÷2，即可求出直观图面积为√3÷2.点评】公式法比直接法简洁，但需要先求出原图形的面积，再代入公式求解直观图面积.反馈检测1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面角为45度，腰和上底均为1的等腰梯形，求原来图形的面积.解：设原图形上底为a，下底为b，高为h，则根据等腰梯形的面积公式可得S=(a+b)×h÷2.由于直观图是一个底面角为45度，腰和上底均为1的等腰梯形，所以直观图的面积为√2÷2.代入公式S直观图=2S÷4，即可求得原图形的面积S=√2÷2.已知正三角形ABC的边长为2a，求其平面直观图△A'B'C'的面积。

根据斜二测画法，直观图的面积和原图的面积存在关系，即S直观图=S原图/4.因此，直观图的面积为：S直观图=S原图/4=√3/4*(2a)^2/4=3a^2/4.所以，答案为A。

3a^2/4.另一个题目是利用斜二测画法，已知一个平面图形的直观图是边长为1的正方形，求该平面图形的面积。

根据斜二测画法，直观图的面积和原图的面积存在关系，即S直观图=S原图/4.因此，原图的面积为：S原图=S直观图*4=1*4=4.所以，答案为D。

4.。

极值点偏移四种题型的解法及例题

极值点偏移是高中数学中的一个重要概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。

在解决数学问题时，我们经常会遇到一些与极值点有关的题型，比如函数的极值问题、优化问题等。

而在解决这些问题时，极值点偏移方法是一种非常实用的解题技巧。

本文将从四种题型出发，对极值点偏移方法进行详细解析，并结合具体例题进行说明。

1. 函数的极值问题函数的极值问题是高中数学中的一个重要内容。

在解决这类问题时，我们常常会用到导数的概念，来求函数的极值点。

但有些情况下，我们可以通过极值点偏移方法更快地得到函数的极值点。

比如对于一些简单的函数，通过极值点的平移和对称性，可以用更简洁的方法求得函数的极值点。

举例说明：已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的极值点。

解：求导得 $f'(x)=3x^2-6x$。

令导数为零，得到 $x=0$ 或 $x=2$。

根据导数的符号，可知 $x=0$ 是极小值点，$x=2$ 是极大值点。

但通过极值点偏移方法，我们可以发现，当 $x=0$ 时，$f(x)=2$；而当$x=2$ 时，$f(x)=2$。

也就是说，极小值点 $x=0$ 对应的函数值和极大值点 $x=2$ 对应的函数值相等。

这就是极值点偏移的思想。

2. 优化问题优化问题是数学建模中常见的类型之一，也是考察学生综合运用数学知识解决实际问题的一种形式。

当我们遇到优化问题时，常常需要求解函数的极值点。

而极值点偏移方法可以帮助我们更快地找到函数的极值点，从而解决优化问题。

举例说明：一块长为20厘米的铁皮，可以做成一个底面积为 $x cm^2$ 的正方形盒子和一个底面积为 $y cm^2$ 的开口放平盒子，求怎样分割这块铁皮才能使总体积最大。

解：设正方形盒子的边长为 $a$，开口朝下的放平矩形盒子的底边长为 $b$，高为 $h$。

则根据题意可知，$b=a+2h$，且 $x=a^2$，$y=bh$。

问题转化为求 $x+y$ 的最大值。

高中数学解多项式方程题型详解

高中数学解多项式方程题型详解在高中数学中，解多项式方程是一个重要的内容，也是学生们经常遇到的难题之一。

本文将详细介绍几种常见的多项式方程题型，并给出解题方法和技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这类题目。

一、线性多项式方程线性多项式方程是最简单的多项式方程形式，其解法也相对简单。

例如，解方程2x + 3 = 7。

解法：首先将方程转化为标准形式，即将常数项移到等号右边，得到2x = 7 - 3，即2x = 4。

然后将方程两边同除以2，得到x = 2。

因此，方程的解为x = 2。

对于线性多项式方程，解题的关键是将方程转化为标准形式，然后通过移项、合并同类项等基本运算，得到未知数的值。

二、二次多项式方程二次多项式方程是高中数学中常见的一类多项式方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数。

例如，解方程x^2 - 5x + 6 = 0。

解法：首先观察方程的形式，发现该方程可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。

根据零乘法则，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0，即x = 2或x = 3。

因此，方程的解为x = 2或x = 3。

对于二次多项式方程，解题的关键是观察方程的形式，尝试因式分解，找到方程的根。

三、高次多项式方程高次多项式方程是指次数大于2的多项式方程，解题相对复杂。

例如，解方程x^3 - 3x^2 + 2x - 6 = 0。

解法：对于高次多项式方程，通常需要使用数值方法或图像法求解。

其中，牛顿迭代法是一种常用的数值方法，可以通过迭代逼近的方式求得方程的近似解。

图像法则是通过绘制方程的图像，观察曲线与x轴的交点来确定方程的根。

对于高次多项式方程，解题的关键是灵活运用数值方法和图像法，通过逼近和观察来确定方程的根。

综上所述，解多项式方程是高中数学中的重要内容，也是学生们需要掌握的基本技能。

通过对线性多项式方程、二次多项式方程和高次多项式方程的解题方法和技巧的介绍，希望能够帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这类题目。

高中数学题型归纳及方法

高中数学题型归纳及方法一、函数题型。

1. 求函数定义域题型。

题目：求函数y = (1)/(√(x 1))+ln(x + 2)的定义域。

解析：对于(1)/(√(x 1))，要使根式有意义，则根号下的数大于0，即x 1>0，解得x>1。

对于ln(x + 2)，对数函数中真数大于0，即x+2>0，解得x > 2。

综合起来，函数的定义域为x>1。

2. 函数单调性判断题型。

题目：判断函数y = x^2-2x + 3在(-∞,1)上的单调性。

解析：对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴为x =-(b)/(2a)。

在函数y = x^2-2x + 3中，a = 1，b=-2，对称轴x = 1。

因为a = 1>0，二次函数开口向上，所以在对称轴左侧(-∞,1)上函数单调递减。

二、三角函数题型。

3. 三角函数化简求值题型。

题目：化简sin(α+β)cosβ-cos(α +β)sinβ并求值（已知α=(π)/(3)）。

解析：根据两角差的正弦公式sin(A B)=sin Acos B-cos Asin B，这里A=α+β，B = β，所以sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin(α+β-β)=sinα。

当α=(π)/(3)时，sinα=(√(3))/(2)。

4. 三角函数图象平移题型。

题目：将函数y=sin x的图象向左平移(π)/(3)个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），求得到的函数解析式。

解析：将y = sin x的图象向左平移(π)/(3)个单位，根据“左加右减”原则，得到y=sin(x+(π)/(3))的图象。

再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则x的系数变为原来的(1)/(2)，得到y=sin((1)/(2)x+(π)/(3))。

三、数列题型。

5. 等差数列通项公式求题型。

题目：已知等差数列{a_n}中，a_1=2，公差d = 3，求其通项公式a_n。

高中数学21种解题方法及例题

高中数学21种解题方法及例题高中数学是一门很重要的学科，也是很多学生觉得困难的学科之一。

在解题的过程中，学生通常需要掌握一些解题方法和技巧。

下面我将介绍高中数学中常用的21种解题方法，并给出相应的例题。

1.立体几何解题方法：首先根据题目要求，画出几何图形；然后根据图形的特点，运用相应的几何定理和计算公式，推导出求解所需的等式或关系式；最后代入数据进行计算。

例题：已知正方体的体积是64立方厘米，求正方体的边长。

2.二次函数解题方法：首先确定二次函数的类型，如抛物线开口方向等；然后根据题目要求，列出方程或不等式；最后解方程或不等式，求解出未知数。

例题：已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点(-1, 2)和(2, 5)，且在x=1处取得最小值2，求a、b、c的值。

3.反证法解题方法：假设所要证明的结论不成立，推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明假设不成立，即所要证明的结论成立。

例题：证明根号2是无理数。

4.分析法解题方法：根据题目所给的条件，逐步分析问题，提取并利用条件之间的关系，推导出所要求的结论。

例题：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD交于点O，设∠ACD=m，求∠BOD的度数。

5.数字特征解题法：根据题目要求，进行分析，找出问题中的数字特征，并利用特征进行计算或推导。

例题：设a，b，c均为正数，且满足等式a+b+c=1，求最大值3a²+6b+9c²。

6.整体与部分解题方法：把题目所给的整体看成若干个部分，通过对部分的分析和计算，得到整体的结论。

例题：某数的20%是30，求这个数。

7.函数与方程解题方法：根据题目要求，根据函数或方程的性质和变化规律，列出方程或不等式，最后求解未知数。

例题：已知函数f(x)=ax²+bx+c与y轴交于点A，与曲线y=x²交于点B和C，且B(1, 1)，求方程f(x)=0的两个根的和的倒数。

8.逐次逼近法解题方法：通过逐步逼近，不断缩小求解范围，最终得到所要求解的值。

高中数学_算法案例

算法案例知识图谱算法案例知识精讲一．更相减损术应用：求两个整数的最大公约数的算法更相减损术的步骤：1.任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数．若是，则用2约简；若不是则执行第二步．2.以两个数中较大的数减去较小的数，以差数和较小的数构成一对新的数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数为止，则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数．等值算法：用“更相减损术”设计出来的算法求最大公约数的算法称为“等值算法”，用等值算法可以求任意两个正整数的最大公约数．说明：《九章算法》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数．以具体的例子来说明更相减损术求最大公约数的原理：以求117和182的最大公约数为例：，，，，，，，，(117182)(11765)(6552)(5213)(1339)(1326)(1313)→→→→→→每次操作后得到的两个数与前两个数的最大公约数相同，而且逐渐减少，故总能得到相等的两个数，即为所求的最大公约数．二．辗转相除法又称欧几里得算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出来的求两个数的最大公约数的算法．辗转相除法的步骤：对于给定的两个数，以其中较大的数除以较小的数得到一个余数，将较小的数与余数看成一对新的数，重复上面的步骤，直到余数为零为止，此时上一步中较小的数即为所求的最大公约数．以求117和182的最大公约数为例：，，，，，,故13即为所求．→→→→(117182)(11765)(6552)(5213)(130)三．秦九韶算法—求多项式的值的算法应用：快速的求解对于任意一个n次的多项式在某点所取到的值.秦九韶算法：已知一个多项式函数，计算多项式在某点处的函数值的一种算法，是我国古代数学家秦九韶提出的，具体如下．对任意一个n 元多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，改写成如下形式：12110()()n n n n f x a x a x a x a ---=++++ 231210(())n n n n a x a x a x a x a ---=+++++ = 1210((()))n n n a x a x a x a x a --=+++++ ，求多项式的值时，先计算最内层括号内的一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，，10n n v v x a -=+．这样，求一个n 次多项式的值，就转化为求n 个一次多项式的值．令1(1)(())k n n n k n k v a x a x a x a ----=++++ ，则递推公式为01n kk n k v a v v x a --=⎧⎨=+⎩，其中12k n = ，，，．到目前为止，此算法仍然是世界上多项式求值的最先进的算法．秦九韶算法与其它算法在计算量上面的比较：1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，1.直接求和法：先计算各个单项式的值，再把它们相加，乘法次数为(1)(1)212n n n n ++-+++= ，加法次数n ；2.逐项求和法：先计算x 的各项幂的值，再分别相乘，计算幂值需要乘法1n -次，将幂值与多项式系数k a 相乘需要乘法n 次，故共需要乘法21n -次，加法n 次．此方法对直接求和法有所改进，但仍然比秦九韶算法计算量大很多．3.秦九韶算法：计算量仅为乘法n 次，加法n 次．<备注>秦九韶算法是多项式求值的优秀算法，秦九韶算法的特点：（1）化高次多项式求值为一次多项式求值；（2）减少了运算次数，提高了效率；（3）步骤重复执行，容易用计算机实现．利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．若在多项式中有几项不存在时，可将这些项的系数看成0，即把这些项看做0·x n ．三点剖析一．注意事项1.辗转相除法与更相减损术联系（1）都是求最大公约数的方法，计算上，辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数大小差距较大时，计算次数的区别比较明显；（2）从结果的体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为零而得到，而更相减损术则是以减数与差相等而得到；（3）辗转相除法与更相减损术是统一的，因为做一次除法与做若干次减法的效果相同.二．方法点拨1.两个整数的最大公约数是两个整数的公约数中最大的数，与此类似，两个整数的最小公倍数是两个整数的公倍数中最小的数.2.穷举法是将集合中的元素进行一一列举，逐个条件进行验证，知道找出满足条件的元素为止，穷举法可以解决所有问题看，但是一般来说常常可以用来解决一些无规律可循的问题，例如求不定方程的解或者不定方程组的解，运用穷举法思想设计算法时，常常采用循环结构，将验证条件为循环结构的判断条件，将每一个元素作为循环体.求两个正整数的最大公约数例题1、8251与6105的最大公约数是____．例题2、用更相减损来求80和36的最大公约数？例题3、用更相减损术求294与84的最大公约数．随练1、两个数153和119的最大公约数是______________．随练2、用更相减损术求294与84的最大公约数．随练3、有甲、乙、丙三种溶液分别重147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？秦九韶算法例题1、用秦九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2-3x-1，当x=2时的值，则v3=______例题2、使用秦九韶算法计算x=2时f（x）=6x6+4x5-2x4+5x3-7x2-2x+5的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为________随练1、用秦九韶算法求多项式f（x）=1+2x+x2-3x3+2x4在x=-1时的值，v2的结果是______随练2、用秦九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3-2x2-x-1在x=-4时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是_______拓展1、用更相减损术求78和36的最大公约数_________．2、三个数208，351，429的最大公约数是（）A.65B.91C.26D.133、用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A.3B.9C.17D.514、用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=-4的值时，其中V1的值=_______5、用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是。

高中数学21种解题方法及例题

高中数学21种解题方法及例题【实用版2篇】篇1 目录一、高中数学21种解题方法概述1.高中数学21种解题方法简介2.高中数学21种解题方法分类3.高中数学21种解题方法应用4.高中数学21种解题方法优缺点二、高中数学21种解题方法详细介绍1.配方法2.公式法3.十字相乘法4.配方法5.公式法6.换元法7.因式分解法8.归纳法9.分类讨论法10.对称法11.等差数列法12.等比数列法13.累乘法14.十字相乘法15.分裂法16.换元法17.数学归纳法18.反证法19.数学归纳法20.反证法21.待定系数法篇1正文高中数学是中学阶段的重要学科，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要的作用。

在高中数学的学习中，掌握正确的解题方法对于提高学习效率和成绩至关重要。

本文将介绍高中数学常用的21种解题方法及其应用示例，帮助读者更好地掌握高中数学的解题技巧。

1.配方法：将一个代数式配方成完全平方式或半平方方式的算法。

例如，x+4x+4=（x+2），4x-4x+1=（2x-1）。

2.公式法：根据数学公式解决数学问题的算法。

篇2 目录1.高中数学21种解题方法2.解题方法应用举例3.总结篇2正文高中数学是学习的重要科目，掌握一定的解题方法对于提高数学成绩至关重要。

以下是高中数学常用的21种解题方法：1.配方法：将一个代数式或多项式配方成完全平方式或平方差公式，从而简化计算。

2.因式分解法：将一个多项式分解成几个因式的乘积，从而简化计算。

3.公式法：根据数学公式进行计算，如平方和公式、乘法分配律等。

4.代数法：通过代数运算来求解数学问题，如解方程、求函数值等。

5.图解法：根据题目所给的数学条件，画出图形，通过观察图形来解决问题。

6.函数法：通过建立函数关系式来求解数学问题，如求函数值、求函数图像等。

7.分类讨论法：将一个数学问题按照不同的条件进行分类讨论，从而得到不同的解法。

8.反证法：通过证明一个命题的逆否命题为真来证明原命题为真。

高中数学解题方法归纳与经典例题解析(PDF版)

ACB D41A CB D41α6043ACBDOxy高中数学解题方法归纳与经典例题解析解法一：直接运算法（数量积公式、向量的加法）CDAB AC AB CD AC AB AD AB ⋅+⋅=+⋅=⋅)(60cos ||||4360cos ||||43CB AB AC AB CB AB AC AB +=⋅+⋅=142144432144=⨯⨯⨯+⨯⨯.解法二：三角函数法（余弦定理法）由余弦定理，得13213423460cos 222222=⨯⨯⨯-+=⋅⋅-+= CD AC CD AC AD 13=⇒AD 132713421)13(42cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=AD AB BD AD AB α141327134cos ||||=⨯⨯==⋅∴αAD AB AD AB .解法三：建立坐标系法取BC 的中点为O ，建立平面直角坐标系xOy 如图所示：)32,0(A ，)0,2(-B ，)0,1(-D )32,2(--=AB ，)32,1(--=AD 1432()32()1(22121=-⨯-+-⨯-=+=⋅⇒y y x x AD AB .◆◇方法解读◇◆解法一：直接运算法是解决此类题型最常规的方法之一，应用此方法要求熟悉向量的基本运算法则，掌握平行四边形法则和三角形法则，只有基本功扎实了，才能如鱼得水。

解法二：三角函数法是利用正弦定理、余弦定理、面积公式以及射影定理等公式结合向量运算规律求解，综合性较强，要求熟悉掌握解三角形的有关知识。

在一定程度上也是解题不错的方法。

解法三：建立坐标系法是解决此题的一大亮点，通过建立平面直角坐标系使问题转化为向量的坐标运算，很大程度上减少了运算过程和难度，是同学们应当理解并掌握的解题方法。

解法一：函数图像法323442==a ，524=b 由x y 4=的图像与性质知：ba >⇒>⇒>5232445232①323442==a ，3231525==c 由)1(>=a a y x 的图像与性质知：a 值越大函数图像越靠近y 轴a c >⇒>⇒323245②综上所述，得b a c >>.解法二：与特殊值比较法b a b a >>⇒⎪⎭⎪⎬⎫=<===>=222242225554523334①()c a c a c a <⇒<<⇒⎪⎭⎪⎬⎫=<==<=22225222313313334②综上所述，得b a c >>.解法三：假设法（反证法）①假设b a >，则126151552153452342424242=>⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒>，假设成立ba >∴②假设c a >，则251625225225243313343134>⇒>⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒>，假设不成立ca <∴综上所述，得b ac >>.◆◇方法解读◇◆解法一：函数图像法是解决比较大小题型的常用方法之一，此类题型一般都考察我们对指数函数、对数函数及幂函数的图像和性质的理解及掌握情况，因此要求同学们一定要熟悉掌握基本初等函数的有关图像与性质，做到融会贯通，灵活应用。

高中数学常见题型解法归纳——第36招归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法

a可以利用项和公式 a =⎨ 1 S - S (n ≥ 2)⎩ n .【知识要点】一、数列的通项公式如果数列{a }的第 n 项 a nn和项数 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即 a = f (n) .不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式.n二、数列的通项的常见求法：通项五法1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据 a 与项数 n 的关系，猜想数列n的通项公式，最后再证明.2、公式法：若在已知数列中存在：an +1- a = d (常数)或an +1 = q , (q ≠ 0) 的关系，可采用求等差数列、nn等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在： S = f (a )或S = f (n) 的关系，nnnn ⎧S (n = 1) n -1，求数列的通项.3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：a - ann -1= f (n) (n ≥ 2) 的关系，可用“累加法”求通项4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：5、构造法：(见下一讲)【方法讲评】a n an -1= g (n)(n ≥ 2) 的关系，可用“累乘法”求通项.方法一使用情景解题步骤【例 1】在数列{ a }中， a = 6 ，且 a - an1nn -1 =归纳法已知数列的首项和递推公式观察、归纳、猜想、证明.an -1 + n + 1 (n ∈ N * , n ≥ 2) ，n（1）求 a , a , a 的值；2 34（2）猜测数列{ a }的通项公式，并用数学归纳法证明.n（（2）求数列{a } 的通项公式（将 a 用 n 表示）；（3）设数列{ } 的前 n 项和为 S ，证明： S < ， n ∈ N * ．an n + 2【点评】 1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法.【反馈检测 1】在单调递增数列{a } 中，a = 1 ，a = 2 ，且 an122n -1, a , a2 n 2 n 1+成等差数列，a , a 2n2n +1 , a 2n +2成等比数列， n = 1, 2 , 3 ,．（1）分别计算 a ， a 和 a ， a 的值；3546nn1 4n n n方法二公式法a =⎨ ，求数列的通项. 学科*网 S - S (n ≥ 2) ⎩ n（1）求 a ；（2）求证：数列{b使用情景已知数列是等差数列或等比数列或已知 S = f (a )或S = f (n) .n nn已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差（比）数列的基本量 a , d (q ) ，再代入等 1解题步骤差（比）数列的通项公式；已知 S n = f (a n )或S n = f (n) 的关系，可以利用项和公式⎧S (n = 1)1 n n -1【例 2】已知数列 {a n}，Sn是其前 n 项的和，且满足 a = 2 ，对一切 n ∈ N *都有 S1n +1= 3S + n 2+ 2n成立，设 b = a + n ．n n2 n} 是等比数列；（3）求使 1b 11 1 40+ + ⋅⋅⋅ + > 成立的最小正整数 n 的值．b b 812 n【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项.【反馈检测 2】已知等比数列{ a }中， a = 64 ,公比 q ≠ 1 , a , a , a 又分别是某等差数列的第 7 项，第n 12343 项，第1 项.(1)求 a ；(2)设 b = log a ,求数列{| b |} 的前 n 项和 T .n n2nnn【例 3】数列{ a }的前 n 项和为 S ， a =1， ann1n +1= 2S n( n ∈ N *),求{ a }的通项公式. n) 上.（Ⅰ）求数列{a } 的通项公式；（Ⅱ）若b = ( ) n -1 ， c =26(9 - 6n )( )n -11 1 1 （Ⅱ）因为 b = ( )n -1, c = a b = = (3 - 2n )( )n ①所以2 6 n n 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 [1 - ( ) n -1 ]= + (-2) = 2 - (3 - 2n)( ) n +1 .1 12 1【点评】（1）已知 S = f (a )或S = f (n) ，一般利用和差法.如果已知 S = f (annnnn +1) 或f (a ) 也可n -1以采用和差法.（2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验n = 1 是否满足，能并则并，不并则分.【例 4】已知函数 f ( x ) = -3x 2 + 6 x ，S 是数列{a } 的前 n 项和，点 (n, S （ n ∈ N * ）在曲线 y = f ( x ) n nn1n n n a • b n n ，且T 是数列{c } 的前 n 项和. 试n n问 T 是否存在最大值？若存在，请求出T 的最大值；若不存在，请说明理由.nn【解析】（Ⅰ）因为点 (n, S ) 在曲线 y = f ( x ) 上，又 f ( x ) = -3x 2 + 6 x ，所以 S = -3n 2 + 6n .nn当 n = 1 时， a = S = 3 .1 1当 n > 1 时， a = S - Snnn -1= (-3n 2 + 6n ) - [-3(n - 1)2 + 6(n - 1)] = 9 - 6n所以 a = 9 - 6n .n1 2n n1 1 1 1T = + (-1)( )2 + (-3)( )3 + + (3 - 2n )( )n , ② n 1 1 1 1 1T = ( )2 + (-1) + ( )3 + (-3)( )4 + + (3 - 2n )( )n +1, ③ n 1 1 1 1 1 1②－③得 T = + (-2)( ) 2 + (-2)( ) 3 + + (-2)( ) n - (3 - 2n )( ) n +12 n 2 2 2 2 2 1 12 2 2 1 -21整理得 T = (2n + 1)( ) n - 1 ， ④n方法一利用差值比较法由④式得 T n +1 = (2n + 3)( 1 ) n +1- 1 ，所以2- T = (2n + 3)( )n +1 - (2n + 1)( )n = [(2n + 3)( ) - (2n + 1)]( ) n2 2 2 2 2> . 所以 T n 存在最大值 T = . 22 23 3 3T n +1n 1 1 1 13 1 1 1= [n + - (2n + 1)]( )n = ( - n)( )n .2 2 2 2因为 n ≥ 1 ，所以 1- n < 0 .21又 ( ) n > 0 ，所以 T n +1 - T < 0 所以 T n n +1 < T ，n所以 T > T > T > > T > T1 2 3 n n +11 1方法三利用放缩法由①式得 cn +1 1 1= [3 - 2(n + 1)]( ) n +1 = (1 - 2n )( ) n +1 < 0 ，又因为 T 是数列{c } 的前 n 项和，n n所以 Tn +1< T + cnn +1< T . 所以 T > T > T > > T > T n 1 2 3 nn +1>所以 T 存在最大值 T = n 1 1 2.【反馈检测 3】已知数列{ a }的前 n 项和 S = n n 4 1 2a - ⨯ 2n +1 + ( n = 1,2,3, 4 ⋅⋅⋅ )，求{ a }的通项公n n式.方法三累加法+1 ，S为数列 {b }的前 n 项和，Ta aa b Sab使用情景在已知数列中相邻两项存在： a - ann -1= f (n) (n ≥ 2) 的关系解题步骤先给递推式 a - ann -1= f (n) (n ≥ 2) 中的 n 从 2 开始赋值，一直到 n ，一共得到 n -1个式子，再把这 n -1个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项.【例 4】已知数列 { }，{ }，a = 1 ，a = a nn1n为数列 { }的前 n 项和.nn -1+ 2n -1 ，b = n a n -1n n +1n n n（1）求数列 { }的通项公式；（2）求数列 { }的前 n 项和 S ；（3）求证： T > nnnnn 1 - . 2 3【解析】（1）法一： a = ann -1+ 2n -1 ∴a =(a -a )+(a -a )+ +(a -a )+a ，n n n -1 n -1 n -2 2 1 1= 2n -1 + 2n -2 + + 2 + 1 = 1 - 2n 1 - 2= 2n - 1【点评】（1）本题 a - ann -1= n - 1，符合累加法的使用情景 a - ann -1= f (n)(n ≥ 2) ，所以用累加法求数列的通项.（2）使用累加法时，注意等式的个数，是 n -1个，不是 n 个.=2}满足 an +1 = a , 求aa【反馈检测 4】已知数列{a } 满足 ann +1= a + 2 ⨯ 3n + 1，a = 3 ，求数列{a } 的通项公式.n 1 n方法四使用情景累乘法若在已知数列中相邻两项存在：anan -1= g (n)(n ≥ 2) 的关系.解题步骤先给递推式 a n an -1= g (n)(n ≥ 2) 中的 n 从 2 开始赋值，一直到 n ，一共得到 n -1 个式子，再把这 n -1个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项.【例 5】已知数列 {nn, a 3 n + 1 n n【点评】（1）由已知得an +1=ann n + 1, 符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项.（2）使用累乘法求数列的通项时，只要写出n -1个等式就可以了，不必写 n 个等式.【反馈检测 5】已知数列{a } 满足 ann +1= 2( n + 1)5n ⨯ a ，a = 3 ，求数列{a } 的通项公式.n 1 n22+ 1⎪ 2 8 + 1⎪ ⎭ = (n + 2) 2 ⎝ 2 2 8 ⎧ (n + 1)(n + 3) ⎪⎪ 8(n + 2) 2 ⎪ ⎪⎩ 82 ⎝ 2 ⎭ = (n + 1)(n + 3)高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 36 讲：数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）参考答案【反馈检测 1 答案】 a = 3 ， a = 6 ， a = 9， a = 8 .3 546①当 n = 1时， a2⨯1-1= a = 1 ， a1 2⨯122= = 2 ，猜想成立；2②假设 n = k (k ≥ 1,k ∈ N *) 时，猜想成立，即 a 2k -1 =k (k + 1) 2 , a (k + 1)22k = ，那么a2( k +1)-1= a2k +1= 2a - a 2k2k -1 (k + 1)2 k (k + 1) (k + 1)[(k + 1) + 1]= 2 ⨯ - = ,2 2 2a2( k +1)= a2k +2a2 =2k +1=a2k[(k + 1)(k + 2)]22 (k + 1)22= (k + 2)2 2=[(k + 1) + 1]22∴ n = k + 1时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n ∈ N * ，猜想成立．n + 1 ⎛ n + 1 ⎫∴当 n 为奇数时， a = ；n⎛ n ⎫ 2当 n 为偶数时， a = ． n, n为奇数即数列{a } 的通项公式为 a = ⎨ ．n n,n 为偶数n ⎪8 , n 为偶数 ⎩ a < 4k+ 4⎢ + - = - ； ⎥ k + 3 k + 2 (k + 3) 2 k + 3 ⎦ k + 3 (k + 2)(k + 3) 2 (k + 1) + 2 ⎡ k（方法 2）由（2）得a ⎧ 81 ⎪ (n + 1)(n + 3) , n 为奇数=⎨(n + 2) 2．以下用数学归纳法证明 S <n 4nn + 2， n ∈ N * ．①当 n = 1时， S = 1当 n = 2 时， S = 2 1 4 4 ⨯ 1= 1 < = ；a 3 1 + 2 11 1 1 3 4 ⨯ 2+ = 1 + = < 2 = ．∴ n = 1 , 2 时，不等式成立．a a 2 2 2 + 21 2②假设 n = k (k ≥ 2) 时，不等式成立，即 S <k那么，当 k 为奇数时，4k k + 2，Sk +1 = S + 1 k k +18+ k + 2 (k + 3) 2= 4(k + 1) 2 k + 1 ⎤ 4(k + 1) 8 4(k + 1) < ⎣当 k 为偶数时，a< 4kk + 3 ⎥⎦ + 4⎢ + - =- k + 3 k + 2 (k + 2)(k + 4) k + 3 (k + 2)(k + 3)(k + 4) ⎡ k (k + 1) + 2．∴ n = k + 1时，不等式也成立．综上所述： S < ⎧n(13 - n)(n ≤ 7), 2 ⎪ (n - 7)(n - 6) 【反馈检测 2 答案】（1） a = 64 ⨯ ( )n -1 ；(2) T = ⎨ 2 ⎩ 2 + 21 (n > 7).Sk +1 = S + 1k k +18+k + 2 (k + 2)(k + 4)= 4(k + 1) 2 k + 1 ⎤ 4(k + 1) 8 ⎣< 4(k + 1)n 4nn + 2n n 1 ⎪.【反馈检测 3 答案】 a = 4n - 2nn1 - 3a a +2+1 2【反馈检测 4 答案】 a = 3n + n - 1. 学科*网 n【反馈检测 4 详细解析】由 an +1 = a + 2 ⨯ 3n + 1 得 a n n +1 - a = 2 ⨯ 3n + 1 则 na = (a - a ) + (a n n n -1n -1 - a n -2 ) + + (a - a ) + (a - a ) + a 3 2 2 1 1= (2 ⨯ 3n -1 + 1) + (2 ⨯ 3n -2 + 1) + + (2 ⨯ 32 + 1) + (2 ⨯ 31 + 1) + 3 = 2(3n -1 + 3n -2 + + 32 + 31 ) + (n - 1) + 33(1- 3n -1 ) = 2 + (n - 1) + 3 = 3n - 3 + n - 1 + 3 = 3n + n - 1 所以 a = 3n + n - 1. n 【反馈检测 5 答案】 a = 3 ⨯ 2n -1 ⨯ 5 n n(n -1) 2 ⨯ n!.【反馈检测 5 详细解析】因为 a n +1= 2( n + 1)5n ⨯ a ，a = 3 ，所以 a ≠ 0 ，则 n 1 n a n +1 = 2(n + 1)5n ， a n故 a =a n n n -1 a ⋅ n -1 ⋅ an -2 ⋅ a 3 ⋅ a 2 a 2 ⋅ a 1 1= [2( n - 1 + 1)5n -1 ][2( n - 2 + 1)5n -2 ] ⋅ ⋅[2(2 + 1)⨯ 52 ][2(1+ 1)⨯ 51 ] ⨯ 3= 2n -1[n(n - 1) ⋅ ⋅ 3 ⨯ 2] ⨯ 5(n -1)+(n -2) + ⨯ 3n (n -1)= 3 ⨯ 2n -1⨯ 5 ⨯ n !所以数列{a } 的通项公式为 a = 3 ⨯ 2n -1 ⨯ 5 n n n(n -1)2 ⨯ n!.。

高中数学21种解题方法及例题

高中数学21种解题方法及例题在高中数学学习中，解题方法的灵活运用是学生们提高解题能力的关键。

掌握不同的解题思路和方法，能够使学生更加深入地理解数学知识，提高问题解决的效率。

本文将介绍21种高中数学解题方法，并通过例题进行详细说明，以帮助学生更好地应用这些方法。

【一、代数运算类解题方法】1. 一元一次方程求解法例题：已知方程2x + 3 = 7，求解x的值。

2. 一次函数的图像法例题：给定函数y = 3x + 2，绘制出其图像，并解析求解函数的相关特征。

3. 因式分解法例题：将方程x² - 4x + 4 = 0进行因式分解，并求解方程。

【二、几何推理类解题方法】4. 同位角性质运用法例题：已知两条平行线被一条截线所交，求解各个角的度数。

5. 对称性运用法例题：已知某几何图形具有对称性，利用对称性进行证明或求解问题。

6. 三角函数运用法例题：利用正弦定理求解三角形的未知边长或角度。

【三、数列与数数法】7. 等差数列求和法例题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求解前10项的和。

8. 递推数列求通项法例题：已知数列的前两项为1和2，公差为3，求解数列的通项公式。

9. 迭代运算法例题：已知数列递推式为an+1 = 2an - 1, a1 = 1，求解前10项的数值。

【四、概率统计类解题方法】10. 样本空间与事件法例题：已知一枚骰子，求解投掷两次，求得的点数和为9的概率。

11. 求解总数法例题：已知有5个红球和3个蓝球，从中随机抽取2个球，求解两球不同色的概率。

12. 排列组合法例题：有8个人参加篮球比赛，其中3人为前锋，4人为后卫，求解一种排列和组合的方式。

【五、解析几何类解题方法】13. 直线与圆的位置关系法例题：已知直线方程为y = 2x + 1，圆的标准方程为(x-2)² + (y-3)² = 4，求解两者的位置关系。

14. 曲线与切线法例题：已知曲线方程为y = x²，求曲线上某一点的切线斜率。

高中数学解解不等式的常用技巧和方法

高中数学解解不等式的常用技巧和方法在高中数学学习中，不等式是一个重要的知识点，也是考试中常常出现的题型。

解不等式需要我们掌握一些常用的技巧和方法，本文将介绍一些常见的解不等式的技巧，并通过具体的例题加以说明。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，其解法与一元一次方程类似。

我们以以下例题为例：例题1：解不等式2x + 1 > 5。

解法：首先将不等式转化为等价的形式：2x + 1 - 5 > 0，化简得2x - 4 > 0。

然后解这个一元一次方程，得到x > 2。

所以不等式2x + 1 > 5的解集为x > 2。

这个例题中的关键是将不等式转化为等价的形式，然后通过解方程的方法得到解集。

这是解一元一次不等式的常用技巧。

二、一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中较为复杂的不等式形式，我们需要通过一些特殊的方法来解决。

以下是一个例题：例题2：解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。

解法：首先我们需要求出不等式的零点，即将不等式转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0。

通过因式分解或配方法，我们得到(x - 1)(x - 3) > 0。

然后我们需要绘制函数图像来确定不等式的解集。

绘制函数y = x^2 - 4x + 3的图像，我们可以发现函数的零点为x = 1和x = 3，这两个点将实数轴分成了三个区间：(-∞, 1)，(1, 3)，(3, +∞)。

然后我们取每个区间内的一个测试点，例如选取x = 0，2，4。

将这些测试点代入原不等式，我们可以得到以下结果：当x = 0时，左边为3，右边为0，不满足不等式；当x = 2时，左边为-1，右边为0，不满足不等式；当x = 4时，左边为3，右边为0，满足不等式。

根据测试点的结果，我们可以得到不等式的解集为x < 1或x > 3。

这个例题中的关键是通过绘制函数图像和选取测试点的方法确定不等式的解集。

数学解题秘籍大全高中数学题型解析与实例详解

数学解题秘籍大全高中数学题型解析与实例详解数学解题秘籍大全高中数学题型解析与实例详解1. 一元一次方程与不等式一元一次方程与不等式是高中数学中最基础、最重要的一部分内容之一。

在解这类题型时，我们首先要了解方程和不等式的定义，并熟练掌握各种解题方法。

在解一元一次方程时，常用的方法包括等式两边加减法、乘除法、消元法等。

在解一元一次不等式时，可以运用加减乘除法、乘法及虚线图、定值法等方法。

下面我们通过实例来详细解析一元一次方程与不等式的解题过程：例题1：已知方程2x + 3 = 5，求x的值。

解析：我们可以通过等式两边的运算来解得x的值。

将等式两边减3，得到2x = 2；然后将等式两边除以2，得到x = 1。

因此，方程2x + 3 = 5的解为x = 1。

例题2：已知不等式3x - 5 < 7，求x的取值范围。

解析：我们可以通过不等式的运算来解得x的取值范围。

将不等式两边加5，得到3x < 12；然后将不等式两边除以3，得到x < 4。

因此，不等式3x - 5 < 7的解为x的取值范围是x < 4。

2. 二元一次方程与不等式二元一次方程与不等式是一种含有两个未知数的方程或不等式。

解这类题型时，我们可以通过联立方程、消元法、代入法等方法来求解。

例题：已知二元一次方程组2x + y = 5，x + 3y = 7，求x和y的值。

解析：我们可以通过联立方程、消元法或代入法来解这个方程组，下面通过联立方程的方法进行解析。

首先，我们将方程组进行整理，变形为2x + y = 5和x + 3y = 7。

然后，我们可以通过消元法来解得x和y的值。

将第二个方程的系数3乘以方程1，得到6x + 3y = 15。

然后将上式与方程2相减，得到5x = 8。

最后，将x = 8/5代入方程2，得到y = 21/5。

因此，二元一次方程组2x + y = 5，x + 3y = 7的解为x = 8/5，y = 21/5。

高中数学不等式解法15种典型例题

x + 5 0 (x + 4)(x
−
2)
0
x x
−5 −4或x
2
∴原不等式解集为 x x −5或 − 5 x −4或x 2
说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中 x 的系数必为正；②对
于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．
典型例题七
∴原不等式解集是{x x −2，或1 x 5，或x 6} ．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式 x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
2x2 3x2
− −
3x 7x
+ +
1200或32xx22
− −
3x 7x
+ +
1 0 20
∴原不等式解集为
(−,
1) 3
(
1 2
,1)
(2,+)
。
x 1 或 1 x 1或x 2 32
解法二：原不等式等价于 (2x −1)(x −1) 0 (3x −1)(x − 2)
(2x −1)(x −1)(3x −1) (x − 2) 0 用“穿根法”∴原不等式解集为 (−, 1) (1 ,1) (2,+)
画数轴，找因式根，分区间，定符号． (x − 1)(x − 5) 符号 (x + 2)(x − 6)
解之，得原不等式的解集为{x −1 x 2或x 3}．
说明：此题易出现去分母得 x2 + 2x − 2 x(3 + 2x − x2 ) 的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．

高中数学解题技巧之不定方程

高中数学解题技巧之不定方程不定方程是高中数学中的一个重要题型，它涉及到数学中的方程与不等式的求解。

在解不定方程的过程中，我们需要运用一些特定的技巧和方法，才能得到正确的解答。

本文将介绍一些常见的不定方程解题技巧，并通过具体的例题进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一题型。

一、一元一次不定方程一元一次不定方程是最简单的不定方程形式，它的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。

解一元一次不定方程的关键在于找到x和y 的整数解。

下面以一个例题来说明解题方法：例题：解方程2x + 3y = 10。

解法：根据题目给出的方程，我们可以通过观察发现，当x取2时，y取2，方程左边等于10，符合题意。

因此，x = 2，y = 2是方程的一个解。

此外，我们还可以通过找规律的方法，找到该方程的所有解。

观察方程的系数2和3，我们可以发现，当x增加3，y减少2时，方程左边的值不变。

因此，我们可以得到以下解集：{(2, 2), (5, 0), (8, -2), ...}。

通过以上的解题过程，我们可以总结出解一元一次不定方程的技巧：1. 观察法：通过观察方程的特点，找到一个或多个解；2. 找规律法：通过观察方程的系数，找到方程的所有解。

二、二元一次不定方程二元一次不定方程是稍微复杂一些的不定方程形式，它的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。

解二元一次不定方程的关键在于找到x和y的整数解。

下面以一个例题来说明解题方法：例题：解方程3x + 5y = 19。

解法：通过观察方程的系数，我们可以发现3和5的最大公约数为1，因此该方程有整数解。

为了找到方程的解，我们可以使用扩展欧几里得算法。

具体步骤如下：1. 列出方程：3x + 5y = 19；2. 使用欧几里得算法计算3和5的最大公约数：5 = 3 * 1 + 2；3. 反复使用欧几里得算法，直到余数为1为止：3 = 2 * 1 + 1；4. 逆向计算系数：1 = 3 - 2 * 1 = 3 - (5 - 3 * 1) * 1 = 3 * 2 - 5；5. 将逆向计算得到的系数乘以方程两边的常数项：19 * 2 = 3 * 2 * 2 - 5 * 2 = 12 - 10；6. 得到方程的一个特解：x = 2，y = -2；7. 方程的通解为：x = 2 + 5 * t，y = -2 - 3 * t，其中t为整数。

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