复旦附中自招真题解析

36x
显然 k 0 ，当 y kx 过 3, 2 则 k 2 ，恰有两交点，
3
当 k 2 ，三条直线平行，于是 2 k 2 ． 3
5. 如图，在梯形 ABCD 中， AB / /CD ， CD AB ，设 E、F 分别是 AC、BD 的中点，AC 与 BD 交于点 O，已知 OEF 是边长为 1 的正三角形， BOC 的面积为 15 3 ，则梯形 4 ABCD 的面积为______________．
锐角 ，连接 CD、BD，且 CD a ，则 BD ______________．
【答】 2a ．
【解析】设 OC 1 ，则 OB 4 ，
D
OD OA 2 ， OC OB OD2 ，
OCD ∽ ODB ，相似比1: 2
BD 2CD 2a ．
O
C
A
B
12. 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全Leabharlann Baidu的三角形 都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是______________个． 【答】2．
复旦附中自招试题
一、填空题
1. 已知 x a b c ，则 x ______________． bc ac ab
【答】 1 或 1． 2
a b c x
【解析】由题意
b
a
c
x
a
b
c
2
a
b
c
x
c a b x
若 a b c 0 ，则 x a a 1 ， b c a
若 a b c 0 ，则 x 1 ． 2
17. 设 x 是实数，不大于 x 的最大整数叫做 x 的整数部分，记作x ，如1.2 1， 3 3 ，
1.3 2 ，
（1） S
1
1
10 11 12 1112 12
10 11 1112
1
，求90S ；
2016 2017 12
2016 2017
（2）解关于
x
的方程：
x2
两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为____________．
A
1
A
2
1
60
【答】5
O
3
5
4
60
O
B
【解析】首先有五架飞机在 O 降落是可以构造的，只需 O 为正五边形 ABCDE 的中心，
其他飞机场在较远处即可．
其次证明不可能有六架飞机在 O 降落， 如图，对于任意一个飞机场 O 考虑它 60 夹角方向，若区域内有 A 、 B 两飞机场， 则 AOB 60 ，若 A 、 B 同时飞往 O ，则 AO AB ， BO AB ， AB 为 AOB 最大边， AOB 为最大角矛盾； 于是对飞机场 O ，在夹角为 60 的区域内最多有一架飞机． 若存在六架 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 飞机飞到点 O ，以 OA 为边界将点 O 的圆周角 6 等分，则形成如图五块区域，每块区域内最多一架飞机，与六架飞机飞到点 O 矛盾．
【解析】由 19m2 99 19m 19 0 19m 、 n 均为 x2 99x 19 0 的解，
若它们为不同解，则19m n 19 矛盾 19m n
原式 m 19m 4m 1 19m2 99m 1 95m 5 ．
19m
19m
9. 若关于 x 的方程 x 2 x2 4x m 0 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形
（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）联结 QE，若 PQE 与 POQ 相似，求 AP 的长．
【答】（1） y 24 x2 12 x ， 0 x 5 ；
25 5
2
D
（2）5．
【解析】（1） cos DAB
cos B
52
52 62 2 52
7 25
PA O
综上 x 1 或 1． 2
2. 已知函数 y 2x2 a 5 x 32b x b 3 图像关于 y 轴对称，
则 a b ______________． 【答】4． 【解析】由题意二次函数对称轴 x 0 ，定义域关于原点对称 a 5 0 ， 2b b 3 0 a b 51 4．
若 a 6 ， 36 c bc b c b 18 ， c b 2 c 10 ， b 8 代入两式验证成立；
综上 a,b,c 6,8,10 或 5,12,13 ，满足条件的三角形有 2 个．
13. 设 nn 10 个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何
综上 k 2 ．
2x 8, x 3
4. 在同一个直角坐标系中，已知直线 y kx 与函数 y 2, 3 x 3 图象恰好有三个公共
2x 4, x 3
y
点，则 k 的取值范围是______________．
6
【答】 2 k 2 ． 3
3
【解析】原函数图象大致如图， 当 k 0 ， y kx 过二四象限不满足题意，
2015
1
2018
1 3
1 9
1 12
1 10
1 13
1 2015
1 2018
1 3
1 9
1 10
1 11
1 2016
1 2017
1 2018
90S 30 3 30 30 30 30 9+ 6 30 30 30
9
11 2016 2017 2018 99 2016 2017 2018
3. 已知函数 y k 2 x2 2kx k 1 的图象与 x 轴只有一个交点，则 k ______________．
【答】 2 ． 【解析】若原函数不为二次函数，则 k 2 y 4x 3 与 x 轴只有一个交点成立；
若原函数为二次函数，则 4k2 4k 2k 1 0 k 2 0 k 2
往上走一层楼梯感到 3 分不满意．现在有 32 个人在第一层，并且他们分别住在第 2 至 第 33 层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这 32 个人不满意的总分达到最小？ 最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼） 【答】316． 【解析】设电梯在层第 x 层，有 y 个人不坐电梯，则总分
二、解答题
14. 关于 x 的方程 x2 2m 1 x 2m2 m 0 的两个根分别为 x1 ， x2 ．
（1）若 x1 x2 5 ，求 m 的值； （2）若 x1 ， x2 均为整数，求 m 的值．
【答】（1） m 1，（2） m 2 ， 3 ， 1 ， 0 ． 22
【解析】（1） 5 2m 12 4 2m2 m 4m2 8m 1 m 1 ；
的取值范围是______________．
【答】 a 2 ．
A
D
【解析】以 AD 中点为圆心 a 为半径作圆应与 BC 有交点， 2
a 1 a 2． 2
B
C
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ，若 BC 边上的高为 AD，
则 BD DC ______________．
【答】16 3 ．
【解析】设 BO a ，则 OD OC a 2 ， 由 AOB 、 ODC 均为正三角形，
则
sin 120 2
a
a
2
S
ABCD
sin 60 2a
2
15 3 4
22
a2
2a
1 16
A
B
O
F
E
S 3 4 16 16 3 ． 4
D
C
6. 已知矩形 ABCD 中， AB 1 ， BC a ，若在边 BC 上存在点 Q，满足 AQ QD ，则 a
【答】4．
A
【解析】设 AB 、 BC 、 CA 分别为 n 1 、 n 、 n 1，则
BD2 DC2 AB2 AC2 n 12 n 12
BD DC
4
BD DC
BC
n
B
DC
8. 已知实数 m，n（其中 m n 1 ）分别满足：19m2 99m 1 0 ， n2 99n 19 0 ， 则 mn 4m 1 ______________． n 【答】 5 ．
的三边长，则 m 的取值范围是______________． 【答】 3 m 4 ． 【解析】显然 x 2 是原方程的根，设另两个根分别为 a 、 b ， a b 4 2 ，
0，
a
b
2
且m
0，
16 4m
a b2
4
3
m
4．
16 4m 0
10. 如图，矩形 ABCD 中， AB 3 ， BC 4 ，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把 B 沿 AE 折叠，是点 B 落在点 B 处，当 CEB 为直角三角形时，BE 的长为______________．
S 3 1 2 33 x 31 2 y 1 1 2 x y 2
33 x34 x y 1 y x y 1 x y 2
3
3
2
2
2
2x2 xy 2 y2 102x 3y 1684
2
x
y 4
102 4
2
15 8
y
62
316
于是当 x 27 ， y 6 时， S 取最小值 316．
D
PA
H
则 PO PE PQ2 PH 2 HQ2 PH 2 AQ AH 2
O
64x2 500x 625 0 4x 2516x 25 0
Q
x 25 或 25 （舍），综上 AP 25 ．
16 4
16
B
EC
16. 一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳 32 人，而且只能在第 2 层 到第 33 层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到 1 分不满意，
（2）由 x1 x2 2m 1 2m 为整数设为 k ，
k
12
4
2
k 2
2
k 2
k
12
2k 2 2k
5 k 22 为完全平方数，
k 4 、 3 、 1，验证成立，于是 m 2 、 3 、 1 、 0 ． 22
15. 如图，ABC 中，AB BC 5 ，AC 6 ，过点 A 作 AD / /BC ，点 P、Q 分别是射线 AD、 线段 BA 上的动点，且 AP BQ ，过点 P 作 PE / / AC 交线段 AQ 于点 O．联结 PQ，记 AP x ， POQ 面积为 y．
x2 32
x2 32
4
BH
18x x2 9
2x2
9x
18
0
无解
（3） EBC 90 ，则 C 、 B 、 A 共线， AE 为 BAC 角平分线，
x 3 x 3 ，综上 BE 3 或 3 ．
4x 5
2
2
11. 如图，OA、OD 是 O 的半径，延长 OA 至 B，使 OA AB ，C 是 OA 的中点，AOD 为
sin DAQ 24 ，
25
Q
APO OEB BOE AOP AO AP x ，
AQ 5 x ， AO AQ x 5
B
2
y sin DAQ AQ AO AP 12 5 2x x
2
25
EC
y 24 x2 12 x ， 0 x 5
25 5
2
（2）若 PQO ∽ PEQ ，
2x
3
12
x
1 2
．
【答】（1）9（2） 2 10 1 或 2 7 1 ．
【解析】（1）
n
n
1
12
nn 1
n2
n
2
1
nn
1
n2
n
2
n
1 n
2
1 1 9 12 10 13
2015
1
2018
3
1 9
1 12
1 10
1 13
1 2015
1 2018
S 1 1 9 12 10 13
【解析】设直角三角形三边分别为
a
b
c
，
a2 ab
b2
2
a
c2 b
c
有 c2 a2 b2 2b2 c 2b ab 2 b b 2b 2 2 2 b 7b a 7 ，
而 ab 2a b c 20 b b a 5 ，
若 a 5 ，25 c bc b c b 25 ，c b 1 c 13 ，b 12 代入两式验证成立；
A
D
A
D
B
B
B
E
C
B
EH
C
【答】 3 或 3 ． 2
【解析】设 BE x ，过 B 作 BH BC 于 H ，
（1） BEC 90 ， AEB 45 ， x AB 3 ，
（2） BCE 90 ， B 在 CD 上， H 与 C 重合，
由 BB AE ， BB 2 x 3 ， BH BB 3
90S 9
（2）设 x 1 k ， 2k 2 4 12k ， k 2 1 3k ， 3k 3 k2 1 3k ，
2 左边可得 k 1或 2 k ，右边有 k2 3k 1 4 1 k 4 ，