信号与信息处理领域新技术专题讲座

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小波的时间和频率特性
时间A
时间B
运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频 率”的变化。
• 时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的 变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。
• 频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频 率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较 高频率成分。
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小波基表示发生的时间和频率
傅里叶变换 (Fourier)基
小波基
时间采样基
“时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（ 中）
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和时间采样基（下）的比较
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小波的3 个特点
• 小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示 发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象 。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）
• 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度 不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声 过滤等）
• 小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量 级。信号长度为M时， Fourier变换（左）和 小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：
O f M lo 2M g, O wM
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连续小波函数定义：
• 当a变小时，时域观察范围变窄，但频率观察的 范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动；
• 当a变大时，时域观察范围变宽，频域的观察范 围变窄，且分析的中心频率向低频处移动.
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多分辨分析
• 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理 论，统一了几个不相关的领域：包括 语音识别中的镜向滤波，图象处理中 的金字塔方法，地震分析中短时波形 处理等。
信号的突变，不能很好地刻画信息。
202elet)分析发展历史
• 1807年 Fourier 提出傅里叶分析 ， 1822年发 表 “热传导解析理论”论文
• 1910年 Haar 提出最简单的小波 • 1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公
式，用于地质勘探。 • 1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“
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FT在信号处理中的局限性
• 用傅立叶变换提取信号的频谱需要 利用信号的全部时域信息。
• 傅立叶变换没有反映出随着时间的 变化信号频率成分的变化情况。
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在不少实际问题中，我们关心的是信号在局部范 围中的特征, 例如：
设 L 2 L 1 且 ˆ0 0 ，则下面的函数族a,b
a,bta12tab b R ,a R 0
叫小波分析或连续小波， 叫基本小波或 小波。若是窗函数，就叫为窗口小波 函数，一般我们恒假定为窗口小波函数
。
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连续小波函数窗口的“变焦”特性:
• 在音乐信号中人们关心的是什么时刻演奏什么 样的音符；
• 对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什 么样的反射波；
• 图像识别中的边缘检测关心的是信号突变部分 的位置，即纹理结构。
这些FT不能完成，需要引入时频局部化分析
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短时Fourier变换
若 gt 是窗函数，
则短时Fourier变换定义为
例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时 间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突 变的尖峰。小波分析是利用多种 “小波基函数 ” 对 “原始信号” 进行分解。
小波变换及时频分析的目的就是根据实际非 稳定信号的分析特点，结合信号的时、频特性 ，对其信号进行时频分析，以达到最佳的分析 效果。
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正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。 • 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论（
MRA），统一了语音识别中的镜向滤波，子 带编码，图象处理中的金字塔法等几个不相 关的领域。
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小波的特点和发展
“小波分析” 是分析原始信号各种变化 的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特 征选择等。
信号时频分析的重要性：
• 时间和频率是描述信号的两个最 重要的物理量。
• 信号的时域和频域之间具有紧密 的联系。
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对于各种信号，可以有不同的分类方法，如确定性信 号与随机信号、周期信号与非周期信号、连续信号与离散 信号、平稳信号与非平稳信号等。
所谓信号分析就是在时(间)域或变换域对信号进行分 析处理的过程。信号分析的最直接的方法就是在时域内对 信号进行分析，其突出特点是方法简单、物理概念明确。 然而，对于某些信号在时域很难分析、或特征不明显，需 要进行某种变换，典型的方法是Fourier变换，即在变换域 进行分析。在信号变换域分析中，变换的目的就是寻求对 信号的另外一种表示，使得比较复杂、特征不明显的信号 在变换域更加明显，利于分析。Fourier变换及其反变换建 立了时域信号和频域谱(变换域)的一对一关系，时域和频 域构成了两种不同的分析信号方法。信号时域和频域分析 可以截然分开是以信号的频率特性时不变或统计特性平稳 为前提条件的。
(G ~bf) fteitGtbdt
• 短时Fourier变换也叫窗口Fourier变换 • 短时FT是说明时频局部化分析思想的很好例子
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相空间是指以“时间”为横坐标， “频域”为纵坐标的欧氏空间，而相空 间中的有限区域被称为窗口，沿时间轴 的一段区间被称为时间窗，沿频率轴的 一段区间被称为频率窗。
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实际中信号分析的要求：
• 信号高频部分对应时域中的快变成分，如 陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等，分析时对 时域分辨率要求高，对频域分辨率要求低 。
• 信号低频成分对应时域中的慢变成分，分 析对时域分辨率要求低，对频域分辨率要 求高。 因此，短时Fourier变换不能敏感地反映
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实际中的许多信号往往都表现出非平稳性，在
这种情况下，时、频两域的分析便不能截然分开 ，而这种不完全可分性会使得Fourier变换无能为 力。另外Fourier变换在时域中没有任何分辨率， 即)(ωF在任何有限频段上的信息均不足以刻画任 意小范围内的，也就是说经典的Fourier变换分析 法在理论与实际应用中都受到一定的限制。