反证法证明题(简单)

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反证法证明题(简单)(可编辑修改word版)

反证法证明题例1. 已知∠A ，∠B ，∠C 为∆ABC 内角.求证：∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个不小于60o.证明：假设∆ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 都小于60o，即∠A <60o，∠B <60o，∠C <60o，所以∠A +∠B +∠C < 180O，与三角形内角和等于180o矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例2. 已知a ≠ 0 ，证明x 的方程ax =b 有且只有一个根.证明：由于a ≠ 0 ，因此方程ax =b 至少有一个根x =b .a 假设方程ax =b 至少存在两个根，不妨设两根分别为x1 , x2 且x1 ≠x2 ，则ax1=b, ax2=b ，所以ax1=ax2，所以a(x1-x2 ) = 0 .因为x1 ≠x2 ，所以x1 -x2 ≠ 0 ，所以a = 0 ，与已知a ≠ 0 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例3. 已知a3+b3= 2, 求证a +b ≤ 2 .证明：假设a +b > 2 ，则有a > 2 -b ，所以a3> (2 -b)3即a3> 8 -12b + 6b2-b3，所以a3> 8 -12b + 6b2-b3= 6(b -1)2+ 2 .因为6(b -1)2+ 2 ≥ 2所以a3+b3> 2 ，与已知a3+b3= 2 矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.例4. 设{a n}是公比为的等比数列，S n为它的前n 项和.求证：{S n}不是等比数列.证明：假设是{S }等比数列，则S 2=S ⋅S ，n 2 1 32 2 2 2 1 1 1 即 a 2 (1+ q )2 = a ⋅ a (1+ q + q 2 ) .因为等比数列 a 1 ≠ 0 ，所以(1+ q )2 = 1+ q + q 2 即 q = 0 ，与等比数列 q ≠ 0 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例 5. 证明是无理数.m 证明：假设是有理数，则存在互为质数的整数 m ，n 使得 =.n所以 m = 2n 即 m 2 = 2n 2 ，所以 m 2 为偶数，所以m 为偶数.所以设 m = 2k (k ∈ N *) ，从而有4k 2 = 2n 2 即 n 2 = 2k 2 .所以n 2 也为偶数，所以 n 为偶数. 与 m ，n 互为质数矛盾.所以假设不成立，所求证是无理数成立.例 6. 已知直线 a , b 和平面，如果 a ⊄, b ⊂，且 a / /b ，求证a / /。

反证法练习题

反证法练习题反证法（reductio ad absurdum），又称间接证明法，是一种常用于数学和逻辑学中的推理方法。

它通过假设待证明的命题为假，推导出一个与已知事实或公理相矛盾的结论，从而证明假设的命题必然为真。

以下是一些反证法的练习题，帮助读者更好地理解和应用反证法。

<段落1>假设存在一个无理数 a 和一个有理数 b，满足 a^b 为有理数，为了证明这个命题是错误的，我们可以采用反证法。

首先，我们假设 a^b为有理数，那么它可以被表示为 p/q 的形式，其中 p 和 q 是整数，且 q 不等于 0。

因此，我们可以得到 a^b = p/q。

<段落2>现在，我们将无理数 a 表示为 a = c^d 的形式，其中 c 和 d 是整数。

代入到 a^b = p/q 中，得到 (c^d)^b = p/q。

根据指数运算的法则，我们可以进一步推导出 c^(d*b) = p/q。

<段落3>根据我们的假设，c、d 和 b 都是整数，因此 d*b 也是整数。

这说明c 的幂次方 c^(d*b) 为有理数。

然而，这与无理数 a 的定义相矛盾。

因此，我们的假设是错误的，即不存在这样的无理数 a 和有理数 b，使得a^b 为有理数。

<段落4>通过反证法，我们证明了 a^b 为有理数这个命题是错误的。

这个例子展示了反证法在数学推理中的应用。

通过假设命题的反面，我们可以推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明假设的命题是错误的。

<段落5>在实际应用中，反证法也被广泛运用在逻辑推理和证明中。

例如，在证明某个命题的充分条件时，可以采用反证法。

假设符合充分条件的命题为假，通过推导出与已知条件相矛盾的结论，我们可以证明这个命题的充分条件必然为真。

<段落6>总结起来，反证法是一种重要的推理方法，它通过推导出与已知事实或公理相矛盾的结论，来证明假设的命题是错误的。

通过练习反证法，我们可以提高逻辑思维能力和证明技巧，使我们在数学和逻辑推理中更加娴熟地运用这一方法。

反证法数学最简单的例子

反证法数学最简单的例子
反证法是一种证明方法，用于证明某个命题的否定或矛盾。

它基于假设命题的否定为真，并通过逻辑推理的过程来得出矛盾的结论，从而证明原命题是成立的。

对于数学上最简单的例子，我们可以考虑证明一个整数是奇数。

以下是一个使用反证法证明某个整数是奇数的例子：
假设存在一个整数x，其中x是偶数。

根据偶数的定义，我们可以将x表示为2的倍数，即存在一个整数k使得x=2k。

根据这个假设，我们可以得出以下结论：
1. x是偶数，所以存在一个整数k使得x=2k。

2. 由于k也是整数，故存在一个整数n，使得k=2n。

现在我们可以将x用k和n来表示：
x=2k=2(2n)=4n
综上，我们得到结论x=4n。

此时我们来观察一下得到的结论。

我们知道4可以写成2的平方，所以x可以
写成2的平方乘以n，也就是说x是2的倍数。

然而，根据我们一开始的假设，x是偶数，x=2k，因此x也是2的倍数。

然而这与我们之前的结论矛盾，因为我们开始的时候假设x是一个奇数。

基于我们的假设推导出了矛盾的结论，说明我们的假设是错误的。

反设法的核心是通过推理达到矛盾，从而证明了原命题的成立。

因此，我们可以得出结论x 是一个奇数。

总结起来，反证法是一种重要的证明方法，可以用于解决各种数学问题。

这个简单的例子展示了反证法的使用过程，以及如何通过逻辑推理推导出矛盾，从而证明了原命题的成立。

当面对一些困难的问题时，反证法可以提供一个有效的解决思路，帮助我们理解问题的本质，并得出正确的结论。

反证法举例子通俗易懂

反证法举例子通俗易懂
反证法（又称反论法）是一种推理证明方法，主要用于证明命题的真假。

即首先设定
被证明命题的否定式的原子命题（称为反假设）为真，然后证明这样假设而不合理，从而
及推出原命题为真。

反证法是推理推理技术中最基本也是最常用的一种，解决一个复杂问
题时反证法是有效的。

举例说明：
假设某超市一瓶价格20元的矿泉水，被称为“保健水”；
应用反证法来证明这个瓶子的水不是保健水：
1.建立假设：这个瓶子的水是保健水。

2.推理：正常正规的保健水一般都是非常昂贵的，而这款产品只要20元一瓶，所以
不可能是保健水；
3.结论：根据以上结论，可以推出“这个瓶子的水不是保健水”。

以上就是反证法的一个典型的用法，它的核心主要有两个，一是建立一个明确的假设，二是结合证据和事实来推理出一个假设的真假。

反证法应用非常广泛，日常生活中我们也经常使用反证法，比如说：
1.建立假设：“A”是小明最好的朋友
2. 推理：A跟小明之间没有联系，也没有表达过珍重，那么他一定不是小明最好的朋友；
3.结论：根据以上分析，A不是小明最好的朋友。

以上就是应用反证法所推理出的结论，可以发现，反证法也可以根据生活中的实际情况，通过不同的推理思维来推断出一个命题的真假，只要抓住正确的点去思考，就可以结
合现实情况，用反证法来解释问题，解决实际中的问题。

反证法练习题

反证法练习题证明题1．求证：两组对边的和相等的四边形外切于一圆．2．已知△ABC与△A′BC有公共边BC，且A′B＋A′C＞AB＋AC．求证点A′在△ABC 的外部．3．求证：相交两圆的两个交点不能同在连心线的同侧．4．用反证法证明：直角三角形斜边上的中点到三顶点的距离相等．5．已知△ABC中，AB＞AC，∠ABC和∠ACB的平分线相交于O点．求证：AO与BC不垂直．6．在同圆中，如果两条弦的弦心距不等，那么这两条弦也不等．7．求证：两条直线相交，只有一个交点．8．求证：一直线的垂线和非垂线一定相交．9．在四边形ABCD中，已知AB≠CD，求证AC，BD必不能互相平分．10．已知直线l1∥直线l2，直线m1∥直线 m2，且l1，m1相交于点P．求证l2与m2必相交．11．求证：若四边形的一组对边的中点连线等于另一组对边的和的一半，则另一组对边必互相平行．12．已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O．求证C点必在⊙O上．13．已知△ABC与△A′BC有公共边BC，且∠BA′C＜∠BAC．求证点A′在△ABC的外部．14．求证：梯形必不是中心对称图形．15．已知如图7-399，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部的一点，且∠APB≠∠APC．求证PB≠PC．练习题提示证明题1．提示：设四边形ABCD中AB+CD=BC+DA．假设它不外切于圆，可作⊙O与AB，BC，CD 相切，则⊙O必不与DA相切．作D′A与⊙O相切并与射线CD相交于D′，则AB+CD′=BC+D′A．与已知条件左右各相减，得DD′=|DA-D′A|，但在△ADD′中这不可能；所以四边形ABCD外切于圆．2．提示：假设A′在△ABC内部，由练习题（已知：P为△ABC内任意一点，连接PB，PC．求证：BC＜PB+PC＜AB+AC）可知A′B+A′C＜AB+AC，这与已知矛盾；所以A′不在△ABC 内部．设A′在边AB或AC上，显然有A′B+A′C＜AB+AC，这也与已知矛盾．所以点A′在△ABC的外部．3．提示：设⊙O与⊙O′相交于点A，B．假设A，B在连心线OO′同侧．由于∠OO′B=∠OO′A，∠O′OB=∠O′OA，显然B与A重合，即⊙O与⊙O′相交于一点，这与已知矛盾；所以A，B不能同在连心线的同侧．4．提示：设直角△ABC的斜边AB的中点为D．假设AD=BD＜CD，设法证出∠C为锐角，这与已知矛盾．假设AD=BD＞CD，设法证出∠C为钝角，这也与已知矛盾．所以只有AD=BD=CD．5．提示：假设AO⊥BC．由于O是∠B、∠C的平分线的交点，所以AO是∠A的平分线．这样就有AB=AC，这与已知矛盾；所以AO与BC不垂直．6．提示：设AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，且OE≠OF．假设AB=CD，则OE=OF，这与已知OE≠OF矛盾．所以假设不成立．所以AB≠CD．7．提示：设直线AB，CD相交于M．假设直线AB，CD另有一个交点N，这说明经过M，N两点有两条直线AB和CD，这与公理经过两点有且只有一条直线矛盾．故假设不成立．所以AB，CD只有一个交点．8．提示：设直线a⊥直线l，直线b不垂直于l．假设a和b不相交，则a∥b，从而b⊥l，但这与已知矛盾；所以a和b相交．9．提示：假设AC和BD互相平分，则可推出AB=CD，但这与已知矛盾；所以AC和BD 不能互相平分．10．提示：假设l2与m2不相交，则l2∥m2．因为l1∥l2．所以l1∥m2．因为m1∥m2，所以l1∥m1．这与已知l1与m1相交于点P矛盾．所以假设不成立．所以l2与m2必相交．11．提示：设M和N分别是四边形ABCD的边AB和CD的中点，并而MP+PN=MN．但假定AD不平行于BC，P不会在MN上，所以上面这个等式不成立；从而AD∥BC．12．提示：假设点C不在⊙O的圆周上，则点C在⊙O的内部或外部．（1）若C在⊙O内部，延长AC交⊙O于D，连接BD，则∠D=90°．因为∠ACB是△CDB 的外角，所以∠ACB＞∠D．所以∠ACB＞90°．这与已知∠ACB=90°矛盾．（2）若C在⊙O外部，设AC交⊙O于E，连接BE，则∠AEB=90°．因为∠AEB是△CEB 的外角，所以∠AEB＞∠ACB，就有∠ACB＜90°．这与已知∠ACB=90°矛盾．综合（1），（2）可知假设不成立．所以C点必在⊙O上．13．提示：假设A′在△ABC内部，由几何一第三章§8第5题可知∠BA′C＞∠BAC，这与已知矛盾；所以A′不在△ABC内部．设A′在边AB或AC上，显然有∠BA′C＞∠BAC，这也与已知矛盾．所以点A′在△ABC的外部．14．提示：设在梯形ABCD中，AD∥BC，AB不平行于CD．假设它是中心对称图形，O为对称中心．作A和B关于O的对称点A′和B′．则线段A′B′是边AB的对称图形．A′B′或位于BC上，或CD上，或AD上．但A′B′平行于AB，所以或BC或CD或AD平行于AB，这与已知矛盾；所以梯形ABCD不是中心对称图形．15．提示：假设PB=PC，则∠PBC=∠PCB．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，所以∠ABP=∠ACP．因为AB=AC，PB=PC，AP=AP，所以△ABP≌△ACP．所以∠APB=∠APC．这与已知∠APB≠APC矛盾．所以假设不成立，就有PB≠PC．。

反证法解答题专项练习30题(有答案)ok

反证法解答题专项练习30题（有答案）1．求证：在△ABC中至多有两个角大于或等于60°．2．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：①若a2+ab+c＞0，且c＞1，则0＜b＜2；②若c＞1且0＜b＜2，则a2+ab+c＞0；③若0＜b＜2，且a2+ab+c＞0，则c＞1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定．3．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”证明：假设所求证的结论不成立，即∠A _________ 60°，∠B _________ 60°，∠C _________ 60°，则∠A+∠B+∠C＞_________ ．这与_________ 相矛盾．∴_________ 不成立．∴_________ ．4．用反证法证明（填空）：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求证：l1_________ l2证明：假设l1_________ l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P _________ 180°_________所以∠1+∠2 _________ 180°，这与_________ 矛盾，故_________ 不成立．所以_________ ．5．完形填空：已知：如图，直线a、b被c所截；∠1、∠2是同位角，且∠1≠∠2，求证：a不平行b．证明：假设_________ ，则_________ ，（两直线平行，同位角相等）这与_________ 相矛盾，所以_________ 不成立，故a不平行b．6．求证：在△ABC中，∠B≠∠C，则AB≠AC（提示：反证法）7．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．8．反证法证明：如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a=0且b=0．9．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）10．证明已知△ABC中不能有两个钝角．11．举反例说明下列命题是假命题．（1）一个角的补角大于这个角；（2）已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．12．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．13．用反例证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题．14．用反证法证明：在同一平面内，a，b，c互不重合，若a∥b，b∥c，则a∥c．15．已知直线a，b，c，且a∥b，c与a相交，求证：c与b也相交．16．用反证法证明：（1）已知：a＜|a|，求证：a必为负数．（2）求证：形如4n+3的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．17．用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角．18．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．19．用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．20．在线段AB上依次取C、D、E三点，将AB分为四段，试说明至少有一段不小于AB，同时，至少有一段不大于AB．21．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．22．已知a，b，c，d四个数满足a+b=1，c+d=1，ac+bd＞1．求证：这四个数中至少有一个是负数．23．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ac，z=c2﹣ab．求证：x，y，z中至少有一个大于零．24．用反证法证明：一条线段只有一个中点．25．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上，求证：CD、BE不可能互相平分．26．能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例．如果不能，请简述理由．27．将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．28．已知a，b是整数，a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．29．已知：△ABC的三个外角为∠1，∠2，∠3．求证：∠1，∠2，∠3中至多有一个锐角．30．已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45°？请证明你的结论．参考答案：1．证明：假设一个三角形中有3个内角大于60°，则∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°；∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾，故在△ABC中至多有两个角大于或等于60°2．解：令b=4，c=5可以证明命题①不正确．若b=1，c=，可以证明命题③不正确．命题②正确，证明如下由c＞1，且0＜b＜2，得0＜＜1＜c．则c ＞＞，c ＞＞0故a2+ab+c=+（c ﹣）＞03．解：证明：假设所求证的结论不成立，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，则∠A+∠B+∠C＞180°．这与内角和为180°相矛盾．则假设不成立．则求证的命题正确．故答案为：＞，＞，＞，180°，内角和180°，假设，求证的命题正确4．证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l1∥l25．证明：假设a∥b，∴∠1=∠2，（两直线平行，同位角相等．），与已知∠1≠∠2相矛盾，∴假设不成立，∴a不平行b6．证明：假设AB=AC，则，∠B=∠C，与已知矛盾，所以AB≠AC 假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，则A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A=∠B=90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角8．证明：假设如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a≠0且b≠0，∵a≠0，b≠0，∴a2＞0，b2＞0，∴a2+b2＞0，∴与a2+b2=0出现矛盾，故假设不成立，原命题正确9．证明：①假设PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，∴PB=PC是不可能的．②假设PB＞PC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，∴PB＞PC是不可能的．综上所述，得：PB＜PC10．证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°；所以∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾；所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角11．解：（1）如果设∠A=100°，那么∠A的补角=80°＜100°，所以命题：“一个角的补角大于这个角”是假∵a⊥b，∴∠1=90°，∵b⊥c，∴∠2=90°，∴∠1=∠2，∴a∥c．故命题：“已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c”是假命题12．证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC，∠PBC=∠PCB；又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB；∴∠ABP=∠ACP；∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC；与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC13．解：设一个锐角为30°，一个钝角为200°；则它们的度数和为230°≠180°，因此不是平角；故原命题是假命题14．解：假设a∥c不成立，则a，c一定相交，假设交点是P；则过点P，与已知直线b平行的直线有两条：a、c；与经过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾；因而假设错误．故a∥c15．证明：假设c∥b；∵a∥b，∴c∥a，这与c和a相交相矛盾，假设不成立；所以c与b也相交16．证明：（1）假设a≥0，则|a|=a，这与已知|a|＞a 相矛盾，因此假设不成立，所以a必为负数；（2）假设4n+3的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为α，β，则4n+3=α2+β2，因为（n+2）2+（﹣n2﹣1）≠α2+β2，所以假设不成立，故4n+3的整数k不能化为两个整数的平方和17．证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角18．已知：AB=A′B′，BC=B′C′，∠B≠∠B′，求证：AC≠A′C′．证明：假设AC=A′C′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS），∴∠B=∠B′，∴与已知，∠B≠∠B′矛盾，则假设不成立，∴AC≠A′C′．19．证明：连接DE，假设BD和CE互相平分，∴四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD，∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，∴AC不可能平行于AC，与已知出现矛盾，故假设不成立原命题正确，即BD和CE不可能互相平分20．解：假设每一段都小于AB，则四段之和小于AB，这与已知四段之和等于AB相矛盾，假设错误，所以至少有一段不小于AB ，同时，至少有一段不大于AB21．解：假设点M不在线段CD上不成立，则点M在线段CD上．延长AM到N，使AM=MN，连接BN；在△AMC和△NMB中，BM=CM，∠AMC=∠BMN，AM=MN，∴△AMC≌△NMB（SAS）；∴∠MAC=∠MNB，BN=AC；∴BN＞AB，即AC＞AB；与AB＞AC相矛盾．因而M在线段CD上是错误的．所以点M不在线段CD上22．证明：假设a、b、c、d都是非负数，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1．∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd．这与ac+bd＞1矛盾．所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数23．证明：假设x，y，z都小于0，∵x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，∴2（x+y+z）=2a2﹣2bc+2b2﹣2ca+2c2﹣2ab=（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＜0，∴这与（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0矛盾，故假设不成立，∴x，y，z中至少有一个大于零24．已知：一条线段AB，M为AB的中点．求证：线段AB只有一个中点M．证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，又因为AM=AB=AN=AB，这与AM＜AN矛盾，所以线段AB只有一个中点M25．证明：假设CD、BE可以互相平分．则连接DE．则四边形BCED是平行四边形．∴BD∥CE与△ABC相矛盾所以：CD、BE不可能互相平分26．解：不能．理由：假设存在7个整数a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排则a1+a2+a3=29，a2+a3+a4=29，a3+a4+a5=29，a4+a5+a6=29，a5+a6+a7=29，a6+a7+a1=29，a7+a1+a2=29．将上述7式相加，得3×（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7）=29×7．所以，与a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7为整数矛盾!所以不存在满足题设要求的7个整数27．解：假设所有相邻的三个数，它们的和都小于33，则它们的和小于等于32．∴这21个数的和的最大值小于等于：32×21÷3=224，但是实际上，1+2+3+…+21=（1+21）×21÷2=231＞224，所以假设不成立，则命题得证，∴将自然数1，2，3…21这21个数，任意地放在一个圆周上，其中一定有相邻的三个数，它们的和大于等于3328．证明：用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：（1）a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3|a，3不整除b．令a=3m，b=3n±1（m，n都是整数），于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3（3m2+3n2±2n）+1，不是3的倍数，矛盾；（2）a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2+b2=（3m±1）2+（3n±1）2，=9m2±6m+1+9n2±6n+1=3（3m2+3n2±2m±2n）+2，不能被3整除，矛盾；同理分别设a=3m±2，b=3n±1或a=3m，b=3n±2，或a=3m±2，b=3n±2，代入a2+b2会得到相同的结论．由此可知，a，b都是3的倍数29．证明：因为三角形的每一个外角都与相邻的内角互补，因为当相邻的内角是钝角时，这个外角才是锐角，又因为三角形中最多只有一个内角是钝角，所以三角形的三个外角中最多只有一个锐角30．证明：能．（1）如图a，若四点A，B，C，D构成凸四边形．则必有一个内角≤90°．不妨设为∠A．这是因为，假设四个内角都大于90°，则360°=∠A+∠B+∠C+∠D＞4×90°=360°．矛盾．则∠BAC+∠CAD≤90°．则∠BAC与∠CAD 中必有一个≤×90°=45°．故结论成立．（2）如图b．若四点A，B，C，D构成四边形．则△ABC 中必有一个内角≤×180°=60°．不防设∠A≤60°．又∠A=∠BAD+∠CAD≤60°．则∠BAD与∠CAD值中必有一个≤×60°＜45°．故结论成立。

反证法

综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
练一练
1、“a＜b”的反面应是（
D
）
（A）a≠＞b（B）a ＞b （C）a=b（D）a=b或a＞b
2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直假设三角形中有两个或三个角是直角角”时，应假设______________________
练一练
3、如图，AB ∥ED，求证：∠B+∠C+∠D=360º.
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢! 上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没有外出旅游. 小华是如何推断该命题的正确性的? 假设小芳全家外出旅游, 那么今天不可能碰到小芳, 与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾,
所以假设不成立,
求证的命题正确即___________________.
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2 求证：a∥b
2
c
1
a b
证明：假设结论不成立，则a∥b ∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立 ∴a∥b
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行. (1)你首先会选择哪一种证明方法? （3）能不用反证法证明吗？你是怎样证明的？ (2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到
路边的李树上结满了
果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动. 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?

反证法典型例题

证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b 若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾, 若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
例3.已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
证明: 假设c<0, 则a+b>0, ab<0. ab+bc+ca=ab+(a+b)c<0. 矛盾!假设不成立.
所以, a,b,c>0.
例7.已知0<a,b,c<1, 求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a不可能同时大于1/4.
证明: 假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a同时大于1/4.
2 22
例9.已知A,B,C为三个正角. 且sin2A+sin2B+sin2C=1. 求证: A+B+C<900.
解:假设A+B+C ≥900, 由于A,B,C为三个正角, 所以它们都为锐角, 且有cos(A+B)<cos(A-B). 1=sin2A+sin2B+sin2C=1-cos(A+B)cos(A-B)
所以假设不成立，2是有理数成立。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论； (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 这一类的命题； (4)结论为 “唯一”类的命题。
正难则反!
例6.已知a+b+c>0, ab+bc+ca>0, abc>0. 求证: a,b,c>0

反证法例题

反证法：从矛盾到证明
反证法是一种常用的证明方法，它通过假设一个命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。

下面是一个反证法的例题和练习。

例题：证明“一个三角形中最大的角是直角”
证明：假设一个三角形中最大的角不是直角，那么它只能是锐角或钝角。

根据三角形内角和定理，三个内角的和等于180度。

如果最大的角不是直角，那么它要么是锐角（小于90度），要么是钝角（大于90度）。

因此，三角形的内角和要么小于180度，要么大于180度，这与三角形内角和定理相矛盾。

因此，假设不成立，原命题成立。

练习：证明“一个正方形中最大的角是直角”
证明：假设一个正方形中最大的角不是直角，那么它只能是锐角或钝角。

根据正方形内角和定理，四个内角的和等于360度。

如果最大的角不是直角，那么它要么是锐角（小于90度），要么是钝角（大于90度）。

因此，正方形的内角和要么小于360度，要么大于360度，这与正方形内角和定理相矛盾。

因此，假设不成立，原命题成立。

通过反证法的例题和练习，我们可以发现反证法的思路是通过假设命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。

在应用反证法时，需要注意一些关键点：
确定假设的命题是什么。

根据已知条件和定理，推导出与假设相矛盾的结论。

证明矛盾的结论是由于假设不成立导致的。

通过不断练习和应用反证法，我们可以提高自己的逻辑推理能力和证明能力。

初中数学反证法简单例子

初中数学反证法简单例子初中数学中的反证法是一种常用的证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题一定成立。

下面我们来列举一些初中数学中常用的反证法的简单例子。

1. 命题：不存在任意两个不相等的正整数，使得它们的和等于它们的积。

假设存在两个不相等的正整数a和b，满足a + b = ab。

由于a和b不相等，不妨设a > b，那么有a > a/2 > b。

根据不等式性质，我们可以得到2a > a + b = ab，即2 > b。

但是正整数b不可能小于2，与假设矛盾。

因此，不存在任意两个不相等的正整数满足该条件。

2. 命题：存在一个无理数x，使得x的平方等于2。

假设不存在这样的无理数x，即对于任意实数x，x的平方不等于2。

那么我们可以考虑一个特殊的实数y，即y = √2。

根据无理数定义，√2不是有理数，因此是一个无理数。

而根据假设，y的平方不等于2，即y^2 ≠ 2。

然而，这与y = √2相矛盾。

因此，存在一个无理数x，使得x的平方等于2。

3. 命题：对于任意正整数n，2n不等于n的平方。

反证法证明：假设存在一个正整数n，使得2n = n^2。

可以将等式两边同时除以n，得到2 = n。

然而，这与n是一个正整数相矛盾。

因此，对于任意正整数n，2n不等于n的平方。

4. 命题：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。

反证法证明：假设存在一个正整数n，使得n^2 + 3n + 2 = m^2，其中m是一个正整数。

可以将等式变形为n^2 + 3n + 2 - m^2 = 0。

这是一个关于n的二次方程，可以使用求根公式解得n = (-3 ± √(9 - 8(2 - m^2))) / 2。

由于n是一个正整数，因此根号内的值必须为正整数。

然而，当m取不同的正整数值时，根号内的值不可能为正整数，因此假设不成立。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。

反证法一

反证法一、练习1、“a<b”的反面应是（）A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b2、用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交3、用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设___________．4、用反证法证明“若│a│<2，则a2<4”时，应假设__________．5、请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5．6、如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．7、完成下列证明．如右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．综上所述，假设不成立．∴∠B一定是锐角．8、用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°9、若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45•°”时，应假设_______________．二、练习1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°2、在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.求证；a2＋b2≠c2.3、求证两条直线相交只有一个交点.4、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.5、.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.。

反证法

反证法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．用反证法证明命题“若a ，b∈N，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．b 不能被3整除D ．a 不能被3整除2．用反证法证明命题“若()220,a b a b +=∈R ，则a 、b 全为0”，其反设正确的是（）A ．a 、b 至少有一个为0B ．a 、b 至少有一个不为0C ．a 、b 全不为0D ．a 、b 中只有一个为03．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有偶数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A ．假设,,a b c 不都是偶数B ．假设,,a b c 至多有两个是偶数C ．假设,,a b c 至多有一个是偶数D ．假设,,a b c 都不是偶数4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角5．设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋b 1，b ＋c 1，c ＋a1的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于26．下列命题不适合用反证法证明的是( )A ．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B ．两个不相等的角不是对顶角C ．平行四边形的对角线互相平分D ．已知x ，y∈R，且x ＋y>2，求证：x ，y 中至少有一个大于17．设x ，y ，z>0，则三个数y x ＋y z，z x ＋z y ，x z ＋x y ( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于28．用反证法证明命题“若2sin cos 1sin 1θθ-=，则s i n 0c o s θθ≥≥且”时，下列假设的结论正确的是（）A ．sin 0cos 0θθ≥≥或B ．sin 0cos 0θθ<<且C ．sin 0cos 0θθ<<或D ．sin 0cos 0θθ>>且二、填空题9．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________．10．和两条异面直线AB 、CD 都相交的两条直线AC 、BD 的位置关系是________.11．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是________.三、解答题12．用反证法证明7,5,3不可能成等差数列.13,,a b c 中至少有一个不小于1.14．若函数f(x)在区间[a ，b]上的图象连续，f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a ，b]上单调递增，求证：f(x)在(a ，b)内有且只有一个零点．参考答案1．B【解析】反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a ，b 中至少有一个能被3整除”的反面是：“a ，b 都不能被3整除”，故应假设a ，b 都不能被3整除.考点：反证法.2．B【解析】原命题的结论为：“a 、b 全为0”，反证法需假设结论的反面，其反面为“a 、b 至少有一个不为0”.考点：反证法的假设环节.3．D【解析】 “,,a b c 中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设,,a b c 都不是偶数”，故选D.考点：命题的否定.4．B【解析】由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故选B ．考点：反证法.5．D 【解析】因为6121212111111=⨯+⨯+⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++cc b b a a c c b b a a a c c b b a ，等号成立的条件是1a b c ===，如果三个数都小于2，那么三个数相加不可能大于或等于6，所以至少有一个不小于2，故选D.考点：不等式.6．C【解析】A 中命题条件较少，不易正面证明；B 中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．考点：反证法证明命题.7．C【解析】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝(y x ＋x y )＋(y z ＋z y )＋(z x ＋x z )≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.故选C.考点：反证法证明命题.8．C【解析】若用反证法证明，只需要否定命题的结论，sin 0cos 0θθ≥≥且的否定为sin 0cos 0θθ<<或，故选C.考点：反证法.9．∠BAP＝∠CAP 或∠BAP＞∠CAP【解析】反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP 的对立面是∠BAP＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CA P.考点：反证法的假设环节.10．异面【解析】假设AC 与BD 共面于平面 α，则A 、C 、B 、D 都在平面α内，∴AB ⊂α，CD ⊂α，这与AB 、CD 异面相矛盾，故AC 与BD 异面．考点：反证法证明直线位置关系.11．丙【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.12．详见解析【解析】证明：假设则=即10=10221≠.考点：反证法.13．详见解析【解析】证明：假设,,a b c 均小于1，即1,1,1a b c <<<，则有3a b c ++<，. 考点：反证法.14．见解析【解析】证明：由于f(x)在[a ，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a ，b)内至少存在一个零点，设零点为m ，则f(m)＝0，假设f(x)在(a ，b)内还存在另一个零点n ，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m ，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m ，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不成立，即f(x)在(a ，b)内有且只有一个零点．考点：反证法.。

反证法练习题

反证法精选题26道一．选择题（共18小题）1．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（）A．直角三角形的每个锐角都小于45°B．直角三角形有一个锐角大于45°C．直角三角形的每个锐角都大于45°D．直角三角形有一个锐角小于45°2．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（）A．三角形中有一个内角小于或等于60°B．三角形中有两个内角小于或等于60°C．三角形中有三个内角小于或等于60°D．三角形中没有一个内角小于或等于60°3．选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（）A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°4．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾．②因此假设不成立．∴∠B＜90°．③假设在△ABC中，∠B≥90°．④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②5．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a＝1，b＝﹣2B．a＝0，b＝﹣1C．a＝﹣1，b＝﹣2D．a＝2，b＝﹣1 6．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a＝﹣2B．a＝﹣1C．a＝1D．a＝27．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（）A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°9．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A．5B．2C．4D．810．用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A．至少有两个角是直角B．没有直角C．至少有一个角是直角D．有一个角是钝角，一个角是直角11．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设（）A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b12．用反证法证明：“一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”．应假设（）A．一个三角形中没有一个角大于或等于60°B．一个三角形中至少有一个角小于60°C．一个三角形中三个角都大于等于60°D．一个三角形中有一个角大于等于60°13．用反证法证明：“一个三角形中至多有一个角不小于90°”时，应假设（）A．一个三角形中至少有两个角不小于90°B．一个三角形中至多有一个角不小于90°C．一个三角形中至少有一个角不小于90°D．一个三角形中没有一个角不小于90°14．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°15．在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（）A ．小于60°B ．等于60°C ．大于60°D ．大于或等于60°16．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于15，先要假设这五个正数（）A ．都大于15B ．都小于15C ．没有一个小于15D ．没有一个大于1517．下列说法正确的个数（）①近似数32.6×102精确到十分位： ②在√2，−(−2)2，√83，﹣|−√2|中，最小的数是√83③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为﹣1+√5④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”⑤如图②，在△ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点A ．1B ．2C ．3D ．418．用反证法证明“a ＞0”时，应先假设结论的反面，下列假设正确的是（）A ．a ＜0B ．a ＝0C ．a ≠0D ．a ≤0二．填空题（共8小题）19．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°“，应假设．20．用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是．21．用反证法证明“如果|a |＞a ，那么a ＜0．”是真命题时，第一步应先假设．22．用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设．23．用反证方法证明“在△ABC 中，AB ＝AC ，则∠B 必为锐角”的第一步是假设．24．用反证法证明“内错角相等，两直线平行”时，首先要假设．25．如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB 与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设：．26．数学课上，同学提出如下问题：老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线所截EF，AB∥CD，那么∠EOB＝∠EO'D．”如图2，假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'＝∠EO'D，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB＝∠EO'D．请补充上述证明过程中的基本事实：．。

反证法

a
假设方程不只一个根, 不妨设x1,x2是它的两个不同的根 ax2=b ② ∴ ax1=b ① ①-②得 a(x1-x2)=0
∵ x1≠x2
∴ x1-x2≠0 ∴ a=0 这与已知矛盾, 故假设错误
所以, 当a≠0时, 方程ax=b有且只有一个根.
用反证法证明: 如果a>b>0, 那么
a b
证明: 假设
则或者 ①
a 不大于 b ,
a b ,或者 a b
a b ab
② 因为a>0,b>0, 所以
a b a a b a a b a b b b a ab b
这些都同已知条件a>b>0矛盾
a b
例8. 如图, AB,CD为圆的两条相交弦, 且不全为直径. 求证AB,CD不能互相平分. 证明: 假设AB, CD互相平分, 则ABCD 为平行四边形 D A C
用反证法证明命题的一般步骤:
(1)假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立;
(2)从这个假设出发,过推理论证, 得出矛盾;
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
例7. 已知a≠0, 证明x的方程ax=b 有且只有一个根. 证明: 由于a≠0, 因此方程至少有一个 b 根x
将9个球分别染成红色或白色, 有没有办法令到最多只有四个球的颜色相同? 如何证明你的结论?
一般地, 假设原命题不成立, 经过正确
的推理, 最后得出矛盾, 因此说明假设错误, 从而证明了原命题成立, 这样的
证明方法叫做反证法.
练习: 1.证明: 在三角形ABC中, 若∠C是直
角, 则∠B一定是锐角. 2. 求证: 2 , 3 , 5 不可能成等差数列

反证法经典专题(带解析)

反证法专题50道18．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程30至少有两个实根”时，要x ax b做的假设是（）A．方程30恰好有两个实根x ax bx ax b没有实根B．方程30C．方程30至多有一个实根x ax b至多有两个实根D．方程30x ax ba b ，则,a b至少有一个小于0”时，假设应为（）19．利用反证法证明“若0A．,a b都小于0B．,a b都不小于0C．,a b至少有一个不小于0D．,a b至多有一个小于020．用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是奇数”正确的假设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个奇数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数第1页，共17页参考答案：1．A【分析】根据命题的结论的否定进行判断即可.【详解】因为a ，b 中至少有一个能被5整除的否定是a ，b 都不能被5整除，所以假设的内容应该是a ，b 都不能被5整除，故选：A 2．B【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故命题“a ，b ∈N+，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．故选：B ．3．C【分析】根据反证法的定义即可直接得出结果.【详解】由反证法的定义，知在推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以当作条件来使用，所以可以使用结论的否定、已知条件、公理、定理、定义等.故选：C.4．C【分析】根据反证法基本原理，对结论进行否定即可得到结果.【详解】“a 与b 都不能被7整除”的否定为：,a b 至少有一个能被7整除.故选：C.5．D【分析】根据给定条件，利用反证法的意义写出结论的否定作答.【详解】命题“如果0a b ”，“那么22a b ”的结论是22a b ，而反证法证明命题时，是假设结论不成立，即结论的反面成立，所以所求假设是22a b .故选：D 6．C答案第2页，共17页【分析】取命题的反面即可.【详解】用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即1x 且1y ，故选：C ．7．D【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设0x 或0y .【详解】利用反证法证明，应先假设结论不成立，本题应假设0x 或0y 故选：D 8．C【分析】根据反证法证明命题的方法，应先假设命题的反面成立，故求出命题的反面即可.【详解】“x ，y 至多有一个大于0”包括“x ，y 都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”.故选：C.9．C【分析】反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，对照选项即可得到答案.【详解】依题意，反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，即“假设a ，b ，c 都是有理数”.故选：C.10．A【分析】根据“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”可直接得到结果.【详解】“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”，反设正确的是“三个内角都不大于60 ”.故选：A.11．B【分析】根据“至少有一个是偶数”的否定形式可直接判断出结果.【详解】∵“至少有一个是偶数”的否定形式为“都不是偶数”，假设正确的是：假设,,a b c 都不是偶数.故选：B.12．B【分析】“反证法”就是从命题的反面即否定形式入手考虑题设.故答案为：若“6x y ，则3x 且4y ”成立.45．0x 且0y 【分析】根据反证法思想，写出原命题证明中的假设条件即可.【详解】由反证法思想：否定原结论，推出矛盾，所以题设命题的证明，应假设0x 且0y .故答案为：0x 且0y 46．02a 【分析】根据反证法的结构特点可得正确的假设.【详解】对于命题：“已知a R ，若|1|1a ，则a<0或2a ”，用反证法证明时应假设：若02a .故答案为：02a .47．a b 且b c 成立【分析】假设结论的反面成立，即可求解．【详解】解：假设结论的反面成立，即a b 且b c 成立．故答案为：a b 且b c 成立．48．在一个三角形中至少有两个内角是钝角【分析】依据命题的否定即可求得结论的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”【详解】命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”故答案为：在一个三角形中至少有两个内角是钝角49．1x 且1y 【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若2x y ，则1x 或1y 的结论是“1x 或1y ”，其否定为“1x 且1y ”，所以假设的内容应该是：1x 且1y .故答案为：1x 且1y 50．1x 且1y 【分析】根据反证法的原理可知.【详解】根据反证法的原理可知，求证1x 或1y 时，应首先假设1x 且1y .故答案为：1x 且1y 51．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a，b，c中至多有一个偶数”的否定是：“a，b，c中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为“a，b，c中至少有两个偶数”，故答案为：a，b，c中至少有两个偶数.。

高中数学反证法例题

高中数学反证法例题高中数学反证法例题一选择题1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解[答案] C[解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A.a、b、c都是奇数B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C.a、b、c都是偶数D.a、b、c中至少有两个偶数[答案] B[解析]a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B.3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°[答案] B[解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B.4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A.假设a，b，c都是偶数B.假设a、b，c都不是偶数C.假设a，b，c至多有一个偶数D.假设a，b，c至多有两个偶数[答案] B[解析]“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数.5.命题“△ABC中，若&ang；A>&ang；B，则a>b”的结论的否定应该是()A.aB.a&le；bC.a=bD.a&ge；b[答案] B[解析]“a>b”的否定应为“a=b或a6.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c 与b的位置关系为()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线[答案] C[解析]假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b 异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.故应选C.7.设a，b，c&isin；(-&infin；，0)，则三数a+1b，c+1a，b+1c中()A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2[答案] C[解析]a+1b+c+1a+b+1c=a+1a+b+1b+c+1c∵a，b，c&isin；(-&infin；，0)，∴a+1a=--a+-1a&le；-2b+1b=--b+-1b&le；-2c+1c=--c+-1c&le；-2∴a+1b+c+1a+b+1c&le；-6∴三数a+1b、c+1a、b+1c中至少有一个不大于-2，故应选C.8.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面[答案] B[解析]对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m 都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P 与l、m都异面的直线不唯一.9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A.甲B.乙C.丙D.丁[答案] C[解析]因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手.故应选C.10.已知x1>0，x1≠1且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1，2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn+1”，当此题用反证法否定结论时，应为()A.对任意的正整数n，都有xn=xn+1B.存在正整数n，使xn=xn+1C.存在正整数n，使xn&ge；xn+1且xn&le；xn-1D.存在正整数n，使(xn-xn-1)(xn-xn+1)&ge；0[答案] D[解析]命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”.故应选D.高中数学反证法例题二填空题11.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________.[答案]没有一个是三角形或四边形或五边形[解析]“至少有一个”的否定是“没有一个”.12.用反证法证明命题“a，b&isin；N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________.[答案]a，b都不能被5整除[解析]“至少有一个”的否定是“都不能”.13.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①&ang；A+&ang；B+&ang；C=90°+90°+&ang；C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则&ang；A=&ang；B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设&ang；A，&ang；B，&ang；C中有两个角是直角，不妨设&ang；A=&ang；B=90°.正确顺序的序号排列为____________.[答案]③①②[解析]由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________.设全体质数为p1、p2、…、pn，令p=p1p2…pn+1.显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数.这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个.[答案]质数只有有限多个除p1、p2、…、pn之外[解析]由反证法的步骤可得.高中数学反证法例题三解答题15.已知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.[证明]用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a+b+c>0，可得c>-(a+b)，又a+b<0，∴c(a+b)<-(a+b)(a+b)ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab即ab+bc+ca<-a2-ab-b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0，即ab+bc+ca<0，这与已知ab+bc+ca>0矛盾，所以假设不成立.因此a>0，b>0，c>0成立.16.已知a，b，c&isin；(0，1).求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a 不能同时大于14.[证明]证法1：假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1-a、1-b、1-c都是正数.(1-a)+b2&ge；(1-a)b>14=12，同理(1-b)+c2>12，(1-c)+a2>12.三式相加，得(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32，即32>32，矛盾.所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1-a)b>14，(1-b)c>14，(1-c)a>14，三式相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>143①因为0同理，0所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c&le；143.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立.17.已知函数f(x)是(-&infin；，+&infin；)上的增函数，a，b&isin；R.(1)若a+b&ge；0，求证：f(a)+f(b)&ge；f(-a)+f(-b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论.[解析](1)证明：∵a+b&ge；0，∴a&ge；-b.由已知f(x)的单调性得f(a)&ge；f(-b).又a+b&ge；0?b&ge；-a?f(b)&ge；f(-a).两式相加即得：f(a)+f(b)&ge；f(-a)+f(-b).(2)逆命题：f(a)+f(b)&ge；f(-a)+f(-b)?a+b&ge；0.下面用反证法证之.假设a+b<0，那么：a+b<0?a<-b?f(a)?f(a)+f(b)这与已知矛盾，故只有a+b&ge；0.逆命题得证.18.(2019?湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn=1423n-1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.[解析]假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rbs>br，则只可能有2bs=br+bt成立.∴2?1423s-1=1423r-1+1423t-1.两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s，由于r故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.。

利用反证法证明有关异面直线问题

利用反证法证明有关异面直线问题反证法在立体几何中用得较多，下面用反证法证明有关异面直线问题。

例1 求证：分别和两条异面直线AB 和CD 同时相交的直线AC 、BD 是异面直线。

证明：假设AC 和BD 不是异面直线，则AC 和BD 在同一平面内，设这个平面为α，由AC BD ⊂⊂αα，，知A B C D 、、、∈α，故AB CD ⊂⊂αα，。

这与AB 和CD 是异面直线矛盾，于是假设不成立，故直线AC 和BD 是异面直线。

例2 已知a 与b 是异面直线，求证过a 且平行于b 的平面只有一个。

证明：如图1，假设过直线a 且平行于直线b 的平面有两个α和β。

在直线a 上取点A ，过b 和A 确定一个平面γ，且γ与α，β分别交于过A 点的直线c 、d 。

由b//α，知b//c 。

同理b//d 。

故c//d ，这与c 、d 相交于点A 矛盾。

故假设不成立。

从而过a 且平行于b 的平面只有一个。

例3 平面α∩平面β= a ，异面直线b ，c ，分别在α、β内．⑴求证b ，c 中至少有一条与a 相交．⑵若a∩b = P ，c∩a = Q ，在β内过P 作异于a 的直线b '，在α内过Q 作异于a 的直线c '，求证：b '，c '为异面直线．证明：⑴若b 、c 均不与a 相交．∵ a ⊂α，b ⊂α，∴a ∥b ，∵a ⊂β，c ⊂β，∴a ∥c ，∴b ∥c ，与题设b ，c 为异面直线矛盾．即b ，c 中至少有一条与a 相交．⑵若b '，c '在同一平面γ内，即b '⊂γ，c '⊂γ，∵Q ∈c '，∴Q ∈γ，又Q ∉b '（若Q ∈b '，由P ∈b '，则b '与a 重合，与题设矛盾），过b '及Q 可确定平面（即为β），但b '⊂γ，c '⊂γ，及Q ∈γ，从而得β、γ重合，同理、α、γ重合，由此得α、β重合，与题设α∩β= a 矛盾．所以b '，c '不可能在同一平面内，即b '，c '为异面直线．例4 求证：两条异面直线有且只有一条公垂线．证明：如图，设a 、b 是异面直线，b ⊂α，a ∥α，β是过a 而与α垂直的平面，AA 1是a 、b 的公垂线．假设EF 也是a 、b 的公垂线（显然F 与A 不重合，E 与A 1不重合），则EF ⊥α，从而EF ⊂β．由A 、F 都在β内，可得b ⊂β，这与a 、b 是异面直线矛盾．所以，两条异面直线有且只有一条公垂线．例5 如图所示，已知直线a 、b 、c 不共面，它们相交于点P ，A ∈a ，D ∈a ，B ∈b ，E ∈c ，求证：BD 和AE 是异面直线．证明：设BD 和AE 不是异面直线，则BD 与AE 确定一个平面β，因此有A ∈β，B ∈β，E ∈β，D ∈β．因为A ∈a ，D ∈a ，所以a ⊂β．又因为P ∈a ，所以P ∈β．因P ∈b ，B ∈b ，所以b ⊂β．因E ∈c ，P ∈c ，所以c ⊂β，这与a 、b 、c 不共面矛盾，从而有BD 和AE 是异面直线．P b E B D A c a。

反证法之几何证明专题

反证法之几何证明专题例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。

（1）证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。

∵OA＝OB，M是AB中点∴OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与已知的定理相矛盾。

故AB与CD不能互相平分。

例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN＝（AD＋BC）。

求证：AD∥BC（2）证明：假设AD BC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。

在△ABD中∵BM＝MA，BP＝PD∴MP AD，同理可证PN BC从而MP＋PN＝（AD＋BC）①这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设AD BC矛盾，于是M、P、N三点不共线。

从而MP＋PN＞MN②由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）相矛盾，故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。

练习1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。

2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。

3. 已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B求证：m和n必相交。

3．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD 与BE不能被点H互相平分。

4．求证：直线与圆最多只有两个交点。

5．求证：等腰三角形的底角必为锐角。

已知：△ABC中，AB＝AC求证：∠B、∠C必为锐角。

参考答案：1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。

故三角形中至少有一个角不大于60°。

2．证明：假设m和n不相交则m∥n∵m⊥l ∴n⊥l这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。

反证法证明题(简单)