反证法证明题(简单)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
反证法证明题
例1. 已知，，为内角.
A ∠
B ∠
C ∠ABC ∆求证：，，中至少有一个不小于60o .
A ∠
B ∠
C ∠ 证明：假设的三个内角，，都小于60o ，ABC ∆A ∠B ∠C ∠ 即60o ，60o ，60o ，A ∠
180A B C ∠+∠+∠< 与三角形内角和等于180o 矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例2. 已知，证明x 的方程有且只有一个根.0a ≠ax b = 证明：由于，因此方程至少有一个根.0a ≠ax b =b x a
=
假设方程至少存在两个根，ax b =不妨设两根分别为且，12,x x 12x x ≠则，12,ax b ax b ==所以，12ax ax =所以.
12()0a x x -=因为，所以，
12x x ≠120x x -≠所以，与已知矛盾，0a =0a ≠所以假设不成立，所求证结论成立.
例3. 已知求证.3
3
2,a b +=2a b +≤ 证明：假设，则有，
2a b +>2a b >- 所以即，3
3
(2)a b >-3
2
3
8126a b b b >-+- 所以.
3
2
3
2
81266(1)2a b b b b >-+-=-+
因为2
6(1)22
b -+≥所以，与已知矛盾.3
3
2a b +>3
3
2a b +=所以假设不成立，所求证结论成立.
例4. 设是公比为的等比数列，为它的前n 项和.
{}n a n S 求证：不是等比数列.
{}n S 证明：假设是等比数列，则，
{}n S 2
213S S S =⋅
即.222
111(1)(1)a q a a q q +=⋅++
因为等比数列，
10a ≠所以即，与等比数列矛盾，2
2
(1)1q q q +=++0q =0q ≠所以假设不成立，所求证结论成立.
例5. 是无理数.
是有理数，则存在互为质数的整数m ，n .m n
=
所以即，
m =
222m n = 所以为偶数，所以为偶数.2
m m 所以设，*
2()m k k N =∈ 从而有即.2
2
42k n
=2
2
2n k = 所以也为偶数，所以为偶数.2
n n
与m ，n 互为质数矛盾.
是无理数成立.
例6. 已知直线和平面，如果，且，求证。
,a b ,a b αα⊄⊂//a b //a α证明：因为, 所以经过直线a , b 确定一个平面
//a b 。
β因为，而，a α⊄a β⊂所以 与是两个不同的平面．αβ因为，且，b α⊂b β⊂所以.
b αβ= 下面用反证法证明直线a 与平面没有公共点．假 α设直线a 与平面有公共点，则，αP P b αβ∈= 即点是直线 a 与b 的公共点，
P 这与矛盾．所以 .
//a b //a α例7．已知0 < a , b , c < 2，求证：(2 - a )c ， (2 - b )a ，(2 - c )b 不可能同时大于1
证明：假设(2 - a )c ， (2 - b )a ，(2 - c )b 都大于1，
即 (2 - a )c>1, (2 - b )a>1, (2 - c )b>1，则(2 - a )c (2 - b )a (2 - c )b >1 …①又因为设0 < a , b , c < 2，(2 - a ) a ,
12
)2(=+-≤a
a 同理 (2 -
b ) b≤1, (2 -
c ) c≤1,
所以(2 - a )c (2 - b )a (2 - c )b ≤1此与①矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.
例8．若x , y > 0，且x + y >2，则
和中至少有一个小于2
x
y +1y x
+1证明：假设
≥2，≥2，
x
y
+1y x +1
因为x , y > 0，所以 ， 12,12y x x y +≥+≥可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.
例9．设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于
4
1证明：假设设(1 - a )b >
, (1 - b )c >, (1 - c )a >,41414
1则三式相乘：ab < (1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a < ①
64
1
又∵0 < a , b , c < 1 ∴412)1()1(02
=⎥⎦
⎤