非线性、混沌与分形
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抛物线映射的分岔图
(4) 1.4011551890 9205
根本没有周期， 达到了混沌态！ 从 0 到 ＝ 倍周期分岔序列， 其周期为 1 2 4 8 16
2n
周期倍增
抛物线映射的分岔图
3.自相似结构
取出分岔图的一小部分加以 放大，它包含相同的结构。 从 =1.75 到 =1.8 的上、 中、下三支任取一支，适 当改变比例，都可以得到 同整个分岔相似的图形。
xn1 1 x
2 n
(0,2), xn [1,1]
xn1 f ( xn )
x f (x )
* *
不动点(周期为1的点)： 周期为3的点：
f ( x) 2x 1.5x 0.5
3
x 0, 0.5, 1
周期为7的点附近会出现一个周期为1000008356的点。
可能出现的几种迭代结果
迭代次数足够大后，轨道表现出稳恒行为。
• 从某次迭代开始，xi =x*，不再变化 迭代不动点
• 从某次迭代始，xi 进入有限个数字周而复始、无限重复状态 若干年后出现周期轮回的虫口数 • 若干年后虫口数有模糊的重复规律，但轨道点永不准确重复
准周期轨道
• 轨道点像是随机地取值，但其中有某些重复图式或“结构” 更复杂的实际过程
• 简单的系统可以表现出复杂行为； • 复杂的系统可以表现出简单行为； • 复杂性的规律又呈现出某种普适性----它与构成系 统的部件细节完全无关。
• 作业 思考题：7-2
抛物线映射的分岔图
任取一支，都可以得到同整个分岔相似的图形
研究 xn 1 sin xn
x
的分岔点间距 m m 1 m
费根鲍姆常数：
1
2
3
m lim n m 1
4.669 201 660 910 299 09
二、分形
在显微镜下观测时，每隔30s 记录下来的布朗微粒所在位置 的连线。显然，这些点与点之 间的线段并不是微粒的运动轨 迹.
如一个平面物体可以嵌入二维空间，是二维的； 一个空间物体如球，立方体等可以嵌入三维空 间，是三维的。
• 那么，Sierpinski 地毯的维数是多少？
• 20世纪70年代，关于非线性、混沌和分形的研究 引发了科技界一次新的革命；
• 梅回忆他关于1970年进入混沌领域的研究时，感 觉是：那是一个人活着的最好时候，因为你过去 所知道的每件事几乎都是错的。
减员修正：
xn＋1＝axn bx
2 n
xn＋1＝axn bx xn1 1 x
迭代计算：
2 n
2 n
重新定义变量和参量，可以把方程写为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(0,2), xn [1,1]
这个方程称为抛物线映射
• 固定参量 之后，取初值 x0代入，算出x1， • 再把x1作为新的变量，计算x2,...如此不断迭代下去。 • 算出一条轨道x0, x1, x2,... xi, xi+1,…。其中每个xi 是一 个轨道点。
考虑一个正方形，显然，它的维数是二。 现把它分为9个相等的小正方形，并把中心的小 正方形拿掉，对剩下的8个小正方形重复这一过 程直到无穷，这样得到的形状即 Sierpinski地毯。
Sierpinski 地毯
Menger 海绵
• 标志分形的关键量是它的维数，对于规则形 状,，直观上很容易给出其维数，这个维数实 际上就是可以把此形状嵌入的最小空间维数。
1975年，约克和李天岩发表了“Period Three Implies Chaos”
2.分岔
用数值计算和绘图的方法 研究抛物线映射的结果: • 纵坐标：xn 的一维相空间， 即区间[-1,1]。 • 横坐标：参量空间 (0,2)。 x
• 扫过全部 值范围，得分岔图 抛物线映射的分岔图
分岔结构分析
虫口模型
1. 虫口变化的抛物线模型
• 每年夏季成虫产卵后全部死亡； • 第二年春天每个虫卵孵化成一只虫子； • 设平均每只成虫产卵a 个，则每年春天孵化出 的虫子数总是前一年成虫数的a 倍。 设第 n 年的虫口数目为 xn 一般规律：
xn1 axn
减员事件：
• 食物和空间有限，虫子们会为争夺生存条件而 相互咬斗。 •虫子数目多了，传染病会因为接触增加而蔓延。
3 (1) ＝0 到 ＝ 4
每个参量对应一个 值， 为不动点或周期1的范围
3 5 ( 2) 4 4 3 ＝ 处发生第一次分岔 4
数据在上、下两点之间来回跳动 抛物线映射的分岔图
(3)1.25 1.3681
在=1.25 处发生第二次 倍周期分岔 诞生稳定的周期4轨道 周期4轨道的稳定范围 比周期2窄，只到1.3681
非线性、混沌与分形
• 力学中的机械决定论
一、混沌
19世纪末，瑞典国王悬赏一笔奖金，奖给第一个能证明太 阳系在整体上是完全稳定的人。 法国科学家彭加勒得出结论：国王的问题是不可证明的。
天体力学中的平面三体问题
• 1981年，天体力学家Szebehely提出
• 有限制的平面三体问题：
小质量天体m和两个等量的大 天体M1 、M2 限制在一个平面 上运动， m 沿M1 和M2 连线的 垂线上、下运动。 m M1 M2
1. 布朗运动与分形
布朗粒子的轨迹具有标度变换（就是放大或 缩小）下的自相似性
科希曲线
DLA分形集团
“分形”的基本特征是自相似性
数学家虽曾构想出一些奇异的东西，如充满平面的 特殊曲线，处处连续而又处处不可微的特殊函数等等， 但当时他们并不相信自然界里真的存在这些“病态” 的怪物。传统的物理学家也大都习惯于和光滑的规则 形体打交道。最先打破上述传统的是芒德布罗 (B.B.Mandelbrot)，他创造了fractal(分形)这个单词来表 征那些被传统的数学和物理学排除在外的、传统的欧 几里得几何不能描述的、复杂无规的几何对象。具有 分形的物体，称为分形体(fractal)。芒德布罗认为，看 来貌似杂乱无章的东西，未必毫无自己的特征和内在 规律。今天，分形理论已经发展成为一门描述自然界 中许多不规则事物的规律性的科学。
• 令人惊奇的结果：
来回摆动若干次以后，m 的行为变得“随机”起来，再也 无法预测它的位置、速度及回归时间。
• 1961年，气象学家 Lorentz 通过研究预报气候， 提出“蝴蝶效应”；
• 非线性现象对于初始条件具有几乎无法预料的 灵敏依赖性---------------混沌。 • R.May 给出了生态学上的证据。
(4) 1.4011551890 9205
根本没有周期， 达到了混沌态！ 从 0 到 ＝ 倍周期分岔序列， 其周期为 1 2 4 8 16
2n
周期倍增
抛物线映射的分岔图
3.自相似结构
取出分岔图的一小部分加以 放大，它包含相同的结构。 从 =1.75 到 =1.8 的上、 中、下三支任取一支，适 当改变比例，都可以得到 同整个分岔相似的图形。
xn1 1 x
2 n
(0,2), xn [1,1]
xn1 f ( xn )
x f (x )
* *
不动点(周期为1的点)： 周期为3的点：
f ( x) 2x 1.5x 0.5
3
x 0, 0.5, 1
周期为7的点附近会出现一个周期为1000008356的点。
可能出现的几种迭代结果
迭代次数足够大后，轨道表现出稳恒行为。
• 从某次迭代开始，xi =x*，不再变化 迭代不动点
• 从某次迭代始，xi 进入有限个数字周而复始、无限重复状态 若干年后出现周期轮回的虫口数 • 若干年后虫口数有模糊的重复规律，但轨道点永不准确重复
准周期轨道
• 轨道点像是随机地取值，但其中有某些重复图式或“结构” 更复杂的实际过程
• 简单的系统可以表现出复杂行为； • 复杂的系统可以表现出简单行为； • 复杂性的规律又呈现出某种普适性----它与构成系 统的部件细节完全无关。
• 作业 思考题：7-2
抛物线映射的分岔图
任取一支，都可以得到同整个分岔相似的图形
研究 xn 1 sin xn
x
的分岔点间距 m m 1 m
费根鲍姆常数：
1
2
3
m lim n m 1
4.669 201 660 910 299 09
二、分形
在显微镜下观测时，每隔30s 记录下来的布朗微粒所在位置 的连线。显然，这些点与点之 间的线段并不是微粒的运动轨 迹.
如一个平面物体可以嵌入二维空间，是二维的； 一个空间物体如球，立方体等可以嵌入三维空 间，是三维的。
• 那么，Sierpinski 地毯的维数是多少？
• 20世纪70年代，关于非线性、混沌和分形的研究 引发了科技界一次新的革命；
• 梅回忆他关于1970年进入混沌领域的研究时，感 觉是：那是一个人活着的最好时候，因为你过去 所知道的每件事几乎都是错的。
减员修正：
xn＋1＝axn bx
2 n
xn＋1＝axn bx xn1 1 x
迭代计算：
2 n
2 n
重新定义变量和参量，可以把方程写为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(0,2), xn [1,1]
这个方程称为抛物线映射
• 固定参量 之后，取初值 x0代入，算出x1， • 再把x1作为新的变量，计算x2,...如此不断迭代下去。 • 算出一条轨道x0, x1, x2,... xi, xi+1,…。其中每个xi 是一 个轨道点。
考虑一个正方形，显然，它的维数是二。 现把它分为9个相等的小正方形，并把中心的小 正方形拿掉，对剩下的8个小正方形重复这一过 程直到无穷，这样得到的形状即 Sierpinski地毯。
Sierpinski 地毯
Menger 海绵
• 标志分形的关键量是它的维数，对于规则形 状,，直观上很容易给出其维数，这个维数实 际上就是可以把此形状嵌入的最小空间维数。
1975年，约克和李天岩发表了“Period Three Implies Chaos”
2.分岔
用数值计算和绘图的方法 研究抛物线映射的结果: • 纵坐标：xn 的一维相空间， 即区间[-1,1]。 • 横坐标：参量空间 (0,2)。 x
• 扫过全部 值范围，得分岔图 抛物线映射的分岔图
分岔结构分析
虫口模型
1. 虫口变化的抛物线模型
• 每年夏季成虫产卵后全部死亡； • 第二年春天每个虫卵孵化成一只虫子； • 设平均每只成虫产卵a 个，则每年春天孵化出 的虫子数总是前一年成虫数的a 倍。 设第 n 年的虫口数目为 xn 一般规律：
xn1 axn
减员事件：
• 食物和空间有限，虫子们会为争夺生存条件而 相互咬斗。 •虫子数目多了，传染病会因为接触增加而蔓延。
3 (1) ＝0 到 ＝ 4
每个参量对应一个 值， 为不动点或周期1的范围
3 5 ( 2) 4 4 3 ＝ 处发生第一次分岔 4
数据在上、下两点之间来回跳动 抛物线映射的分岔图
(3)1.25 1.3681
在=1.25 处发生第二次 倍周期分岔 诞生稳定的周期4轨道 周期4轨道的稳定范围 比周期2窄，只到1.3681
非线性、混沌与分形
• 力学中的机械决定论
一、混沌
19世纪末，瑞典国王悬赏一笔奖金，奖给第一个能证明太 阳系在整体上是完全稳定的人。 法国科学家彭加勒得出结论：国王的问题是不可证明的。
天体力学中的平面三体问题
• 1981年，天体力学家Szebehely提出
• 有限制的平面三体问题：
小质量天体m和两个等量的大 天体M1 、M2 限制在一个平面 上运动， m 沿M1 和M2 连线的 垂线上、下运动。 m M1 M2
1. 布朗运动与分形
布朗粒子的轨迹具有标度变换（就是放大或 缩小）下的自相似性
科希曲线
DLA分形集团
“分形”的基本特征是自相似性
数学家虽曾构想出一些奇异的东西，如充满平面的 特殊曲线，处处连续而又处处不可微的特殊函数等等， 但当时他们并不相信自然界里真的存在这些“病态” 的怪物。传统的物理学家也大都习惯于和光滑的规则 形体打交道。最先打破上述传统的是芒德布罗 (B.B.Mandelbrot)，他创造了fractal(分形)这个单词来表 征那些被传统的数学和物理学排除在外的、传统的欧 几里得几何不能描述的、复杂无规的几何对象。具有 分形的物体，称为分形体(fractal)。芒德布罗认为，看 来貌似杂乱无章的东西，未必毫无自己的特征和内在 规律。今天，分形理论已经发展成为一门描述自然界 中许多不规则事物的规律性的科学。
• 令人惊奇的结果：
来回摆动若干次以后，m 的行为变得“随机”起来，再也 无法预测它的位置、速度及回归时间。
• 1961年，气象学家 Lorentz 通过研究预报气候， 提出“蝴蝶效应”；
• 非线性现象对于初始条件具有几乎无法预料的 灵敏依赖性---------------混沌。 • R.May 给出了生态学上的证据。