17_最小二乘格型滤波(LSL)PPT-(课件精选)

17_最小二乘格型滤波(LSL).

令则有:
U X1,M (n)
u
z M 1 x(n)
y x(n)
z (n)
PU
P1,M (n)
PU u P1,M PU u, PU u
(n)z (M 1)
z
1e
b M
x(n)
z
1e
b M
(n)
(n),
z
1e
b M
(n)
b M
(n
1)
z, PU y (n), P1,M (n) x(n) eMf (n)
e
f M
(n)
z
1e
b M
(n),
xˆ (n)
z
e 1 b M
(n),
e
f M
(n)
(3.4.111)
定义前向与后向两个预测误差矢量的相关系数(称为偏相关系数)为:
≝ M 1(n)
z
1e
b M
(n),
e
f M
(n)
将式(3.4.109), (3.4.111)代入式(3.4.108), 得
(3.4.112)
(3.4.120)
(5)偏相关系数M1(n) 和角参量 M (n) 的更新根据反射系数公式(3.4.114)和(3.4.116), 在讨论了前向和后向预测误差
能量按阶更新后, 还需进一步解决前后向预测误差偏相关系数 M1(n)的更新问题.
由于按阶由 M 1(n)计算 M 2 (n) 存在困难, 因此可按时间更新方法,从初值 M 1(0) 开始, 依次递推 M 1 (1) , M 1 (2), ,直至 M 1 (n).
M
（2）阶后向预测
●M权系数矢量与预xˆ(i测矢M 量)

现代信号课件第4章最小二乘滤波

归一化均方误差性能评估
NMSE越小，说明滤波器的性能越好，信号处理的效果越接近原始信号。
归一化均方误差（NMSE）是另一种衡量滤波器性能的指标，它表示信号经过滤波器处理后的误差相对于原始信号的均方误差的比例。
NMSE的计算公式为：$NMSE = frac{MSE}{MSE_{total}}$，其中$MSE_{total}$为原始信号的均方误差。
加权最小二乘滤波
加权最小二乘滤波是在线性最小二乘滤波的基础上引入了权重因子，以调整误差的权重。
通过给不同的误差项赋予不同的权重，加权最小二乘滤波能够更好地适应不同的噪声分布和信号特性。
加权最小二乘滤波在处理具有不同特性的信号和噪声时能够获得更好的滤波效果。
03
最小二乘滤波的算法实现
递归最小二乘滤波
04
在控制系统中，最小二乘滤波用于系统辨识和参数估计等。
02
最小二乘滤波的数学模型
线性最小二乘滤波
线性最小二乘滤波是一种常用的信号处理方法，通过最小化误差的平方和来估计信号中的未知参
数。
它假设信号和噪声之间存在线性关系，通过解线性方程组来得到
最优估计值。
线性最小二乘滤波具有简单、稳定和快速收敛等优点，适用于多
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信噪比性能评估
信噪比（SNR）是衡量滤波器在噪声干扰下性能的重要指标，它表示信号与噪声的功率比值。
SNR越大，说明滤波器对噪声的抑制能力越强，信号处理的效果越好。
SNR的计算公式为：$SNR = 10log_{10}frac{P_s}{P_n}$，其中$P_s$为信号功率，$P_n$为噪声功率。
自适应滤波算法优化

最小二乘自适应滤波

空间的元素。欧几里得空间是完备空间，自适应滤波所涉及的空间都是希
尔伯特空间。 • 子空间(Subspace) 定义：线性空间中的一个子集，在原空间定义的运算下，若
也形成了一个空间，称该子集为该空间的子空间。 • 相互正交的子空间(Orthogonal Subspaces) 定义：若分别从两子空间{U1}、{U2}中任取一矢量均相互正交，则称该两子空间是相互正交的。 • 两子空间之和(The Sum of Two Subspaces) 由子空间{U1}和{U2}的矢量的所有线性组合张成的空间称为两子空间之和，记作{U1U2} ，或{U1U2} 。
最小二乘自适应滤波
由上式易得：
P U,u
P U,w
I
PU,u
I
(PU
Pw )
(I PU ) Pw
PU
Pw
• 算子的更新(The Update of Operator)
由前面导出的算子正交分解，可得算子的更新公式为：
PU,u PU PUu PUu, PUu 1 uTPU
P U,u
PU
设{U}为由u1,u2,…,um张成的子空间，矢量x到{U}的投影矩阵和正交投影矩阵为：
PU=UU，U-1UT
PU I PU I U U, U 1UT
式中， U，U＝UTU为两矩阵内积。
最小二乘自适应滤波
3) 投影矩阵的重要性质(The Important Properties of Projection Matrix) • 对称性(Symmetry) 也称为反身性，即：
最小二乘自适应滤波
• 投影与投影矩阵(Projection And Projection Matrix) • 投影(Projection) 希尔伯特空间中，对任意矢量x而言，子空间{U}中距x 最近的矢量PUx为x在{U}中的投影。 • 距离定理(Distance Theorem) 设PUx为x在{U}中的投影矢量，y为{U} 中不为PUx的任意矢量，则有：

最小二乘影像匹配 PPT课件

2 2 1 1 2 2 2

2
g g
2 1
( g1 g 2 ) 2
2 2
则：
1
vv g
2 1
1
1 g12 vv
“相关系数最大”→“信噪比为最大” 因为没引入几何变形参数，所以匹配结果是以整像素为单位。
河南理工大学测绘学院遥感科学与技术系数字摄影测量学 Digital Photogrammetry
两个二维影像之间的几何变形，不仅仅存在着相对移位，而且还存在着图形变化。只有充分地考虑影像的几何变形，才能获得最佳的影像匹配。
河南理工大学测绘学院遥感科学与技术系
1
图 6-11
两个二维影像之间的几何变形
数字摄影测量学 Digital Photogrammetry
§ 5.3 最小二乘影像匹配
作业与思考题
1、叙述基于灰度的影像匹配的一般过程。 2、叙述基于物方影像匹配（VLL 法）基本思想和主要过程。 3、试推导并说明整像元匹配的精度。 4、试推导采用相关系数拟合提高匹配精度的理论公式。
5、试绘制相关系数匹配的程度框图，并用C语言编写和调试相应程序。
河南理工大学测绘学院遥感科学与技术系数字摄影测量学 Digital Photogrammetry
河南理工大学测绘学院遥感科学与技术系
数字摄影测量学 Digital Photogrammetry
§ 5.3 最小二乘影像匹配
[二] 最小二乘影像匹配的原理
(1)若不考虑灰度畸变和几何畸变，则：
n1 g1 ( x, y) n2 g2 ( x, y) v g1 ( x, y) g2 ( x, y) vv min

LSL最小二乘格型算-刘智

代入
z = π(n),U = X1,M (n),υ = x(n), y = z M1 x(n)
前向预测误差更新：
b b f eM (n 1) < z 1eM+1 (n), eM (n) > f f eM+1 (n) =< π (n), P⊥M+1 (n)x(n) >= eM (n) 1, b ξM (n 1)
递推算法过程
递推算法过程:
通过对x(n)的平移，其基向量全部是被延时的向量，现的平移，其基向量全部是被延时的向量，通过对的平移时向量不在其中，阶前向预测滤波器就是根据时向量不在其中，M阶前向预测滤波器就是根据 X1,M (n) ∧ 个基向量来计算现时数据向量x(n)的估计 x(n) 的M个基向量来计算现时数据向量个基向量来计算现时数据向量的估计
递推算法过程
当用 P1,M (n) 表示输入数据矩阵张成的空间 {X1,M } 的投影矩阵时则由投影定理由投影定理3.4.44 的投影矩阵时则由投影定理则n时刻前向预测误差向量时刻前向预测误差向量 (正交投影矩阵正交投影矩阵) 正交投影矩阵前向预测误差
π (n) 为求得现时刻的标量
，其中所引入的单位现时引入的
之所以组成矩阵，是因为每个输入量都采用个权的滤之所以组成矩阵，是因为每个输入量都采用M个权的滤波器。其最小二乘估计为：波器。其最小二乘估计为：
回顾：回顾：很多自适应方法使用基于梯度的方法寻找可以达到最小均方误差的权矢量。最小均方误差的权矢量。均方误差性能曲面的梯度定义为：均方误差性能曲面的梯度定义为： T ξ (n) ξ (n) ξ (n) ξ (n) (n) = = w(n) w0 (n) w1 (n) wL (n)

第2讲最小二乘配置

第二讲最小二乘配置（LS Collocation）
1、Introduction（the question）
2、Filtering and Prediction
3、Least Squares Collocation
4、Some Applications
第二讲最小二乘配置（LS Collocation）
第二讲最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 5.地壳形变应用（Crustal Deformation）
一般采用高斯型函数，即在一定距离上相关，超出一定距离不相关
f (s) exp(K 2 S 2 )
最新的研究成果K取0.0016
第二讲最小二乘配置（LS Collocation）
第二讲最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 5.地壳形变应用（Crustal Deformation）
（2）如果把形变整体看成是随机量，即是滤波推估模型
L Y
ˆ 1L S S L
ˆ 1L S SS L
协方差函数确定：严密的应变分布协方差函数无法确定，解决的办法是确定经验协方差函数。给出已算点的协方差分布图形，然后选择适当的函数式，用最小二乘拟和
2K T A 0 ˆ X
解得
ˆ ( AT P A) 1 AT P L X L L
ˆ P 1 BT P ( L AX ˆ) Y Y L
分解得
ˆ 1 ( L AX ˆ) S S L
ˆ 1 (L AX ˆ) S SS L
ˆ) V P1 PL (L AX
ˆ 1 L 滤波解— S S L
推估解—
ˆ 1 L S SS L

第十二章_最小平方滤波

2点反滤波因子
反滤波输出
General Inverse Filter Least Square Inverse Filter
(
3点反滤波因子
反滤波输出误差能量
误差能量
1 (1,0, ) 4
20 2 4 , , ) 21 21 21
1 16 1 21
1 (1,0,0, ) 8
( 84 2 4 8 , , , ) 85 85 85 85
ht * xt
m0 m s m0
h x
s t s
期望输出：z (t )
yt zt
Q 误差能量：

t

2 t

Q
t

(y
2

t
zt )
2
相对误差能量：
t
z
t
所谓最小平方滤波准则，就是选择滤波因子 ht ，使误差能量为最小。这时的 ht 为最小平方滤波因子。

rbb (m) am0 bm0 a b rbb (m 1) m0 1 m0 1 rbb (m 2) am0 2 bm0 2 am m bm m rbb (0) 0 0
代入最小平方滤波方程，得：
(n m0 ,m0 1, ,m0 m)
rbb (2) rbb (0) rbb (1) r (1) r (0) r ( 1 ) bb bb bb rbb (2) rbb (1) rbb (0) rbb (m) rbb (m 1) rbb (m 2)
(n s) rzx (n)

第十章最小二乘滤波

~
~
~
0 时，模型变为 L A1 S ，称为滤波模型。
可见，最小二乘配置模型包括了平差、滤波和推估模型。最小二乘配置模型的应用范围比较广
§10-2 最小二乘滤波和推估
一、函数模型和随机模型滤波的函数模型为
L AY 式中， L 为观测向量， Y 为随机参数。且 S A [ A1 0] , Y S
则虚拟观测方程为
DSS DS
1
（10-2-3）
S LY Y Y S S S
式中， Y
（10-2-4）
S 为与 LY 对应的观测误差。于是，与 LY 对应的误差方程为 S
'
'
ˆ 的过程称为推估。滤波，而将求定推估信号 S 的最佳估值 S
' '
配置也称为拟合推估，最初是组合各种资料研究地球形状与重力场的一种数学方法。配置的普遍形式是在其函数模型中，既有非随机参数部分，又有随机参数部分。将高斯—马尔柯夫模型加以扩展，得最小二乘配置的函数模型为
~ L BX AY （10-1-2） ~ 式中， L 为观测向量， X 为非随机参数，Y 为随机参数。同上，Y 又分为两种情况，一是与观测值
ˆ LS S ˆ LY VY Y ˆ S LS
这时，随机参数 Y 已转化为非随机参数，可以按以往非随机参数的处理方式进行处理。将式（10-2-1）也写成误差方程的形式，即
（10-2-5）
ˆL V AY
（10-2-6）
式中， A [ A1
DYˆ DY DY AT ( ADY AT D ) 1 ADY D S DS S

最小二乘自适应滤波器

i =1
n
时间自相关矩阵
R x (n) = X T (n)Λ(n) X(n) = ∑ λn −i x(i )x T (i )
i =1
n
统计互相关矢量
rxd = E {x(n )d( n )}
统计自相关矩阵
Rx
= E {x ( n )x
T
( n )}
ξ ( n) = d T ( n)Λ( n)d(n) − 2w T ( n)rxd (n) + w T ( n)R x (n) w ( n)
T
LMS
w (n) = w (n − 1) + 2 µ x(n)[d (n − 1) − xT (n − 1)w (n − 1)]
C(0) = [R x (0)] = [ ∑ λ x(i )x (i )]
−1 −i T i =− n0
0
−1
i<0
x(i ) = 0
C(0) = δ −1I
R x ( 0) = δ I
i <1
i>n
x (i )， 0 时=
时) x (i，= 0
相关法的相关矩阵是对称的和Toeplitz的相关法的相关矩阵是对称的和Toeplitz的， Toeplitz 其余三个取法的相关矩阵是对称的但非Toeplitz 其余三个取法的相关矩阵是对称的但非Toeplitz 的。
前加窗法
w (n) = [ w1 (n),L , wM (n)]T
时域最小二乘（）时域最小二乘（LS）滤波器
L0, 0, x (1), x ( 2), L, x ( M ), L, x (i ), L, x (n − M + 1), L, x (n ), 0, 0, L

最小二乘参数辨识方法及原理PPT学习课件

Gauss（1777-1855）
m
使 w(k ) | z(k ) y最(k小) |2 k 1
1、问题的提出
1795年，高斯提出的最小二乘的基本原理是
未知量的最可能值是使各项实际观测值和计算值之间差的平方乘以其精确度的数值以后的和为最小。
z(k) y(k) v(k)
Gauss（1777-1855）
Z m H m Vm
2.2 一般最小二乘法原理及算法
最小二乘的思想就是寻找一个的估计值ˆ ，使得各次测量的 Z i (i 1, m) 与由估计ˆ 确定的量测估计 Zˆi Hiˆ 之差的平方
和最小，即
J (ˆ) (Zm Hmˆ)T (Zm Hmˆ) min
J
ˆ
2H
T m
(Z
m
H mˆ)
i1
2.2 一般最小二乘法原理及算法
u(k )
y(k )
G(k )
v(k ) z(k )
图 3.4 SISO 系统的“灰箱”结构
G(z)
y(z) u(z)
b1z 1 b2 z 2 1 a1z 1 a2 z 2
bn z n an z
n
n
n
y(k ) ai y(k i) biu(k i)
i 1
0 0
J a J b
a b bˆ
aˆ
N
2 (Ri a bti )
i 1 N
2 (Ri a bti )ti
i 1
0 0
Naˆ
N
bˆ
N i 1
ti
N
N i 1
Ri
N
aˆ
i 1
ti
bˆ
t
2 i
i 1

第二十四讲：最小二乘估计、波形估计-课件

z(i)H (i)X 0w (i)
z k z(1 ) z(2 ) ... z(k )T
H k H ( 1 ) H (2 ) ... H (k )T
zk HkX0wk
X ˆ0 (k ) [(H k)T H k] 1 (H k)T z k
批处理算法，运算量太大。
递推算法：
X ˆ 0 ( k ) X ˆ 0 ( k 1 ) K ( k ) ( z ( k ) H ( k ) X ˆ 0 ( k 1 ) )
{ z(k), k= n0, n0+1,...,nf }对区间内的某一个时刻 n(n0<n<nf)的信号进行估计，内插也称为平滑。
数据
n0
n
nf
sˆ ( n )
波形估计宜采用可建立递推算法的线性最小均方估计或最小二乘估计。
z ( n ) s ( n ) v ( n ) n 0 ,1 ,...,N 1
A
n0
Aˆ
1
N 1
z(n)
N n0
例：正弦信号频率的估计
s(n)cos2f0n
N1
J(f0) (z(n)cos2f0n)2 n0
最小化难以得到闭合性形式的解，原因是信号与未知参数f0之间存在高度的非线性关系。
zHθv
zz1,z2,...,zNT
θ1,2,...,MT
vv1,v2,...,vNT
θ ˆlsw(H TW H )1H TW z
讨论：
（1）当观测噪声的均值为零时，最小二乘与加权最小二乘是无偏估计。
E[θˆls ] (HT H)1HT E[z] (HT H)1HT E[Hθ v] (HT H)1HT Hθ θ
（2）估计的方差阵
V a r ( θ l s ) E { [ θ θ ˆ l s ] [ θ θ ˆ l s ] T } ( H T H ) 1 H T R H ( H T H ) 1

第四章最小二乘自适应滤波器

第四章最小二乘自适应滤波器前面所研究的自适应滤波算法根据的最佳准则为最小均方误差准则。

自适应算法的目标在于，使滤波器输出与需要信号的误差的平方的统计平均值最小。

这个准则根据输入数据的长期统计特性寻求最佳滤波。

然而，我们通常已知的仅是一组数据，因而只能对长期统计特性进行估计或近似。

LMS算法、格形梯度算法都是这样。

能否直接根据一组数据寻求最佳呢？最小二乘算法就可解决这个问题。

换句话说，根据最小均方误差准则得到的是对一类数据的最佳滤波器，而根据最小二乘法得到的是对一组已知数据的最佳滤波器。

对同一类数据来说，最小均方误差准则对不同的数据组导出同样的“最佳”滤波器；而最小二乘法对不同的数据组导出不同的“最佳”滤波器。

因而常说最小二乘法导出的最佳滤波器是“精确”的。

本章首先叙述最小二乘法的基础，并推导递推最小二乘(RLS)算法；然后介绍线性空间的概念，并在此基础上讨论两种重要的最小二乘自适应算法——最小二乘格形(LSL)算法和快速横式滤波器(FTT)算法。

§4.1 最小二乘滤波器4.1.1 最小二乘滤波方程设已知n个数据x (1), …, x (i), …, x (n)，我们要根据这些数据，利用图4.1的m阶线性滤波器来估计需要信号d(1) , …, d (i), …, d (n)。

对d (i)的估计式可表为∑=+ -=mkmkkixnwid1)1()()(ˆ(4.1.1) 估计误差∑=+ --=-=mkmkkixnwidididi e1)1()()()(ˆ)()((4.1.2) 若假设i<1及i<n时x (i)=d (i)=0，我们有如下n+m-1个估计误差⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫-=-++----=---=--=-=)()()()1()()()()()()1()()()()()()1()()2()()2()2()1()()1()1(11211n x n w m n e m n x n w n x n w n d n e x n w m x n w m d m e x n w x n w d e x n w d e mm mm m mm m m m m ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ(4.1.3)其余的e (i )均为零。

《格型滤波器》PPT课件

k1
ebp1(n 1)
p1
x(n) (ap1,k kpap1,pk)x(nk)kpx(np)
e
f p
1
(
n
)
k1Leabharlann 1p1x(n) ap1,kx(nk)kpx(np) ap1,pkx(nk)
k1
.
k1
19
因此有，前向预测误差的递推公式：
ep f(n )ep f 1(n ) kpeb p 1(n 1 )
求反射系数准则：前、后向预测误差功率的和为最小
E[(epf (n))2(ebp(n))2]0 kp .
(3.3.44)
28
代入前、后向预测误差递推公式有
kpE[e pf 21(E n[)ep2 f)]1 (nE )e[e b p b p1(1n (n 1)1)]2 )]
实际计算时，统计平均值用时间平均代换
1、可以采用高斯消元法解出ap,k(k=1,2, 3,…,p)以及 σ2p,但需要p3量级运算量。
2、利用Yule-Walker方程中的自相关矩阵是一个埃尔米特 (Hermitain) 和托布列斯 (Toeplitz) 矩阵的特点，且至少是半正定的，可以有效地减少运算量，这就是 Levinson-Durbin算法，它的运算量级是p2。
)rxx
(0)
.
15
然后增加一阶，令p =2，
rxx(0) rxx(1) rxx(1) rxx(0)
rxx(2) rxx(1)
1 a2,1
022
rxx(2) rxx(1) rxx(0) a2,2 0
由上面方程解出：
a2,2 [rxx(0)rxx(2)rx2x(1)]/[rx2x(0)rx2x(1)]

第6章最小二乘滤波和预测

n 0
N 1
EE of BUPT
6.2.1 正则方程

13

用时间平均算子代替数学期望算子，那么所有对 MMSE准则导出的公式对LSE准则也适用。正则方程： ˆ w r ˆxd R x ls 其解为：
ˆ 1r ˆ wls R x xd
T ˆ 1 ˆxd ˆxd J ls J d r Rx r T ˆxd Jd r wls
投影矩阵P是厄米特(Hermitian)矩阵
P PT
投影矩阵P是幂等矩阵 P 2 PT P P
现代信号处理
EE of BUPT
例6.2.1
20
假定我们希望从观察矢量x1 [1 2 1 1]T 和x2 [2 1 2 3]T 中估计序列d [1 2 3 2]T 。试确定最优滤波器系数w ls、误差矢量els和最小二乘误差能量J ls。解: 分析：根据公式(6.2.15)，我们需要根据已知条件得 ˆ 和r ˆxd。到时间平均自相关矩阵和互相关矩阵 R x 根据已知，得输入数据矩阵为
EE of BUPT
现代信号处理
6.2 线性最小二乘估计

7
给定期望响应d(n)和输入信号xk(n)的一组测量值，通过线性组合求期望响应的估计（下式也称为回归函数）： M y( n) wk xk ( n) x( n)w 0 n N 1
k 1
多传感器
期望响应输入信号
e(0) d (0) x 1 (0) e(1) d (1) x (1) 1 e( N 1) d ( N 1) x 1 ( N 1) x 2 (0) x2 (1) x 2 ( N 1)

处理有色噪声扰动的最小二乘类方法PPT课件

• 从本讲开始,我们将讨论具有随机扰动为相关性扰动(有色噪声)的动态系统的无偏一致的参数估计问题,具体的LS类方法有 – 增广最小二乘法(Extended Least-square Method, ELS) – 广义最小二乘法 (Generalized Least-square Method, GLS)
y(k)=T(k-1)θ+w(k)
(3)
其中
(k-1)[y(k-1),...y,(k-na) u(k-1),...,
u(k-nb) w(k-1),...w ,(k-nc) ] θ[-a1,...-,ana b1,..b .n,b c1, ,c]
1. ELS法(4/19)
• 当上述观测数据向量(k-1)精确已知时,利用前面讨论的成批或RLS法可求得回归参数向量的LS估计值.
选择噪声w(0) 的估计
值
对输入
u(k)和输出y(k) 采样
构成观测数据向量
ˆ ( k 1 )
辨识
A(z-1)、 B(z-1)和 C(z-1)
根据辨识模型估计噪声w(k)
下一个采样周期
✓ 在递推估计过程中,假设当前或前一步的在线参数估计值已相当程度可用的前提下,
✓ 利用该参数估计值来在线估计白噪声w(k-i)的值wˆ (k-i) 以替代数据向量(k-1)中的白噪声w(k-i),
– 辅助变量法(Instrumental Variables Method, IV) 等.其它无偏参数估计算法还有
– 多步最小二乘法 – 偏差补偿最小二乘法
• 这些不同的处理有色噪声的辨识方法主要是针对不同的 – 有色噪声的特性、 – 有色噪声的不同模型表达、以及 – 不同的辨识要求

17_最小二乘格型滤波(LSL)PPT-(课件精选)