数字信号处理 第3章 有四种傅立叶基本变换的图形 DFT导出的图示理解
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数字信号处理第三版第3章.ppt
x1(n) x2 (n)
x2 (n) N•DFT X 2 (k )
y(n) x1(n) x2 (n) Y (k) DFT[ y(n)]
1 N 1
N l0
X1(l) X 2 ((n L))N RN (n)
1 N1 N l0
X 2 (l) X1((n L))N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系图解说明
z e WNk
j 2 k
e N
j
2 k
N
2 k
N
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系举例说明
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT的隐含周期性
N 1
1768年3月21日傅里叶生于法国荣纳省欧塞尔。其父亲 是裁缝，且很早就父母双亡，小时候在天主教受的教育。 毕业后在军队中教授数学。
1795年他到巴黎高等师范教书。 1798年随拿破仑东征，任下埃及的总督。 1801年，远征军失败后回到法国，任伊泽尔省长官。 1822年当选为科学院秘书，发表《热的分析理论》一文。在文中首次提出 并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，从而奠定了傅里叶级数(FS)与傅 里叶变换(FT)的理论基础。二者后被统称为傅里叶分析(FA)。 为了使FA应用于工程实际，人们又提出了离散傅里叶变换(DFT)，但因计 算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到1965年美国Coo1y和Tukey两 人提出快速傅里叶变换(FFT)之后，FA才真正从理论走向实践，成为大家爱不 释手的一种数学工具。 1830年5月16日病逝于巴黎。
，求它的N点DFT。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
x2 (n) N•DFT X 2 (k )
y(n) x1(n) x2 (n) Y (k) DFT[ y(n)]
1 N 1
N l0
X1(l) X 2 ((n L))N RN (n)
1 N1 N l0
X 2 (l) X1((n L))N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系图解说明
z e WNk
j 2 k
e N
j
2 k
N
2 k
N
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系举例说明
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT的隐含周期性
N 1
1768年3月21日傅里叶生于法国荣纳省欧塞尔。其父亲 是裁缝，且很早就父母双亡，小时候在天主教受的教育。 毕业后在军队中教授数学。
1795年他到巴黎高等师范教书。 1798年随拿破仑东征，任下埃及的总督。 1801年，远征军失败后回到法国，任伊泽尔省长官。 1822年当选为科学院秘书，发表《热的分析理论》一文。在文中首次提出 并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，从而奠定了傅里叶级数(FS)与傅 里叶变换(FT)的理论基础。二者后被统称为傅里叶分析(FA)。 为了使FA应用于工程实际，人们又提出了离散傅里叶变换(DFT)，但因计 算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到1965年美国Coo1y和Tukey两 人提出快速傅里叶变换(FFT)之后，FA才真正从理论走向实践，成为大家爱不 释手的一种数学工具。 1830年5月16日病逝于巴黎。
，求它的N点DFT。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
数字信号处理 第3章 有四种傅立叶基本变换的图形 DFT导出的图示理解
如何由 x(n) 重建出 x(t ) 工程上： 使用 D/A 转换器； 理论上： 导出如下：
过渡信号理想 采样信号的频 谱是周期的， 但频率变量是 模拟量。 这里更容易理 解折迭频率、 折迭失真
X (e j ) 的一个周 在满足抽样定理的情况下，
期即等于
X a ( j)
，因此，可截取之。
3.4 离散时间周期信号的傅立叶级数（DFS）
可能的FT形式
– DFS
可行的方案
– 取DFS的主值序列
实际的做法
– 对有限长度为N的信号，构造周期大于等于N的周期信号 – 对无限长信号截短，并构造周期信号 问题：截多长？近似度？ – 对应DFS – 取能代表信号时域和空域的信息段 DFS时域和频域的主值序列
– DFT
X (k ) x(n)WN ,
1 x ( n) N
X ( k )e
k 0
N 1
j
2 nk N
此即 DFT !
为什么要由DFS过渡到DFT？
1. 从原理上， x(nTs ) 和 X (k0 ) 的各自 一个周期即可表示完整的序列； 2. 从实际上，当我们在计算机上实现信号的 频谱分析时，要求：时域、频域都是离散 的；时域、频域都是有限长；
Q ( j ) 0
j k
( k 0 ), 0
s
s 2 2 N NTs T k
Q(e ) Q( j) / T 0 2 0Ts ( k 0 ) N k
k
(
p(t ) Ts (t )
n
(t nT )
s
离散傅里叶变换(DFT)ppt课件
幅度为
1 N
X~ (k )，其中k
0,1, , N
N
1表示其频谱分布规律
8
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(3)周期序列的傅里叶变换表示
因为周期序列不满足条件： x(n) 。因此它的DTFT 不存在。但是，通过引入奇异函n数 δ 其DTFT可以用公式
表示。
x(n) x(n kN ),k
周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。
(1)DFS定义
正变换：X
(k)
DFS [ x(n )]
N
1
x(n)e
j 2 N
nk
一般记：
反变换：x(n)
n0
IDFS[X (k)] 1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
j 2
WN e N
6
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)周期序列的离散傅里叶级数推导 由
为 ~x对(n于)周的期“序主列值~x区(间n)”，，定主义值其区第间一上个的周序期列n为=0主~N值-1序，
列 x(n)。
x(n)与~x(n) 的关系可描述为： ~x (n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x (n)的"主值序列"
数学表示：
x(n)
x(n mN ) x((n))N
x(n)
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)
N 1
归纳4种傅里叶变换.ppt
x(t )
X ( jk0 )
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk0
)
1 Tp
Tp / 2 x(t )e jk0t dt
Tp / 2
反 : x(t )
X ( jk 0 )e jk0t
k
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 周期的
频域信号 非周期的 离散的
时域：连续、周期（周期为Tp） 频域：非周期、离散（谱线间隔为2π/Tp）
.,
4种傅里叶变换
.,
4种傅里叶变换2.连续傅里叶变换(FT)
非周期连续时间信号 FT 非周期连续频谱
x(t)
正变换：
0
X ( j ) x(t)e jtdt
t
X ( j )
反变换：
0
x(t) 1 X ( j )e jtd
2
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
.,
4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
.,
--t
s
2 T
正 : X (e j )
x(n)e jn
n
反 : x(n) 1 X (e j )e jn d
2
.,
---
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的
频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T）
数字信号处理课件--第三章4离散傅里叶变换的性质-PPT精选文档
a , b 为 任 意 常 数
则
这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 m a x [ N , N ] 相等，均为N，且 N 1 2
课件 2
2、序列的圆周移位
( n ) x ( ( n m ) ) R ( n ) 定义： x m N N
取主 ( n m ) 延拓 序列 xn ( ( m ) ) N
n l N n l N
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
课件 6
2 n l 1 D F T x ( n ) c o s X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2
2 n l 1 D F T x ( n ) s i n X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2 j
2 nl x(n) x(n)sin N
课件 7
3、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到：
任意序列可表示成 x e ( n ) 和 x o ( n ) 之和:
x ( n ) x ( nx ) ( n ) e o
* * x ( n ) x ( n ) 1 / 2 [ x ( n ) x ( n ) ] 其中： e e
课件
3
课件
4
X ( k ) D F T [ x ( n ) ] D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ] m m N N
m k W () N Xk
证 ： D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ][ D F T x ( n m ) R ( n ) ] N N N
则
这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 m a x [ N , N ] 相等，均为N，且 N 1 2
课件 2
2、序列的圆周移位
( n ) x ( ( n m ) ) R ( n ) 定义： x m N N
取主 ( n m ) 延拓 序列 xn ( ( m ) ) N
n l N n l N
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
课件 6
2 n l 1 D F T x ( n ) c o s X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2
2 n l 1 D F T x ( n ) s i n X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2 j
2 nl x(n) x(n)sin N
课件 7
3、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到：
任意序列可表示成 x e ( n ) 和 x o ( n ) 之和:
x ( n ) x ( nx ) ( n ) e o
* * x ( n ) x ( n ) 1 / 2 [ x ( n ) x ( n ) ] 其中： e e
课件
3
课件
4
X ( k ) D F T [ x ( n ) ] D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ] m m N N
m k W () N Xk
证 ： D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ][ D F T x ( n m ) R ( n ) ] N N N
数字信号处理课件第3章 DFT 变换
18
二． DFT的隐含周期性
在第一节中，DFT和IDFT只定义了X(k)和x(n)在变换区间 上的N个值。如果使DFT中k的取值域为[-∞，∞]，就会发现 X(k)是以N为周期的，即 X(k + mN) = X(k) 称X(k)的这一特性为DFT的隐含周期性。
物理意义：X(k)为 X (e j ) 在区间 [0, 2 ] 上的N点等间隔采样。 X (e j ) 以2π为周期，X(k)以N为周期。
3
x ( n) X ( k )
解答两个疑问
１．用DFT干什么？ 用数字计算机来计算信号的傅里叶变换。具有重要 的理论意义和应用价值，是本课程学习的一大重点。
x ( n ) X ( e j )
２．为什么不用DTFT计算信号的傅里叶变换？ DTFT计算得到的频谱是连续的，无法用有限个数 字存储器存储。因此DTFT是理论上的频谱分析方法， 可以用来对离散信号和系统的频谱特征进行理论分 析，指导具体的数字信号处理系统（如数字滤波器） 的设计，但不具有可实际应用性。
1
2
3
四．循环卷积定理
1、循环卷积的定义 2、循环卷积的求解 3、循环卷积定理 4、循环卷积与线性卷积 5、实际问题
24
1、循环卷积的定义
x1 (n) N1点；x2 (n) N 2点；Ｎ max( N1 , N 2 ).
x1 (n) N x2 ( n)
m 0
x (m) x ((n m))
30
x1 (n), x2 (n)如图，求y (n) x1 (n) 例：
解:
x1m
6 x2 ( n )
6 5 4 3 2 1 01 2 3 4 5
17
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
信号与系统课件-第三章离散傅立叶变换DFT
拓展延伸：其他相关变换方法简介
要点一
拉普拉斯变换
要点二
Z变换
用于分析线性时不变系统的稳定性及频率响应特性。
用于分析离散时间线性时不变系统的稳定性及频率响应特 性。
THANKS
感谢观看
高频谱利用率
OFDM技术通过采用正交子载 波的方式，实现了频谱资源的 有效利用，提高了系统的频谱 利用率。
03
抗多径干扰能力强 04
由于OFDM系统采用了多载波调 制方式，每个子载波上的符号周 期相对较长，因此具有一定的抗 多径干扰能力。
适用于高速数据传 输
OFDM技术通过将高速数据流分 解成多个低速子数据流进行传输 ，降低了对单个载波的传输速率 要求从而适用于高速数据传输 场景。
共轭对称性
若x[n]为实序列，则其DFT满足 X[k]=X*[N-k]，其中*表示共轭。
周期性与非周期性信号处理方法
周期性信号处理方法
对于周期性信号，可以通过截取一个周期的信号进行DFT分析，得到该信号的频谱特性。由于DFT具有周期性， 因此可以通过对截取信号的DFT结果进行周期延拓得到整个周期信号的频谱。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
01
离散傅立叶变换（DFT）定义及性质
02
DFT是将连续时间信号在时域和频域上都进行离散化处理的一 种变换方法。
03
DFT具有线性性、时移性、频移性、共轭对称性等基本性质。
关键知识点总结回顾
直接计算法
根据DFT定义直接进行计算，但计算量大，不实用。
快速傅立叶变换（FFT）
仿真实验：不同窗函数对信号重构影响
实验目的
说明本实验的目的在于研究不同 窗函数对信号重构的影响，以便 在实际应用中选择合适的窗函数。
数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件
2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2
数字信号处理第3节
设
y(n) x(n) * h(n)
则
Y (e j ) X (e j ) • H (e j )
证:
y(n) x(m) h(n m) m
Y (e j ) DTFT {y(n)} [ x(m) h(n m)] e jn n m
令k=n-m，则
Y (e j )
h(k ) x(m)e jk e jm
X (e j ) x(n)e jnd n
1 [x(n' ) (1)n' x(n' )]e jn' /2
2 n'
ej = -1
1 [x(n) (1)n x(n)]e jn/2
2 n
1 [ x(n)e jn/ 2 e jn x(n)e jn/ 2 ]
2 n
n
1
[X
(e
j / 2 )
f (n) x((n L)) N RN (n)
乘RN(n) 完成取主周期: 0≤n≤N-1
x((n)) N 表示序列 x(n)以N为周期的拓展
x((n)) N x(n qN ) q
圆周(或循环)移位的过程如下图所示。
0
N 1
0
N 1
0
N 1
0
N 1
x(n)
n
x((n)) N x(n qN )
上述例子说明DTFT 通常是不能进行数值计算的！有必要研究切实 可行的数值计算方法来解决上述问题，如离散傅立叶变换（DFT）。
3.3 离散傅立叶变换( DFT )
1.定义:
离散傅立叶变换DFT（Discrete Fourier Transform)要解决的问题:
DFS：周期离散序列 DFS 离散、周期 DFT：从DFS的时域和频域中各抽出一个周期，便可得到时域有限长离
y(n) x(n) * h(n)
则
Y (e j ) X (e j ) • H (e j )
证:
y(n) x(m) h(n m) m
Y (e j ) DTFT {y(n)} [ x(m) h(n m)] e jn n m
令k=n-m，则
Y (e j )
h(k ) x(m)e jk e jm
X (e j ) x(n)e jnd n
1 [x(n' ) (1)n' x(n' )]e jn' /2
2 n'
ej = -1
1 [x(n) (1)n x(n)]e jn/2
2 n
1 [ x(n)e jn/ 2 e jn x(n)e jn/ 2 ]
2 n
n
1
[X
(e
j / 2 )
f (n) x((n L)) N RN (n)
乘RN(n) 完成取主周期: 0≤n≤N-1
x((n)) N 表示序列 x(n)以N为周期的拓展
x((n)) N x(n qN ) q
圆周(或循环)移位的过程如下图所示。
0
N 1
0
N 1
0
N 1
0
N 1
x(n)
n
x((n)) N x(n qN )
上述例子说明DTFT 通常是不能进行数值计算的！有必要研究切实 可行的数值计算方法来解决上述问题，如离散傅立叶变换（DFT）。
3.3 离散傅立叶变换( DFT )
1.定义:
离散傅立叶变换DFT（Discrete Fourier Transform)要解决的问题:
DFS：周期离散序列 DFS 离散、周期 DFT：从DFS的时域和频域中各抽出一个周期，便可得到时域有限长离
本科数字信号处理第3章
x(n) x(n) N
(3.1.7)
图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓
式 中 x((n))N 表 示 x(n) 以 N 为 周 期 的 周 期 延 拓 序 列， ((n))N表示n对N求余， 即如果
n=MN+n1， 0≤n1≤N-1，
则
M为整数，
((n))N=n1
~
例如， N 5, x ( n ) x ( n )5 ,
x(n+mN)=x(n)
实际上， 任何周期为N的周期序列 则是
x 都可以看
~
作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)
x
~
~
的一个周期， 即
x(n)
m
x ( n mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x ( n ) x ( n ) RN ( n )
~
~
为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：
即循环卷积亦满足交换律。
作为习题请读者证明频域循环卷积定理： 如果 则
x(n)=x1(n)x2(n)
X ( k ) DFT [ x ( n )] 1 X 1 (k ) X 2 (k ) N
(3.2.6)
1 N 1 X 1 (l ) X 2 (( k l )) N RN ( k ) N l 0 1 X (k ) X 2 (k ) X 1 (k ) N 1 N 1 X 2 (l ) X 1 (( k l )) N RN ( k ) N l 0
(3.2.4)
3.2.3 循环卷积定理
有限长序列 x1(n) 和 x2(n) ， 长度分别为 N1 和 N2 ，
N=max［ N1, N2 ］。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(b)］
数字信号处理第三章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)精品
期延拓，得到
xN (n) x((n))N
定义x(n)的循环移位序列为
y(n) xN (n m)RN (n) x((n m))N RN (n) 上式表示将序列x(n)以N为周期进行周期延拓，再左移m个
单位并取主值序列， 就得到x(n)的循环移位序列y(n)。
下图中(a)、(b)、(c)和(d)分别描述了x(n)、xN (n) 、 xN (n m)和y(n)。图中M=6，N=8，m=2。
之间的某种变换关系.
• 所以“时间”或“频率”取连续还是离 散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换 对。
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
时间域
t:连续
模拟域
频率域
FT、LT Ω、s:连续
时间域
n:离散
数字域 FT、ZT
频率域
ω、z：连续
数字域
DFT
频率域
k：离散
返回
DFT
的 图 形 解 释
Z变换、 DTFT、DFT 的取值范围
X (k) X (ej ) 2k ，k=0, 1, 2, …, N-1 N
结论： (1)序列的N点DFT是序列傅里叶变换在频率区间[0，2] 上的N点等间隔采样，采样间隔为2 /N。 (2)序列的N点DFT是序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔 采样，频率采样间隔为2 /N。
返回
• 序列x(n)的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等 间隔采样；
四种傅立叶变换
离散傅立叶变换（DFT）实现了信号首次在频域 表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。 并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信 号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速 化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程 学习的一大重点。
数字信号处理 第3章 上
46
47
DFT与信号的实际频率的对应关系：
2 数字频率（弧度）： k T N
模拟频率（弧度/秒）：
2 / T fs f s k 2 f N fs 频率（赫兹）： f / 2 k N
反过来，可以求与某一频率对应的k值。
Nf k fs
48
7
图1.连续的非周期信号及其非周期,连续的频谱密度
8
2、连续时间、离散频率的傅里叶变换 连续周期信号——傅里叶级数(FS)
设x(t)代表一个周期为TP的周期性连 续时间函数,x(t)可展成傅里叶级数,其傅里 叶级数的系数为 X ( jk0 ) , 是离散频率的 非周期函数,x(t)和 X ( jk0 ) 组成变换对: 正变换 反变换
1, RN (n) 0,
0 n N 1 其他n
45
DFT左、右两边都是离散的， 有限长，因此可方便地用来实现 频谱分析。 但使用时，一定要想到，它 们均来自DFS,即 x(n) 和 X ( k ) 都是周期的！ X ( N ) X (0) 注意：DFT并不是“第五 种”傅立叶变换！
n 0
N 1
n
可得
~ 2 X (k ) X ( z ) z W k e j ( N ) k
N
30
~ 图5.为了得到周期序列X ( k )
各抽样点
,把X(z)在S平面单位圆上抽样的
31
三、离散傅里叶级数的性质
1、线性
2、序列的移位
mk ~ ~ DFS[ x (n m)] WN X (k ) e 2 j mk N
第三章
离散傅里叶变换
离散傅立叶变换（DFT）
1、有限长序列的傅立叶表示； 2、FFT的理论基础。 3、在运算方法上起核心作用，谱分 析、卷积、相关都可以通DFT在计 算机上实现。 本质上，DFT是周期序列的DFS（离 散傅立叶级数）在一个周期内的特例。
47
DFT与信号的实际频率的对应关系：
2 数字频率（弧度）： k T N
模拟频率（弧度/秒）：
2 / T fs f s k 2 f N fs 频率（赫兹）： f / 2 k N
反过来，可以求与某一频率对应的k值。
Nf k fs
48
7
图1.连续的非周期信号及其非周期,连续的频谱密度
8
2、连续时间、离散频率的傅里叶变换 连续周期信号——傅里叶级数(FS)
设x(t)代表一个周期为TP的周期性连 续时间函数,x(t)可展成傅里叶级数,其傅里 叶级数的系数为 X ( jk0 ) , 是离散频率的 非周期函数,x(t)和 X ( jk0 ) 组成变换对: 正变换 反变换
1, RN (n) 0,
0 n N 1 其他n
45
DFT左、右两边都是离散的， 有限长，因此可方便地用来实现 频谱分析。 但使用时，一定要想到，它 们均来自DFS,即 x(n) 和 X ( k ) 都是周期的！ X ( N ) X (0) 注意：DFT并不是“第五 种”傅立叶变换！
n 0
N 1
n
可得
~ 2 X (k ) X ( z ) z W k e j ( N ) k
N
30
~ 图5.为了得到周期序列X ( k )
各抽样点
,把X(z)在S平面单位圆上抽样的
31
三、离散傅里叶级数的性质
1、线性
2、序列的移位
mk ~ ~ DFS[ x (n m)] WN X (k ) e 2 j mk N
第三章
离散傅里叶变换
离散傅立叶变换（DFT）
1、有限长序列的傅立叶表示； 2、FFT的理论基础。 3、在运算方法上起核心作用，谱分 析、卷积、相关都可以通DFT在计 算机上实现。 本质上，DFT是周期序列的DFS（离 散傅立叶级数）在一个周期内的特例。
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线
1
0
X ( j)
1
k0
谱
FT
0
0
0
3.2 离散时间信号的傅里叶变换
Discrete Time Fourier Transform, DTFT （一）定义
对系统特征 信号h(n) 对一般性的 信号x(n)
DTFT和Z变换的关系！
（二）特点
1. x(n) 是离散的，所以变换需要求和；
的 – 补零序列的圆周圆周卷积却不等于先前序列的圆周卷积
序列长度发生了变化 上述做法中，该长度正好等于线性卷积的长度
– 线性卷积与圆周卷积 线性卷积有明确的物理意义 圆周卷积操作时，可对序列的长度进行改变
– 可以通过补零的方法进行更长序列的圆周卷积 – 只是一种计算手段（频域抽样加密就对应时域序列补零）
x ( n ) X (e )
插值法 由数字设备得到
j
X (k )
3.6 用 DFT 计算线性卷积
圆周卷积/循环卷积分析
– 参与圆周卷积的两个序列是等长度的，设都
是N点序列 – 圆周卷积的结果序列也是N点序列 – 圆周卷积是建立在DFT之上的 – DFT隐含着周期性
时域和频域对应着各自以N为周期的周期序列
nk n 0
N 1
WN e
nk
j 2 / N
1 x ( n) N
X (k )W
k 0
N 1
N
n, k 0,1, , N 1
这一对式子，左、右两边都是离散的， 有限长，因此可方便地用来实现频谱分析。
但使用时，一定要想到，它们均来自DFS, 即
x(n) 和 X ( k ) 都是周期的！
n 0 N 1
N 1
j
2 nk N
k ~ n ~ k 0,1, N 1 n 0,1, , N 1
1 x ( n ) X ( k )e N k 0
改为：
j
2 nk N
X ( k ) x ( n )e
n 0
N 1
j
2 nk N
四种傅立叶变换
DFS本质上是DTFS，定标因子转移了
3.3 连续时间信号的抽样
现研究信号抽样的数学模型：
请 掌 握 公 式 的 推 导 ！
p(t )
k
(t kT )
s
2 P( j) Ts
FT
k
( k )
s
x(n) xa (t ) p(t )
IDFT
补 零
h(n)
n 0,1,, L 1
DFT
n 0,1,, L 1
DFT
Y (k ) X (k ) H (k )
相乘
X (k ) k 0,1, , L 1
H (k ) k 0,1, , L 1
补零并没有增加信号本质不同的信息
– 补零序列的线性卷积与未补零序列的线性卷积的结果是一样
可能的FT形式
– DFS
可行的方案
– 取DFS的主值序列
实际的做法
– 对有限长度为N的信号，构造周期大于等于N的周期信号 – 对无限长信号截短，并构造周期信号 问题：截多长？近似度？ – 对应DFS – 取能代表信号时域和空域的信息段 DFS时域和频域的主值序列
– DFT
X (k ) x(n)WN ,
设参与卷积的两个序列的时宽分别是N1、N2
– 则线性卷积结果yL的时宽为N1+N2-1 – 进行L点圆周卷积，结果是yL以L为周期的周期延拓序列的主值序列
y (n) yL (n rL) RL (n) r
Q ( j ) 0
j k
( k 0 ), 0
s
s 2 2 N NTs T k
Q(e ) Q( j) / T 0 2 0Ts ( k 0 ) N k
k
(
DTFT的性质
1 X (e ) Ts
j
k
X
a
( j jk s )
/ Ts
周期延拓，无穷迭加
X (e j )
迭加后可能 产生的影响
若保证 则
X (e )
j
( ~ )
可 保 留
X a ( j) 相等
x ( n)
x(t ) 全部信息
要求：
或
f s 2 fc
第3章 离散时间信号的傅里叶变换
3.1 CTFS， CTFT；
3.2 DTFT； 3.3 CT信号的抽样； 3.4 DTFS，DFS； 3.5 DFT； 3.6 用DFT计算线性卷积；
与傅 处立 理叶 的变 基换 本是 工信 具号 分 析
3.1 连续时间信号的傅立叶变换
1. 傅立叶级数
FS
傅立叶系数 X (k0 ) 是第 k 次谐波的系数，所以
p(t ) Ts (t )
n
(t nT )
s
1 X (e ) Ts
j
k
X
T
( j ( k s ))
/ Ts
1 Ts
2 X T ( j (T T k )) k s s
频域抽样
– 单位冲激串频域周期抽样序列 – 频域乘积，时域卷积 – 频域抽样定理
X (k0 ) 在频率坐标轴上是离散的，间隔是
0 。
复指数信号正交分解，另：三角FS形式。
A
x(t )
0
条件：平方可积，绝对可积可导出平方可积
T
2 2
T
t
分解系数，投影 频域离散的sinc 函数
X (k0 )
k0
2. 傅立叶变换：
FT
FS：
若 x(t ) 是非周期信号，可以认为：
2
叶变换不存在，可将其展开为傅立叶级数：
现利用
函数 将 x(t ) 作傅立叶变换：
x(t )e
jt
dt [e
j ( 0 ) t
e
j ( 0 ) t
]dt
( 0 ) ( 0 )
FS
X (k0 )
1/ 2 1/ 2
DFT有快 速算法
n 0,..., N M 2
长度
如何用DFT来实现
存在什么矛盾
DFT实现线性 卷积的步骤
L N M 1
y ( n)
h(n) n 0,1,, M 1
x ( n) n 0,1, , N 1
补 零
x(n)
y(n) x(n) h(n) x(n) h(n)
3.
密度
强度
周期信号： 可以实现傅里叶级数的分解，
属于功率信号；
非周期信号：可以实现傅里叶变换，
属于能量信号；
那么，周期信号可否实现傅里叶变换
在经典数学的意义上是不可实现的，
但在引入了奇异函数后可以实现。
周期信号
FS
例：令 x(t ) cos(2 f 0t ) 求其傅立叶变换。
因为： x(t ) dt 所以，严格意义上的傅立
x(t )
H a ( s)
A/ D
x ( n)
f s ：抽样频率； f s / 2 ：折迭频率；
1 X (e ) Ts
j
k
X
a
( j jk s )
/ Ts
说明了用数字方法估计信号频谱是可行的
– 即后面的DFT方法
原始信号的频谱有明确的物理意义 等价的不同表示是在不同物理轴意义上的表现
1 x ( n) N
X ( k )e
k 0
N 1
j
2 nk N
此即 DFT !
为什么要由DFS过渡到DFT？
1. 从原理上， x(nTs ) 和 X (k0 ) 的各自 一个周期即可表示完整的序列； 2. 从实际上，当我们在计算机上实现信号的 频谱分析时，要求：时域、频域都是离散 的；时域、频域都是有限长；
X (e ) Q (e ) x ( n ) q ( n ) x ( n) ~ ( n) R N ( n) x
x x(n kN ) ~(n)
Z变换、 DTFT、DFT 的取值范围
x(n), n 0,1,, N 1
X (e ) x(n)e
j n 0
X (e j ) 可以得到 x(n) 的幅度谱、 7. 由
相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频 频分析；
8. 反变换
四种傅立叶变换:
1. 2. 3. 连续非周期 连续周期 离散非周期 非周期连续() FT
非周期离散() FS 周期连续（ ） DTFT
4.
离散周期
周期离散DFS
切实理解四种FT之间的对应关系
即：抽样频率 fs 至少要等于信号最高频 率 fc 的两倍。此即抽样定理。
Nyquist 抽样定理，或 Shannon 抽样定理
如果抽样频率不满足要求，将出现频谱的混 迭（Aliasing), 将无法恢复原信号。
如何保证
f s 2 fc
1. 做频谱分析，了解 X a ( j) 的行为； 2. 使用抗混迭滤波器，限制 X a ( j) 的范围。
Ts
0
Ts
0
)
k
( k