安徽省“江淮十校”2021届高三第二次质量检测理科数学试题(含答案解析)
“江淮十校”2021届高三第二次质量检测-word版
“江淮十校”2021届高三第二次质量检测 物理 试 题 2020.11命审单位：宿城一中 命审人：李万里 蔡翠勋 张绍平考生注意1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书．．．．．．．写的答案无效在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（每题4分，共40分。
1-6题为单选题，7-10为多选题选错的不得分漏选的得2分） 1.能够反映高速列车纵向平稳性的指标，就是加加速度或者减减速度。
据资料介绍我国的CRH380系列高速列车在高铁上行驶时，它的加加速度和减减速度值要求必须小于0.75m/s 3，这个指标在全球这个行业是顶尖的。
关于加加速度和减减速度下列说法正确的是（ ） A.0.75m/s 3意义是每秒速度变化量是0.75m/s B.0.75m/s 3意义是加速度变化量是0.75m/s 2 C.加加速度描述的是加速度变化大小的物理量 D.加加速度是加速度变化量与时间的比值2.设地球的半径为R 0，质量为m 的卫星在距地面3R 0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g 0，则以下说法错误的是( )A.卫星的线速度为00g RB.卫星的加速度为4g C.卫星的周期0016R g πD.卫星的角速度为018g R 3.如图所示，物体M 套在光滑水平直杆上，系在物体M 上的细线跨过定滑轮与物体N 相连 ，将物体N 由静止释放，N 运动过程中不会落到地面。
已知细线无弹性且不计与滑轮间的摩擦，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )A.若M 的速度在增大时，则N 的速度在减小B.若M 的速度在减小时，则N 的速度在增大C.当连接物体M 的细线与水平方向的夹角为θ时，有cos N M v v θ=D.当连接物体M 的细线与水平方向的夹角为θ时，有cos M N v v θ= 4.如图所示是一辆汽车做匀减速直线运动x-t 图中的一段。
2022-2023学年安徽省芜湖一中江淮十校高三上学期第二次联考数学试题(解析版)
2022-2023学年安徽省芜湖一中江淮十校高三上学期第二次联考数学2022.11命审单位：一六八中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若集合{}241M x x =>，{}21N x x =≥，则M N ⋂= A.12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B.1122x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭C.12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭D.∅2.设x ∈R ，则“cos 1x =”是“sin 0x =”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f 的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f ，3f ，4f 等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋅⋅⋅.则函数11sin sin 2sin 323y x x x =++的A.πB.2πC.23π D.2π4.已知数列{}n a 满足()202212023nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则当n a 取得最大值时n 的值为A.2024B.2023或2022C.2022D.2022或20215.函数()22sin 11x f x x x π=+-在区间[)(]2,00,2ππ-⋃上的图象大致为 A. B.C. D.6.已知向量()1,2a =，()4,2b =-，c ta b =+.若c 在a 5t 为 A.-2B.-1C.±1D.±27.已知实数0.9a =，0.11eb =，ln1.9c =，则 A.c b a >>B.b a c >>C.a b c >>D.b c a >>8.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一；次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何?”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为a 斤，设()()51,1log ,01f x x f x x x ⎧->=⎨<≤⎩，则()f a =A.0B.1C.-1D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是 A.导函数为()cos 23x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭'B.函数()f x 的图象关于点6π⎛-⎝对称 C.函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数D.函数()f x 的图象可由函数sin 2y x =的图象向左平移3π个单位长度得到10.已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()22g x g x +=-.若[]0,2x ∈时，()g x =，则下列结论正确的有A.函数()g x 的值域为[]1,1-B.函数()g x 图象关于直线1x =对称C.当实数25k =±时，关于x 的方程()()g x g x kx +=恰有三个不同实数根D.当实数k ⎛∈⋃ ⎝时，关于x 的方程()()g x g x kx +=恰有四个不同实根 11.已知a ，b 均为正实数，下列结论正确的有 A.若2a b +=，则112a b+≥B.若2a b +=，则11b ab +≥+C.若1a b +=+≤D.当且仅当a =时，22a ba b a b+++取得最大值4-12.已知函数()f x x b =-+，若()f x 在区间[]1,2的值可以为A.1eC.2eD.1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题p ：0x ∃<，e 1xx ->的否定为___________.14.函数()()21e x f x x x -=-+⋅的极大值与极小值的和为___________. 15.已知函数()214f x x =，P 为直线1x =上一点，过点P 作函数()y f x =图象的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA PB ⋅的最小值为____________.16.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2b C a c =-.若ABC △的外接圆的面积为163π，则三角形面积的取值范围是____________. 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知函数()f x =的定义域为集合A ，关于x 的不等式()221220x a x a a -+-+≤的解集为B .（1）当1a =时，求()A B ⋃R；（2）若x B ∈是Rx A ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）已知函数()()sin 0,0,2f x A wx A w πϕϕ⎛⎫=+>≠< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()2cos g x f x wx =+，其中,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()g x 的值域.19.（本题满分12分）2022年是合肥一六八中学建校20周年，学校届时将举行20周年校庆活动，其中会建立校史展览馆并向各界校友及友好人士展出一六八中学自建校以来的大事记.已知展览馆的某一部分平面图如图所示，AB 的长为18米，点C 到x 轴和y 轴的距离分别是6米和9米，其中边界ACB 是函数()f x 图象的一部分，前一段AC 是函数y k x =图象的一部分，后一段CB 是一条线段，现要在此处建一个陈列馆，平面图为直角梯形DEBF （其中BE 、DF 为两个底边）. （1）求函数()y f x =的解析式； （2）求梯形DEBF 面积的最大值.20.（本题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量()233m a c b =与向量()cos ,cos n C B =共线. （1）求角B ；（2）请从条件①、条件②条件③这三个条件选择一个作为已知，使得ABC △存在且唯一确定，并求AC 边上中线D 的长. 条件①：3a =，3b =3b =334ABC S =△；条件③3a =，3c =. 21.（本题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 满足()2211220n n n n n a na a a +++-+=. （1）若12a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）在（1）的条件下，设()*211n n b n a -=∈N ，数列{}nb 的前n 项和为n S，求证：231n nS n ≥+. 22.（本题满分12分）已知函数()ln x ax b f x =--.（1）若0a >时，函数()f x 恰好有一个零点，求ab 的最大值； （2）讨论函数()()21322h x f x x b =+++的零点个数. 江淮十校2023届高三第二次联考数学试题参考答案一、单项选择题；本题共8小题.每小题5分，共40分.1-4CABD 5-8DCBC 1.答案：C解析：由{}241M x x =>，得1122M x x x ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或，又12N x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，所以12M N x x ⎧⎫⋂=>⎨⎬⎩⎭，选C. 2.答案：A解析：cos 1x =即2x k π=，k ∈Z .而sin 0x =即x k π=，k ∈Z ，所以选A. 3.答案：B由题意，sin y x =的周期为2π，1sin 22y x =的周期为π，1sin 33y x =的周期为23π，所以11sin sin 2sin 323y x x x =++的周期为2π.选B.4.答案：D 解析：∵()()()120222202112023120231n n n a n a n n ++-==+++，∴当2021n >时，11n n a a +<；当2021n <时，11n na a +>，120211n na n a +=⇒=，当2021n =时，20212022a a =取得最大值.故选D. 5.答案：D解析：由题可得()22sin 11f x x x x π=+-是偶函数.排除A ，C 两个选项.又()0f π=，当()0,x π∈时，sin 0x x >，2211x π>，()0f x >，当(),2x ππ∈时，sin 0x x <，2211x π<，()0f x <，所以当()2,2x ππ∈-时，()f x 仅有两个零点.故选D. 6.答案：C解析：()4,22c ta b t t =+=+-，c 在a55c a t a⋅==1t =±，选C.7.答案：B解析：易证e 1x x ≥+对x ∈R 恒成立，当且仅当0x =时等号成立，取0.1x =-，所以0.1e0.9->，即b a >.又易()1ln 2x x +≥+对()2,x ∈-+∞恒成立，当且仅当1x =-时等号成立，取0.1x =-，所以0.9ln1.9>，即a c >，综上b a c >>，选B. 8.答案：C解析：由题意知：这个人原来持金为a 斤， 第1关收税金为：12a 斤； 第2关收税金为11113223a a ⎛⎫⋅-⋅=⋅ ⎪⨯⎝⎭斤； 第3关收税金为1111142634a a ⎛⎫⋅--⋅=⋅ ⎪⨯⎝⎭斤， 以此类推可得的，第4关收税金为145a ⋅⨯斤，第5关收税金为156a ⋅⨯斤， 所以111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯， 即11111111111112233445566a a ⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-⋅=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得65a =，又由()()51,1log ,01f x x f x x x ⎧->=⎨<≤⎩，所以566111log 15555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得分.9-12BC ABD ABCD BCD 9.答案：BC解析：对于A ：因为()2sin cos sin sin sin 23333f x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅=++++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 23x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭'，即选项A 错误；对于B ：由23x k ππ+=，k ∈Z∴62k x ππ=-+，k ∈Z ∴()f x 的对称中心坐标为3,622k ππ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，B 正确.对于C ：当51212x ππ-<<时，2232x πππ-<+<，故()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，即选项C 正确； 对于D ：因为3sin 262y x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象可出sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度，再向上平移32个单位长度得到.即选项D 错误.故选：BC. 10.答案：ABD解析：由()()22g x g x +=-，函数()g x 周期为4.又()g x 为奇函数，而[]0,2x ∈时，()22g x x x =-，即22y x x =-，变形整理得()()22110x y y -+=≥.可得函数()g x 图象：由图像可知，函数()g x 的值域为[]1,1-且关于1x =对称，选项A 、B 正确.记()()()f xg x g x =+，由()()()()()()()()f x g x g x g x g x g x g x f x -=-+-=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，当[]0,2x ∈时，()()2f x g x =，当[]2,4x ∈时，()0f x =，()f x 图象为：又方程()()g x g x kx +=有四个不同的根，当0x ≥时，即直线y kx =与函数()2y g x =，[]4,42x k k ∈+，k ∈Z 有四个交点，即直线2ky x =与函数()y g x =，[]4,42x k k ∈+，k ∈Z 有四个交点，数形结合可得56106k ∈，又因为()f x 为偶函数，所以6556610106k ⎛∈⋃ ⎝，同时66k =交点，选项C 错误，D 正确. 11.答案：ABCD 解析：其中A ：由21112a ba b+≤=+，∴112a b +≥，A 正确.对于B ：∵a ，b 为正实数，且2a b +=，∴()21111133112422442442a b b a b b a b b a ab a ab a ab a b a a b +++=+=+=++++=++≥+ 当且仅当33a =3b =时，等号成立.∴B 正确其中C ：由1a b +=，即221a b +=，由柯西不等式()()22212a b a b +≤++，即25a b +≤C 正确.其中D ：因为a ，b 均为正数，所以2212112ba b a b b a b a b a a+=+++++，令0b t a=>， 则222122412112231a b t t t a b a b t t t t +++=+=++++++ 2111422123123t t t t t=+=+≤-++++，等号成立.条件为2a b =..D 正确.12.答案：BCD解析：设()f x 在区间[]1,2上零点为m ，则0m b -+=，所以点(),P a b 在直线0y m -=OP ==，其中О为坐标原点.又2em m OP ，记函数()2em m g m =，[]1,2m ∈，利用导数可得()g m，≥， ∴选项BCD 均满足.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.p ⌝：0x ∀<，e 1xx -≤ 14.23e e + 15.2516-16. 14.解析：由()()()212320e ex xx x x x f x ----+-'=== ∴1x =或2x =当1x <或2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减 当12x <<时，()0f x >，()f x 单调递增 ∴1x =为()f x 极小值点2x =为()f x 极大值点∴()()222313ee e ef x f x +=++=极大值极小值15.解析：设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由24x y =求导得2x y '=， 则直线PA ：21124x x y x =-，直线PB ：22224x x y x =-，联立方程可得1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由P 在直线1x =上，得122x x +=，且12144x x <，即121x x <. 因而221211221212,,2424x x x x x x x x x x PA PB ⎛⎫⎛⎫----⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2221212121212441616x x x x x x x x x x ---+=--=- ()()()()2212121212121232544142524164416x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+-⎡⎤ ⎪+-+-+⎣⎦⎝⎭=-==≥-. 16.解析：由2cos 2b C a c =-∴2sin cos 2sin sin B C A C =-得()2sin cos 2sin sin B C B C C =+- 2sin cos 2sin cos 2cos sin sin B C B C B C C =+-，所以2cos sin sin B C C =，因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以sin 0C >，所以1cos 2B =， 而0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=. 又由ABC △的外接圆的面积为163π，所以外接圆半径2R =所以212sin sin sin 2233ABC S ac A C A ππ⎛⎫===- ⎪⎝⎭△， 因为ABC △为锐角三角形，所以,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ABC △的面积取值范围为. 四、解答题：本题共6小题，共70分.17.解：（1）由12011102x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，所以集合112A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭. 由()()()221220210x a x a a x a x a -+-+≤⇒-+-≤（1）当1a =时，不等式为：()2002x x x -≤⇒≤≤，即集合{}02B x x =≤≤ 又112R A x x x ⎧⎫=≤-≥⎨⎬⎩⎭或，所以(){}10B x x x A ⋃=≤-≥R 或. （2）因为x B ∈是x A ∈R 的充分条件，所以B 是A R 的子集，112x x x A ⎧⎫=≤-≥⎨⎬⎩⎭R 或； 当13a =时，23B x x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭.满足题意；当13a <时，{}21B x a x a =≤≤-，所以13122a a ⎧<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或1311a a ⎧<⎪⎨⎪-≤-⎩得1143a ≤<； 当13a >时，{}12B x a x a =-≤≤，所以13112a a ⎧>⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或1321a a ⎧>⎪⎨⎪≤-⎩得1132a <≤； 综上，实数a 的取值范围为：1142a ≤≤ 18.解：（1）由7121222T πππ-==得：22T w w ππ==⇒=， 当2w =得，sin 2012126f A k πππϕϕπ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⇒=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈Z 又2πϕ<，所以$6πϕ=-，()0sin 12f A A ϕ==⇒=-（舍去）；当2w =-时，sin 2012126f A k πππϕϕπ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=⇒=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈Z ， 又2πϕ<，所以6πϕ=，又()0sin 12f A A ϕ==⇒=，所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （2）()()()2cos 2sin 22cos 26g x f x wx x x π⎛⎫=+=-++- ⎪⎝⎭()()()()2sin 22cos 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2666g x x x x x x πππ⎛⎫=-++-=-+-+ ⎪⎝⎭2cos 22cos 223cos 223x x x x x x π⎛⎫=++=+=-- ⎪⎝⎭， 又,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。
2025届江淮十校高三第二次诊断性检测数学试卷含解析
2025届江淮十校高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C ．1510D ．21552．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.3．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．124．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）A ．(625,)+∞B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)5．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．24D ．236．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．637．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 8．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．9．函数tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．310．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面12．已知双曲线C ：2214x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( ) A ．1B ．2-C ．1-D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年安徽省江淮十校高三上学期第二次联考数学试题及答案
江淮十校2024届高三第二次联考数学试题2023.11注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()12i 1i 0z +-+=，则z =A.13i 55-- B.13i 55-+ C.13i 55+ D.13i 55-2.已知集合{}230A x x =∈-<Z ，集合{}2,xB y y x A ==∈，则A B =A.(B.{}1,2C.{}1,0D.{}13.已知点G 是ABC △的重心，GA a ，GB b = ，则BC =A.2a b+ B.2a b+ C.2a b-- D.2a b-- 4.已知幂函数()()2255m f x m m x-=-+是R 上的偶函数，且函数()()()26g x f x a x =--在区间[]1,3上单调递增，则实数a 的取值范围是A.(),4-∞ B.(],4-∞ C.[)6,+∞ D.(][),46,-∞+∞ 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4244S a =-，565S =，则使0n S >成立的n 的最大值为A.16B.17C.18D.196.已知角θ为第二象限角，且满足()sin sin cos23πθπθθ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，则tan θ=7.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1122CD C D ==，点O 是底面ABCD 的中心，若该四棱台的侧面积为，则异面直线1OC 与1BB 所成角的余弦值为A.78B.34C.588.已知函数()()321,1log 1,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩…，若函数()()y f x a a =-∈R 有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则()()()123412211x x a x x a++--的取值范围是A.()0,3B.)⎡⎣C.)⎡+∞⎣D.()3,+∞二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知,,22x y ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭且sin sin x y >，则下列不等关系一定成立的是A.()lg 0x y -> B.1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.22x y> D.()tan tan x yπ+>10.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E ，F 分别为棱AB ，1CC 的中点，则下列判断正确的是A.直线EF 与直线1DD 互为异面直线B.1B D ⊥平面1D EFC.平面1D EF 截该四棱柱得到的截面是五边形D.平面1D EF 与棱BC 的交点是棱BC 的中点11.将函数()sin201y x ωω=<<的图象向左平移6πω个单位可得到函数()y f x =的图象，若()y f x =在区间(),2ππ内有最值，则实数ω的取值范围可能为A.11,2412⎛⎫⎪⎝⎭ B.55,2412⎛⎫⎪⎝⎭ C.77,2412⎛⎫⎪⎝⎭ D.13,124⎛⎫⎪⎝⎭12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3,2,2n n n S n n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，则下列判断正确的是A.1011a =-B.当n 为奇数时，1n a n =--C.当n 为偶数时，1n a n =+D.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于()22nn -+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量a ，b 满足()1,2a = ，2b =，()2a a b ⊥+ ，则向量a ，b 夹角的余弦值为______.14.已知1a >-，0b >且22a b +=，则2141a b a b++++的最小值为______.15.内接于球O 的四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，四条侧棱均相等，AB CD ∥，4AB =，2CD =，AD =，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的大小为3π，则球O 的表面积为______.16.设正整数n 满足不等式()221log 202321log 2023(2)n n -+>，则n 的最小值等于______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知集合()223004A x x ax a a ⎧⎫=+->⎨⎬⎩⎭…，函数()()2cos 2cos f x x x x x =+∈R 的值域为集合B .（1）当2a =时，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求正数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数()12x x m f x m n+-=+（其中0m >且1,0m n ≠>）是奇函数.（1）求m ，n 的值并判断函数()y f x =的单调性；（2）已知二次函数()2g x ax bx c =++满足()()22g x g x +=-，且其最小值为3-.若对[]11,2x ∀∈-，都21,82x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()122log f x g x =成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，O 为其外接圆的圆心，8AO AB ⋅=，118tan tan A B b⎫+=⎪⎭.（1）求A 的大小；（2）若,43C ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求边长b 的最值.20.（本小题满分12分）如图（1），在边长为4的菱形ABCD 中，3BAD π∠=，点E 是边BC 的中点，连DE 交对角线AC 于点F ，将ABD △沿对角线BD 折起得到如图（2）所示的三棱锥P BCD -.（1）点G 是边PD 上一点且12PG GD =，连FG ，求证：FG ∥平面PBC ；（2）若二面角P BD C --的大小为23π，求二面角P DE C --的正弦值.图（1）图（2）21.（本小题满分12分）各项均为正数的数列{}n a 的首项11a =，且满足()()22*1121n n n n na n a a n ++-+=∈N .（1）求证：数列是等比数列；（2）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .22.（本小题满分12分）已知函数()()ln 1x ax f x a x-+=∈R .（1）若()2f x …恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x 且123x x <，求证：126ex x +>.江淮十校2024届高三第二次联考数学试题参考答案题号123456789101112选项BDDBBCACBDACACDBCD一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.B 【解析】由条件可知()()()()1i 12i 1i 13i 12i 12i 12i 55z ---===--++-，所以13i 55z =-+，故选B.2.D 【解析】由已知得{}1,0,1A =-，1,1,22B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则{}1A B = ，故选D.3.D 【解析】由条件知0GA GB GC ++= ，所以GC GA GB a b =--=--，所以2BC GC GB a b b a b =-=---=--，故选D.4.B 【解析】由条件知2551m m -+=解得1m =或4m =，又函数()f x 是R 上的偶函数，所以4m =，()2f x x =，()()226g x x a x =--，其对称轴方程为3x a =-，根据条件可知31a -…，解得4a …，故选B.5.B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件4244S a =-得()114644a d a d +=+-，解得2d =-，又565S =，解得117a =，于是()1721192n a n n =--=-，显然910a =>，1010a =-<，所以179170S a =>，(1891090S a a =+=，当19n …时，0nS <，故选B.6.C 【解析】由条件可知()22sin coscos sinsin cos sin 33ππθθθθθ⎛⎫-⋅-=- ⎪⎝⎭，整理得22sincos 2cos 0θθθθ+-=，因角θ为第二象限角，所以cos 0θ<，于是两边同除以2cos θ，得2tan 20θθ+-=，因tan 0θ<，解得tan θ=，故选C.7.A 【解析】由已知条件得该四棱台的斜高为2=，根据112CD C D =得11OB B D =，又11OB B D ∥，所以四边形11OBB D 是平行四边形，于是11BB OD ∥，112OD OC ==，所以11C OD ∠（或其补角）是异面直线1OC 与1BB 所成的角，根据余弦定理可知222111*********cos 288OC OD C D C OD OC OD ∠+-+-===⨯⨯，故选A.8.C 【解析】作出函数()f x 的大致图象，可知01a <<，1234012x x x x <<<<<<，于是121221xx-=-，所以12222xx +=，()()3334log 1log 1x x --=-，即()()3334log 1log 10x x -+-=，所以()()34111x x --=，于是()()())12341122211xx a a x xa a ⎡++=+∈+∞⎣--，故选C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9.BD 【解析】由条件知x y >，又,,22x y ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以B ，D 正确.10.AC 【解析】根据条件作出图形得到A 正确，B 错误，C 正确，平面1D EF 与棱BC 的交点是棱BC 的一个三等分点，D 错误.故选AC.11.ACD 【解析】由条件可知()sin 2sin 263f x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由232x k ππωπ+=+，解得()212k x k ππωω=+∈Z ，于是2212k ππππωω<+<，解得11424212k k ω+<<+，因01ω<<，所以当0k =时，124ω<<1k =时，772412ω<<；当2k =时，13124ω<<.故选ACD.12.BCD 【解析】由条件知112a S ==-，23a =，当n 为奇数且3n …时，131122n n n n n a S S n -+-=-=--=--，1a 也符合，所以当n 为奇数时，1n a n =--，B 正确；当n 为偶数时，112n n n n a S S n -⎛=-=-=+ ⎝，A 错误，C 正确；于是()()112n n a a n n +=-++，()()111111212n n a a n n n n +⎛⎫=-=-- ⎪++++⎝⎭，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()1111111111233445122222n n n n n ⎛⎫--+-+-+⋅⋅⋅+-=-+=- ⎪++++⎝⎭，D 正确.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】【解析】由已知得a = ，由()2a a b ⊥+ 得()2220a a b a a b ⋅+=+⋅= ，所以52a b ⋅=- ，于是cos ,a b a b a b⋅=== .14.【答案】6【解析】由22a b +=知()214a b ++=，所以()()2121214221226111a b a a b b b a b a b a b ++++++=++=+++=+++…，当且仅当13a =，43b =时等号成立，最小值为6.15.【答案】803π【解析】作DE AB ⊥于点E ，则根据条件可得1AE =，3DE =，设四边形ABCD 的外接圆半径大小为r ，圆心到AB 的距离为d ，则()22222213r d d =+=+-，解得1d =，r =，根据侧棱PA 与底面ABCD所成角的大小为3π知点P 到平面ABCD的距离为=.设球O 的半径为R ，则)222R R =+，解得R =，所以球O 的表面积为2280443R πππ=⨯=.16.【答案】6【解析】对所给不等式两边同时取自然对数，则()()()2221ln 1log 2023log 2023ln 2n n -+>⋅，于是()()22ln 1log 2023ln 2log 202321n n +>-.构造函数()()ln 1x f x x +=，()1x …，求导得()()2ln 11xx x f x x -++='，令()()ln 11xg x x x =-++，()1x …，求导得()()()22110111x g x x x x =-='-<+++，所以函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，则()()11ln202g x g =-<…，所以()0f x '<，于是函数()f x 在[)1,+∞上单调递减，所以221log 2023n ->，解得21log 20232n +>，又102420232048<<，所以210log 202311<<，于是21log 202311622+<<，又n 是正整数，所以n 的最小值等于6.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分10分）解：因()2cos 2cos cos212sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭所以[]1,3B =-（1）当2a =时，2230x x +-…，解得31x -……，所以[]3,1A =-于是[]3,3A B =- （2）由条件知集合A 是集合B 的真子集，又31,22A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以132312a a ⎧⎪⎪⎨⎪--⎪⎩……且两等号不能同时成立，解得23a …又0a >，所以正数a 的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦18.（本小题满分12分）解：（1）由条件可知函数()y f x =的定义域为R ，由()y f x =是奇函数知()00f =，即201m n-=+，解得2m =，所以()()12212222x x xxf x n n +--==++，又()()()()()2212212212212x xxxx x x f x f x nn n------==-=-=-+⋅++，于是212xxn n ⋅+=+对任意的x ∈R 恒成立，即()()1210xn --=对任意的x ∈R 恒成立，解得1n =，所以()12221x x f x +-=+，又()()()12212212224221212121x xx x x x xf x +-+--====-++++，因21x +在R 上单调递增，且210x+>，所以421x +在R上单调递减，421x -+在R 上单调递增，于是函数()y f x =在R 上单调递增.（2）由（1）知当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的值域为26,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又根据条件得()2(2)3g x a x =--且0a >，当1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]2log 1,3x ∈-，则函数()2log g x 的值域为[]3,93a --，于是[]26,3,9335a ⎡⎤-⊆--⎢⎥⎣⎦，所以6935a -…，解得715a …，因此实数a 的取值范围为7,15⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.19.（本小题满分12分）解：（1）延长AO 交外接圆于点D ，则221111cos 82222AO AB AD AB AB AD BAD AB c ∠⋅=⋅=⋅⋅===，所以4c =118tan tan A B b⎫+=⎪⎭，cos cos sin cos cos sin 82sin sin sin sin A B B A B A c A B A B b b +⎫+=====⎪⎭，解得sin A =，因0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=，（2）在ABC △中，由正弦定理得sin sin b cB C=，于是124sin 4sin 224sin 32sin sin sin C C C B b C CC π⎫⎛⎫+⎪-⎪⎝⎭⎝⎭====，因,43C ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以tan C ⎡∈⎣，于是4,2b ⎡⎤∈+⎣⎦所以边长b的最大值为2+，最小值为4.解：（1）连PE ，由条件知点F 是BCD △的重心，则12EF DF =，又12PG GD =，所以12EF PG DF DG ==，于是FG PE ∥.因FG ⊄平面PBC ，PE ⊂平面PBC ，所以FG ∥平面PBC .（2）设BD CF O = ，以点O 为原点，以OB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间坐标系，如图所示，因PO BD ⊥，CO BD ⊥，则POC ∠为二面角P BD C --的平面角，于是23POC π∠=，因4BC =，3BAD π∠=，所以OP OC ==所以()0,P ，()2,0,0B，()0,C，()E ，()2,0,0D -，于是()2,DP =，()DE =，设平面PDE 的法向量为(),,m x y z = ，则00m DP m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23030x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得53y z x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，不妨取3x =，则()3,5m =--又平面CDE 的法向量为()0,0,1n =则cos m n m n m n⋅⋅==⋅所以二面角P DE C --=.21.（本小题满分12分）解：（1）由()221121n n n n na n a a ++-+=得()2211210n n n n na n a a ++-+=，两边同除以()1n n +，得221201n n a a n n +=+，即2220=，于是0=，因0na >>==，10=≠，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（111122n n --=⨯=，所以12n n a -=，于是214n n n b a n -==⋅，所以()02211231142434144n n n n n S b b b b b n n ---=+++⋅⋅⋅++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⋅，()12314142434144n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⋅，上述两式相减得12311441314444444143n n n nn nn S n n n ----=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅-所以()31419n n n S -+=.22.（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，对其求导得()()221ln 1ln a x x ax x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减所以函数()f x 的最大值为()112f a =-+…，解得1a -…，因此实数a 的取值范围是[)1,-+∞.（2）由题意可知1122ln 1ln 1x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，所以21122112ln ln ln ln 2x x x x a x x x x -++==-+（*）因123x x <，令21x t x =，则3t >于是由（*）式可得()()()22111221ln1ln ln 21x x x t t x x x x x t +++==--，构造函数()()1ln 1t t g t t +=-，3t >对其求导得()()()()()2211ln 11ln 2ln 11t t t t t t t t t g t t t +⎛⎫+--+'-- ⎪⎝⎭==--，令()12ln h t t t t =--，3t >对其求导得()221210h t t t '=+-=>所以函数()h t 在()3,+∞上单调递增，所以()()1332ln303h t h >=-->，于是()0g t '>，函数()g t 在()3,+∞上单调递增，所以()()32ln3g t g >=，因此()12ln 22ln3x x +>，1229e x x>于是126e x x +>>，得证.。
2021届江淮十校高三联考数学(理)试题及答案
绝密★启用前2021届江淮十校高三联考数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}2log 2B y y x ==+，全集U =R ，则下列结论正确的是（） A ．A B A =B ．A B B ⋃=C ．UA BD ．UB A ⊆答案：D【分析】先求出集合A 和集合B ，再依次判断选项的正误. 解：由2230x x -++≥解得312x -≤≤，故312A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭， 2log 22y x =+≥，故{}2B y y =≥，A B ∴⋂=∅，故A 错误；312A B x x ⎧⋃=-≤≤⎨⎩或}2x ≥，故B 错误；{1UA x x =<-或32x ⎫>⎬⎭，则(){}2U A B x x ⋂=≥，故C 错误； 可得UB A ⊆，故D 正确.故选：D ．2．已知函数()f x 及其导函数()'f x ，若存在0x 使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（） A ．2()2f x x =+ B ．()ln f x x = C ．()x f x e -= D ．()tan f x x =答案：B【分析】求出函数的导数，解方程()()00f x f x '=即可得解. 解：若0x 是方程()()f x f x '=的解，则0x 是“巧值点”， 选项A ，()2f x x '=，令222+=x x ，得2220x x +=-无解．选项B ，1()f x x '=，令1ln x x=，由图象知有一个根 选项C ，()xf x e -'=-，令x x e e --=-，即0x e -=无解 选项D ，21()cos f x x'=，令21tan cos x x =，即sin 22x =无解，故选：B3．已知3a =，4b =，()()23261b a b a -⋅+=，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 答案：D【分析】设平面向量a 与b 的夹角为θ，由平面向量数量积的运算性质可求得a b ⋅的值，可计算出cos θ，结合0θπ≤≤可求得θ的值. 解：设平面向量a 与b 的夹角为θ，()()2223244337461b a b a ba b a a b -⋅+=-⋅-=-⋅=，可得6a b ⋅=-，所以，61cos 342a b a bθ⋅-===-⨯⋅， 0θπ≤≤，因此，23πθ=. 故选：D.4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（） A ．2 B ．43C ．4D ．4-答案：C【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 解：解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ．5．函数2cos ()sin x x f x x x+=+在[],ππ-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A【分析】先判断出函数()f x 的奇偶性，然后根据()1f 的取值范围判断出()f x 的大致图象. 解：()()f x f x =-，()f x ∴为奇函数，又()cos111sin11f +=+，0cos1sin1<<，0(1)1f ∴<<，故选：A ．点评：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．设ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos c B b A a B +=-，则∠B=（） A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 答案：D【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可求得. 解：由正弦定理可得：2sinCcosB sinBcosA sinAcosB+=-()2sin sinCcosB A B sinC =-+=-，1223cosB B π=-=. 故选：D点评：此题考查根据正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换化简求解角的大小.7．函数()f x ，()g x 满足：对任意x ∈R ，都有()224()f x x g x -+=，若关于x 的方程()cos 0g x x π+=只有5个根，则这5个根之和为（） A ．5 B ．6C ．8D ．9答案：A【分析】根据题意得出()cos g x x π=-只有五个根，根据数形结合可以直接求解 解：224y x x =-+关于直线1x =对称．()y g x ∴=的图象也关于直线1x =对称，又方程()cos 0g x x π+=只有5个根，得()cos g x x π=-只有五个根，则其中一个根为1x =,另外四个根两两关于1x =对称，设关于对称的根分别为1x 和2x ，3x 和4x ，则1212x x +=和3412x x +=，∴5个根之和为1225+⨯= 故选：A点评：关键点睛：解题的关键在于利用()cos g x x π=-只有五个根，得到其中一个根为1x =,另外四个根两两关于1x =对称，设关于对称的根分别为1x 和2x ，3x 和4x ，则1212x x +=和3412x x +=，进而求解，难度属于基础题 8．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且恒有[]()ln 1f f x x -=，则“1a >”是“()1f x ax ≤-恒成立”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B【分析】令()ln t f x x =-，由题可求得1t =，得出()ln 1f x x =+，因为()1f x ax ≤-恒成立等价于ln 2x a x+≥对0x ∀>恒成立，利用导数求出ln 2()x x x ϕ+=的最大值即可判断.解：令()ln t f x x =-，则()ln f x x t =+．()ln 1f t t t ∴=+=()ln 1g t t t =+-是增函数且(1)0g =，1t ∴=()ln 1f x x ∴=+，ln 2()1ln 11x f x ax x ax a x+∴≤-⇔+≤-⇔≥对0x ∀>恒成立． 令ln 2()x x x ϕ+=，2ln 1()x x x ϕ--'=， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减；max 1()e x e ϕϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，a e ∴≥．1a >是a e ≥的必要不充分条件．故选：B ．点评：关键点睛：本题考查必要不充分条件的判断，解题的关键是求出()ln 1f x x =+，将()1f x ax ≤-恒成立等价于ln 2x a x+≥对0x ∀>恒成立，利用导数求最值. 9．已知OAB ，1OA =，2OB =，1OA OB ⋅=-，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 满足12OE ED =，则EO EA ⋅的值为（） A ．328- B ．121-C ．29-D ．221-答案：D【分析】作出图形，由平面向量数量积的定义及余弦定理可得OD =，再由平面向量数量积的运算律即可得解. 解：由题意，作出图形，如图，1OA =，2OB =，1OA OB ⋅=-12cos 2cos 1OA OB AOB AOB ∴⋅=⨯∠=∠=-，1cos 2AOB ∴∠=-， 由()0,AOB π∠∈可得23AOB π∠=， 222cos 7AB OA OB OA OB AOB ∴=+-⋅⋅⋅∠=又113sin 222AOB S OA OB AOB OD AB =⋅⋅⋅∠=⋅⋅=△，则37OD =， ()222232299721EO EA OE ED DA OE OD ∴⋅=-⋅+=-=-⋅=-⨯=-.故选：D ．10．函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[]0,2上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（） A ．[,2]ππB ．9,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．139,122ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．917,88ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：D【分析】设4t x πω=+，因为[]0,2x ∈，所以,244t ππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，即函数2sin y t =的图象在,244t ππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上恰有两个最大值点，结合正弦函数的图象可得答案.解：设4t x πω=+，因为[]0,2x ∈，所以,244t ππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[]0,2上恰有两个最大值点 即函数2sin y t =的图象在,244t ππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上恰有两个最大值点，如图则59 2,422πππω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，917,88πωπ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，故选：D．点评：关键点睛：本题考查根据正弦型函数的最值的个数求参数的范围，解答本题的关键是利用换元的思想，设4t xπω=+，将问题转化为函数2siny t=的图象在,244tππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上恰有两个最大值点，属于中档题.11．函数222,3()11,316x ax a xf xax x⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩，数列{}n a满足()na f n=，*n∈N，且为递增数列．则实数a的取值范围是（）A．()0,1B．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．53,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：B【分析】根据分段函数的特征，以及数列在*n N∈是单调递增数列，列式求解. 解：{}n a是单调递增数列，所以0a>，数列{}na是单调递增数列2233321142222316aaa a a⎧<<⎪⎪⇔⇔<<⎨⎪-⋅+<-⎪⎩.故选：B．点评：易错点点睛：本题考查分段函数的单调性和数列单调性的简单综合应用，本地的易错点是1n=和2n=时，数列的单调性，容易和函数222,3y x ax a x=-+<时函数单调性搞混，此时函数单调性和数列单调性的式子是不一样的，需注意这点.12．已知函数2()(2)x x f x e a e x =+--有两个零点，则实数a 取值范围是（） A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．(),1-∞ D ．(,1)-∞-答案：C【分析】函数2()(2)xx f x ea e x =+--有两个零点,即2x x a e xe -=-++，令()2x x g x e xe -=-++，求出导数，得到()g x 的单调性，从而得到答案.解：令2(2)02xx x x ea e x a e xe -+--=⇒=-++．即2x x a e xe -=-++有两个实数根，设()2xxg x e xe -=-++，即()2xxg x e xe-=-++的图象与y a =有两个交点.则21()(1)x xxxx e g x e x e e---'=-+-= 令2()1xh x x e=--单调递减.又(0)0h =，∴当(,0)x ∈-∞时，()0h x >，则()0g x '>，()g x 单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，()0h x <，则()0g x '<，()g x 单调递减.max ()(0)1g x g ∴==．又当x →-∞时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →-∞1a ∴<，故选：C ．点评：关键点睛：本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，解得本题的关键是将问题转化为2x x a e xe -=-++有两个实数根，即()2xxg x e xe -=-++的图象与y a =有两个交点,利用导数研究出()g x 的单调性，属于中档题. 二、填空题13．函数()sin 22f x x x =-的图象向右平移6π个单位长度得到()y g x =的图象．命题1p ：()y g x =的图象关于直线2x π=对称；命题2p ：,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()y g x =的一个对称中心．则在命题1q ：12p p ∨，2q ：()12p p ∧⌝，3q ：()()12p p ⌝∧⌝，4q ：()12p p ⌝∨中，是真命题的为________．答案：1q ，4q【分析】首先利用辅助角公式将函数化为()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由三角函数的图像变化规律求出()g x 的解析式，根据三角函数的性质判断1p 与2p 真假，再由复合命题的真假性判断即可得到答案.解：由()sin 22sin 23f x x x x π⎛⎫=+=-⎪⎝⎭， 则()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 由()2232x k k Z πππ-=+∈，解得()7212k x k Z ππ=+∈，显然2x π=不是()g x 对称轴，故1p 为假命题. 由()223x k k Z ππ-=∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，显然,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 对称中心，故2p 为真命题.故1p ⌝为真命题，2p ⌝为假命题，故112:q p p ∨为真命题；()212:q p p ∧⌝为假命题；()()312:q p p ⌝∧⌝为假命题；()412:q p p ⌝∨为真命题；故答案为：1q ，4q点评：关键点睛：本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假，解题的关键是熟记三角函数的性质以及复合命题真假判断，属于基础题. 14．已知角α的终边经过点(,6)P x --，且3cos 5α=-，则11sin tan αα+=________．答案：12-【分析】由题可判断角α的终边落在第三象限，求出4sin 5α=-，4tan 3α=即可得出.解：点P 的纵坐标为6-，且3cos 05α=-<． ∴角α的终边落在第三象限，4sin 5α∴=-，4tan 3α=115321sin tan 4442αα∴+=-+=-=-. 故答案为：12-.15．已知数列{}n a 满足()2*21232n n n a a aa n +=∈N ，数列{}n b 满足cos 2n n n b a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1232020b b b b ++++=________．答案：2022245-【分析】由题设可知当2n ≥时，2(1)(1)21212n n n a aa -+--=，两式作比，可求出数列{}n a 的通项公式为，进而求得2cos 2nn n b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由余弦函数的特点可知当n 为奇数时，0n b =；当42n k =+时，2n n b =-；当44n k =+时，2n n b =，再利用等比数列求和公式即得结果. 解：由题设22122n nn a aa +=，当2n ≥时，2(1)(1)21212n n n a aa -+--=． 2(2)n n a n ∴=≥，又12a =满足，2nn a ∴=，*n ∈N ．2cos 2n n n b π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭当n 为奇数时，0n b =；当42n k =+时，2n n b =-；当44n k =+时，2nn b =24682020123202022222b b b b ∴++++=-+-+++()2101010112022221(4)44245512⎡⎤----+-⎣⎦===--．故答案为：2022245-点评：易错点睛：本题考查数列求通项与等比数列求和，求数列通项公式常用的方法： （1）由n a 与前n 项和n S 的关系求通项公式，利用1(2)n n n a S S n -=-≥； （2）由n a 与前n 项积n T 的关系求通项公式，利用1(2)nn n a n T T -≥=；用这个方法一定要检验1n =时是否符合，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.16．已知函数111,22()1(2),262x x f x f x x ⎧--≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-的零点个数是________． 答案：7【分析】化简得出函数()f x 的表达式，函数()()1g x xf x =-的实数根的个数;即方程1()f x x=的实数根的个数，作出函数()f x 和1yx =的图象，结合函数图象可得出答案.解：当2x ≤时，()31212111122xx f x x x x -⎧⎪≤≤⎪=--=⎨+<⎪⎪⎩当24x <≤时，()12314(2)53424x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩当46x <≤时，()34518(2)75628x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩函数()()1g x xf x =-的实数根的个数;即方程1()f x x=的实数根的个数. 在同一坐标系中作出()y f x =与1y x=的图象， 由()()()11112424f f f ===，，，如图，函数()y f x =的图象与1y x =的图象有7个交点.所以函数()()1g x xf x =-的零点个数是：7 故答案为：7点评：关键点睛：本题考查函数的零点个数，解答本题的关键是得出函数函数()f x 的表达式，作出函数()f x 的图象，将问题转化为方程1()f x x=的实数根的个数，即函数()y f x =的图象与1y x=的图象的交点个数，数形结合可解，属于中档题.三、解答题17．已知函数()2()log 41()xf x kx k =++∈R 为偶函数． （1）求k 的值； （2）已知函数()()22f x xx g x m +=+⋅，[0,1]x ∈，若()g x 的最小值为1，求实数m 的值．答案：（1）1k =-；（2）1m =-．【分析】（1）由函数是偶函数根据()()f x f x -=即可求出；（2）令2x t =，则函数化为2()1h t t mt =++，[]1,2t ∈，根据二次函数的性质讨论对称轴范围即可求解.解：解析：（1）显然()f x 定义域为R ，()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，对x ∀<R恒成立， 即()()22og 41lo l g 41xx kx kx -+-=++对任意x ∈R 恒成立，()()2222412log 41log 41log log 4241x xxx x kx x ---+∴=+-+===-+，1k ∴=-．（2）由（1）知()421xxg x m =+⋅+，[]0,1x ∈，令2x t =，则[]1,2t ∈，原函数变为2()1h t t mt =++，[]1,2t ∈．①当12m-<，即2m >-时，min ()(1)21h t g m ==+=，1m ∴=-符合题意； ②当122m ≤-≤，即42m -≤≤-时，222min ()1112424m m mm h t g ⎛⎫=-=-+=-= ⎪⎝⎭， 0m ∴=（舍去）； ③22m->，即4m <-时，min ()(2)521h t g m ==+=，2m ∴=-（舍去）． 综上：1m =-．点评：关键点睛：本题考查已知函数最值求参数，解题的关键是将函数转化为2()1h t t mt =++，[]1,2t ∈，根据二次函数的性质求解.18．在ABC 中，ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，ABC 为锐角三角形，且满足条件cos sin 3a B A c +=． （1）求A ∠的大小；（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围． 答案：（1）3A π=；（2）(2,6⎤+⎦．【分析】（1）利用正弦定理和正弦函数的两角和公式进行求解即可； （2）利用正弦定理，作边化角，则可整理得，周长4sin 26B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可求解 解：解：（1）sin sin a bA B=，且sin sin a B b A =， cos sin a B A c ∴+=，即cos sin a B B c=，即sin cos sin sin A B A B C =． 即sin cos sin sin()sin cos cos sin 3A B A B A B A B A B +=+=+． 即sin sin cos sin 3A B AB =，即tan A = 因为()0,A π∈，3A π∴=．（2）sin sin sin ab cA B C ===，sin 3b B ∴=，c C =， ∴周长2sin 2(sin sin )2sin sin 233333B C B C B B π⎡⎤⎛⎫=++=++=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，131sin cos sin 2sin cos 24sin cos 232232222B B B B B B B ⎫⎫⎛⎫=+++=++=⋅+⋅+⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4sin 26B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．又ABC 为锐角三角形，,62B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 6B π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，∴周长的范围为(2,6⎤⎦．点评：关键点睛：解题关键在于利用正弦定理作边化角，再利用正弦的两角和与差的公式进行化简求解，主要考查学生的运算能力，难度属于中档题19．已知2()3f x x x =-，数列{}n a 前n 项和为n S ，且()n S f n =．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 满足43nn na b =⨯，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对于任意*n ∈N ，总存在[]4,6x ∈，使得()n T mf x >成立，求实数m 的取值范围． 答案：（1）24n a n =-；（2）1,108． 【分析】（1）本题首先可根据题意得出23n S n n =-，然后通过1n n n a S S -=-即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）本题首先可根据24n a n =-得出223n nn b -=⨯，然后根据1160b =-<、20b =以及当3n ≥时0n b >得出n T 的最小值为16-，再然后将()n T mf x >转化为[]min 1()6mf x ->，最后分为0m ≥、0m <两种情况进行讨论，即可得出结果. 解：（1）因为2()3f x x x =-，()n S f n =，所以23n S n n =-，当2n ≥时，()()21131n S n n -=---，124n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，112a S ==-，也满足24n a n =-， 故24n a n =-.（2）因为24n a n =-，43nn na b =⨯， 所以2424323n n nn n b --==⨯⨯，1160b =-<，20b =，当3n ≥时，0n b >， 故12T T =，为n T 的最小值，n T 的最小值为16-，因为对于任意*n ∈N ，总存在[]4,6x ∈，使得()n T mf x >成立，所以[]min 1()6mf x ->， 因为[]4,6x ∈，2239()324f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以[]()4,18f x ∈， 当0m ≥时，显然[]min 1()6mf x ->不成立； 当0m <时，[]min 1()6mf x ->，即1186m ->，解得1108m <-，故实数m 的取值范围为1,108. 点评：本题考查数列通项公式的求法以及数列前n 项和的最值的求法，可根据n a 与n S 之间的关系求通项公式，在计算时要注意1n =时是否满足求出的通项公式，考查区间内函数值域的求法，考查计算能力，是难题.20．一根长为L 的铁棒AB 欲水平通过如图所示的走廊（假定通过时贴着内侧的圆弧墙壁，如图），该走廊由宽度为1m 的平行部分和一个半径为2m 的四分之一圆弧转角部分（弧CD 段，圆心为O ）组成．（1）设TOS θ∠=，试将L 表示为θ的函数； （2）求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义． 答案：（1）3(sin cos )20,sin cos 2θθπθθθ+-⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ；（2）624；意义是能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为()624m ．【分析】（1）如图，过T 作TM OC ⊥于M ，过B 作BG TM ⊥于G ，利用三角函数，求解即可；（2）设sin cos 24x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则有21sin cos 2x θθ-=，可得函数(()223264()211x x L x x x x --==∈--，进而利用导数求出最值解：解析：（1）如图，过T 作TM OC ⊥于M ，过B 作BG TM ⊥于G ，2cos OM θ=，32cos BG θ=-，32cos sin BT θθ-=.同理32sin AN θ=-，32sin cos AT θθ-=．32cos 32sin 3(sin cos )20,sin cos sin cos 2L AT BT θθθθπθθθθθ--+-⎛⎫⎛⎫∴=+=+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）设sin cos 24x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(2x ⎤∴∈⎦．21sin cos 2x θθ-=，(()223264()211x x L x x x x --∴==∈-- ()()222686()01x x L x x--+'=<-，()L x ∴在(2上单调递减min ()(2)624L x L ∴==．则L 最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过()624m ，否则铁棒无法通过，也就说能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为()624m ．点评：关键点睛：（1）解题的关键在于作出直角，利用三角函数进行求解（2）解题关键在于，设sin cos 24x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，得函数(()223264()211x x L x x x x --==∈--，进而利用导数求出最值； 本题难度属于基础题 21．函数21()ln ()2f x x x ax a =++∈R ，23()2x g x e x =+ （1）讨论()f x 在区间(0,2)上极值点个数；（2）若对于0x ∀>，总有()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围． 答案：（1）答案见解析；（2）1a e ≤+．【分析】（1）求()f x 的导数()f x '，讨论a 的值得出()f x '的正负情况，判断()f x 的单调性和极值点问题；（2）()()f x g x ≤等价于2ln x e x x ax -+≥，由0x >，利用分离常数法求出a 的表达式，再构造函数求最值即可求出结果.解：解析：（1）由题意得211()x ax f x x a x x++'=++=．设()21x x ax ϕ=++，其24a ∆=-，对称轴方程为2ax =-，()0=1ϕ 若()210x x ax ϕ=++≥在(0,2)恒成立，即1a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭当(0,2)x ∈时，12x x+≥（当且仅当1x =时取等号）， 即2a ≥-时，()210x x ax ϕ=++≥在(0,2)恒成立，所以此时()0f x '≥恒成立，此时()f x 在(0,2)单调递增，无极值点，当2a <-时，02ax =->，由()010ϕ=> 若()2520a ϕ=+<，即52a <-，所以方程210x ax ++=在(0,2)上有唯一实根0x此时可得()f x 在()00,x 单调递增，()02x ,单调递减，函数()f x 有一个极值点． 当52a =-时，方程2251102x ax x x ++=-+=在(0,2)上有唯一实数根12x = 此时可得()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，函数()f x 有一个极值点． 若022a<-<，()2520a ϕ=+>且240a ∆=->，即522a -<<-时方程210x ax ++=在(0,2)有两个相异的根1x ，()212x x x <，此时()f x 在()10,x 单调递增，()12,x x 单调递减，()2,2x 单调递增，有两个极值点． 综上：当2a ≥-时，无极值点． 当52a ≤-时，1个极值点． 当522a -<<-时，2个极值点．（2）()()f x g x ≤即2ln xe x x ax -+≥，0x，即2ln (0)x e x xa x x+-≤>恒成立令2ln ()(0)x e x xx x x ϕ+-=>，2(1)ln (1)(1)()x e x x x x x xϕ-+++-'=． 0x，(0,1)x ∴∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ∴单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ∴单调递增．min ()(1)1x e ϕϕ∴==+，1a e ∴≤+．点评：关键点睛：本题考查含参数的极值的讨论和根据恒成立求参数范围，解答本题的关键是讨论()210x x ax ϕ=++≥在(0,2)上零点的个数，从而得出函数的单调性，()()f x g x ≤恒成立，即转化为2ln (0)x e x xa x x +-≤>恒成立，进一步转化为求2ln ()(0)x e x xx x xϕ+-=>的最小值，属于中档题.22．若不等式(1)ln 1k x x x -≥+对于[1,)x ∀∈+∞恒成立； （1）求实数k 的取值范围； （2）已知ln ()xf x x=，若()f x m =有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <．求证：123x x e m+>-（其中e 为自然对数的底数） 答案：（1）k 2≤；（2）证明见解析.【分析】（1）令1()ln 1x h x x k x -=-+，求导222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x --+'=-=++，然后令2()2(1)1x x k x ϕ=--+，利用二次函数的性质进行求解即可 （2）根据题意，把问题转化，令ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=，然后，得出()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞单调递减，且当x →+∞时，()0f x →，1(1,)x e ∴∈，2(,)x e ∈+∞，进而得出222(3)0mx me x e +-+>①，和211(3)0mx me x e +-+<②，进而利用①-②，可求解解：解析：（1）令1()ln 1x h x x kx -=-+，(1)0h =，222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x --+'=-=++ 令2()2(1)1x x k x ϕ=--+，当k 2≤时，(1)420k ϕ=-≥，且对称轴11x k =-≤，所以当1≥x 时，'()0h x ≥，()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以()(1)h x h ≥，所以(1)ln 1k x x x -≥+ 当2k >时，(1)420k ϕ=-<，则必存在0x 使得()h x 在()01,x 上单调递减，又(1)0h =，所以不符合题意， 综上：k 2≤（2）()f x m =有两个不同的零点，即1212ln ln x x m x x ==，11ln x mx ∴=，22ln x mx =． 又ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=， ()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞单调递减，且当x →+∞时，()0f x →， 1(1,)x e ∴∈，2(,)x e ∈+∞．由（1）知，当1≥x 时，2(1)ln 1x x x -≥+， 2x e >，21x e ∴>，22221ln 1x x e x e e⎛⎫- ⎪⎝⎭∴>+，即()2222ln 1x e x x e -->+，又22ln x mx =．()()()22212mx x e x e ∴-+>-，222(3)0mx me x e ∴+-+>① 同理：11121ln 1x e e x e x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，即()11121ln e x x e x -->+，()()()11112mx e x e x -+>-，211(3)0mx me x e ∴+-+<②①-②得()()222121(3)0m x x me x x -+-->，即()()2112(3)0x x m x x me -++->⎡⎤⎣⎦210x x ->，()123m x x me ∴+>-，123x x e m∴+>-，得证． 点评：关键点睛：（1）解题的关键在于令1()ln 1x h x x kx -=-+后，通过导数进行判断()h x 的单调性，进而求解；（2）解题的关键在于利用()f x m =有两个不同的零点，即1212ln ln x x m x x ==，得到11ln x mx =，22ln x mx =，进而设出ln ()x f x x=，进而可求解；本题的难度属于困难。
安徽省江淮十校2021届高三数学8月联考试题 理 替(1)
安徽省江淮十校2021届高三8月联考数学理试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份．总分值150分，时刻120分钟．2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每一个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 设集合{}|3213A x x =-≤-≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，那么A B =（ ）A.（1，2）B.[1，2]C.[ 1，2）D.（1，2 ]2. 已知i 是虚数单位，a R ∈，那么“1a =”是“2()2a i i +=”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分没必要要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也没必要要条件3. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，那么实数=a （ ） A. 2B.26C.25D. 1 4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出i 的值为 A ．3B ．4C ．5D ．65. 已知直线()()12:120,:2130l a x ay l ax a y -+-=+++=，若12l l ⊥,那么a 的值为 A ．0B ．2-C ．2-或0D ．0或26. 设对任意实数[]1,1x ∈-，不等式230x ax a +-<总成立．那么实数a 的取值范围是( ) A ．0a >B ．12a >C ．14a >D ．012a a ><-或7. 设357log 6,log 10,log 14a b c ===，那么 （ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ． c b a >>第4题图8. 已知直线:0l Ax By C ++=（220A B +≠不全为0），两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，假设1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++<++，那么直线l ( )A ．与直线12P P 不相交B ．与线段21P P 的延长线相交C ．与线段12P P 的延长线相交D ．与线段12P P 相交 9. 已知某几何体的三视图(单位:cm)如下图,那么该几何体的体积是（ ） A ．108cm 3 B ．100 cm 3C ．92cmD ．84cm 310. 在面积为6的Rt△ABC 中，90C ︒∠=,AB 在AC 上的投影为3，P 为线段AB 上的动点，且知足 ,||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅则xy 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.11. 假设将函数()sin cos f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于原点对称，那么ϕ的最小正值是 12.概念在R 上的奇函数()f x 知足(4)()f x f x +=，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，那么_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛f f 13.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，若51020,,a a a 三项成等比数列，那么此等比数列的公 比为 .14. 已知变量x ，y 知足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，假设目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，那么a 的取值范围为_____．15. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 别离为棱1DD ，AB 上的点．以下说法正确的选项是__________.（填上所有正确命题的序号） ①1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；第15题图第9题图xyABC O③1B EF △在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形； ④当,E F 为中点时，平面1B EF 截该正方体所得的截面图形是五边形； ⑤当,E F 为中点时，平面1B EF 与棱AD 交于点P ，那么23AP =． 三、解答题：本大题共6小题，计75分.解许诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤.把答案填在答题卡的相应位置.16. 如图，点A ,B 是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3π到OB .（Ⅰ）假设点A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点B 的横坐标； （Ⅱ）求BC 的取值范围.17.（本小题12分）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平常成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组第四组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，方图的一[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率散布直部份，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列.（Ⅰ）请在图中补全频率散布直方图；（Ⅱ）假设B 大学决定在成绩高的第4，5组顶用 分层抽样的方式抽取6名学生，而且分成2组，每组3人进行面试，求95分（包括95分）以上的同窗被分在同一个小组的概率. 18.（本小题12分）如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于点A 、B 的一点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2.（Ⅰ）求证：EA EC ⊥（Ⅱ）设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ，EF=1， 求三棱锥E-ADF 的体积.19.（本小题12分）已知数列{}n a 知足：12a =，23a =，1123(2)n n n a a a n +-=-≥， （Ⅰ）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列； （Ⅱ）求使不等式123n n a m a m +-<-成立的所有正整数m n 、的值．20. （本小题13分）如图，已知圆22:1O x y +=与x 轴交于A 、B 两点、与y 轴交于点C ，M 是圆O 上任意一点（除去圆O 与坐标轴的交点）.直线AM 与BC 交于点P ，CM 交x轴于点N ，设直线PM 、PN 的斜率别离为m 、n ， （Ⅰ）试求点M 、N 坐标（可用m 、n 表示） （Ⅱ）求证：2m n -为定值.21. （本小题14分）设关于x 的方程210x mx --=有两个实根,()αβαβ<，函数22()1x mf x x -=+. （Ⅰ）求证：不论m 取何值，总有()1f αα=；（Ⅱ）判定()f x 在区间(,)αβ的单调性，并加以证明； （Ⅲ）若,λμ均为正实数，证明：|()()|||f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++.安徽省江淮十校教育研究会2021年高二联考 数学（理科）答案第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.1. D2.A3. D4. B5. C6. B7. A8. B9. B 10. C. 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分 11.4π 12. 516 13. 2 14. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15. ②③④⑤三、解答题:本大题共6小题，计75分.解许诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤 16. （I ）由三角函数概念知， 34cos ,sin .55αα== ………………………（2分） ,3COB πα∠=+343cos()cos cos sin sin .33310πππααα-∴+=-=………（5分） 因此点B 的横坐标34310-. ………………………（6分） （II ）222cos()3BCπα=-+， ………………………（9分)02πα<<，5336πππα∴<+<， 31cos()(,)322πα∴+∈-，2(1,23)BC ∴∈+， 621,2BC ⎛⎫+∴∈ ⎪⎝⎭. …………………（12分）17.（本小题12分）（Ⅰ）由图象可知第五组为:0.02530030⨯⨯=人， 第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以30分为首项，总和为300的等差数列,因此第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是30人,45人,60人,75人,90人. 那么绘制的频率散布直方图如右图所示.………….6分（Ⅱ）第四组中抽取人数：660490⨯=人，第五组中抽取人数：630290⨯=人，因此两组共6人.设第四组抽取的四人为1234,,,A A A A ，第五组抽取的2人为12,B B ，这六人分成两组有两种情形，情形一：12,B B 在同一小组：123412(,,),(,,)A A A A B B ；124312(,,),(,,)A A A A B B ；134212(,,),(,,)A A A A B B ；234112(,,),(,,)A A A A B B ，共有4种可能结果，情形二：12,B B 不在同一小组：112234(,,),(,,)B A A B A A ；113224(,,),(,,)B A A B A A ；114223(,,),(,,)B A A B A A ；123214(,,),(,,)B A A B A A ；124213(,,),(,,)B A A B A A ；134212(,,),(,,)B A A B A A ，共有6种可能结果，两种情形总共10种可能结果，因此两人被分在一组的概率为42105=. ….12分 另解：两人被分在一组的概率为1433632225C P C C A ==.（此法亦可相应给分）18.（本小题12分） (Ⅰ)证明：矩形ABCD ⊥面ABE ， CB ⊂面ABCD且CB ⊥AB∴CB ⊥面ABE ，从而AE ⊥BC ①………3.分又在半圆ABE 中，AB 为直径，∴90AEB ∠= 即AE ⊥BE ②由①②知：AE ⊥面BCE ，故有：EA EC ⊥， ……………………….…6分 (Ⅱ)AB//CD, ∴ AB//面DCE.又面DCE面ABE=EF,∴AB//EF在等腰梯形ABEF 中，EF=1，AF=1，120AFE ∠=，………………….…9分∴13sin12024S EF AF =⨯⨯⨯=，11133E ADFD AEF AEF AD VV S --∆==⨯⨯==. …………………12分 19.（本小题12分）解：（Ⅰ）由1123(2)n n n a a a n +-=-≥得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥， 则1{}n n a a +-是以211a a -=为首项，以12为公比的等比数列 .... ……… .........4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：211()2n n n a a ---=，累加可得214()2n n a -=-.........................8分则123n n a m a m +-<-即为：2114()22134()2n n m m ----<--，显然4m ≥时无解，那么易求得123,,11 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩..................................................12分 注：假设由123nn a m a m +-<-取得()()132n n a m a m +-<-即1n m a ->亦即3142n m -⎛⎫>- ⎪⎝⎭，从而得出结果*4312,,1112m m m m n n n n N ≥===⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===∈⎩⎩⎩⎩，或可酌情给分. 20. （本小题13分）解：（I ） 直线AM 的方程为：(1)(0,1)y m x m =+≠±与 22:1O x y +=联立得22212(,)11m mM m m -++………………………………………………………………….3分 由22212(0,1),(,),(,0)11m m C M N x m m -++三点共线，得出1(,0)1mN m+-……………......…6分 （Ⅱ）.将直线BC 的直线方程1x y +=与(1)(0,1)y m x m =+≠±联立得12(,)11m m P m m-++…………………………………………………………………...8分 故有22202(1)1111(1)(1)211PN mm m m m n k m m m m m m---+====-+--+-+-………………………….11分 即：21m n -=………………………………………………………………………….13分 21. （本小题14分）解: (Ⅰ)∵,αβ是方程210x mx --=的两个根， ∴,1m αβαβ+==-，∴2222()1()1()m f αααβαβααααβααβα--+-====+-- ，∴()1f αα=……………………………………………………… （4分）（Ⅱ）∵222222(1)2()()()(1)(1)x mx x x f x x x αβ----'=-=-++， 当(,)x αβ∈时，()0f x '>，∴()f x 在(,)αβ上单调递增．（此处用概念证明亦可）…（8分）（Ⅲ）∵()0λαμβμβααλμλμ+--=>++，同理可证：λαμβαβλμ+<<+∴由（Ⅱ）可知：()()()f f f λαμβαβλμ+<<+，()()()f f f μαλβαβλμ+<<+，∴|()()||()()|f f f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++， ……………………………（12分）由（Ⅰ）可知，1()f αα=，1()f ββ=，1αβ=-，∴11|()()|||||||f f βααβαβαβαβ--=-==-， ∴|()()|||f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++．……………………………………（14分）。
安徽省江淮十校高三数学第二次联考试题理(2021年整理)
安徽省江淮十校2018届高三数学第二次联考试题理
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安徽省江淮十校2018届高三数学第二次联考试题理。
安徽省江淮名校2021届高三第二次联考数学(理)试题 Word版含答案
安徽省江淮名校 2021届高三其次次联考数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间：120分钟。
考生务必将答案答在答题卷上，在试卷上作答无效。
考试结束后只交答题卷。
第I 卷 （选择题共50分）一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．已知集合{}{}||2,,2,A x x x R B x x z=≤∈=∈，则AB =（ ）A ．（0,2）B ．[0，2]C ．{0,2}D ．{0,l,2}．2．复数21ii -在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()sin (,0)f x x x R ωω=∈>的最小正周期为π，为了得到函数()sin()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ． 向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度4．已知等差数列{a n }的前n 项之和是S n ，则－a m <a 1<－a m+l 是S m >0，S m+1<0的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不毖要5．244(2cos tan )2xx dx ππ+⎰A ．22π+B 2C ．2πD ．2π+6．若非零向量,a b ，满足||||a b b +=，则（ ）A ．|2 a |>|2 a + b |B ．|2 a |<|2 a + b |C ．|2 b |>|a + 2b |D ．|2 b |<|a + 2b |7．已知函数()xf x a x b =+-，的零点0(,1)()x n n n Z ∈+∈，其中常数a ，b 满足2a =3，3b =2，则n 的值是（ ） A ．－2 B ．－l C ．0 D ．1 8．已知数列{a n }的前n 项之和是S n ，且4S n =（a n +1）2，则下列说法正确的是 A ．数列{a n }为等差数列 B ．数列{a n }为等差或等比数列 C ．数列{a n }为等比数列 D ．数列{a n }可能既不是等差数列也不是等比数列 9．平面对量,a b 满足|3,a b |≤4，则向量,a b 的最小值为A ．43 B ．－43 C ． 34 D ．－ 3410．已知G 点为△ABC 的重心，且AG BG ⊥，若112tan tan tan A B C λ+=，则实数λ的值为A ．1B ．23C ．25D ． 27第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置，） 11．命题”存在x 0>一1，2x +x 0 －2022>0”的否定是12．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y=lo 1223,,xy x y ==⎝⎭，的图像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A 点的纵坐标是2，则D 点的坐标是 。
安徽省江淮十校2024届高三11月第二次联考试题数学试卷及答案
2023.11江淮十校2024届高三第二次联考数学试题注意事项：1本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1已知为虚数单位，复数z满足z (l + 2i )-1 +i =0,则；＝1 3._ 1 3._ 1 3... 1 3B.－－+－1C.-＋－1555555552已知集合A={xeZ 忙－3<0}，集合B=｛Y I Y=2x ,XE A }，则A 「B =A.(0，石）B.{1,2}c.{1,0}o .{l }3已知点G是6.ABC 的重心，GA=a,GB=b,则BC=A.a+2bB.2a+bc.-2a -b D.-a-2b4已知幕函数f(x)＝（矿－5m+5)义”一2是R 上的偶函数，且函数g (x )= f (x)-(2a -6)x在区间[1,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是A.（女，4)B.(-00,4]c.[6，如）D （女，4］....[6，如）5已知等差数列{a,,}的前n项和为S,＇，若＆＝4a 2 -4, S 5 = 65,则使S,,>0成立的n的最大值为A.16B.17C.18D.196已知角0为第二象限角，且满足sin (e －气］•s i n（冗＋0)=cos20,则tan0=A.石－扣2打-2石BC.一石－汇2 D.一石－打27．在正四棱台ABCD-A,B,C 1D 1中，CD=2C,队＝2,点0是底面ABCD的中心，若该四棱台的侧面积为顷，则异面宜线0C 1与BB 1所成角的余弦值为7 3 5扣A -B . -C . -D —8 4888已知函数f(x)＝｛臣－11,x,,l，若函数y=f(x)-a(aeR)有四个不同的零点斗，x,'x,'x,且压（x -1)1,x >1x < X i < X 3 < X 4'则（2"'+2"')a+1的取值范围是伈－l )(x 4-l)a A.(0,3)B.[2✓2,3) c.[ 2石，＋OO ） D (3，如）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．冗冗9已知X,YE (－了万）且sinx>s iny,则下列不等关系一定成立的是A.lg(x-y)>O B (i)x <（i)y C.x 2> y2D.tan(兀+x)>tany10在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，儿'\=2AB, E, F分别为棱AB,CC 1的中点，则下列判断正确的是A且线EF与宜线DD 1互为异面宜线B.B 1D.l平面D 1EFC 平面D l EF截该四棱柱得到的截面是五边形D平面D l EF与棱BC的交点是棱BC的中点l)将函数y = s in2wx(O < w < l )的图象向左平移工－个单位可得到函数y=f(x)的图象，若y=f(x)在区6m 间（冗，2兀）内有最值，则实数0的取值范围可能为A（古告）B［会令）C（如五）D（且］）n+3l2已知数列{a,，}的前n项和为S,｝，且S,,＝l2-—,n为奇数2 一，n为偶数A.a lO =-11B当n为奇数时，a,,=-n-1c．当n为偶数时，a,,=n+lD数列｛的前n项和等千－a,a1+l } 2(n+2)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分则下列判断正确的是13已知平面向量a,b满足a=(l,2)，叫＝2,a.1(a+2E)，则向量a,b夹角的余弦值为14已知a>-1,b>O且2a+b=2,则a+2b+l 4＋－的最小值为a+l bl5内接于球0的四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，四条侧棱均相等，AB/I CD, AB=4, CD=2, AD＝而，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为工，则球0的表面积为16设正整数n满足不等式(1+log22023)加1> (ln)1o g,202J,则n的最小值等千四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）( )｝，函数f(x)=2✓3已知梊合A=｛正＋釭－3矿，，O(a> o)}, jigJ� f(x) =s inxcos.x+2co s2x(x E R)的值域为梊合B （l)当a=2时，求A�B;(2)若“XEA"是“XEB"的充分不必要条件，求正数a的取值范围18.（本小题满分12分）已知函数f(x)=m x+l _2（其中m>O且m司，n>O)是奇函数m-'+n（l)求m,n的值并判断函数y=f(x)的单调性；(2)已知二次函数g(x)=ax2 +bx+c满足g(2+x)=g(2-x)，且其最小值为－3若对Vx1E[-1,2)，都还心］，使得瓜）＝g(l og凸）成立，求实数a的取值范围19（本小题满分12分）在锐角L::,ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b, c, 0为其外接圆的圆心，了5．冗8=8'叫上十上尸tanA tanB J b(I)求A的大小；(2)若CE[巴卫］，求边长b的最值．4 320.（本小题满分12分）冗如图(1)，在边长为4的菱形ABCD中，乙BAD=－，点E是边BC的中点，连DE交对角线AC千点F,3将i:::,.ABD沿对角线BD折起得到如图(2)所示的三棱锥P-BCD1(I)点G是边PD上一点且PG=-G D，连FG,求证：FG/／平面PBC;22冗(2)若二面角P-BD-C的大小为一－，求二而角P-DE-C的正弦值3Cc。
2021届江淮十校联考新高考原创预测试卷(二)理科数学
2021届江淮十校联考新高考原创预测试卷（二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D.}{23x x <<【答案】C 【解析】 分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.12i12i+=- A. 43i 55--B. 43i 55-+C. 34i 55--D. 34i 55-+【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 3.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.4.若1sin 3α=，则cos2α= A.89 B.79C. 79-D. 89-【答案】B 【解析】【详解】分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.详解：227cos2α12199sin α=-=-= 故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A. 12- B. 10-C. 10D. 12【答案】B 【解析】分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得32433(32)224222d d d ⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果.6.设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确是（ ） A. 1433AD AB AC =-+ B. 1433AD AB AC =- C. 4133AD AB AC =+ D. 4133AD AB AC =- 【答案】A 【解析】【详解】∵3BC CD = ∴AC −AB =3(AD −AC )；∴AD =43AC −13AB . 故选A.7.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 8.已知(0,)2πα∈，111sin()63απ+=，则sin α=（ ）A.6B.16+ C.6D.16+ 【答案】C 【解析】由题意可得：111sin sin 663παπα⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,,,2663ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可得：11cos 63απ⎛⎫+==⎪⎝⎭， 结合两角和差正余弦公式有：322sin sin sin cos cos sin 6666666ππππππαααα⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题选择C 选项.9.函数cos y x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】由于()()cos ,cos f x x x f x x x =+∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-， 故此函数是非奇非偶函数，排除,A C ；又当2x π=时，满足cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ， 故选B ． 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除10.函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】2A = ,22T π= ，T π= ,2ω= ,203πϕ⨯+= ,解得：23πϕ=- ，所以()22cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，22222236123x x x πππππ⎛⎫-=-+=+- ⎪⎝⎭ ，根据平移原则，可知函数向左平移12π个单位，故选B.11.已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）【答案】C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.12.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N *≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A. 672 B. 673 C. 1346 D. 2019【答案】C 【解析】 【分析】求出已知数列除以2所得的余数，归纳可得{}n a 是周期为3的周期数列，求出一个周期中三项和，从而可得结果.【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数， 可得{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...， 所以{}n a 是周期为3的周期数列， 一个周期中三项和为1102++=， 因为20196733=⨯，所以数列{}n a 的前2019项的和为67321346⨯=， 故选C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，考查了递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.第Ⅱ卷（非选择题共85分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13.已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2c a b ∥+，则λ=________． 【答案】12【解析】 【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b + ()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为12【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．14.若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = ． 【答案】1 【解析】试题分析：由函数()ln(f x x x =为偶函数⇒函数()ln(g x x =为奇函数，(0)ln 01g a a ==⇒=．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数()ln(f x x x =为偶函数转化为函数()ln(g x x =为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取(0)ln 01g a a ==⇒=． 【此处有视频，请去附件查看】15.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________． 【答案】1213. 【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．16.在平面边形ABCD中，12AB AC BD BC BD BC ==⊥=，，，则AD 的最小值为_____.【解析】分析：作出图形，以BAC ∠为变量，在ABD ∆和ABC ∆中，分别利用余弦定理和正弦定理将AD 表示为关于BAC ∠的函数，再利用三角恒等变换和三角函数的最值进行求解．详解：设BAC θ∠=，在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin BC AC ABC θ=∠，即5sin sin BC ABCθ=∠， 即sin 5sin BC ABC θ⋅∠=， 由余弦定理，得2625cos BC θ=-； 在ABD ∆中，由余弦定理，得2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠，2144sin BC BC ABC =++∠2585cos 45sin θθ=-+2520sin()θϕ=+-，其中tan 2ϕ=，则25AD ≥，即AD 的最小值为5．点睛：（1）解决本题的关键是合理选择BAC ∠为自变量，再在ABC ∆和ABD ∆中，利用正弦定理、余弦定理进行求解；（2）利用三角恒等变换和三角函数的性质求最值时，往往用到如下辅助角公式：22sin cos )a b a b αααϕ+=++，其中tan baϕ=． 三、解答题（本大题共6个小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =33ABC S ∆=ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=（2）57【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.18.已知(2cos ,sin cos )a x x x =-，(3sin ,sin cos )b x x x =+，记函数()f x a b =⋅. （1）求()f x 的表达式，以及()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC ∆三内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，若a b +=c =()2f C =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()f x 最大时对应x 的集合为|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积坐标运算及三角恒等变换得()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质，即可求出()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）先求C ，再利用斜弦定理和三角形面积公式，求出三角形的面积. 【详解】（1）()2223sin cos sin cos f x a b x x x x =⋅=+-2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当()2262x k k Z πππ-=+∈时，()max 2f x =，对应x 的集合为|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. （2）由()2f C =，得2sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0C π<<，∴112666C πππ-<-<，∴262C ππ-=， 解得3C π=，又∵a b +=c =222c a b ab =+-， ∴1236ab -=，即2ab =，由面积公式得ABC ∆面积为122ABC S ∆=⨯=. 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算、三角函数的图象与性质、余弦定理和面积公式的应用，考查运算求解能力.19.已知0a >，设命题p ：实数满足22430x ax a -+<，命题q ：实数满足302x x-≥-． （1）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2,3（2）12a <≤ 【解析】 分析】（1）若1a =，分别求出,p q 成立的等价条件，利用p q ∧为真命题，求出x 的取值范围； （2）利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【详解】由22430x ax a -+<，0a ≠得()()30x a x a --<， （1）若1a =，则p ：13x <<，若p q ∧为真，则p ，q 同时为真， 即2313x x <≤⎧⎨<<⎩，解得23x <<，∴实数x 的取值范围()2,3. （2）由302x x-≥-，得302x x -≤-，解得23x <≤. 即q ：23x <≤.若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， 则必有0a >，此时p ：3a x a <<，0a >.则有332a a >⎧⎨≤⎩，即12a a >⎧⎨≤⎩，解得12a <≤.【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件是解决本题的关键.20. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （1）当0≤x≤200时，求函数v （x ）的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f （x ）=x•v（x ）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）． 【答案】（1）（2）3333辆/小时 【解析】（1）由题意：当0≤x≤20时，v （x ）=60；当20＜x≤200时，设v （x ）=ax+b再由已知得，解得故函数v （x ）的表达式为（2）依题并由（1）可得当0≤x＜20时，f （x ）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200 当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x ，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f （x ）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f （x ）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． 答：（1）函数v （x ）的表达式（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．21.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >且()2*2n n n S a a n N =+∈.（1）求1a ，2a ；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令()12n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）11a =，22a =（2）n a n =（3）()()3234212n n n +-++ 【解析】 【分析】（1）把1n =，2n =分别代入递推关系()2*2n n n S a a n N=+∈，求得1a ，2a 的值；（2）利用1(2)n n n a S S n -=-≥得到n a 的递推关系11n n a a -=+，进而求得{}n a 的通项公式； （3）求出通项公式()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项相消法求得n T .【详解】（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =，当2n =时，2222222220S a a a a =+⇒--=，解得：22a =或21a =-（舍去），所以11a =，22a =.（2）当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a aa S S ---++=-=-，即()()11110n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-（舍去）或11n n a a -=+， ∴n a n =.（3）∵n a n =，∴()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，111111123242n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()1111323122124212n n n n n +⎡⎤=+--=-⎢⎥++++⎣⎦. 【点睛】本题考查利用数列递推关系求12,a a 、数列通项公式、数列前n 项和等知识，考查从特殊到一般的思想和基本量法的应用，注意在利用递推关系时，2n ≥这一限制条件. 22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--. （1）当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； （2）令()()()21032aF x f x ax bx x x=+++<≤其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值【答案】（1）34-（2）12a ≥（3）12m = 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 进行求导，判断其在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，从而得到最大值为(1)f ；（2）求出函数()ln a F x x x =+，(]0,3x ∈，则其导数小于等于12在03x <≤恒成立，进而求出a 的取值范围；（3）方程22ln 20x m x mx --=有唯一实数解，设()22ln 2g x x m x mx =--，利用导数研究函数()g x 的图象特征，设2x 为方程的唯一解，得到()()220'0g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，把方程组转化成222ln 0m x mx m +-=，再利用导数研究该方程的根，最后根据根的唯一性，得到2x 与m 的关系，再求出正数m 的值.【详解】（1）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， 令()()()21111'0222x x f x x x x-+-=--==，解得1x =. 当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减. 所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值. （2）()ln a F x x x=+，(]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，所以200max12a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，20012x x -+取得最大值12，所以12a ≥. （3）因为方程()22mf x x =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解，设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222'x mx mg x x--=.令()'0g x =，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<（舍去），2x = 当()20,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()20,x 上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 在()2,x +∞上单调递增， 当2x x =时，()2'0g x =，()g x 取最小值()2g x .则()()220'0g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩，所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10(*)x x +-= 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，又()10h =，所以方程(*)的解为21x =1=，解得12m =.【点睛】本题考查函数与导数的应用，即利用导数研究函数的最值、函数的单调性，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，求解第（3）问的关键在于方程根唯一性的理解，从而得到关于m 的方程.。