6.2平面向量的运算第二课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义
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第六章平面向量及其应用
6.2平面向量的运算
第2课时 向量的数乘运算
【课程标准】
1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义。
2.了解平面向量的线性运算性及其几何意义。
3.掌握平面向量基本定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
【知识要点归纳】
1．数乘向量
(1)定义：
三．解答题（共1小题）
7．已知平行四边形 中，若 是该平面上任意一点，则满足 ．
（1）若 是 的中点，求 的值；
（2）若 、 、 三点共线，求证： ．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．如图，在平行四边形 中， 是 的中点， 是线段 上靠近点 的三等分点，则
A． B． C． D．
【分析】利用平面向量的基本定理，用 和 线性表示 向量即可．
三．解答题（共1小题）
7．已知平行四边形 中，若 是该平面上任意一点，则满足 ．
（1）若 是 的中点，求 的值；
（2）若 、 、 三点共线，求证： ．
【分析】（1） 是 的中点时，可得出 ，从而根据平面向量基本定理得出 ；
（2）根据 ， ， 三点共线可得出 与 共线，从而得出 ，进而得出 ，这样根据平面向量基本定理即可得出 ．
【解答】解：（1）若 是 的中点，则 ，
又பைடு நூலகம்，
根据平面向量基本定理得， ，
；
（2）证明： ， ， 三点共线，
和 共线，
存在实数 ，使 ，
，
，
又 ，
根据平面向量基本定理得， ．
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，共线向量和平面向量基本定理，以及向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算和推理能力，属于基础题．
6．在平行四边形 中， ，则 （用 表示）．
【分析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由 得 ，利用向量的三角形法则得 ，且 ，最后将左式的两个向量都用用 表示即得．
【解答】解：由 得 ，且 ，
又 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考点是向量加减混合运算及其几何意义，考查了向量加法与减法法则，解题的关键是熟练掌握向量加减法的法则，根据图象将所研究的向量用基向量表示出来，本题考查数形结合的思想，是向量在几何中运用的基础题型．
例5．如图，已知 中， 为 的中点， ， ， 交于点 ，设 ， ．
（1）用 ， 分别表示向量 ， ；
（2）若 ，求实数 的值．
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．如图，在平行四边形 中， 是 的中点， 是线段 上靠近点 的三等分点，则
A． B． C． D．
2．已知 ，点 为边 上一点，且满足 ，则向量
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：
(i)当λ＞0时，与a的方向相同；
(ii)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．
(2)几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
【经典例题】
例1．已知 ， ，
（1）求 ．
（2）求 。
例2．已知 ， ， ， 都是向量，且 ， ，试用 ， 分别表示 ， ．
例3．已知两个非零向量 与 不共线， ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ， 三点共线，求 的值．
例4．已知非零向量 ， ， ， ， ，求证： ， ， 三点在同一条直线上．
A． B． C． D．
3．在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，则
A． B． C． D．
4．在 所在的平面上有一点 ，满足 ，设 ， ，则
A． B． C． D．
二．填空题（共2小题）
5．在 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， ，记 ， ，若 ，则 的值为．
6．在平行四边形 中， ，则 （用 表示）．
(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的．
2．线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
二．填空题（共2小题）
5．在 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， ，记 ， ，若 ，则 的值为 ．
【分析】可画出图形，根据 ， 即可得出 ，再根据 便可得出 ，又知 ，这样根据平面向量基本即可求出 ， 的值．
【解答】解：如图，
， ；
， ，且 ；
；
又 ；
根据平面向量基本定理得， ；
．
故答案为： ．
【点评】考查向量加法、减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．
【解答】解：由可知， ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性表示，是基础题．
2．已知 ，点 为边 上一点，且满足 ，则向量
A． B． C． D．
【分析】根据 可得出 ，然后进行向量的数乘运算求出 即可．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
3．在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，则
A． B． C． D．
【分析】根据条件可画出图形，根据向量加法、减法和数乘的几何意义即可用 表示出向量 ．
【解答】解：如图， 四边形 为平行四边形， 为 的中点， 为 的中点，
．
故选： ．
【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
4．在 所在的平面上有一点 ，满足 ，设 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】由向量加减的三角形法则结合相反向量的定义，可得 为线段 的一个三等分点，再根据向量的加减的几何意义即可求出答案．
【解答】解： ，
；
即 ；
故点 是 边上的第二个三等分点；
；
故选： ．
【点评】本题考查向量的运算法则，涉及共线向量定理，属基础题．
(3)运算律：
设λ，μ为实数，则
①(λ＋μ)a＝λa＋μa；
②λ(μa)＝(λμ)a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
注意：数乘向量与实数的乘法的区别。
[提示](1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0.
6.2平面向量的运算
第2课时 向量的数乘运算
【课程标准】
1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义。
2.了解平面向量的线性运算性及其几何意义。
3.掌握平面向量基本定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
【知识要点归纳】
1．数乘向量
(1)定义：
三．解答题（共1小题）
7．已知平行四边形 中，若 是该平面上任意一点，则满足 ．
（1）若 是 的中点，求 的值；
（2）若 、 、 三点共线，求证： ．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．如图，在平行四边形 中， 是 的中点， 是线段 上靠近点 的三等分点，则
A． B． C． D．
【分析】利用平面向量的基本定理，用 和 线性表示 向量即可．
三．解答题（共1小题）
7．已知平行四边形 中，若 是该平面上任意一点，则满足 ．
（1）若 是 的中点，求 的值；
（2）若 、 、 三点共线，求证： ．
【分析】（1） 是 的中点时，可得出 ，从而根据平面向量基本定理得出 ；
（2）根据 ， ， 三点共线可得出 与 共线，从而得出 ，进而得出 ，这样根据平面向量基本定理即可得出 ．
【解答】解：（1）若 是 的中点，则 ，
又பைடு நூலகம்，
根据平面向量基本定理得， ，
；
（2）证明： ， ， 三点共线，
和 共线，
存在实数 ，使 ，
，
，
又 ，
根据平面向量基本定理得， ．
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，共线向量和平面向量基本定理，以及向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算和推理能力，属于基础题．
6．在平行四边形 中， ，则 （用 表示）．
【分析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由 得 ，利用向量的三角形法则得 ，且 ，最后将左式的两个向量都用用 表示即得．
【解答】解：由 得 ，且 ，
又 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考点是向量加减混合运算及其几何意义，考查了向量加法与减法法则，解题的关键是熟练掌握向量加减法的法则，根据图象将所研究的向量用基向量表示出来，本题考查数形结合的思想，是向量在几何中运用的基础题型．
例5．如图，已知 中， 为 的中点， ， ， 交于点 ，设 ， ．
（1）用 ， 分别表示向量 ， ；
（2）若 ，求实数 的值．
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．如图，在平行四边形 中， 是 的中点， 是线段 上靠近点 的三等分点，则
A． B． C． D．
2．已知 ，点 为边 上一点，且满足 ，则向量
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：
(i)当λ＞0时，与a的方向相同；
(ii)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．
(2)几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
【经典例题】
例1．已知 ， ，
（1）求 ．
（2）求 。
例2．已知 ， ， ， 都是向量，且 ， ，试用 ， 分别表示 ， ．
例3．已知两个非零向量 与 不共线， ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ， 三点共线，求 的值．
例4．已知非零向量 ， ， ， ， ，求证： ， ， 三点在同一条直线上．
A． B． C． D．
3．在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，则
A． B． C． D．
4．在 所在的平面上有一点 ，满足 ，设 ， ，则
A． B． C． D．
二．填空题（共2小题）
5．在 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， ，记 ， ，若 ，则 的值为．
6．在平行四边形 中， ，则 （用 表示）．
(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的．
2．线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
二．填空题（共2小题）
5．在 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， ，记 ， ，若 ，则 的值为 ．
【分析】可画出图形，根据 ， 即可得出 ，再根据 便可得出 ，又知 ，这样根据平面向量基本即可求出 ， 的值．
【解答】解：如图，
， ；
， ，且 ；
；
又 ；
根据平面向量基本定理得， ；
．
故答案为： ．
【点评】考查向量加法、减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．
【解答】解：由可知， ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性表示，是基础题．
2．已知 ，点 为边 上一点，且满足 ，则向量
A． B． C． D．
【分析】根据 可得出 ，然后进行向量的数乘运算求出 即可．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
3．在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，则
A． B． C． D．
【分析】根据条件可画出图形，根据向量加法、减法和数乘的几何意义即可用 表示出向量 ．
【解答】解：如图， 四边形 为平行四边形， 为 的中点， 为 的中点，
．
故选： ．
【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
4．在 所在的平面上有一点 ，满足 ，设 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】由向量加减的三角形法则结合相反向量的定义，可得 为线段 的一个三等分点，再根据向量的加减的几何意义即可求出答案．
【解答】解： ，
；
即 ；
故点 是 边上的第二个三等分点；
；
故选： ．
【点评】本题考查向量的运算法则，涉及共线向量定理，属基础题．
(3)运算律：
设λ，μ为实数，则
①(λ＋μ)a＝λa＋μa；
②λ(μa)＝(λμ)a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
注意：数乘向量与实数的乘法的区别。
[提示](1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0.