24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

课前预习

1.线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的

2.线段垂直平分线定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在

这条线段的上。

当堂训练

知识点1：线段垂直平分线的性质

1.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索AB与AC的长度相等，•需加_ _______条件，理由是___ _____．

2.（09钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB

3.如图所示，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm，BD=2.3cm，则四边

形ABCD的周长是（）．

A．3.9cm B．7.8cm C．4cm D．4.6cm

4.如图所示，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，

若∠CAD=20°，则∠B=（）．

A．20° B．30° C．35° D．40°

知识点2：线段垂直平分线定理的逆定理

5.AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于点E．则AB是

线段CD的___ _____．

课后作业

6.给出以下两个定理：

①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（）．

∵BM=BN，∴点B在直线l上（）．

∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．

这是因为如果点C在直线l上，

那么CM＝CN（）．这与条件CM≠CN矛盾．

以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）

A．②①①B．②①② C．①②②D．①②①典例精析

【例1】如图所示，在△ABC中，D为BC上的一点，连结

AD，点E在AD上，

并且∠1=∠2，∠3=

∠4。求证：AD垂直

平分BC

【分析】证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线，可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，也就是通过得出EB=EC，AB=AC，从而证明出AD垂直平分BC

【证明】∵∠1=∠2，∴EB=EC，

∴点E在线段BC的垂直平分线上。

又∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠ABC=∠ACB，

∴点A也在线段BC的垂直平分线上。∴AD垂直平分BC

【方法归纳】证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：

第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；

第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。

误区警示

【例2】判断：若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线

【错解】正确

【错因剖析】PA=PB只能说明点P在AB 的垂直平分线上，但不是过点P的

直线就是DE的垂直平分线，产生错

误的原因是线段的垂直平分线的判

定理解不透。应再找到到A、B距离

相等的第二个点

【正解】

名校讲坛

7.如图，已知直线MN是线段

AB的垂直平分线，垂足为

D，点P是MN上一点，若

PA=10 cm，则

PB=______cm。

8.如图，在△ABC中，AC的

垂直平分线交AC于E，交

BC于D，△ABD的周长是

12 cm，AC=5cm，则

AB+BC=___ __cm；△ABC

的周长是__________cm.

9.如图所示，在Rt△ABC

中，∠C=90°，沿着

过点B的一条直线BE

折叠△ABC使点C•恰

好落在AB边的中点D

处，则∠A的度数等于________．

10.(09泉州)如图，在△ABC

中，BC边上的垂直平分线

DE交边BC于点D，交边

AB于点E.若△EDC的周长

为24，△ABC与四边形

AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．

11.(09肇庆有改动)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=36°，线段AB 的垂

直平分线交AB于D，交

AC于E，连接BE．求证：

∠CBE=36°；

．

12.已知：如图△ABC中，边AB，BC的垂直平分

线相交于点P．

求证：点P在AC的垂直平分线上．

13.（09.梧州）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．

（1）求证：AD＝CE；

（2）填空：四边形ADCE的形状是．

14.（09烟台有改动）如图，

直角梯形ABCD中，

BC

AD∥，

90

BCD

∠=°，且BC=CD，

过点D作AB

DE∥，交

BCD

∠的平分线于点E，

连接BE．将BCE

△绕点

C，顺时针旋转90°得到DCG

△，连接EG.．求证：CD垂直平分EG.