24.7(2)平面向量的分解

24.7 平面向量的分解(2)

一、教学内容分析

本节课研究如何将一个向量表示为两个给定向量的线性组合、画一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量，为向量知识的进一步运用进行奠基．

二、教学目标设计

1.知道向量的分解式，会画平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量.

2.在知识形成和运用过程中，体会向量的线性组合与分解的的辩证关系，体会数形结合、化归等数学思想方法.

三、教学重点及难点

画一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量;

向量的线性组合与分解的的辩证关系.

四、教学用具准备

三角尺、圆规

五、教学流程设计

六、教学过程设计

（一）复习引入

想一想

在图一中，任取一点Z作向量OZ能用,的线性组合表示OZ吗？

b

a

图一根据向量加法的意义，a b

+所得的和向量是向量a与b的合成，如果,是两个不平行的向量，c ma nb

=+（m、n是实数），那么向量c就是向量ma与nb的合成.用,的线性组合表示向量c，也可以说是对向量c分解，这时，向量ma与nb是向量c分别在,方向上的分向量，ma nb

+是向量c关于.,b

a的分解式.

(二)探索新知

例题4 如图二：已知平行四边形ABCD，点E、F在边AB上，AE=EF=FB，点P是边AD的中点；直线EG、FH都与AD平行，分别交DC于点G、H；直线PQ与AB平行，分别交EG、FH、BC于点O、M、Q.设=

=,试用,的线性组合表示向量：、、、、

图二

解：略

「说明」如例题4中，OB分别在,方向上的分向量是2a和b-；OB关于,的分解式是2a b- .

思考

给定两个不平行的向量.,b

a，对于平面内任意一个向量c，都可以确定它关于,的分解式吗？

图三

如图三，在平面内取一点O，作OA a

=；再作

=，OC c

=，OB b

直线OA、OB .

设点C 不在直线 OA和OB上，过点C分别作直线 OA、OB的平行线，由于向量,不平行，可知所作两直线分别与直线OB 、OA 有唯一的交点，记为N、M. 作向量OM、ON.

因为//

=；

OM a，所以存在唯一的实数x，使OM xa

因为//

ON b，所以存在唯一的实数y ，使ON yb

= .

而四边形 OMCN是平行四边形，因此OC OM ON xa yb

=+=+

即c xa yb

=+

如果点 C 在直线OA或 OB上，那么//,

c b .这时得

c a 或//

==+或0

c xa xa b

==+

c yb a yb

所以c关于a、b的分解式总是确定的.

「说明」由此可知，平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.用上面的方法画图，可以作出这个向量在给

定的两个不平行向量的方向上的分向量.

例题5 如图四，已知向量;和p 、q

求作：（1）向量分别在方向

上的分向量；

（2）向量分别在、方向上

的分向量. 例题6 如图五，已知平行四边形ABCD ，点M 、N 分别是边DC 、BC 的中点，射线AM 与BC 相交于点E.设=，=，分别求向量、、关于,的分解式.

图五

（三）巩固练习

1．如图六，已知平行四边形ABCD ，点 M 、N 是边DC 、BC 的中点，设AB a =，AD b =分别求向量MN 、BN 关于a 、b 的分解式

.

图六

2．如图七，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点 O ， p

B q O A 图四

设,

OA a

=OB b

=，分别求向量OC、OD、AB、BC关于a、b的分解式.

C

A

图七

（四）课堂小结

（五）作业布置：练习24.7（2）1,2,3全体同学做，4部分学生做