Smith预估算法-Darling算法

8-1 题目要求：
被控对象的传递函数为
()01
s
e G s s -=+
采样周期T =0.2s ，采用零阶保持器，针对单位阶跃输入函数，按以下要求设计：
1. 采用施密斯预估控制，求取控制器输出u (k )的递推公式，并仿真验证。

2. 试用大林算法设计数字控制器D (z )，求取u (k )的递推公式，并仿真验证。

解：
1. 施密斯预估控制
施密斯预估控制的控制系统如图1所示。

图1 施密斯预估控制器的控制系统
1.1 被控对象离散化
()()P 1111110.1810.819
Ts T
e G s Z s s z
z z Z z z e
z ---⎡⎤
-=⎢⎥
+⎣⎦
⎡⎤=--⎢⎥--⎣⎦
=
- 1.2 设计辅助调节器
()()()
()5r P 556
510.181
10.819
0.1810.1810.819D z G z z z z z z z --=-=
---=- 1.3 设计调节器
调节器D (z )采用间接设计法设计。

被控对象传递函数类型为()1
P 1
K G s Ts =+，要校正成典型I 型系统，可知调节器类型为
2K s 。

系统开环传递函数为()()
12
1K K G s s Ts =+。

设12K K K =，KT =0.5，由于11,1K T ==，所以取20.5K =。

所以调节器的传递函数为()0.5
D s s
=。

1.4 由D (s )求D (z )（采用双线性变换法）
()()()211
0.5
0.0511
z s T z D z Z D s s z z -=
+=⎡⎤⎣⎦
=+=
- ()()()()
0.0511
U z z D z E z z +=
=
- 1.5 求递推公式
展开得，
()()()()10.051z U z z E z -=+
对应的差分方程为，：
()()()()10.0510.05u k u k e k e k +-=++
降一个序号可得u (k )的递推形式为，：
()()()()10.050.051u k u k e k e k =-++-
1.6 在Simulink 环境下系统仿真模型如图2所示。

图2 施密斯仿真模型
仿真波形如图3所示。

图3施密斯仿真波形
图3中，横轴为时间，单位为秒；采样周期为0.2秒，每秒5次采样。

上图中，黄色－控制器输出，紫色为连续输出，青色为离散后的输出；下图中，黄色为误差
根据自动控制原理，典型I型系统的闭环传递函数是一个阻尼比为0.707的二阶系统，其单位阶跃相应的超调约为5%。

观察上图可知，其输出（紫色或青色）有一个5步（1秒）纯延时，且超调为大约5%。

说明史密斯预估控制方法的有效性。

2. 大林算法
大林算法控制框图如图4所示。

图4 大林算法控制框图
2.1 被控对象离散化
首先将被控对象离散化，
()()P 5
61
1110.18110.819n
Ts G z G z z e z Z s s z z -----=⎡⎤-=⎢⎥
+⎣⎦=
- 2.2 构造闭环传递函数
按照大林算法的要求，①闭环传递函数G c (z )中应包含被控对象G (z )中的全部纯延时以保证D (z )的可实现性、包含G (z )中的全部单位圆院外的零点因子以保证D (z )的稳定性、②包含G (z )中的全部在“-1”附近的零点因子以避免振铃现象。

现选取闭环传递函数G c (z )为，
()6
c 1
0.18110.819z G z z
--=- 2.3 调节器D (z )设计
()()()()()()()c c P 1
16
110.81910.8190.181n
U z G z D z E z G z G z z z
z z ----==
--=
--
2.4 控制器D (z )的递推公式设计
将上式展开，得
()()()()1
1
610.81910.8190.181z E z z
z U z ----=--
()()()()()0.81910.81910.1816e k e k u k u k u k --=---- ()()()()()0.81910.81910.1816u k e k e k u k u k =--+-+-
2.5 在Simulink 环境下仿真
系统仿真模型如图5所示。

图5 大林算法仿真模型
仿真结果如图6所示。

图6 大林算法仿真波形
图中，横轴为时间，单位为秒；黄色为误差，紫色为连续输出，青色，离散后的输出。

由图可见，其单位阶跃响应具有1秒纯延时且输出稳定，稳态误差为零。