高考直线方程题型归纳修订版
直线方程综合大题归类高二数学选择性必修第一册)(原卷版)
专题5直线方程综合大题归类目录一、....热点题型归纳【题型一】求直线方程 (1)【题型二】平行线距离 (2)【题型三】解三角形：求边对应的直线方程 (3)【题型四】解三角形三大线：中线对应直线 (3)【题型五】解三角形三大线：高对应直线 (4)【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线 (4)【题型七】最值：面积最值 (5)【题型八】最值：截距与长度 (5)【题型九】叠纸 (6)【题型十】三直线 (7)【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根 (7)【题型十二】直线应用题 (8)培优第一阶——基础过关练 (9)培优第二阶——能力提升练 (10)培优第三阶——培优拔尖练 (11)【题型一】求直线方程【典例分析】（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD 的顶点()0,2A 和()4,6,C AB 所在直线的方程为240x y +-=.(1)求对角线BD 所在直线方程；(2)已知直线l 过点()2,1P ，与直线AB 的夹角余弦值为5，求直线l 的方程.1.（2022·湖南·长沙一中高二开学考试）已知直线1l 的方程为280x y -+=，直线2l 的方程为4310x y +-=.(1)设直线1l 与2l的交点为P ，求过点P 且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程；(2)设直线3l 的方程为10ax y ++=，若直线3l 与1l ，2l 不能构成三角形，求实数a 的取值的集合.2.（2022·全国·高二专题练习）如图，射线OA OB ，与x 轴正半轴的夹角分别为45︒和30︒，过点()10P ，的直线l 分别交OA ，OB于点A B ，．(1)当线段AB 的中点为P 时，求l 的方程；(2)当线段AB 的中点在直线2x y =上时，求l 的方程【题型二】平行线距离【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l 过点()2,3P ，且被平行直线1l ：3470x y +-=与2l ：3480x y ++=所截取的线段长为l 的方程．【变式训练】1.（2022·江苏·高二专题练习）两平行直线1l ，2l 分别过()1,0A ，()0,5B .(1)1l ，2l 之间的距离为5，求两直线方程；(2)若1l ，2l 之间的距离为d ，求d 的取值范围.2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线1l 与2l 的方程分别为7890x y ++=，7830x y +-=，直线l 平行于1l ，直线l 与1l 的距离为1d ，与2l 的距离为2d ，且1212d d =，求直线l 的方程．【题型三】解三角形：求边对应的直线方程【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，顶点A 的坐标为()5,4，直角边BC 所在的直线方程为2360x y +-=，求边AB 和AC 所在的直线方程．1.（2022·全国·高二课时练习）已知在第一象限的ABC 中，()1,1A ，()5,1B ，60A ∠=︒，45B ∠=︒，求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 边与BC 边所在直线的方程．2.（2022·江苏·高二专题练习）已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x ，y 轴分别交于P ，Q 两点，分别过点P ，Q 作直线20x y +=的垂线，垂足分别为R ，S ，求四边形PQSR 的面积的最小值．【题型四】解三角形三大线：中线对应直线【典例分析】（2021·江苏·高二专题练习）已知直线1:0l mx y m -+=，2:(1)0l x my m m +-+=，3:(1)(1)0l m x y m +-++=，记122331l l A l l B l l C ⋂=⋂=⋂=，，．（1）当2m =时，求原点关于直线1l 的对称点坐标；（2）在ABC 中，求BC 边上中线长的最小值．1.（2021·湖北·华中师大一附中高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点(),A m n ，()2,1B ，()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的一般方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为()20x y t t R -+=∈，且ABC 的面积为4，求点A 的坐标.2.（2021·广东·湛江二十一中高二期中）已知ABC 的顶点()0,4A ，()6,0B ，边AB 上的中线CM 的方程为10x y --=，边BC 所在直线的方程为27120x y --=(1)求边AB 所在直线的方程，化为一般式；(2)求顶点C 的坐标.【题型五】解三角形三大线：高对应直线【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知ABC 的顶点()1,3A ，AB 边上的中线所在的直线方程为10y -=，AC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=.分别求AC ，AB 边所在直线的方程.1.（2021·湖北黄冈·高二期中）在ABC 中，()1,1A -，边AC 上的高BE 所在的直线方程为60x y +-=，边AB 上中线CM 所在的直线方程为4560x y -+=.(1)求点C 坐标：(2)求直线BC 的方程.2.（2020·安徽·合肥市第五中学高二期中（理））已知ABC 的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为210x y --=，AC 的边上的高BH 所在直线方程为250x y = --．(1)求顶点C 的坐标；(2)求直线BC 的方程．【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）已知ABC 的一个顶点()2,4A -，且B Ð，C ∠的角平分线所在直线的方程依次是20x y +-=，360x y --=，求ABC 的三边所在直线的方程.1.（2021·全国·高二专题练习）在ABC ∆中，已知(1,1)A ，(3,5)B --.(1)若直线l 过点(2,0)M ，且点A ，B 到l 的距离相等，求直线l 的方程；(2)若直线:260m x y --=为角C 的内角平分线，求直线BC 的方程.2.（2020·上海·高二课时练习）已知：ABC 的顶点(2,3)A 和(1,1),--∠B ABC 的角平分线所在直线方程为320x y --=，求边BC 所在直线方程．【题型七】最值：面积最值【典例分析】（2022·江苏南京·高二开学考试）已知直线l ：20kx y k -++=()R k ∈.(1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程.1.（2022·全国·高二课时练习）在直角坐标系中，已知射线:0(0)OA x y x -=≥，过点()3,1P 作直线分别交射线OA 、x 轴正半轴于点A 、B ．(1)当AB 的中点为P 时，求直线AB 的两点式方程；(2)求△OAB 面积的最小值．2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 的方程为()()()120R 1a x y a a a ++--=∈≠-.(1)若直线l 与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，求直线l 的方程；(2)若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取得最小值时直线l 的方程.【题型八】最值：截距与长度【典例分析】（2022·河南省叶县高级中学高二阶段练习）一条直线经过点()3,4P ．分别求出满足下列条件的直线方程．(1)与直线250x y -+=垂直；(2)交x 轴、y 轴的正半轴于A ，B 两点，且PA PB ⋅取得最小值．【变式训练】1.（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）在平面直角坐标系中，点()2,3A ，()1,1B ，直线:10l x y ++=.(1)在直线l 上找一点C 使得AC BC +最小，并求这个最小值和点C 的坐标；(2)在直线l 上找一点D 使得AD BD -最大，并求这个最大值和点D 的坐标.2.（2022·全国·高二课时练习）已知()2,1P -．(1)若直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．(2)是否存在直线l ，使得直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为6？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【题型九】叠纸【典例分析】（2022·全国·高二单元测试）如图，OAB 是一张三角形纸片，∠AOB ＝90°，OA ＝1，OB ＝2，设直线l 与边OA ，AB 分别交于点M ，N ，将△AOB 沿直线l 折叠后，点A 落在边OB 上的点A '处．(1)设OA m '=，试用m 表示点N 到OB 的距离；(2)求点N 到OB 距离的最大值．1.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，边AB ､AD 分别在x 轴､y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k ，则折痕所在的直线方程为__________.2.（2021·安徽·桐城市第八中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；（2）在（1）的条件下，若108k -≤≤时，求折痕长的取值范围．【题型十】三直线【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）平面上三条直线250x y -+=，10x y ++=，0x ky -=，如果这三条直线将平面划分为六个部分，求实数k 的所有可能的取值．【变式训练】1.（2022·江苏·高二课时练习）已知三条直线12:20(0),:4210l x y a a l x y -+=>-++=和3:10l x y +-=，且1l 与2l 的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限的点；②点P 到1l 的距离是点P 到2l 的距离的12；③点P 到1l 的距离与点P 到3l 25若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根【典例分析】（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））已知动点P 与两个顶点(0,0)O ，(3,0)A 的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)过点(0,3)B -且斜率为k 的直线l ，交曲线C 于、N 两点，若9OM ON ⋅=，求斜率k 【提分秘籍】基本规律1.直线与曲线有两个交点，则可以连立方程，消去一个变量后的一元二次方程有两个根。
(完整版)全国高考数学直线与圆的方程试题汇编
全国高考数学试题汇编——直线与圆的方程一、选择题:1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D )A ．1B ．3C ．2D ．52．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ）A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--． 选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．4．(全国I 卷理科10）若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，,则 （ B ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 2）,P 2（5,6）的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的 比λ的值为( A ）A ．－13B ．－15C ．15D ．13（重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－13，则点B 分有向线段PA 所成的比是( A ）A ．－32B ．－12C ．12D ．36．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 （ C ）A ．[B ．(C ．[D ．( 7．（辽宁文、理科3)圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是 ( C )A ．(k ∈B ．(,)k ∈-∞⋃+∞C ．(k ∈D ．(,)k ∈-∞⋃+∞8．（陕西文、理科5）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C )A B ． C ．- D ．-9．（安徽文科11)若A为不等式组0,0,2xyy x⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤表示的平面区域,则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( C ）A．34B．1C．74D．210．（湖北文科5）在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组,1x yx⎧⎪⎨<⎪⎩≤的点(,)x y的集合用阴影表示为下列图中的（ C ）11．（辽宁文科9）已知变量x、y满足约束条件10,310,10,y xy xy x+-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥则z＝2x+y的最大值为( B ) A．4 B．2 C．1 D．－412．（北京理科5）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，则z=3x+y的最小值是（ B ）A．0 B．1 C．3D．9（北京文科6）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤,则z=x+2y的最小值是（ A ）A．0 B．21C．1 D．213．(福建理科8)若实数x、y满足错误!，则错误!的取值范围是（ C ）A．(0，1) B．（0，1］C．(1，+∞) D．[1，+∞）（福建文科10）若实数x、y满足20,0,2,x yxx-+⎧⎪>⎨⎪⎩≤≤则yx的取值范围是（ D ）A．（0,2）B．（0，2）C．（2,+∞) D．[2,+∞）14．（天津理科2文科3）设变量y x ,满足约束条件0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则目标函数y x z +=5的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．5 （ D ）15．（广东理科4）若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥,则32z x y =+的最大值是（ C ）A ．90B ．80C ．70D ．4016．（湖南理科3）已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则x+y 的最大值是（ C ）A ．2B ．5C ．6D ．8（湖南文科3）已知变量x 、y 满足条件120x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，，，则x +y 是最小值是( C ）A ．4B ．3C ．2D ．117．（全国Ⅱ卷理科5文科6）设变量x ，y 满足约束条件：,22,2y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则y x z 3-=的最小值为( D ）A ．－2B 。
考点19 直线和圆的方程(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)
所以 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
则 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：C.
二、多选题
6．（2022·湖南衡阳·二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 为 在第一象限上的点，点 在 延长线上，点 的坐标为 ，且 为 的平分线，则下列正确的是（）
方法位置
关系
几何法
代数法
相交
d<r
Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜
d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．
A． B． C． D．
【答案】C
高考数学复习考点题型归类解析38直线与方程(解析版)
高考数学复习考点题型归类解析专题38直线与方程一、关键能力1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．二、教学建议通过直线方程的学习，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系．初步建立代数表征几何元素的解析：意识与能力，提高问题解决的能力，逐渐养成用数学的眼光来观察世界，用数学的头脑来分析世界，用数学的语言来表达世界．通过两条直线位置关系的学习，能根据斜率判定两条直线平行或垂直，在探索距离的公式表达过程中，能从多角度认识、理解两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会借助点到直线的距离公式来求两条平行直线间的距离，提高逻辑推理和数学运算能力．三、自主梳理1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α.(2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式4(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 5．三种距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.四、高频考点+重点题型考点一、斜率与倾斜角之间的关系例1-1．直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π）B．[0，π4]∪[3π4，π)C．[0，π4]D．[0，π4]∪(π2，π)【解答】解：直线sinθ•x﹣y+1＝0的斜率k＝sinθ∈[﹣1，1]，设直线的倾斜角为α，则﹣1≤tanα＜0或0≤tanα≤1，∴3π4≤α＜π或0≤α≤π4．∴直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π）．故选：B．例1-2．若0＜α＜π2，则经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的倾斜角为（）A．αB．π2+αC．π﹣αD．﹣α【解答】解：经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的斜率为：−cosαsinα=−cotα.0＜α＜π2，∴直线的倾斜角为β．tan β＝﹣cot α＝tan （π2+α）． ∴β=π2+α． 故选：B ．例1-3．已知直线l 过点P （﹣1，2），且与以A （﹣2，﹣3）、B （3，0）为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围是．【解答】解：∵点P （﹣1，2）、A （﹣2，﹣3），∴直线AP 的斜率k 1=−3−2−2+1=5．同理可得直线BP 的斜率k 2=−12． 设直线l 与线段AB 交于M 点，当直线的倾斜角为锐角时，随着M 从A 向B 移动的过程中，l 的倾斜角变大， l 的斜率也变大，直到PM 平行y 轴时l 的斜率不存在，此时l 的斜率k ≥5； 当直线的倾斜角为钝角时，随着l 的倾斜角变大，l 的斜率从负无穷增大到 直线BP 的斜率，此时l 的斜率k ≤−12．综上所述，可得直线l 的斜率取值范围为：（﹣∞，−12]∪[5，+∞）． 故答案为：（﹣∞，−12]∪[5，+∞）例1-4.已知点(－1,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是________．解析：点(－1,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0同侧的充要条件是(－a －2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ＋1＞0，解得－3＜a ＜－1，即直线l 的斜率的范围是(－3，－1)，故其倾斜角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，3π4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，3π4考点二、直线方程例2-1. 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)． 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.例2-2．已知A （3，0），B （0，4），直线AB 上一动点P （x ，y ），则xy 的最大值是 3 ． 【解答】解：∵A （3，0），B （0，4），∴直线AB 的方程是：x3+y4=1，即4x +3y ﹣12＝0， 设 P （x ，y ），则x ＝3−34y ， ∴xy ＝3y −34y 2=−34（y ﹣2）2+3≤3． 当且仅当y ＝2，x =32时，取等号， ∴xy 的最大值是3． 故答案为：3．例2-3．已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，求点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值．【解答】解：∵∠ABC ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，依题意，作图如下： BC 在x 轴上，B 点与原点O 重合，点A （0，b ）在y 轴正半轴上，依题意知，b =√42−32=√7， 设点P （0，m ）（0＜m ＜√7）， ∵直线AC 的方程为x3+√7=1，即√7x +3y ﹣3√7=0，∴点P （0，m ）到直线√7x +3y ﹣3√7=0的距离（即点P （0，m ）到AC 的距离）d =√7|√(√7)2+32=34|m −√7|=34（√7−m ）， 又点P （0，m ）到BC 的距离为m ，∴点P 到AC 、BC 的距离乘积f （m ）＝m •34（√7−m ）≤34•(m+(√7−m)2)2=34•74=2116（当且仅当m =√72时取“＝”）． ∴点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值为2116．考点三、截距的使用例3.已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为__________________．[解析](1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，S △AOB ＝12(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋(－4k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4，当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.对点训练1.已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，若0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：直线l 1可写成a (x －2)＝2(y －2)，直线l 2可写成2(x －2)＝a 2(2－y )，所以直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，故当a ＝12时，四边形的面积最小．[答案] (1)x ＋2y －4＝0 (2)12考点四、两直线位置关系判断例4-1．k ＝5是直线l 1：（k ﹣3）x +（4﹣k ）y +1＝0与l 2：2（k ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解答】①当k ＝5时，直线l 1：2x ﹣y +1＝0与l 2：4x ﹣2y +3＝0平行；②若直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，则（k﹣3）（﹣2）﹣（4﹣k）2（k﹣3）＝0，解得，k＝3或k＝5．故k＝5是直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的充分不必要条件．故选：A．例4-2．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则mn的取值范围为________．解析：因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以mn＝mm2＋2m＝1m＋2，则0＜1m＋2＜12，故mn的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12.故答案为：﹣4例4-3．已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，且点A的坐标为（1，2），（1）求△ABC的垂心坐标；（注：三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心）（2）求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）∵三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心，已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，解方程组：{x+y=02x−3y+1=0得：{x=−15y=15，∴△ABC 的垂心坐标（−15，15）；（2）∵点A 的坐标为（1，2）， 根据直线方程的两点式得：y−215−2=x−1−15−1即：3x ﹣2y +1＝0．∴BC 边上的高所在直线的方程3x ﹣2y +1＝0．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布例4-4．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行) ∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1. 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1>0，解得－16<k <12.例4-5.已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0,mx －y －1＝0不能构成三角形,则实数m 的取值集合为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23解析：三线共点时也不能围成一个三角形． 由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0, 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－13交点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13 代入mx －y －1＝0,则m ＝－23. 故选D ．考点五、距离问题例5-1．已知点A （﹣1，2），B （1，4），若直线l 过原点，且A ，B 两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为（ ）A ．y ＝x 或x ＝0B ．y ＝x 或y ＝0C ．y ＝x 或y ＝﹣4xD ．y ＝x 或y =12x 【解答】解：①当直线l 与直线AB 平行时，直线AB 的斜率为4−21−(−1)=1， 此时直线l 的方程为y ＝x ；②当直线l 过线段AB 的中点时，AB 中点的坐标为（0，3）， 此时直线l 的方程为x ＝0． 故选：A ．例5-2．直线l 过点P （1，4）分别交x 轴的正方向和y 轴正方向于A 、B 两点．①当|OA|+|OB|最小时，求l的方程．②当|PA|•|PB|最小时，求l的方程．【解答】解：①∵直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点，∴直线l的斜率k＜0，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣1），则A（−4k+1，0），B（0，﹣k+4），∴|OA|+|OB|=−4k+1+(−k+4)＝（−4k −k）+5≥2√(−4k)⋅(−k)+5＝9，当且仅当k＝﹣2时取等号，∴l的方程为y﹣4＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣6＝0．②由①知|PA|•|PB|=√(−4k+1−1)2+42•√12+(−k+4−4)2=√16(k2+1)2k2=−4k(k2+1)=4（−1k−k）≥4⋅2√(−1k)⋅(−k)=8，当且仅当k＝﹣1时取等号，∴l的方程为y﹣4＝﹣（x﹣1），即x+y﹣5＝0．例5-3.曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为________．解析(1)曲线y＝2x－x3上横坐标为－1的点的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l的方程为y－(－1)＝－1×[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P(3,2)到直线l的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.例5-4．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为______________________． 解析：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 所在直线的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.答案：(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87考点六、对称问题例6-1．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( ) A ．(－2,4)B.(－2，－4) C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立⎩⎨⎧3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．例6-2．直线x +3y ﹣1＝0关于直线x ﹣y +1＝0对称的直线方程是．【解答】解：联立{x +3y −1=0x −y +1=0，解得{x =−12y =12．其交点为M (−12，12)． 在直线x +3y ﹣1＝0上取一点P （1，0），设点P 关于直线x ﹣y +1＝0的对称点为Q （m ，n ），则{m+12−n2+1=0n m−1×1=−1解得{m =−1n =2，即Q （﹣1，2）．∴直线MQ 的方程为y −2=12−2−12−(−1)(x +1)，化为3x +y +1＝0，即为所求．故答案为3x +y +1＝0．例6-3．若直线l 1：y ＝k （x ﹣4）与直线l 2关于点（2，1）对称，则直线l 2恒过定点． 【解答】解：∵直线l 1：y ＝k （x ﹣4）经过定点M （4，0），而点M 关于点（2，1）对称点为N （0，2），又直线l 1：y ＝k （x ﹣4）与直线l 2关于点（2，1）对称，则直线l 2恒过定点N （0，2）， 故答案为（0，2）．例6-4．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 故答案是：8x ﹣y ﹣24＝0．例6-5．如图，已知A （4，0）、B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）A ．2√10B ．6C ．3√3D ．2√5【解答】解：点P 关于y 轴的对称点P ′坐标是（﹣2，0），设点P 关于直线AB ：x +y ﹣4＝0的对称点P ″（a ，b ）∴{b−0a−2×(−1)=−1a+22+b+02−4=0，解得{a =4b =2， ∴光线所经过的路程|P ′P ″|＝2√10， 故选：A ．例6-6.已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P ， (1)使|P A |＋|PB |最小； (2)使|P A |－|PB |最大.解 (1)如图，可判断A ，B 在直线l 的同侧，设点A 关于l 的对称点A ′的坐标为(x 1，y 1).则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由两点式求得直线A ′B 的方程为y ＝711(x －4)＋1，由平面几何知识可知，当点P 为直线A ′B 与直线l 的交点时，|P A |＋|PB |最小，此时|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |，若P 不在此点时，|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＞|A ′B |，即直线A ′B 与l 的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5625，－325.(2)由两点式求得直线AB 的方程为y －1＝－(x －4)，即x ＋y －5＝0.由平面几何知识可知，当点P 为直线AB 与l 的交点时，|P A |－|PB |最大，此时|P A |－|PB |＝|AB |. 直线AB 与l 的交点为所求点P (8，－3).巩固训练一、单项选择题1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定 答案：C解析：直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1，故选C ．2．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( )A ．33B ．3C ．－3D ．－33 答案：A解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33，故选A ．3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知 △ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( )A ．4x ＋2y ＋3＝0B ．2x －4y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0 答案：B解析：因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线， 又A (1，0)，B (0，2)，故AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 故选B ．4．已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0 答案：D解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0．5．已知两点A (－1，2)，B (m ，3)，且m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3 答案：C解析：①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，∵k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，故选C ．6．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －3y －2＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0 答案：D解析：设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3，又点M (2，0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y－6＝0． 二、多项选择题7．已知直线l 1：x －y －1＝0，动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．存在k ，使得l 2的倾斜角为90°B ．对任意的k ，l 1与l 2都有公共点C ．对任意的k ，l 1与l 2都不重合D ．对任意的k ，l 1与l 2都不垂直 答案：ABD解析：对于A ，当k ＝0时，直线l 2为x ＝0，倾斜角为90°，正确；对于B ，直线l 1与l 2均过点(0，－1)，所以对任意的k ，l 1与l 2都有公共点，正确； 对于C ，当k ＝－12时，直线l 2为12x －12y －12＝0，与l 1重合，错误；对于D ，直线l 1的斜率为1，l 2的斜率－k ＋1k ≠－1，所以l 1与l 2不可能垂直，正确． 故选ABD ．8．定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b2．已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2．以下命题不正确的是( ) A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行 B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直 C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直 D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交 答案：BCD解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，P 1P 2不一定与l 垂直，错误；对于C ，若d 1＝d 2＝0，即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误；对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l 的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误． 故选BCD ． 三、填空题9．已知A (3，5)，B (4，7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________． 答案：－3解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ．∴7－54－3＝x －5－1－3，∴x ＝－3．10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )，若l 不经过第二象限，则实数a 的取值范围为___________． 答案：a ≤－1解析：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1．综上可知a 的取值范围是a ≤－1．11．如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是_________． 答案： 210解析：由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线所经过的路程PMN 的长为CD ＝210．12．已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 答案：3解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3．即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3． 四、解答题13．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解析：依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎨⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4，3)． 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎨⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0．14．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．答案：(3＋3)x －2y －3－3＝0解析：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ．设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0．。
2022高考数学一轮复习—直线与方程习题汇总含答案
两条直线的位置关系及距离公式命题范围：两条直线平行与垂直的条件，两点间的距离及点到直线的距离．[基础强化]一、选择题1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝02．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A.12B.32C.14D.343．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝07．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－18．[2021·四川成都一中高三测试]三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠19．直线l 经过点M (2,1)，若点P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．3x －2y －4＝0B ．x ＝2或3x －2y －4＝0C ．x ＝2或x －2y ＝0D ．x ＝2或3x －2y －8＝0二、填空题10．若曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________．11．若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________.12．过点A (4，a )和B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则两点间的距离|AB |＝________.两条直线的位置关系及距离公式参考答案1．A 设所求的直线方程为x －2y ＋c ＝0，又(1,0)在直线l 上，∴1＋c ＝0，∴c ＝－1，故所求的直线方程为x －2y －1＝0.2．D ∵l 1与l 2垂直，∴3(a －1)＋a ＝0，得a ＝34. 3．A 由两条直线平行，∴a 3＝2a －1≠2a 7－a， 得a ＝－2或a ＝3.∴a ＝3是两条直线平行的充分不必要条件．4．B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12， ∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0， 故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．5．B 由点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，得|1＋3×3＋C |12＋(3)2＝|4＋C |2＝3，得C ＝2或C ＝－10. ∴C ＝2是点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3的充分不必要条件．6．A 过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线就是过点P 且与OP 垂直的直线即y －1＝－2(x －2)，得2x ＋y －5＝0.7．C ∵l 1∥l 2，∴12＝－2n，∴n ＝－4， ∴l 2：2x －4y －6＝0可化为x －2y －3＝0 ∴|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，又m >0，∴m ＝2， ∴m ＋n ＝2－4＝－2.8．C 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.9．B 解法一：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．当直线l 的斜率存在时，依题意可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，因为P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，所以|4k －2＋1－2k |＝|4＋1－2k |，解得k ＝32，则直线l 的方程为3x －2y －4＝0，故选B.解法二：由题意知，所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点或与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行．当所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x ＝2；当所求直线与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行时，由k PQ ＝－4－20－4＝32，得直线l 的方程为y －1＝32(x －2)，即3x －2y －4＝0，故选B. 10.2解析：由题意得A (0,1)，由点A (0,1)到直线x ＋y －3＝0的距离为|1－3|12＋12＝ 2. 11．2或－1解析：因为两直线平行，所以有a (a －1)－2＝0，且1a ＝a －12≠a 2－1－6，即a 2－a －2＝0，且a 2＋3a －4≠0，解得a ＝2或a ＝－1.12.2解析：由题意可知，k AB ＝b －a 5－4＝b －a ＝1， 故|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.直线的倾斜角与斜率、直线的方程命题范围：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和一般式．[基础强化]一、选择题1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率k 为( )A.23B.32C ．－23D ．－322．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.23π D .56π 3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝04．已知直线l 的倾斜角为α、斜率为k ，那么“α>π3”是“k >3”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0 D.3x ＋y ＋3＝06．经过点P (1,2)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程为( )A ．2x －y ＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0或2x －y ＝0D ．x ＋y －3＝0或2x －y ＝07．[2021·衡阳一中高三测试]直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <08．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 9．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤34，2B.⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2]二、填空题10．若A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．11．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为________．12．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率为1，则m ＝________.直线的倾斜角与斜率、直线的方程参考答案1．C k ＝0－23－0＝－23. 2．D 由x ＋3y ＋1＝0，得y ＝－33x －33， ∴直线的斜率k ＝－33，其倾斜角为56π. 3．A 由点斜式得y －5＝－34(x ＋2)，即：3x ＋4y －14＝0. 4．B ∵当π2<α<π时，k <0，∴α>π3D ⇒/k >3； 当k >3时，π3<α<π2，∴k >3⇒π3<α<π2， ∴α>π3是k >3的必要不充分条件． 5．D 由点斜式可知y ＝－3(x ＋1)，即：3x ＋y ＋3＝0.6．D 若直线过原点，则直线方程为y ＝2x ，若直线不过原点，设所求的直线方程为x ＋y ＝m ，又P (1,2)在直线上， ∴1＋2＝m ，∴m ＝3，即：x ＋y ＝3.7．A ax ＋by ＋c ＝0可化为y ＝－a b x －c b，又直线过一、二、四象限， ∴－a b <0且－c b>0，即ab >0，bc <0. 8．B 设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，由题意得tan θ＝－sin α∈[－1,1]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 9．B 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P (1,1)，k P A ＝2，k PB ＝34，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[2，＋∞)．10．4解析：由题意得k AC ＝k BC ，∴5－36－4＝5－a 6－5，得a ＝4. 11．45°解析：y ′＝3x 2－2，当x ＝1时，y ′＝3－2＝1，∴k ＝1，其倾斜角为45°. 12．1解析：由题意得，4－m m ＋2＝1，得m ＝1.。
新高考数学总复习考点知识专题讲解41直线方程(解析版)
新高考数学总复习考点知识专题讲解考点41直线方程知识讲解直线的倾斜角(1)泄义：当直线/与A•轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角.(2)规龙：当直线/与X轴平行或重合时，规立它的倾斜角为0.(3)范围:直线/倾斜角的取值范围是［0, 7T).二.斜率公式(1)泄义式：直线/的倾斜角为烤)，则斜率k=tana.V-)— Vi(2)坐标式：Pg yi), P1(X2,力)在直线/上，且X］令2,贝IJ /的斜率人2 人I三.直线方程的五种形式(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线h，/2,若其斜率分别为b, k2,则有h〃bUk\=炷.②当直线人，/2不重合且斜率都不存在时，l\〃H.(2)两条直线垂直①如果两条直线人，/2的斜率存在，设为幻，力，则有h丄［却攻2= — 1.②当英中一条直线的斜率不存在，而期一条直线的斜率为0时，人丄(3)两直线相交A］x+Bj+C］=0, ⑴交点：直线h： Aix+Biy+Ci=0和/2： A2x+5y+C2=0的公共点的坐标与方程组)人’ J . 门的Azx+ O2)?+C2 = 0解一一对应.⑵相交Q方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解.(3)平行Q方程组无解.(4)重合o方程组有无数个解.五.三种距离公式(1)两点间的距离公式平而上任意两点P\(X\,户2(兀2，$2)间的距离公式为1卩屮2= ―X2—X]_有_―⑵点到直线的距离公式点Pu(xo, yo倒直线/：Ax+By+C= 0的距离〃= (3)两平行直线间的距离公式l/U)+Byu+CI[厂一「I两条平行直线Ax+By+Ci= 0与Ax+By+C2=0间的距离J=-?==・yJA・+B：六.与对称问题相关的四个结论：⑴点(x, y)关于点("，b)的对称点为(2ci—x,2b—y).(2)点(x, y)关于直线x=a的对称点为(2“一x, y),关于直线)，=〃的对称点为(x.2/?~y).(3)点(x, y)关于直线y=x的对称点为(y, x),关于直线y=~A-的对称点为(一y, —x).(4)点(x, y)关于直线x+y=k的对称点为(k—y, k~x),关于直线x—y=k的对称点为(£+y, x~k).考向一斜率与倾斜角A.【例1】(1) (2020 •全国高三(理))直线x + y/3y + \ = 0的倾斜角是(2)(旧教材必修2P*练习T,改编)若过点M-2,诊，」VU4)的直线的斜率等于1,则肋的值为.(3)(2021 •全国高三月考(理))已知直线y = —x的倾斜角为a,则cos2a =“ 2【答案】(1) 150° (2) 1 (3)-7【解析】(1)因为直线x + V3v + l = 0的斜率为-迺所以其倾斜角为150。
专题9-1 直线与方程题型归类2023年高考数学一轮复习热点演练(全国通用)(原卷版)
）
A．
0,
3Leabharlann 2 3,C．
0,
6
5 6
,
B．
0,
6
5 6
,
D．
0,
3
U
2 3
,
2.已知点 P 为曲线 y2 4x 上一动点， A(1, 0) ， B 3, 0 ，则 APB 的最大值为（
）
A． 6
B．
4
C．
3
D．
2
3.已知四边形 OABC 各顶点的坐标分别为 O(0,0) ， A(2,1) ， B(1,3) ， C(1, 2) ，点 D 为边 OA 的中点，点 E 在线段 OC 上，
专题 9-1 直线与方程题型归类
目录 【题型一】直线倾斜角与斜率最值范围 ....................................................................................................................... 3 【题型二】绕点旋转动直线 ............................................................................................................................................3 【题型三】含三角函数的圆切线型动直线 ................................................................................................................... 3 【题型四】含参双动直线 ................................................................................................................................................4 【题型五】关于直线对称 ................................................................................................................................................4 【题型六】直线光学性质 ................................................................................................................................................5 【题型七】三角形三大线：中线，高，角平分线 ....................................................................................................... 6 【题型八】平行线 ............................................................................................................................................................6 【题型九】直线应用 1：叠纸 .........................................................................................................................................7 【题型十】直线 应用 2：直线与曲线交点 .................................................................................................................. 7 【题型十一】直线应用 3：直线与函数（切线型） .................................................................................................... 7 【题型十二】直线应用 4：距离公式 ............................................................................................................................ 8 【题型十三】直线应用 5：直线与方程 ........................................................................................................................ 8 【题型十四】直线与最值 ................................................................................................................................................9 真题再现 ............................................................................................................................................................................9 模拟检测 .......................................................................................................................................................................... 11
2025届高三数学专题复习：直线方程重难点专题(解析版)
直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结知识点归纳概括：1.直线的倾斜角为0°≤α<180°，斜率为k=tanα（α≠90°）。
2.已知两点求斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)（x2≠x1）。
3.两直线平行时，它们的斜率相等；垂直时，它们的斜率之积为-1.4.直线的五种方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
5.两直线的交点坐标可通过联立两直线方程求得，两点间距离可用距离公式计算。
题型归纳分析：1.直线的倾斜角与斜率的计算。
2.平行和垂直直线的判断及斜率之间的关系。
3.直线的方程及其应用。
4.两直线交点坐标和两点间距离的计算。
例1：过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1，则a的值为（）。
A。
1B。
4C。
1或3D。
1或4解析：由题意可得，直线MN的斜率为1，即(k=(4-a)/(a+2)=1)，解得a=2，故选B。
变式1：已知点A(1,3)、B(-1,3)，则直线AB的倾斜角是（）。
A。
60°B。
30°C。
120°D。
150°解析：由斜率公式可得，k=(3-3)/(-1-1)=0，因为斜率为0，所以直线与x轴平行，倾斜角为0°，故选A。
变式2：已知两点A(3,2)、B(-4,1)，求过点C(-1.)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。
解析：首先求出AB的斜率k1=(1-2)/(-4-3)=-1/7，然后求出点C到直线AB的距离d，d=|(-1-3)×(-1)+(?-2)×(-4+3)|/√((-4+3)²+(1-2)²)=|4-2×(?-1)|/√5，因为直线l与AB有公共点，所以点C到直线l的距离也为d，根据距离公式可得，|k1×(-1)+1×(?-1)-d|/√(k1²+1²)=d，化简得，|k1×(-1)+1×(?-1)|=2d√(k1²+1²)，即|k1+?(?-1)|=2d√(k1²+1²)，因为直线l过点C，所以直线l的斜率为k2=(?-1)/(-1-3)，代入得，|k1+k2|=2d√(k1²+1²)，整理得，|?-1+7k2|=2d√(50)，因为|?-1+7k2|≥0，所以d≥0，又因为√(50)>7，所以|?-1+7k2|≤2d×7，即|?-1+7k2|≤14d，代入得|?-1+7(?-1)/(-1-3)|≤14d，即|-2?-6/(-4)|≤14d，解得-1/2≤d≤1/2，因为d≥0，所以1/2≥d≥0，代入得-1/2≤?-1+7k2≤1/2，解得-3/14≤k2≤1/14，故k2的取值范围为[-3/14,1/14]。
高考直线方程题型归纳(最新整理)
高考直线方程题型归纳知识点梳理1．点斜式方程设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，由于此方程是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l 的倾斜角α=90°时，斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l 恰与y 轴平行或重合，这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y－y 0=0.（3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距. 注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。
要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.3．直线的两点式方程若直线l 经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，则直线l 的方程为，这112121y y x x y y x x --=--种形式的方程叫做直线的两点式方程.注意（1）当直线没有斜率(x 1=x 2)或斜率为零(y 1=y 2)时，不能用两点式表示112121y y x x y y x x --=--它的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程； 如过两点A (1，2)，B (1，3)的直线方程可以求得x =1，过两点A (1，3)，B (－2，3)的直线方程可以求得y =3.（3）需要特别注意整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)与两点式方程的112121y y x x y y x x --=--区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。
高考数学常考题型：直线参数方程(含详解答案)
高考数学常考题型：直线参数方程1．已知直线l 的参数方程为1324x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点()10，，到直线l 的距离是（ ）A ．15B ．25C ．45D ．652．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2cos sin x t y t ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，03πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l与22:20C x y x +--=交于, M N 两点，当ϕ变化时，求弦长||MN 的取值范围_______3．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，l 与C 交于,A B 两点，则AB =_______.4．已知P 1，P 2是直线1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，-2)的距离是________.5．直线l ：12x aty t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C ：4sin 4cos ρθθ=-（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l，则实数a =_______．6．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为()4sin cos ρθθ=+．设曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，若P 点的直角坐标为()2,1，则PA PB -的值＝______． 7．已知直线l 的参数方程为34x ty t m=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=若直线l 与圆C，则m 的值为________________.8．已知直线参数方程为355435x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，直线与圆5ρ=交于B 、C 两点,则线段BC 中点直角坐标________.9．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l 的直角坐标方程为10x y +-=，曲线C 的极坐标方程为(1cos 2)ρθ+2sin (0)a a θ=>（1）设t为参数，若12x t =-，求直线l 的参数方程及曲线C 的普通方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，设(1,0)P ，且,,PA AB PB 依次成等比数列，求实数a 的值．10．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(1cos 2)8cos ρθθ-=． （1）求曲线C 的普通方程； （2）直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数），直线l 与x 轴交于点F ，与曲线C 的交点为A ，B ，当||||FA FB ⋅取最小值时，求直线l 的直角坐标方程． 11．在平面直角坐标系xOy 中，不过原点的动直线l ：y=x+m 交抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）于A 、B 两点，且22OA OB m m ⋅=-． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线y=x 与C 的异于原点的交点为P ，直线l 与C 在点P 处的切线的交点为D ，设2||PD t DA DB=⋅，问：t 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB -的值.13．在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为323x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PMPN +的值.14．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：22t tt te e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（其中t 为参数），直线l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中m 为参数）（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，求PA PB ⋅的值.15．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．16．选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为()2cos x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C '的极坐标方程；（Ⅱ）若过点3(,)2A π（极坐标）且倾斜角为6π的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，弦MN 的中点为P ，求||||||AP AM AN ⋅的值.参考答案1．D2．4⎤⎦将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得：22cos 30t t ϕ+-=，12122cos 3t t t t ϕ∴+=-=-，，12MN t t ∴=-==03πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，1cos 12ϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，，21cos 14ϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，，MN ⎤∴∈⎦43．8 4．122t t +因为12,P P 对应的参数分别为12,t t 故其中点所对应的参数为122t t +， 又()1,2P -对应的参数为0t =，根据直线的参数方程中t 的几何意义可知：12P P 中点到点P 的距离为12121022t t t t+-=+ 5．4-±l 的一般方程为20xay a +-=， ∵34πρθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，∴24sin 4cos ρρθρθ=-， ∴圆的直角坐标方程为2244x y y x +=-，即()()22228x y ++-=，∴圆心为()2,2C -，半径r =∵圆C 上恰有三个点到直线l， ∴圆心C 到直线l=，解得4a =-±6解：圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即4sin 4cos ρθθ=+， 则24sin 4cos ρρθρθ=+，圆C 的直角坐标系方程为22440x y x y +--=， 点()2,1P 在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l 的参数方程是2212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入22440x y x y +--=，得270t -=，设两个实根为1t ，2t，则12t t +=1270t t =-<，即1t ，2t 异号，所以1212PA PB t t t t -=-=+=7．12m =-或136m =-. 由参数方程可得：3344x t y m t ==-, 整理可得直线l 的直角坐标方程为4330x y m -+=，圆C 的极坐标方程即222222cos ,2,(1)1x y x x y ρρθ=+=-+=, 设圆心到直线的距离为d ，由弦长公式可得：==解得：12d =， 结合点到直线距离公式可得：403152m -+=,解得：12m =-或136m =-. 8．4433,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭直线参数方程为355435x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，转化为普通方程：11433y x =-，圆5ρ=转化为普通方程为2225x y += ，将直线方程代入圆的方程中，整理得225881040x x --= ， 设交点为()()1122,,,x y x y ，中点坐标()00,x y ，则1208844252225x x x +===， ()1212012114114112333333223325x x y y y x x -+-+===-+= ， 即则线段BC 中点直角坐标为4433,2525⎛⎫⎪⎝⎭.9．（1）l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，C 的普通方程为2(0)x ay a =>；（22. (1)由题意将1x =-代入10x y +-=，得y = 所以l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)； 由(1cos2)2sin (0)a a ρθθ+=>和余弦的二倍角公式，可得22cos sin a ρθρθ=，令cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简可得：2(0)x ay a =>，所以曲线C 的普通方程为：2(0)x ay a =>.(2)将直线的参数方程代入2(0)x ay a =>整理得：2)20t t -+= 设,A B 对应的参数为分别为12,t t ，且为上述方程的两实根，则有：1212,2t t t t +=⨯=由题知P 点在直线上并且,,PA AB PB 依次成等比数列可得：2AB PA PB =⋅ 则可得21212t t t t -=，由()221212124t t t t t t -=+-⨯，代入整理得：2410a a +-=，又0a >，则解得2a =-.10．（1）24y x =（2）1x =（1）由题意得(1cos 2)8sin ρθθ+=，得22cos 8sin ρθθ=，得22cos 4sin ρθρθ=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，24y x ∴=，即曲线C 的普通方程为24y x =．（2）由题意可知，直线l 与x 轴交于点(1,0)F ，即为抛物线C 的焦点，令1||FA t =，2||FB t =，将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，代入C 的普通方程24y x =中，整理得22sin 4cos 40t t αα--=，由题意得sin 0α≠，根据根与系数的关系得，1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α-=， 121224||||4sin FA FB t t t t α∴===≥（当且仅当2sin 1α=时，等号成立）， ∴当||||FA FB ⋅取得最小值时，直线l 的直角坐标方程为1x =．11．（1）22x y =；（2）见解析（1）联立22y x m x py=+⎧⎨=⎩消去y 并整理得：2220x px pm --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122x x p +=，122x x pm =-，22212121212()()()22y y x m x m x x m x x m pm pm m m ∴=++=+++=-++=，∴22121222OA OB x x y y pm m m m =+=-+=-，22pm m ∴=，又因为0m ≠，1p ∴=，抛物线C 的方程为：22x y =．（2）由22y xx y =⎧⎨=⎩可得(2,2)P ，由22x y =求导得y x '=，所以C 在点P 处的切线为：22(2)y x -=-，即220x y --=，联立220x y y x m--=⎧⎨=+⎩可得(2,22)D m m ++，2222||(22)(222)5PD m m m ∴=+-++-=，又直线l的参数方程为：22(222x m t y m t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩为参数）， 将直线l 的参数方程代入到22x y =得22(220t m m +++=， 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ， 则221212|||||||||||2|2DA DB t t t t m m ====， 222||55||||22PD m t DA DB m ∴===为定值．12．（1）直线l 的直角坐标方程为10x y --=，C 的普通方程229x y +=；（2. 解：（1）因为直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线C 的参数方程为33x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以曲线C 的普通方程229x y +=.（2）由题可知()0,1M -，所以直线l的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，（t 为参数），代入229x y +=，得280t --=. 设A ，B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=128t t =-.11MA MB -=12128MB MA t t MA MB t t -+==. 13．（1）1C20y +-=,2C :23x y =（2）90（1）直线1C的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），消去t20y +-=；由2cos 3sin ρθθ=，得22cos 3sin ρθρθ=，则曲线2C 的直角坐标方程为23x y =.（2）将直线1C的参数方程323x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入23x y =，得2180t --=，设,M N 对应的参数分别为12,t t，则121218t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩()2221212290PM PN t t t t +=+-=.14．（1）2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）5解：（1）曲线C ：22t t t t e e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩消去参数t 得到：221(1)x y x -=≥， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得2222cos sin 1((,))44ππρθρθθ-=∈-所以2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=，23305m m ∴-= 设1PA m =，2PB m =，由直线的参数方程参数的几何意义得：215PA PB m m ∴⋅==15．（1）圆C的直角坐标方程为220x y+-+=，直线l的普通方程为x y-+=（2）（1）2cos cos2sin sin44ππρθθθθ=-=2cos sinρθθ∴=，即22x y+=∴圆C的直角坐标方程为：220x y+-+=由xy⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去t得：y x-=∴直线l的普通方程为：0x y-+（2）由（1）知，圆C的圆心为22⎛-⎝⎭，半径1r=∴圆心到直线l距离5d==∴直线l上的点向圆C=16．（1）曲线C'的极坐标方程为:1Cρ'=（2）APAM AN=⋅（I）曲线C的参数方程为()2x cosyθθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，利用平方关系即可化为普通方程．利用变换公式代入即可得出曲线C'的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程．（II）点A的直角坐标是3,02A⎛⎫-⎪⎝⎭，将l的参数方程3266x tcosy tsinππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）代入曲线C'的直角坐标方程可得2450t-+=，利用根与系数的关系即可得出．试题解析：（Ⅰ）222::143x cos x y C C y θθ=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩，将122x x x x y y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪''⎪'=⎩'，代入C 的普通方程可得221x y ''+=，即22:1C x y +='，所以曲线C '的极坐标方程为:1C ρ'=（Ⅱ）点A 的直角坐标是3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将l 的参数方程3266x tcos y tsin ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） 代入221x y +=，可得2450t -+=， ∴t 1+t2=，t 1•t 254=，所以12122t t AP AM AN t t +==⋅。
第01讲 直线的方程(九大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
2
5
∪ 2, +∞ ．
题型突破·考法探究
题型四：直线的方程
【典例4-1】已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为(0,2)，斜边上中线CE所
在直线方程为3 + − 7 = 0，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程
为
．
【答案】 − 3 + 1 = 0
当直线不经过原点时，设直线方程为：2 + = 1，
2
3
把点(2,3)代入2 + = 1，解得 = 4．
∴直线方程为 + 2 = 8．
综上可得直线方程为：3 − 2 = 0或 + 2 − 8 = 0，
故答案是：3 − 2 = 0或 + 2 − 8 = 0．
【方法技巧】
题型二：三点共线问题
【典例2-1】若点 3,1 、 −2, 、 8,11 在同一直线上，则实数k的值为
【答案】−9
【解析】因为三点 3,1 、 −2, 、 8,11 在同一直线上，
∴的斜率和的斜率相等，
−1
即−2−3 =
11−1
，
8−3
∴ = −9．
故答案为：−9．
．
是
．
【答案】
1
−3, −
2
3−0
2−0
1
【解析】设(3,0)，则 = 2−3 = −3， = −1−3 = − 2，
∵点(, )是线段上的任意一点，
∴
1
]，
的取值范围是[−3，−
−3
2
1
故答案为：[−3，− 2]
的取值范围
2024高考一轮复习数学重难点11九种直线和圆的方程的解题方法(核心考点讲与练含答案
2024高考一轮复习专项重难点11 九种直线和圆的方程的解题方法（核心考点讲与练）能力拓展题型一：直接法求直线方程一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）直线l 经过两条直线10x y -+=和2320x y ++=的交点，且平行于直线240x y -+=，则直线l 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y +-=2．（2022·全国·高三专题练习（文））若经过点(1,2)P --的直线与圆225x y +=相切，则该直线在y 轴上的截距为()A ．52B ．5C ．52-D ．5-3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，圆1C 、2C 在第一象限，且与x 轴，直线2:2l y =均相切，则圆心1C 、2C 所在直线的方程为（）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．y x=4．（2022·重庆·高三开学考试）若直线l 交圆22:420C x y x y +-+=于A 、B 两点，且弦AB 的中点为()1,0M ，则l 方程为（）A ．10x y --=B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++=二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）过点()2,3A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A ．320x y -=B ．230x y -=C ．5x y +=D ．1x y -=-6．（2022·全国·高三专题练习）已知(1,2)A ，(3,4)B -，(2,0)C -，则（）A ．直线0x y -=与线段AB 有公共点B ．直线AB 的倾斜角大于135︒C ．ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为2y =D ．ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为470x y -+=7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 过点P （－1，1），且与直线1:230l x y -+=以及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与直线l 1的斜率互为相反数B ．所围成的等腰三角形面积为1C ．直线l 关于原点的对称直线方程为210x y +-=D ．原点到直线l 8．（2021·全国·模拟预测）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，称线段PQ 长度的最小值为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .已知线段1:(122)l x y =--≤≤，21:()20l x y =-≤≤，点P 为平面上一点，且满足12(,)(,)d P l d P l =，若点P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是第一象限内曲线C 上两点，点(10)F ，且54AF =，BF =）A ．曲线C 关于x 轴对称B ．点A 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．点B 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．FAB 的面积为1916题型二：待定系数法求直线方程一、单选题1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知抛物线C ：22y px =的焦点F 的坐标为()20，，准线与x 轴交于点A ，点M 在第一象限且在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（）A ．24y x =+B ．24y x =--C ．y =x +2D ．2y x =--2．（2022·全国·高三专题练习）若直线1:2330l x y --=与2l 互相平行，且2l 过点(2,1)，则直线2l 的方程为（）A ．3270x y +-=B ．3240x y -+=C ．2330x y -+=D ．2310x y --=3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20l ax y a +-+=在x 轴与y 轴上的截距相等，则实数a 的值是（）A ．1B ．﹣1C ．﹣2或1D ．2或14．（2022·全国·高三专题练习）过点()1,2作直线l ，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 有（）条.A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题5．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 的倾斜角是3πB ．若直线m：10x +=，则l m ⊥C ．点到直线l 的距离是2D ．过与直线l 40y --=6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（）A ．已知点3(2,)A -，(3,2)B --，若直线(1)1y k x =-+与线段AB 有交点，则34k ≥或4k ≤-B ．1m =是直线1l ：10mx y +-=与直线2l ：()220m x my -+-=垂直的充分不必要条件C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上的截距都相等的直线的方程为20x y +-=D ．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，R a ∈，和两点(0,1)A ，(1,0)B -，如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB⋅的最大值是1.7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误．．的是（）A ．若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则1a =-B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是30,,)44[πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C ．()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B CD -四点不在同一个圆上D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=8．（2021·全国·高三专题练习）直线l 与圆22(2)2x y -+=相切，且l 在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可能是A ．0x y +=B ．20x y +-+=C ．0x y -=D ．40x y +-=三、填空题9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若21154x x -=，则直线AB 的方程为______．10．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））若过点()1,1A 的直线l 将圆()()22:324C x y -+-=的周长分为2:1两部分，则直线l 的斜率为___________.四、解答题11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：()()22214x y -+-=，直线l ：()()423360m x m y m ----=.(1)过点()4,2P -，作圆C 的切线1l ，求切线1l 的方程；(2)判断直线l 与圆C 是否相交，若相交，求出直线l 被圆截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F =，点3(1,2在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆的面积为7，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.题型三：已知两直线位置关系求参数值或范围一、单选题1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线1:210l x y -+=，2:10l x ay +-=，且12l l ⊥，点()1,2P 到直线2l 的距离d =（）A BC ．5D ．52．（2022·辽宁·二模）己知直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，则l m ∥的充要条件是（）A ．1a =-B ．1a =C ．1a =±D ．0a =二、多选题3．（2021·重庆一中高三阶段练习）下列说法正确的有（）A ．若m ∈R ，则“1m =”是“1l ：330x my m -+=与2l ：()20m x y m +--=平行”的充要条件B ．当圆222110x y x +--=截直线l ：()1y kx k =+∈R 所得的弦长最短时，1k =-C ．若圆1C ：222x y t +=+与圆2C ：()()22349x y -++=有且仅有两条公切线，则()2,6t ∈D ．直线l ：tan 412022y x =-︒⋅+的倾斜角为139°4．（2021·广东·高三阶段练习）已知直线l 过点()1,2M 且与圆C ：()2225x y -+=相切，直线l 与x 轴交于点N ，点P 是圆C 上的动点，则下列结论中正确的有（）A ．点N 的坐标为()3,0-B ．MNP △面积的最大值为10C ．当直线l 与直线10ax y -+=垂直时，2a =D ．tan MNP ∠的最大值为43三、填空题5．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线l 与直线:20g ax by a ++=平行，则直线l ，g 间的距离为______．6．（2022·天津·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,2)-，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为___________.四、解答题7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限．(1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．8．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)1C x y ++=，圆222:(4)4C x y -+=，A 是第一象限内的一点，其坐标为(,)t t ．（1）若1212AC AC →→⋅=-，求t 的值；（2）过A 点作斜率为k 的直线l ，①若直线l 和圆1C ，圆2C 均相切，求k 的值；②若直线l 和圆2C ，圆2C 分别相交于,A B 和,C D ，且AB CD =，求t 的最小值．题型四：求解直线的定点一、单选题1．（2022·山东滨州·二模）已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=，圆22:20C x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定2．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4i P i =，过动点Pi 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅= ，则k 的取值范围为（）A ．4,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,7)(4,13)--∞-- D ．4(7,)1)30(,--- 二、多选题3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知O 为坐标原点，点()P a b ，在直线()40l kx y k --=∈R ：上，PA PB ，是圆222x y +=的两条切线，A B ，为切点，则（）A ．直线l 恒过定点()04，B ．当PAB △为正三角形时，OP =C ．当PA PB ⊥时，k 的取值范围为()-∞+∞ ，D ．当14PO PA ⋅=时，a b +的最大值为4．（2022·江苏盐城·三模）设直线l ：()220mx y m m R --+=∈，交圆C ：()()22349x y -+-=于A ，B 两点，则下列说法正确的有（）A ．直线l 恒过定点()1,2B ．弦AB 长的最小值为4C ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：()()22439x y -+-=D ．过坐标原点O 作直线l 的垂线，垂足为点M ，则线段MC5．（2022·重庆·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，过动点i P 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅= ，则k 的值可能为（）A ．-7B ．-5C ．-2D ．–1三、双空题6．（2022·北京房山·二模）已知圆()()22:121C x y -+-=和直线():1l y k x =+，则圆心坐标为___________；若点P 在圆C 上运动，P 到直线l 的距离记为()d k ，则()d k 的最大值为___________.四、填空题7．（2022·河南焦作·三模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点(2,0)对称，当[0,2]x ∈时，2()1(1)f x x =---，若方程()(2)0f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是______．五、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =，直线l 过点P 且垂直于OQ ，求证：直线过定点.9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆22195x y+=的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点(,)T t m 的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，其中0m >，10y >，20y <(1)设动点P 满足()()13PF PB PF PB +-=，求点P 的轨迹方程；(2)设12x =，213x =，求点T 的坐标；(3)若点T 在点P 的轨迹上运动，问直线MN 是否经过x 轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.题型五：直线相关的对称问题一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理））集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M .若集合(){}22,925A x y xy =≤+≤，(){},B x y y x m ==+，(){},2C x y y kx k ==+-则下列说法中不正确的有（）A ．若AB ⋂≠∅，则实数m 的取值范围为{m m -≤≤B ．存在k ∈R ，使AC ⋂≠∅C ．无论k 取何值，都有A C ⋂≠∅D ．A C的最大值为42．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量12312312,,,1,,60e e e e e e e e ︒==== .若对区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的三个任意的实数123,,λλλ,都有11223312312e e e e e e λλλ++++,则向量1e 与3 e 夹角的最大值的余弦值为（）A ．36-B ．C ．D ．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆()22:34C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则有（）A ．四边形MACB 面积的最小值为B ．AMB ∠最大度数为60°C ．直线AB 过定点15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．AB 4．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线l ：10kx y k --+=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（）A ．AB的最小值为B ．若圆C 关于直线l 对称，则3k =C ．若2ACB CAB ∠=∠，则1k =或17k =-D ．若A ，B ，C ，O 四点共圆，则13k =-三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）已知平面内点,05n n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,05n n B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()*n ∈N ，点n C 满足n n n n AC B C ⊥．设n C 到直线()3410x y n n +++=的距离的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 能取的最小值是______．6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =__________．7．（2022·广东佛山·模拟预测）已知点()1,0A ，()3,0B ，若2PA PB ⋅=，则点P 到直线l ：340x y -+=的距离的最小值为____________．四、解答题8．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22224x t ty t ⎧=-⎨=+⎩(t 为参数)．(1)求C 与坐标轴交点的直角坐标；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由.9．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线:sin cos 0l x y a θθ++=，圆()()221:324C x y a +--=，圆2222:340Cx y a a +-+=(1)若4θ=，求直线l 的倾斜角；(2)设直线l 截两圆的弦长分别为12,d d ，当23πθ=时，求12d d ⋅的最大值并求此时a 的值.10．（2022·江西南昌·一模（理））已知面积为ABO （O 是坐标原点）的三个顶点都在抛物线()2:20E y px p =>上，过点(),2P p -作抛物线E 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点.(1)求p 的值；(2)求PMN 的外接圆的方程.题型六：几何法求圆的方程一、多选题1．（2022·广东·模拟预测）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆O '的圆心在OAB 的欧拉线l 上，O 为坐标原点，点()4,1B 与点()1,4A 在圆O '上，且满足O A O B '⊥'，则下列说法正确的是（）A ．圆O '的方程为224430x y x y +--+=B ．l 的方程为0x y -=C ．圆O '上的点到l 的最大距离为3D ．若点(),x y 在圆O '上，则x y -的取值范围是⎡-⎣二、填空题2．（2022·河北·模拟预测）圆心为(1,2)C -，且截直线350x y ++=所得弦长为的圆的方程为___________.3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知㮋圆1C ：()2221024x y b b+=<<的离心率为12，1F 和2F 是1C 的左右焦点，M 是1C 上的动点，点N 在线段1F M 的延长线上，2MN MF =，线段2F N 的中点为P ，则1F P 的最大值为______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知圆C 过点(0,1)(2,1)P Q 、两点，且圆心C 在x 轴上，经过点(1,0)M -且倾斜角为钝角的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若0CA CB ⋅= (C 为圆心)，则该直线l 的斜率为________．5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝k (x ＋2)与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若|PA |PT |，则实数k 的取值范围是______________．三、解答题6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））拋物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：2x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点M 的坐标为()4,0，M 与直线l 相切．(1)求抛物线C 和M 的标准方程；(2)已知点()8,4N ，点1A ，2A 是C 上的两个点，且直线1NA ，2NA 均与M 相切．判断直线12A A 与M 的位置关系，并说明理由．7．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知O 为坐标原点，抛物线E ：22x py =（p ＞0），过点C （0，2）作直线l 交抛物线E 于点A 、B （其中点A 在第一象限），4OA OB ⋅=- 且AC CB λ= （λ＞0）.(1)求抛物线E 的方程；(2)当λ=2时，过点A 、B 的圆与抛物线E 在点A 处有共同的切线，求该圆的方程8．（2022·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系上一动点(),P x y 到点()2,0A -的距离是点P 到点()10B ,的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程：（2）若点P 与点Q 关于点()1,4-对称，求P 、Q 两点间距离的最大值；（3）若过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于E 、F 两点，()2,0M ，则是否存在直线l ，使BFM S △取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．题型七：待定系数法求圆的方程一、单选题1．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知圆M 的半径为1，若此圆同时与x 轴和直线y =相切，则圆M 的标准方程可能是（）A ．22((1)1x y -+-=B ．22(1)(1x y -+=C ．22(1)(1x y -++=D ．22((1)1x y ++=二、填空题2．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数()()()2112819f x x x x =+--.过点()() 1,1A f --作曲线()y f x =两条切线，两切线与曲线()y f x =另外的公共点分别为B 、C ，则ABC 外接圆的方程为___________.3．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知抛物线2:8C x y =，过点(2,2)N -作抛物线C 的两条切线NA ，NB ，切点分别为点A ，B ，以AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，则PQ =_______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 上一点A 位于第一象限，且满足3AF =，则以点A 为圆心，AF 为半径的圆的方程为______.三、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求12BA BA →→；(3)求证：|AN |·|BM |为定值.6．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知圆C 过点(2,1)-，(6,3)，(2,3)-．(1)求C 的标准方程；(2)若点(,)P x y 在C 上运动，求34x y -的取值范围．7．（2021·全国·模拟预测）已知点()1,1P 在抛物线C ：()220y px p =>上，过点P 作圆E ：()()22220y x r r +=->的两条切线，切点为A ，B ，延长PA ，PB 交抛物线于C ，D .（1）当直线AB 抛物线焦点时，求抛物线C 的方程与圆E 的方程；（2）证明：对于任意()0,1r ∈，直线CD 恒过定点.8．（2019·云南·二模（理））已知O 是坐标原点，抛物线C ：2x y =的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，Q 为抛物线C 的准线上一点，且2AQB π∠=.（1）求Q 点的坐标；（2）设与直线l 垂直的直线与抛物线C 交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，设直线1l 与2l 交于点P ，若OP OQ ⊥，求MON ∆外接圆的标准方程.题型八：几何法求弦长一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知直线l 过点(A ，则直线l 被圆O ：2212x y +=截得的弦长的最小值为（）A ．3B ．6C ．D ．2．（2022·全国·模拟预测）过点()2,2A ，作倾斜角为π3的直线l ，则直线l被圆22:16O x y +=-弦长为（）A．12-B．2C．3D．6-二、多选题3．（2022·广东·模拟预测）已知圆221:(1)1C x y ++=和圆222:(4)4C x y -+=，过圆2C 上任意一点P 作圆1C 的两条切线，设两切点分别为,A B ，则（）A ．线段ABB ．线段ABC ．当直线AP 与圆2C 相切时，原点O 到直线AP 的距离为65D ．当直线AP 平分圆2C 的周长时，原点O 到直线AP 的距离为45三、填空题4．（2022·河北唐山·三模）直线:0+-=l x m 与圆22:480+--=C x y x 交于A 、B 两点，且6⋅=- CA CB ，则实数m =_______．四、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知点()()1,0M m m ->，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆22:143x y C +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点.(1)若M 为线段AB 的中点，证明：212112y y x x ->-；(2)设C 的左焦点为F ，若M 在∠AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆224x y +=截得的弦长为l 的方程.6．（2021·湖北·武汉市第六中学高三阶段练习）已知圆O ：x 2＋y 2=2，过点A （1，1）的直线交圆O 所得的，且与x 轴的交点为双曲线E ：2222x y a b -=1的右焦点F （c ，0）（c ＞2），双曲线E 的离心率为32．(1)求双曲线E 的方程；(2)若直线y =kx ＋m （k ＜0，k ≠m ＞0）交y 轴于点P ，交x 轴于点Q ，交双曲线右支于点M ，N 两点，当满足关系111||||||PM PN PQ +=时，求实数m 的值．7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>0y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN 面积的最大值，并求出此时直线l 的方程.题型九：利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题一、单选题1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知直线():130l a x y -+-=，圆22:(1)5C x y -+=.则“32a =”是“l 与C 相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知圆2220x y x a +-+=上仅存在一个点到直线30x -+=的距离为1，则实数a 的值为（）A ．-2B ．C ．-1D ．03．（2022·全国·高三专题练习（文））圆O ：222x y +=上点P 到直线l ：3410x y +=距离的最小值为（）A 1B ．2C ．2D ．04．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））过直线34110x y -+=上一动点P 作圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，则四边形PACB 的面积的最小值为（）AB C ．3D二、多选题5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知点P 在圆22:4O x y +=上，点()3,0A ，()0,4B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离最大值为225B ．满足AP BP ⊥的点P 有2个C ．过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M ､N ，则直线MN 的方程为1y =D ．2PA PB +的最小值是6．（2022·重庆·二模）已知点(),P x y 是圆()22:14C x y -+=上的任意一点，直线()):1130l m x y m ++-+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种B ．圆C 的圆心到直线lC ．点P 到直线43160++=x y 距离的最小值为2D ．点P 可能在圆221x y +=上三、填空题7．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））过直线0x y m --=上动点P 作圆2:(2)(3)1M x y -+-=的一条切线，切点为A ，若使得1PA =的点P 有两个，则实数m 的取值范围为___________．8．（2022·贵州遵义·三模（理））圆22:2O x y +=上点P 到直线3410:x y l +=距离的最小值为__________．四、解答题9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线2y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点.（1）求FAB 的面积；（2）过抛物线C 上一点Р作圆()22:34M x y -+=的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C 交于异于点P 的两点D ，E .证明：直线DE 与圆M 相切.高考一轮复习专项。
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《直线方程》
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《直线方程》【题型一】：直线的倾斜角与斜率【题型二】：两直线的位置关系【题型三】：直线的方程【题型四】：对称问题【题型五】：综合应用【题型一】：直线的倾斜角与斜率【例1】．直线cos320x yα++=的倾斜角的范围是A．5,,6226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦B．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C．50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【思路点拨】已知条件中直线cos320x yα++=中的角α并不是这条直线的倾斜角. 【答案】B【解析】由直线cos320x yα++=，所以直线的斜率为cos3kα=-．设直线的倾斜角为β，则costan3αβ=-．又因为3cos3333α-≤-≤，即33tan33β-≤≤，所以50,,66ππβπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．【总结升华】本题要求正确理解直线倾斜角的概念以及倾斜角与斜率的关系。
【变式训练】【变式】已知动直线21y kx k =++ 与直线l : 122y x =-+的交点在第一象限，求k 的取值范围。
【答案】：由题意可知，动直线l 过定点21C -（，）, 直线l 与x 轴，y 轴分别交于点40A （，），02B （，）, 由图可知AC BC k k k <<时，动直线与直线l 交点在第一象限,0114(2)6AC k -==---,2110(2)2BC k -==--, ∴1162k -<< 为所求. 【题型二】：两直线的位置关系【例2】．四边形ABCD 的顶点为(2222)A +，，(22)B -，，(0222)C -，，(42)D ，，试判断四边形ABCD 的形状．【思路点拨】证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角.【解析】AB 边所在直线的斜率22AB k =， CD 边所在直线的斜率22CD k =， BC 边所在直线的斜率2BC k =-，DA 边所在直线的斜率2DA k =-．AB CD k k =∵，BC DA k k =，AB CD ∴∥，BC DA ∥，即四边形ABCD 为平行四边形．又2(2)12AB BC k k =⨯-=-，AB BC ⊥∴，即四边形ABCD 为矩形． 【总结升华】证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要他们斜率的乘积为-1.【变式训练】【变式1】直线l 1: ax+(1-a)y=3与直线l 2: (a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值。
223 直线的一般式方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
2.2.3直线的一般式方程（基础知识+基本题型）知识点一：直线方程的一般式1.定义在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程表示，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于,x y 的二元一次方程Ax +0By C +=（其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.2.适用范围在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.3.几何意义（1）当0B ≠时，A k B -=（斜率），Cb B -=（y 轴上的截距）；（2）当0A ≠时，Ca A-=（x 轴上的截距）.拓展直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式，斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线．因此,要注意运用分类讨论的思想．在高考中,题型以选择题和填空题为主,与其他知识点综合时,一般以解答题的形式出现．知识点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=-于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+．（2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠）1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.考点一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）斜率是12-，经过点A （8，―2）；（2）经过点B （4，2），平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32，―3；（4）经过两点P 1（3，―2），P 2（5，―4）．【答案】（1）x+2y ―4=0（2）y ―2=0（3）2x ―y ―3=0（4）10x y +-=【解析】（1）由点斜式方程得1(2)(8)2y x --=--，化成一般式得x+2y ―4=0．（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y ―2=0．（3）由截距式得1332x y +=-，化成一般式得2x ―y ―3=0．（4）由两点式得234(2)53y x +-=----，化成一般式方程为10x y +-=．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．考点二：直线与坐标轴形成三角形问题例2．已知直线l 的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y 轴上的截距b ，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b ．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出1||62ab =，再根据它的斜率已知，从而得到关于a ，b 的方程组，解之即可．【答案】334y x =±或334y x =-±【解析】解法一：设l 的倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．设l 的方程为34y x b =±+，令y=0，得43x b =±．∴直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为4,03b ⎛⎫± ⎪⎝⎭，（0，b ）．∴2142||6233S b b b ∆=±⋅==，即b 2=9，∴b=±3．故所求的直线方程分别为334y x =±或334y x =-±．解法二：设直线l 的方程为1x y a b +=，倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．∴1||||6234a b b a⎧⋅=⎪⎪⎨⎪-=±⎪⎩，解得43a b =±⎧⎨=±⎩．故所求的直线方程为143x y +=±或143x y-=±．【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．考点三利用一般式研究平行或垂直例3.已知直线l 的方程为34120x y +-=，求直线'l 的方程，'l 满足：（1）过点(1,3)-，且与l 平行；（2）过点(1,3)-，且与l 垂直.解：方法1：由已知，l 的方程34120x y +-=可化为334y x =-+，所以直线l 的斜率为34-.（1）由l 与'l 平行，得直线'l 的斜率为34-.又因为'l 过(1,3)-，由点斜式，知方程为33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=.（2）由l 与'l 垂直，得直线'l 的斜率为43.又因为'l 过(1,3)-，由点斜式，知方程为43(1)3y x -=+，即43130x y -+=.方法2：（1）由l 与'l 平行，可设'l 的方程为340x y m ++=.将点(1,3)-代入上式，得9m =-.所以直线'l 的方程为3490x y +-=.（2）由l 与'l 平行，可设'l 的方程为430x y n -+=.将点(1,3)-代入上式，得13m =.所以直线'l 的方程为43130x y -+=.总结：（1）直线1111:0l A x B y C ++=，直线2222:0l A x B y C ++=：①'12210l l A B A B ⇔-= ，且122112210(0)B C B C A C A C -≠-≠或；②'12120l l A A B B ⊥⇔+=.（2）利用平行与垂直的关系巧设方程①与直线0Ax By C ++=平行的直线方程可设为10Ax By C ++=，再由其他条件求1C .注意当1C C =时，两直线重合，当1C C ≠时，两直线平行.②与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程可设为20Bx Ay C -+=，再由其他条件求2C .例4（1）过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是．(2)已知直线l 过点(2,1)p ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别为交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则BC △O 面积的最小值为；此时的直线方程为．【解析】欲求“直线与两坐标轴围成的三角形的面积”，设直线方程并求其在两坐标轴上的截距是解题的关键．（1）设所求直线方程为4(5)y k x +=+，依题意有14(5)(54)52k k--=，所以22530160k k -+=（无解）或22550160k k -+=，解得25k =或85k =；所以直线方程是25100x y --=或85200x y -+=．（2）设直线AB 的方程为1(2)(0)y k x k -=-<，则11(2)(12)211 =44211 4(4)()21 442S k k k k k k =----=--+-≥+=△O A B ，当且仅当14kk-=-即12k=-时取等号，故当12k=-时，OABS△有最小值4．此时，直线方程为11(2),2y x-=--即240x y+-=．反思：本题第（2）小题是将面积化成关于斜率k的函数，然后用函数的有关方法求最值．这里的关键是根据函数式的结构特征选用均值不等式．。
高考数学直线方程知识点总结（2篇）
高考数学直线方程知识点总结1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点(0，)的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线.②在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且)推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.(即是垂直的充要条件)4.直线的交角：⑴直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5.过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内)____点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：1.两点P1(____1,y1)、P2(____2,y2)的距离公式：.特例：点P(____,y)到原点O的距离：2.定比分点坐标分式。
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高考直线方程题型归纳集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]高考直线方程题型归纳知识点梳理 1．点斜式方程设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，由于此方程是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否. （1）当直线l 的倾斜角α=90°时，斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l 恰与y 轴平行或重合，这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y －y 0=0.（3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解. 2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距. 注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。
要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.3．直线的两点式方程若直线l 经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，则直线l 的方程为112121y y x x y y x x --=--，这种形式的方程叫做直线的两点式方程. 注意（1）当直线没有斜率(x 1=x 2)或斜率为零(y 1=y 2)时，不能用两点式112121y y x x y y x x --=--表示它的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程； 如过两点A (1，2)，B (1，3)的直线方程可以求得x =1，过两点A (1，3)，B (－2，3)的直线方程可以求得y =3.（3）需要特别注意整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)与两点式方程112121y y x x y y x x --=--的区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。
4．直线的截距式方程若直线l 在x 轴上的截距是a ，在y 轴上的截距是b ，且a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为1x ya b +=，这种形式的方程叫做直线的截距式方程。
注意：（1）方程的条件限制为a ≠0，b ≠0，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；（2）用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度；（3）要注意“截距相等”与“截距绝对值相等”是两个不同的概念，截距式中的截距可正、可负，但不可为零。
截距式方程的应用（1）与坐标轴围成的三角形的周长为：|a |+|b（2）直线与坐标轴围成的三角形面积为：S =1||2ab ；（3）直线在两坐标轴上的截距相等，则k =－1或直线过原点，常设此方程为x +y =a 或y =kx . 5．直线方程的一般形式方程Ax +By +C =0（A 、B 不全为零）叫做直线的一般式方程. 注意（1）．两个独立的条件可求直线方程：求直线方程，表面上需求A 、B 、C 三个系数，由于A 、B 不同时为零，若A ≠0，则方程化为0B Cx y A A++=，只需确定,B C A A 的值；若B ≠0，同理只需确定两个数值即可；因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；（2）．直线方程的其他形式都可以化成一般式，解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式，一般式也可以化为其他形式。
（3）．在一般式Ax +By +C =0（A 、B 不全为零）中，若A =0，则y =CB -，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B =0，则Cx A=-，它表示一条与x 轴垂直的直线.6.直线方程的选择（1）待定系数法是求直线方程的最基本、最常用的方法，但要注意选择形式，一般地已知一点，可以待定斜率k ，但要注意讨论斜率k 不存在的情形，如果已知斜率可以选择斜截式待定截距等； （2）直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性，解题过程中要能够根据不同的题设条件，灵题型1．直线的点斜式方程例1．一条直线经过点M (－2，－3)，倾斜角α=135°，求这条直线的方程。
例2．求斜率为33，且分别满足下列条件的直线方程： （1）经过点M (3，－1)；（2）在x 轴上的截距是－5. 题型2．直线的斜截式方程例3．若直线Ax +By +C =0通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足条件（ ）（A ）A 、B 、C 同号 （B ）AC <0，BC <0 （C ）C =0，AB <0 （D ）A =0，BC <0 例4．直线y =ax +b (a +b =0)的图象是（ ）例5．写出过下列两点的直线方程，再化成斜截式方程.（1）P 1(2，1)，P 2(0，－3)；（2）P 1(2，0)，P 2(0，3)。
例6． 三角形的顶点是A (－5，0)、B (3，－3)、C (0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程. 题型4．直线的截距式方程例7．已知直线的斜率为61，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线的方程。
例8．过点A (1，4)且纵截距与横截距的绝对值相等的直线共有的条数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 题型5．直线的一般式方程例9．已知直线经过点A (6，－4)，斜率为－34，求直线的点斜式和一般式方程.例10．把直线l 的方程x －2y +6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画图. 题型6.定点问题 例11、已知直线所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{}的第一项与第二项，若，数列的前n 项和为T n ，则T 10=（ ）A. B. C. D.题型7.对称问题例12、已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( )A. B ．－ C ．2 D ．－2例13、直线关于直线对称的直线方程是 （ ）A ．B ．C ．D ．例14、直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是_________例15.(1)求点A (3,2)关于点B (－3,4)的对称点C 的坐标；(2)求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程；(3)求点A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．题型8.最值问题例16、若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是( )A．2 B．2 C．4 D．2例17、直线与直线互相垂直，则的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．5例18.过点P(1，2)作直线l，交x，y轴的正半轴于A、B两点，求使△OAB面积取得最小值时直线l的方程.题型9．创新问题例19．已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2，3)，求过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程.例20、已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )A．(0,1) B. C. D.例21、在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；②到原点的“折线距离”小于等于2的点构成的区域面积为8；③到M（0，﹣2），N（0，2）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y=0；④直线y=x+1上的点到N（0，2）的“折线距离”的最小值为1．其中真命题有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个例22、已知两定点M（-2，0），N（2，0），若直线上存在点P，使得，则该称直线为“A 型直线”.给出下列直线：①，②，③，④，其中是“A 型直线”的序号是 .例23、已知直线l ：(A ，B 不全为0)，两点，，若，且，则（ ）A ．直线l 与直线P 1P 2不相交B ．直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交C ．直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交D ．直线l 与线段P 1P 2相交例24. 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x≤1)．试求y ＋3x ＋2的最大值与最小值． 强化训练1．下列说法中不正确的是（ ）（A ）点斜式y －y 0=k (x －x 0)适用于不垂直于x 轴的任何直线 （B ）斜截式y =kx +b 适用于不垂直x 轴的任何直线（C ）两点式112121y y x x y y x x --=--适用于不垂直于坐标轴的任何直线 （D ）截距式1x ya b+=适用于不过原点的任何直线2．直线3x －2y =4的截距式方程为（ ）（A ）3142x y -= （B ）11132x y -= （C ）3142x y -=- （D ）1423x y+=-3．过点(3，－4)且平行于x 轴的直线方程是 ；过点(5，－2)且平行于y 轴的直线方程是 。
4．过点P (1，3)的直线分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，求直线的方程. 5．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6，6)，C (－2，0)，求：（1）△ABC 的平行于BC 边的中位线的一般式方程和截距式方程； （2）BC 边的中线的一般式方程，并化为截距式方程. 6．如果AC <0，BC <0，那么直线Ax +By +C =0不通过（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限7．直线l 过点P (1，3)，且与x ，y 轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l 的方程是（ ） （A ）3x +y －6=0 （B ）x +3y －10=0 （C ）3x －y =0 （D ）x －3y +8=0 8．若直线(2m 2+m －3)x +(m 2－m )y =4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）－21 （D ）2或－219．已知直线l ：Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)，点P (x 0，y 0)在l 上，则l 的方程可化为（ ）（A ）A (x +x 0)+B (y +y 0)+C =0 （B ）A (x +x 0)+B (y +y 0)=0 （C ）A (x －x 0)+B (y －y 0)+C =0 （D ）A (x －x 0)+B (y －y 0)=010．经过点(－3，－2)，在两坐标轴上截距相等的直线方程为 11．若点(a ，12)在过点(1，3)及点(5，7)的直线上，则a = . 12．、在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：①? 存在正实数，使△的面积为的直线仅有一条；②? 存在正实数，使△的面积为的直线仅有两条；③? 存在正实数，使△的面积为的直线仅有三条；④? 存在正实数，使△的面积为的直线仅有四条.其中所有真命题的序号是 .13、在平面直角坐标系xOy中，设点、，定义：．已知点，点M为直线上的动点，则使取最小值时点M的坐标是．14（1）已知直线l：(2m2+m－3)x+(m2－m)y－4m+1=0，求m的取值范围#（2）如果ab>0，bc<0，那么直线ax－by－c必经过第几象限。