曲线运动运动的合成和分解
专题23曲线运动 运动的合成与分解(解析版)—2023届高三物理一轮复习重难点突破
专题23曲线运动运动的合成与分解考点一物体做曲线运动的条件1.曲线运动的速度方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．2.曲线运动的条件：物体所受合外力(加速度)的方向跟速度方向不在同一条直线上.根据曲线运动的条件，判断物体是做曲线运动还是做直线运动，只看合外力(加速度)方向和速度方向的关系，两者方向在同一直线上则做直线运动，有夹角则做曲线运动．3.物体做曲线运动时，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧，轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间．4.(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．1．关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是（）A．曲线运动一定是变速运动，变速运动一定是曲线运动B．速度一定在变化C．所受的合外力一定在变化D．加速度方向一定垂直于速度方向【答案】B【解析】A．曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，A错误；B．做曲线运动的物体速度方向一定在发生变化，B正确；C．做曲线运动的物体，合外力不一定在变化，C错误；D．做曲线运动的物体，合力方向与速度方向不在同一条直线上，但不一定垂直，所以加速度方向不一定与速度方向垂直，D错误。
2．在2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中，运动员谷爱凌摘得金牌。
如图所示是谷爱凌滑离跳台后，在空中实施翻滚高难度动作时，滑雪板（视为质点）运动的轨迹，a、b是轨迹。
上的两点，不计空气阻力。
则（）A．谷爱凌上升到最高点时，整体速度为零B．谷爱凌离开跳台后，整体做自由落体运动C．滑雪板经过a、b两点时的速度方向相反D．谷爱凌处于完全失重状态【答案】DA．谷爱凌上升到最高点时，整体还有水平速度，则速度不为零，选项A错误；B．谷爱凌离开跳台后，整体做斜上抛运动，然后做曲线运动，不是自由落体运动，选项B错误；C．滑雪板经过a、b两点时的速度方向均向上，方向相同，选项C错误；D．谷爱凌在空中加速度始终为g，处于完全失重状态，选项D正确。
4第1课时 曲线运动 运动的合成与分解
图1
(3)两分运动垂直或正交分解后的合成 (3)两分运动垂直或正交分解后的合成
a合 = a x + a y , v合 = vx + v y , x合 = x1 + x2 .
2 2 2 2 2 2
2.小船过河问题分析 2.小船过河问题分析 (1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的 (1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的 运动的合运动. 运动的合运动. (2)三种速度:v1(船在静水中的速度)、v2(水的 (2)三种速度: 船在静水中的速度) 三种速度 流速) 流速)、v(船的实际速度). 船的实际速度). (3)三种情景 (3)三种情景 ①过河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最 过河时间最短:船头正对河岸时, d (d为河宽). 短,t短 = (d为河宽). v1 过河路径最短( ):合速度垂直于河岸 合速度垂直于河岸, ②过河路径最短(v2<v1时):合速度垂直于河岸, 航程最短, 航程最短,s短=d.
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时, (2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时,物 当合力方向与速度方向的夹角为钝角时 体的速率减小. 体的速率减小. (3)当合力方向与速度方向垂直时 物体的速率不变. 当合力方向与速度方向垂直时, (3)当合力方向与速度方向垂直时,物体的速率不变. 4.曲线运动类型的判断 4.曲线运动类型的判断 (1)物体做曲线运动时,如合外力(或加速度) (1)物体做曲线运动时,如合外力(或加速度)的 物体做曲线运动时 大小和方向始终不变,则为匀变速曲线运动. 大小和方向始终不变,则为匀变速曲线运动. (2)物体做曲线运动时 如合外力(或加速度) 物体做曲线运动时, (2)物体做曲线运动时,如合外力(或加速度)是 变化的(包括大小改变、方向改变或大小、 变化的(包括大小改变、方向改变或大小、方向 同时改变),则为非匀变速曲线运动. ),则为非匀变速曲线运动 同时改变),则为非匀变速曲线运动. 5.两个直线运动的合运动性质的判断 5.两个直线运动的合运动性质的判断 根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动 是直线运动还是曲线运动. 是直线运动还是曲线运动. (1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动 两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动. (1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动.
曲线运动 运动的合成与分解
2.(多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。如图所 示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会 受到水平风力的影响。下列说法中正确的是 ( )
A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作 B.风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害 C.运动员下落时间与风力无关 D.运动员着地速度与风力无关
v1 9 x
2
v20x
t
21m， 竖 直 y
v1 9 y
2
v20y
t
2.1m,故 C错 选 D.
其 中 1 9 s 末 , 2 0末s 的 水 平 ， 竖 直 分 速 度分 别 为 v19x、 v20x， v19y、 v20y， t 1 s .
5．[由分运动的图像分析物体的运动规律] 质量为 2kg 的质点在 x-y 平面上运动，x 方向的速度—时间图 像和 y 方向的位移—时间图像分别如图所示，则质点 ( ) A.初速度为 4 m/s B.所受合外力为 4 N C.做匀变速直线运动 D.初速度的方向与合外力的方向垂直
即 t 是运动规律方程组所共有的“元”。
[深化理解] 1．物体做直线运动还是做曲线运动由物体的速度与合外力是
否在同一直线上决定。 2．两个分运动的合运动是直线运动还是曲线运动要看合速度
与合加速度是否在同一直线上。 3．运动的分解应考虑运动的实际效果，类似于力的分解考虑
力的作用效果；但力的分解也常常考虑解题的方便不根据 作用效果进行分解，运动的分解则常常沿两个互相垂直的 方向分解，方便计算。
解析：质点原来做匀速直线运动，说明所受合外力为 0，当对 其施加一恒力后，恒力的方向与原来运动的速度方向关系不 确定，则质点可能做直线运动，也可能做曲线运动，但加速 度的方向一定与该恒力的方向相同，且加速度大小不变，选 项 B、C 正确，A 错误；由 a＝ΔΔvt 可知，质点单位时间内速度 的变化量 Δv 总是不变的，但速率的变化量不确定，D 错误。
第1讲 曲线运动、运动的合成与分解
第1讲曲线运动、运动的合成与分解姓名学校日期【学习目标】L.能在具体问题中分析合运动和分运动，并知道合运动和分运动同时发生即具有等时性，以及分运动互不影响即独立性。
2.知道分运动常采用从合运动的效果来分解，理解运动的合成与分解遵循平行四边形定则。
3.会用作图法和直角三角形知识解决有关位移和速度的合成与分解问题，理解合运动是由分运动组成的，分运动的性质决定合运动的性质和轨迹。
【知识点】知识点一曲线运动一、曲线运动的特点做曲线运动的物体在某点的速度方向就是曲线在该点的切线方向，因此速度的方向是时刻的，所以曲线运动一定是运动。
【例1】做曲线运动的物体，在运动过程中，一定变化的物理量是( )A．速率 B．速度 C．加速度 D．合外力【例2】关于质点做曲线运动的下列说法中，正确的是（）A．曲线运动一定是匀变速运动B．变速运动一定是曲线运动C．曲线运动轨迹上任一点的切线方向就是质点在这一点的瞬时速度方向D．有些曲线运动也可能是匀速运动二、物体做曲线运动的条件合外力（加速度）方向和初速度方向同一直线；与物体做直线运动的条件区别是①物体做曲线运动一定受外力。
物体所受的合外力方向与速度方向不在同一直线上，所以，一定有加速度且加速度方向和速度方向不在一条直线上。
曲线运动中，合外力、加速度方向一定指向曲线凹的那一边。
②曲线运动性质如果这个合外力的大小和方向都恒定，物体做匀变速曲线运动，如平抛运动、斜抛运动。
如果这个合外力的大小恒定，方向始终与速度方向垂直，则有2VF mR，物体就作匀速圆周运动【例3】物体运动的速度（v）方向、加速度（a）方向及所受合外力（F）方向三者之间的关系为（） A.v、a、F三者的方向相同B．v、a两者的方向可成任意夹角，但a与F的方向总相同C．v与F的方向总相同，a与F的方向关系不确定D．v与F间或v与a间夹角的大小可成任意值【针对训练】1.下列叙述正确的是( ) A ．物体在恒力作用下不可能作曲线运动 B ．物体在变力作用下不可能作直线运动 C ．物体在变力或恒力作用下都有可能作曲线运动 D ．物体在变力或恒力作用下都可能作直线运动2．物体受到几个外力的作用 而做匀速直线运动，如果突然撤掉其中一个力，它不可能做（ ） A ．匀速直线运动 B ．匀加速直线运动 C ．匀减速直线运动 D ．曲线运动3．质量为m 的物体受到两个互成角度的恒力F 1和F 2的作用，若物体由静止开始，则它将做 运动，若物体运动一段时间后撤去一个外力F 1，物体继续做的运动是 运动。
曲线运动、运动的合成与分解
第一讲曲线运动运动的合成与分解【知识梳理】1．曲线运动⑴速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的．⑵运动的性质：做曲线运动的物体，速度的时刻在改变，所以曲线运动一定是运动．⑶曲线运动的条件：物体所受的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的方向与速度方向不在同一条直线上．⑷曲线运动的分类：①匀变速曲线运动：物体所受合外力方向与初速度的方向同一条直线上，合外力是．②变加速曲线运动：物体所受合外力方向与初速度的方向同一条直线上，合外力是2．运动的合成与分解⑴基本概念：①运动的合成：已知求合运动；②运动的分解：已知求分运动．⑵分解原则：根据运动的分解，也可采用．⑶遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分解都遵循．⑷ 合运动与分运动的关系：⑷ 等时性：合运动和分运动经历的，即同时开始，同时进行，同时停止．⑷ 独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动，不受其他运动的影响．⑷ 等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有的效果．【考点解读】1．对曲线运动规律的进一步理解⑴合力方向与速度方向的关系：物体做曲线运动时，合力的方向与速度方向一定不在同一条直线上，这是判断物体是否做曲线运动的依据．⑵合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧．⑶速率变化情况判断：①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大．②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小．③当合力方向与速度方向垂直时,物体的速率不变．⑷曲线运动类型的判断：①物体做曲线运动时，如合外力（或加速度）的大小和方向始终不变，则为匀变速曲线运动．②物体做曲线运动时，如合外力（或加速度）是变化的（包括大小改变、方向改变或大小、方向同时改变），则为非匀变速曲线运动．⑸两个直线运动的合运动性质的判断：根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动．①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动；②一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动；③两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动；④两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动；若合初速度与合加速度在同一直线上，则合运动为匀变速直线运动如图甲所示，不共线时为匀变速曲线运动．如图乙所示．2．运动合成与分解的方法⑷ 运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们都是矢量，所以都遵循平行四边形定则．①两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减；②两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成。
曲线运动、运动的分解与合成、平抛运动
第五章曲线运动一、曲线运动1.曲线运动的位移（1）水平位移（2）竖直位移（3）合位移（某一时刻的位移）2.曲线运动的速度（1）水平速度（2）竖直速度（3）合速度（某一时刻的位移）（4）方向切线方向二、运动的合成与分解1、合运动与分运动（1）、合运动：物体实际发生的运动（2）、分运动：两个方向上的运动(垂直关系)2.运动的合成与分解的本质（1）速度、加速度、位移的合成与分解.（2）正交关系、正交分解或合成（垂直关系）。
3合运动与分运动的关系（1）等时性：合运动与分运动的时间相等。
（2）独立性：两个分运动之间相互无影响。
（3）等效性：两个分运动描述的运动和合运动描述的运动相同。
4、几种分运动和合运动的合成分解情况（1）两个分运动都是匀速直线运动，合运动是匀速直线运动。
（2）一个匀速直线运动、另一个是匀变速直线运动，合运动是匀变速曲线运动。
（3）两个都是匀变速直线运动，合运动是：A.匀变速直线运动B.匀变速曲线运动5、常见的运动合成与分解问题（1）小船过河A.时间最短B.位移最小a.船速大 a.船速大b.船速小 b.船速小（2）小船靠岸A.细绳模型：绳上的力、速度等全是相等的B.合速度为小船（物体）实际运行的速度（3）风雨交加、车上观雨风速、雨速、车速、参照物三、抛体运动1.平抛运动（匀变速曲线运动）（1）运动特点：轨迹是抛物线；初速度不是零；（2）受力情况：仅受重力；a=g；合外力与初速度垂直；（3）平抛运动的解决方法：运动的合成与分解X：匀速直线运动F=0 V≠V0Y：匀加速直线运动F=mg V y=gt y=1/2gt²V²=2gy （4）重要推论（不可以直接用）θ=2tan tan a（5）平抛运动八个基本量示意图任意知道其中的两个量，都要会求其它的六个量。
2.斜抛运动（1）运动特点：初速度不是零；初速度方向不水平/竖直。
（2）受力情况：合力为重力，加速度g ；（3）解决方法：速度的合成与分解X ：匀速直线运动 F=0 V ≠V 0Y ：匀加速直线运动 V y =V 0-gt y=V 0t -1/2gt ² V ²-V 0²=-2gy（4）最高点问题 V y =0（5）斜面中距离斜面最远问题当V y =0时物体不再远离斜面此时离斜面最远。
曲线运动、运动的合成与分解知识讲解
曲线运动、运动的合成与分解要点一、曲线运动速度的方向 1、曲线运动速度方向的获取途径其一，生活中的现象如：砂轮边缘飞出的铁屑、雨天车轮甩出的雨滴、弯曲的水管中喷出的水流等； 其二，由瞬时速度的定义，瞬时速度等于平均速度在时间间隔趋于零时的极限，从理论上得到曲线运动瞬时速度的方向。
2、曲线运动速度的方向质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向，指向前进的一侧 3、曲线运动的性质曲线运动的速度方向时刻在变化，速度是矢量，曲线运动的速度时刻在变化，曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度，曲线运动受到的合外力一定不等于零。
要点二、物体做曲线运动的条件1、物体做曲线运动的条件的获得途径其一，由实际的曲线运动的受力情况可以知道；其二，通过理性分析可以得知，如在垂直于运动的方向上物体受到了合外力的作用，物体的运动方向便失去了对称性，必然向着受力的方向偏转而成为曲线运动。
2、物体做直线运动条件当物体受到的合外力与速度的方向在一条直线上或者物体受到的合外力为零时，物体做直线运动。
3、物体做曲线运动条件物体做曲线运动条件是：当物体受到的合外力与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动。
也就是说物体做曲线运动，必有：①物体具有初速度，即v 0≠0；②物体受到合外力的作用，即F 合≠0，或者说加速度a ≠0； ③合外力（加速度）与速度不在同一条直线上。
4、曲线运动中合外力的切向分量和法向分量的作用对于做曲线运动的物体，把合外力F 沿曲线的切线方向和法线方向（与切线垂直的方向）分解，沿切线方向的分力F 1使质点产生切线方向的加速度a 1，当a 1和v 同向时，速度增大，如图1所示，此时的合外力方向一定与速度方向成锐角； 当a 1和v 反向时，速度减小，如图2所示，此时的合外力方向一定与速度方向成钝角；如果物体做曲线运动的速率不变，说明a 1＝0，即F 1＝0，此时的合外力方向一定与速度方向垂直。
沿法线方向的分力F 2产生法线方向上的加速度a 2，由于力F 2与速度方向垂直，所以力F 2不能改变速度的大小，只能改变速度的方向。
4.1曲线运动 运动的合成与分解
4.1 曲线运动运动的合成与分解概念梳理：一、曲线运动1．速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向．2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动是变速运动．3．曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在一条直线上．4．物体的运动轨迹由物体的速度和加速度的方向关系决定，如图所示.(1)速度与加速度共线时，物体做直线运动．(2)速度与加速度不共线时，物体做曲线运动．【注意】注意区分物体做曲线运动的条件和物体做匀变速运动的条件，如果物体所受合力为恒力，且合力与速度方向不共线，则物体做匀变速曲线运动．匀变速曲线运动的特例是平抛运动，非匀变速曲线运动的特例是匀速圆周运动.二、运动的合成与分解1．分运动和合运动：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动，那几个运动叫做这个实际运动的分运动．2．运动的合成：已知分运动求合运动，叫做运动的合成．(1)同一条直线上的两分运动的合成：同向相加，反向相减．(2)不在同一条直线上的两分运动合成时，遵循平行四边形定则；在进行运动的合成时，也、v2的合速度为v.可以利用三角形定则，如图所示，v3．运动的分解：已知合运动求分运动，叫做运动的分解．(1)运动的分解是运动的合成的逆过程．(2)分解方法：根据运动的实际效果分解或正交分解．考点精析：考点一曲线运动的理解1．合力方向与速度方向的关系物体做曲线运动时，合力的方向与速度方向一定不在同一条直线上，这是判断物体是否做曲线运动的依据．2．合力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧,如下图所示．3．合力方向与速度大小变化的关系合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向的分力改变速度的方向，如图所示的两个情景．(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体运动的速率将增大；(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体运动的速率将减小；(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体运动的速率不变．【例1】关于曲线运动的性质，以下说法正确的是()A．曲线运动一定是变速运动B．曲线运动一定是变加速运动C．变速运动不一定是曲线运动D．运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动【练习】一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内( )A．速度一定不断改变，加速度也一定不断改变B．速度一定不断改变，加速度可以不变C．速度可以不变，加速度一定不断改变D．速度可以不变，加速度也可以不变【例2】一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后( )A．一定做匀变速曲线运动B．在相等时间内速度的变化一定相等C．可能做匀速直线运动D．可能做变加速曲线运动【练习】物体受到几个力的作用处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能做( )A．匀速直线运动或静止B．匀变速直线运动C．曲线运动D．匀变速曲线运动【例3】某物体沿曲线从M 点到N 点的运动过程中，速度逐渐减小．在此过程中物体所受合力的方向可能是 ( )【练习】如图所示，物体在恒力F 作用下沿曲线由A 运动到B ，这时突然使它所受的力反向而大小不变(即由F 变为－F)，在此力作用下，关于物体以后的运动情况，下列说法正确的是 ( )A ．物体可能沿曲线Ba 运动B ．物体可能沿直线Bb 运动C ．物体可能沿曲线Bc 运动D ．物体可能沿原曲线由B 返回A 考点二 运动的合成与分解 1．合运动与分运动的关系(1)运动的独立性：一个物体同时参与两个(或多个)运动，其中的任何一个运动并不会受其 他分运动的干扰，而保持其运动性质不变，这就是运动的独立性原理．虽然各分运动互不干 扰，但是它们共同决定合运动的性质和轨迹.(2)运动的等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)．(3)运动的等效性：各分运动叠加起来与合运动有相同的效果．(4)运动的同一性：各分运动与合运动，是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不是几个不同物体发生的不同运动．2．两个直线运动(不共线)的合运动性质的判断根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动.两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如v 合与a 合共线，为匀变速直线运动如v 合与a 合不共线，为匀变速曲线运动3．“关联”速度问题绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，其两端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度．正确地解决绳(杆)连接物速度问题必须抓住以下三个关键．(1)确定合速度，它应是与绳(杆)端点相连接的物体的实际速度．(2)确定分速度的方向，一个分速度是沿绳(杆)的方向，另一个分速度是垂直于绳(杆)的方向．(3)绳子(杆)的长度不变，故连结在绳的两端点的物体沿绳(杆)方向的分速度大小相等． 【例1】有关运动的合成，以下说法正确的是 ( ) A ．两个直线运动的合运动一定是直线运动B ．两个不在一条直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动C ．两个初速度为零的匀加速(加速度大小不相等)直线运动的合运动一定是匀加速直线运动D ．匀加速直线运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动【练习】关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是 ( ) A ．合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和B ．物体的两个分运动若是直线运动，它的合运动可能是曲线运动C ．合运动和分运动具有等时性D ．若合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动【例2】一质点在xOy 平面内的运动轨迹如图所示，下列判断正确的是 ( ) A ．若在x 方向始终匀速运动，则在y 方向先减速后加速运动B ．若在x 方向始终匀速运动，则在y 方向先加速后减速运动C ．若在y 方向始终匀速运动，则在x 方向一直加速运动D ．若在y 方向始终匀速运动，则在x 方向一直减速运动【练习】如图所示，红蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升，速度为v .若在红蜡块从A 点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB 位置由静止开始水平向右做匀加速直线运动，加速度大小为a ，则红蜡块的实际运动轨迹可能是图中的 ( )A ．直线PB ．曲线QC ．曲线RD ．无法确定【例3】如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m ，水的阻力恒为F f ，当轻绳与水平面的夹角为θ 时，船的速度为v ，此时人的拉力大小为F ，则此时 ( ) A ．人拉绳行走的速度为v cos θ B ．人拉绳行走的速度为v /cos θC ．船的加速度为F cos θ－F f mD ．船的加速度为F －F f m【练习】如图所示，人沿平直的河岸以速度v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为 ( )A ．v sin αB .v sin α C ．v cos α D .vcos α【例4】如图所示，物体A 和B 质量均为m ，且分别与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，B 放在水平面上，A 与悬绳竖直．用力F 拉B 沿水平面向左匀速运动过程中，绳对A 的拉力的大小是 ( )A .一定大于mgB ．总等于mgC ．一定小于mgD ．以上三项都不正确【练习】如图所示，汽车P 以5m/s 大小的速度沿水平面向左运动，车后通过一根跨过定滑轮的不可伸长的轻绳吊一重物Q ，已知某时刻绳与水平方向的夹角α=37°，求此时重物Q 竖直上升的速度大小.【例5】如图所示，当放在墙角的均匀直杆A 端靠在竖直墙上，B 端放在水平地面上，当滑到图示位置时，杆与水平地面的夹角为α，B 点速度为v ，则A 点速度是多少.【练习】如图所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A 和B ，两球的质量均为m ，两球半径忽略不计，杆AB 的长度为l ，现将杆AB 竖直靠放在竖直墙上，轻轻振动小球B ，使小球B 在水平地面上由静止向右运动，求当A 球沿墙下滑距离为l2时A 、B 两球的速度v A 和v B的大小．(不计一切摩擦)考点三 小船过河问题1．船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．2．三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． 3．三种情景(1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝dv 1(d 为河宽)．(2)过河路径最短(v 2＜v 1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d .船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v 2v 1.(3)过河路径最短(v 2＞v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝dcos α＝v 2v 1d .【注意】(1)船的划行方向与船头指向一致(v 1的方向)，是分速度方向，而船的航行方向是实际运动的方向，也就是合速度的方向．(2)小船过河的最短时间与水流速度无关．【例1】一条宽度为L 的河,水流速度为v 水,已知船在静水中的速度为v 船,那么: (1)怎样渡河时间最短?该最短时间是多少?(2)若v 船>v 水,怎样渡河位移最小?该最小位移是多少?(3)若v 船<v 水,怎样渡河船漂下的距离最短?该最短距离是多少?【练习】一小船渡河,河宽d=180 m ,水流速度v 1=2.5 m/s .(1)若船在静水中的速度为v 2=5 m/s ,求:①欲使船在最短的时间内渡河,船头应朝什么方向?用多长时间?位移是多少? ②欲使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向?用多长时间?位移是多少?(2)若船在静水中的速度v 2=1.5 m/s ,要使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向?用多长时间?位移是多少?【例2】如图所示，一条小船位于200 m 宽的河正中A 点处，下游距此100 3 m 处有一危险区，当时水流速度为4 m/s.为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是 ( )A .4 33 m/s B .8 33m/s C ．2 m/s D ．4 m/s【练习】河水的流速随离河岸距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则 ( ) A ．船渡河的最短时间是60 sB ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C ．船在河水中航行的轨迹是一条直线D ．船在河水中的最大速度是5 m/s课后练习一．单项选择题1．一轮船的船头指向始终垂直于河岸的方向，并以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下述说法正确的是() A．水流速度越大，路程越长，时间越长B．水流速度越大，路程越短，时间越短C．渡河时间与水流速度无关D．路程和时间都与水流速度无关2．火车站里的自动扶梯用1 min就可以把一个站立在扶梯上的人送上楼去，如果扶梯不开动，人沿着扶梯走上去，需用3 min，若设人沿开动的扶梯走上去,则需要的时间() A．4 min B．1.5 min C．0.75 min D．0.5 min3．一物体在三个共点力作用下做匀速直线运动，若突然撤去其中一个力，其余两力不变，此物体不可能做()A．匀加速直线运动B．匀减速直线运动C．类似于平抛运动D．匀速圆周运动4．一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响，但着地前一段时间内突然停止，则其运动的轨迹可能是()5．一个小球正在做曲线运动，若突然撤去所有外力，则小球()A．立即停下来B．仍做曲线运动C．做减速运动D．做匀速直线运动6．如图所示，为一种早期的自行车，这种不带链条传动的自行车前轮的直径很大，这样的设计在当时主要是为了()A．提高速度B．提高稳定性C．骑行方便D．减小阻力7．小钢球m以初速度v0在光滑水平面上运动后，受到磁极的侧向作用力而做如图所示的曲线运动到D点，从图可知磁极的位置及极性可能是()A．磁极在A位置，极性一定是N极B．磁极在B位置，极性一定是S极C．磁极在C位置，极性一定是N极D．磁极在B位置，极性无法确定8．我们见过在砂轮上磨刀具的情形．当刀具与快速旋转的砂轮接触时，就会看到一束火星从接触点沿着砂轮的切线飞出，这些火星是刀具与砂轮接触时擦落的炽热微粒（不计重力和阻力），对此现象，下列描述中不正确的是()A．火星微粒由于惯性而做匀速直线运动B．火星微粒被擦落时的速度为零，所以做自由落体运动C．火星微粒飞出的方向就是砂轮跟刀具接触处的速度方向D．火星微粒都是从接触点沿着砂轮的切线方向飞出的9．一个物体在F1、F2、F3、…、F n共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去外力F2，则该物体()A．可能做曲线运动B．不可能继续做直线运动C．一定沿F2的方向做直线运动D．一定沿F2的反方向做匀减速直线运动二．双项选择题1．一快艇要从岸边某处到达河中离岸100 m远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选定后就不再改变，则()A．快艇的运动轨迹可能是直线B．快艇的运动轨迹只可能是曲线C．最快到达浮标处通过的位移为100 mD．最快到达浮标处所用时间为20 s甲乙2.一物体在水平面上运动，其运动规律为：x＝1.5t2＋6t，y＝－2t2－9t，xOy为直角坐标系，则下列说法正确的是( )A．物体在x方向上的分运动是匀加速直线运动B．物体在y方向上的分运动是匀减速直线运动C．物体运动的轨迹是一条曲线D．物体运动的轨迹是直线3.一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动的速度随时间变化的规律如图所示．关于物体的运动，下列说法中正确的是( )A．物体做曲线运动B．物体做直线运动C．物体运动的初速度大小是50 m/sD．物体运动的初速度大小是10 m/s三．计算题1．一架飞机在航空测量时，它的航线要严格地从东到西，如果飞机的速度是80 km/h，风从南面吹来，风的速度为40 km/h，那么：(1)飞机应朝哪个方向飞行？(2)如果所测地区长达80 3 km，所需时间为多少？2.一条河宽度为200 m,河水水流速度是v1＝2 m/s，船在静水中航行速度为v2＝4 m/s，现使船渡河．(1)如果要求船划到对岸航程最短，则船头应指向什么方向？最短航程是多少？所用时间多长？(2)如果要求船划到对岸时间最短，则船头应指向什么方向？最短时间是多少？航程是多少？。
高中物理精品课件：第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
B.船头与河岸间的夹角α为60° C.小船在静水中的速度大小为0.6 m/s
√D.河的宽度为200 m
考点四
绳(杆)速度分解模型
1.模型特点 与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上. 2.明确合速度与分速度 合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
素养提升练
12.(多选)(2019·全国卷Ⅱ·19)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中 滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离.某运动员先后两次 从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向 的速度，其v－t图像如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻.则
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A.第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
√B.第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C.第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
√D.竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一
次的大
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4.(2021·湖南省1月适应性考试·2)有一圆柱形水井，井壁光滑且竖直， 过其中心轴的剖面图如图所示.一个质量为m的小球以速度v从井口边缘 沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性碰撞(碰撞前后小球 水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都 不变).不计空气阻力，从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列 说法正确的是 A.小球下落时间与小球质量m有关 B.小球下落时间与小球初速度v有关 C.小球下落时间与水井井口直径d有关
2023年高考小专题复习学案 专题18曲线运动与运动的合成分解
专题18曲线运动与运动的合成分解【知识梳理】 一、曲线运动1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的 。
2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是 运动。
3．运动的条件：物体所受 的方向跟它的速度方向不在同一条直线上，或它 方向与速度方向不在同一条直线上。
4．合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在 方向与 方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的 侧。
二、运动的合成与分解 1．遵循的法则位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循 。
2．合运动与分运动的关系(1)等时性：合运动和分运动经历的 相等，即同时开始、同时进行、同时结束。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动 ，不受其他分运动运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的 。
3．运动性质的判断⎩⎨⎧加速度(或合外力)⎩⎪⎨⎪⎧ 变化：非匀变速运动不变：匀变速运动加速度(或合外力)方向与速度方向⎩⎪⎨⎪⎧共线：直线运动不共线：曲线运动4．两个直线运动的合运动性质的判断关键：看合初速度方向与合加速度方向是否共线。
三、两种模型 1．小船渡河模型2．绳(杆)端速度分解模型(1)模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型。
(2)模型分析①合运动：绳(杆)拉物体的实际运动速度v ； ②分运动：⎩⎪⎨⎪⎧其一：沿绳（或杆）的分速度v ∥其二：与绳（或杆）垂直的分速度v ⊥ (3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度 求解。
【专题练习】 一、单项选择题1．2022年冬奥会将在中国北京举行，冰球是冬奥会的一个比赛项目.如图所示，冰球以速度1v 在水平冰面上向右运动，运动员沿冰面在垂直1v 的方向上快速击打冰球，冰球立即获得沿击打方向的分速度2v .不计冰面摩擦和空气阻力，下列图中的虚线能正确反映冰球被击打后运动轨迹的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．羽毛球运动是我国的传统优势体育项目，屡屡在历届奥运会上争金夺银。
曲线运动 运动的合成和分解
一般情况：
1）过河时间：t=L/V⊥=L/V1Sinθ 【解析】 过河速度一定，则时间一定；若水速加大，沿河岸位 移增大，路程变大。 结论：垂直划船时间最短（V1垂直岸，θ=900.） 【答案】 C 最短时间t=L/V1. 与V2无关。
2）随水漂移位移：x=(V2-V1C0Sθ)t 3)对岸位移：S=√ x2+L2.
2．运动类型的分类
(1)直线运动 ①匀速直线运动，条件：F合＝0。
②匀变速直线运动，条件：F合为恒力且与速度同线。
③非匀变速直线运动，条件：F合为变力且与速度同线 (2)曲线运动
①匀变速曲线运动，条件：F合≠0，为恒力且与速度不同线。
②非匀变速曲线运动，条件：F合≠0，为变力且与速度不同线。
3．两个直线运动的合运动性质的判断
1．(2010·江苏单科)如右图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点， 用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线 竖直，则橡皮运动的速度( A ) A．大小和方向均不变 C．大小改变，方向不变 B．大小不变，方向改变 D．大小和方向均改变
【解析】 笔匀速向右移动时，x随时间均匀增大，y随时 间均匀减小，说明橡皮水平方向匀速运动，竖直方向也是 匀速运动。所以橡皮实际运动是匀速直线运动。
2）随水漂移位移：x=(V2-V1C0Sθ)t
【解析】 船头垂直于对岸航行时，如图所示。
因为 x＝v2t1 x 120 所以水的流速 v2＝ ＝ m/s＝0.2 m/s t1 10×60 而且有 d＝v1t1 ① 船头保持与岸成 α 角航行时，如右图所示。 v2＝v1cos α ② d＝v1t2sin α ③ 由①③式得： t1 10×60 sin α＝ ＝ ＝0.8 t2 12.5×60 所以 α＝53° v2 1 由②得：v1＝ ＝ m/s cos α 3 d＝v1t1＝200 m。 1 【答案】 (1)0.2 m/s (2) m/s (3)200 m (4)53° 3
第四章 第1课时 曲线运动 运动的合成与分解
二、运动的合成与分解 1．基本概念 运动的合成 分运动 合运动 运动的分解 2．分解原则 根据运动的 实际效果 进行分解，也可采用 正交分解 的 方法． 3．遵循的规律 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都 遵循 平行四边形定则
图3 (3)两分运动垂直或正交分解后的合成 a 合＝ ax 2＋ay 2，
v 合＝ vx 2＋vy 2，x 合＝ x2＋y2.
【高考佐证2】 (2010· 江苏)如图4 所示，一块橡皮用细线悬挂于O点， 用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速 移动，运动中始终保持悬线竖直， 则橡皮运动的速度 A．大小和方向均不变 B．大小不变，方向改变 C．大小改变，方向不变 D．大小和方向均改变 ( )
4．合运动与分运动的关系 等时性 独立性 等效性 各分运动经历的时间与合运动经历的时 间 相等 一个物体同时参与几个分运动，各分运 动独立进行，不受其他分运动的影响 各分运动的规律叠加起来与合运动的规 律有 相同 的效果 在进行运动的合成时，
名师点拨
可以利用三角形定则，如图1所示， v1、v2的合速度为v.
解析
力是改变物体运动状态的原因，也是产生加速度
的原因．速度的改变包括大小与方向的改变．加速度、 速度的变化与力同向．曲线运动，是变速运动，存在合 外力与加速度，但加速度可能是恒定的，如平抛运动， A 错误； 物体做变速圆周运动时， 合力既改变速度方向， 又改变速度大小，合力不指向圆心，B 错误；运动速率 增加，只能说明合力在平行速度方向的分力与速度同 向，D 错误；合力(加速度)与速度共线，物体做直线运 动，不共线则做曲线运动，C 正确．
曲线运动、运动的分解与合成
曲线运动、运动的分解与合成一、考点突破运动的分解与合成：全方位理解运动的合成与分解的方法及运动的合成与分解在实际问题中的应用。
运动的合成与分解是分析解决曲线运动问题的重要方法，是每年高考的必考内容，曲线运动的条件及运动的合成与分解问题是高中物理问题的难点所在，特别是绳子的牵连速度问题，小船渡河问题是学生们学习曲线运动问题的难点，也是历次考试的重点。
二、重难点提示1.知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动，必定具有加速度。
2.知道做曲线运动的条件。
3.一、曲线运动1.曲线运动的速度方向：在曲线运动中，的曲线的切线方向。
2.曲线运动的性质：3.做曲线运动的条件：（1）从运动学角度说，（2运动。
1.把这个实（1（2（32.3.处理曲线问题往往是把曲线运动4.（1）两个分运动在同一直线上时，运动合成前一般先要规定正方向，然后确定各分运动的速度、加速度和位移的正、负，再求代数和。
（2）两个分运动不在同一直线上（即互成角度）时，要按平行四边形定则来求合速度、合加速度和合位移。
（3）互成角度的两个分运动的合成两个互成角度的匀速直线运动的合运动，仍然是匀速直线运动；两个互成角度的初速度为零的匀加速运动的合运动，一定是匀加速运动；两个互成角度的分运动，其中一个做匀速直线运动，另一个做匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动；两个初速度均不为零的匀变速直线运动合成时，若合加速度与合初速度的方向在同一直线上，则合运动仍然是匀变速直线运动；若合加速度的方向与合初速度的方向不在同一条直线上，则合运动一定是匀变速曲线运动。
（4）两个互相垂直的都是匀速直线运动的合成其合运动与分运动都遵循平行四边形定则或三角形定则。
则合位移的大小和方向为：2221x x x +=，21tan x x =θ 合速度的大小和方向为：2221v v v +=，21tan v v =θ5.运动分解的方法（1）对运动进行分解时，要根据运动的实际效果来确定两个分运动的方向，否则分解无实际意义，也可以根据实际情况，对运动进行正交分解。
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曲线运动运动的合成和分解学习要求1、理解运动的合成与分解是解决实际问题中的一种很便利的方法。
2、理解同一直线上的运动的合成。
3、能够用运动合成与分解的知识解决有关问题、解释有关现象。
学习目的：(1)掌握曲线运动的特点和条件(2)掌握运动的合成与分解的一般方法学习重点：(1)曲线运动的特点和条件(2) 运动的合成和分解学习前测试1、关于运动的合成与分解的下列说法中，正确的是（）A、合运动的位移是分运动的位移的矢量和B、合运动的速度一定比其中一个分速度大C、合运动的时间为分运动时间之和D、合运动的速度方向一定与合运动位移方向相同2、小船要由河南岸渡到河北岸，已知水向东流，速度为10m/s，船对水的速度是20m/s。
现在要想在最短的时间A、120°B、150°C、60°D、90°3、小船在静水中的速度是3m/s，要想使小船垂直横渡流速是s的河，则小船应向与上游河岸成角的方向则河宽是 m。
若要使小船渡河的时间为最短，则小船应向与上游河岸成角方向开出，到达对岸时，小学习前测试参考答案1、A2、D3、60°，390m，90°，195m。
学习内容：1、知道什么是运动的合成与分解运动的合成：（1）已知分运动的位移求实际的位移（2）已知分运动的速度求实际运动的速度（3）已知分运动的加速度求实际运动的加速度2、运动的合成与分解的计算遵从矢量运算法则，即平行四边形法则。
运动的合成与分解互为逆运算。
3、运动的独立性一个物体同时参与两个或两个以上的运动时，其中任何一个运动都按其本身的规律进行，不会因为有其它运动4、运动的等时性实际运动与分运动是同时开始、同时结束的，所以分运动与实际运动时间相等。
本结讲解一、曲线运动1、曲线运动的特点在曲线运动中，运动质点在某一点的即时速度的方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。
因此，质点在曲线运动中的速度方变速运动不一定是曲线运动。
)2、物体做曲线运动的条件物体所受合外力的方向与物体的速度方向不在一条直线上二、运动的合成与分解1、运动的独立性一个物体同时参与几个分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其他方向的运动是否存在而受整体的合运动是各分运动决定的总效果，它与各分运动之间是等效代替的关系。
合运动与分运动之间遵循等时性，即合运动与2、运动的合成：加速度、速度、位移都是矢量，其合成要遵循平行四边形法则，如图所示。
3、合运动的性质与轨迹两直线运动的合成，合运动的性质与轨迹由分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系来决定。
(1)两个匀速直线运动的合运动仍然为匀速直线运动(2)两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍然为匀加速直线运动(3)两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动轨迹可能为直线，也可4、运动的分解：是运动合成的逆过程分解的原则：根据运动的实际效果或进行正交分解例如：人用绳通过定滑轮拉物体A，人以速度v0匀速前进。
当绳与竖直方向的夹角为θ时，求物体A的速度v A。
首先要分析物体A的运动与人拉绳的运动之间有什么样的关系。
物体A的运动(即绳的末端的运动)可看做两个分运长缩短的速度即等于v0；二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动v1，它不改变绳长，只改变角度θ的值。
这样就可以将。
当物体A向左移动，θ将增大，v A逐渐变大。
虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动。
在进行速度分解时，要分清合速度与分速度。
合速度就是物体实际运动的速度，是平行四边形的对角线。
虽然分速度的方向具v0的正确关系，因此分速度方向的确定要视题目而具体分析。
例题分析第一阶梯[例1]小汽艇在静水中速度为12km/h，河水流速是h，如果驾驶员向着垂直河岸的方向行驶，小汽艇在河水中提示：在流动的河水中开动小汽艇，小汽艇在相对于水以12km/h的速度运动的同时，还将随着河水漂流，这就是小实际速度，就是这两个运动的合运动。
参考解答：设小汽艇在静水中的速度为v1，河水流速为v2。
根据题意画出小汽艇同时参与的两个分运动的矢量图，如图所分运动速度矢量的合成。
由矢量图根据平行四边形定则，可求出小汽艇的实际速度大小为：v==h。
小汽艇实际运动方向与下游（v2方向）的夹角为θ，则由图可知，tanθ=12/6=2，所以θ=°。
说明：从本题的解答过程可看出，要求解速度矢量，通常要用到如上图所示的矢量图，这是我们进行计算的基础。
另大小之后，还要计算速度的方向。
[例2]小船在静水中的速度v1=5m/s，该小船现要渡过水流速度v2=4m/s的河，问船头沿什么指向渡河最省时间提示：小船渡河的快慢只取决于小船相对于垂直河岸方向的速度，因此在河宽一定的条件下，要使小船渡河时间最短参考答案：要使小船渡河时间最短，要求小船沿垂直于河岸的分速度最大。
由于河水的速度方向沿河岸方向，所以小船实度来决定。
由图所示的矢量图可看出，随着小船行驶方向与河水流速方向之间夹角的减小，小船实际运动沿垂直河岸向的速度最大，则必须使小船沿垂直河岸方向开出。
说明：小船沿垂直河岸方向开出，并不意味着小船将沿垂直河岸方向运动。
因为小船将同时参与两个运动，根据如图时小船运动的实际方向应与河水流速方向成θ角，且tanθ=v船/v水=5/4。
第二阶梯[例1]某小船在流动的河水中的速度为v1，河水流动的速度为v2。
讨论分析v1与v2满足什么样的关系，小船才提示：要想使小船垂直河岸过河，则要求小船的实际运动方向沿垂直河岸的方向，即小船的合速度方向垂直河岸。
参考解答：根据题意可知，小汽艇在静水中的速度为v1，方向待定；河水流速为v2，方向沿河岸方向。
要使小船的合速度量图。
由于要使v的方向与v2的方向垂直，我们可画出如图2所示的各种可能的v1的情况。
由图2可直观的看出，要使v1与v2的合速度沿垂直于v2的方向，则v1应沿河水流动的反方向向上游开出，且小，但同时船的合速度也就越小。
因此，要使船的合速度能沿垂直河岸的方向，则要求v1要大于v2。
说明：本题也可以用矢量的三角形法则进行分析，如图3所示。
由于v1是三角形的斜边，v2是三角形的直角边，所以[例2]小船在静水中的速度v1=2m/s，河水流动的速度为v2=4m/s，河宽为50m，求小船过河时的最小位移。
提示：要使小船过河的位移最小，则小船的合速度应沿垂直河岸方面。
但由于v1小于v2，根据上面单元1的例题我们这就只能要求小船的合速度方向与河水流动的速度方向夹角尽量大一些。
参考解答：为确定出小船向哪个方向运动时，其合速度与河岸之间的夹角最大，我们可以画出如图所示的矢量合成的三角由图可直观的看出，船沿OA方向运动时其速度方向与水流方向夹角最小（即与河岸方向夹角最小），其过河时根据图中的几何关系可知，，所以小船过河时所通过的位移为：=100m。
说明：从本题的解答过程可看出，小船合运动的速度的方向实际上就是其真实运动的位移方向。
另外，通过本题的解形图，对我们分析、研究问题中是十分重要的。
第三阶梯例1、一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行驶，经过10min 保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过恰好到达正对岸的B处，分析：设河宽为d，河水流速为v1，船速第一次为v2，第二次为v’2，（v2、 v’2大小相同，方向不同）船两次运d＝v2·t1=v’2·sinα·t2①S BC=v1·t1②③三式联立，代入数据可求得：河宽d=200m附：对小船渡河的两种典型情况，要能熟练掌握并画出其运动合成的矢量图，并应用其解决问题。
例2、一条宽为d的河流，河水流速为v1，船在静水中的速度为v2，问：(1)要使船划到对岸时的时间最短，船头应指向什么方向最短时间为多少？(2)要使船划到对岸时的航程最短，船头应指向什么方向最短航程是多少？分析：船在河流中航行时，由于河水流动要带动船一起运动，船的实际运动是船在静水中的运动和船随水漂流的运动的合运动(1)当船头垂直指向对岸时，船在静水中的航速v2垂直对岸，则船相对于水的分运动的位移最短，运动所需时间最最短时间t min=(2)当v2>v1时，船头斜向上游与岸夹角为θ，船速v可垂直河岸，此时航程最短为d，如图所示，cosθ= ，当v2<V1时，用三角形法则分析，如图所示，当船速v的方向与圆相切时，v与岸的夹角α最大，航程最短。
设航程最短为s，则由图可知，所以船头指向斜上游，与岸夹角θ=ar当v2=v1时，如图所示，θ越小α越大航程越短，由图可知β= ，而，所以。
此时船头指向斜上游，与岸夹角为θ，航程，θ越小航程越短。
当θ＝0时，s有最小值，等于d。
但此时船速v＝0，渡河已经没有实际意义。
所以，s只能无限趋近于d。
课后练习：1、关于物体做曲线运动的条件A、初速度不为零的质点，受到与初速度的方向不在一条直线上的外力作用B、质点受到合外力作用C、质点在恒力作用下，不可能做曲线运动D、质点受到的外力与加速度有一夹角2、关于两个运动的合成，下列说法中正确的是A、两个直线运动的合运动一定是直线运动B、两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动是直线运动C、互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运动D、两个分运动时间一定与合运动时间相同3、下列说法中，错误的是A、速度的方向总是沿着物体运动轨迹的切线方向B、各种曲线运动都是变速运动C、做曲线运动的物体，其加速度不可能为零D、加速度的方向与速度方向总在一条直线上4、一小船以恒定速度垂直向对岸划去，当河水不流动时，渡河时间为t1；当河水匀速向下流动时，渡河时间为t2，则A、t1>t2B、t1<T2C、t1=t2D、无法确定5、一条河宽400m，船在静水中的速度是4m/s，水流速度为5m/s，则A、该船一定不能垂直河岸横渡到对岸B、当船头垂直河岸横渡时，过河所用时间最短C、当船头垂直对岸横渡时，船对水的位移最短，为400mD、该船横渡到对岸时，船对岸的最小位移为400m答案：1、A2、BCD3、D4、C5、ABC测试选择题1、下列说法正确的是（）A、两匀速直线运动合运动的轨迹必是直线B、两匀变速直线运动合运动的轨迹必是直线C、一个匀变速直线运动和一个匀速直线运动的合运动的轨迹一定是曲线D、几个初速度为零的匀变速直线运动的合运动的轨迹一定是直线2.关于运动和力，下列说法中正确的是：A、物体运动的方向总与它所受合外力的方向一致。
B、物体的加速度的方向总与它所受合外力的方向一致。
C、原来受力平衡的物体，突然失去某一外力时，一定会产生加速度，加速度的方向与失去的那个力的方向相同。
D、物体所受的合外力越大，它的速度就越大。
3、小船在静水中速度是v，今小船要渡过一条河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行到河中间时，水流速度增大，则渡河时间与预定的时间相比（）A、不变B、减小C、增加D、无法确定4、一物体在三个共点力作用下做匀速直线运动，若突然撤去其中一个力，其余两力不变，此物体可能做（）A、匀加速直线运动B、匀减速直线运动C、类似于平抛运动D、匀速圆周运动5、某人骑自行车以10米/秒的速度在大风中向东行驶，他感到风正以相当于车的速度从北方吹来，实际上风的速度是（）A、14米/秒，方向为南偏西45°B、14米/秒，方向为东偏南45°C、10米/秒，方向为正北D、10米/秒，方向为正南答案与解析答案：1、AD2、B3、A4、ABC5、B解析：1、物体做曲线运动的条件是所受的合力方向与初速度方向不在一条直线上。