高三数学纠错练习(6)

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高三数学纠错练习(7)

数学纠错练习（7）1．我们知道若一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a =，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = . 34VS2.如图，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角θ＝2°，若θ的弧度数很小时，可取sinθ＝θ，由此可估计该气球的高BC 约为______．863.设f (x )奇函数，当x ≥0时， f (x )＝2x －x 2，若函数f (x )(x ∈[a ，b ])的值域为[1b ，1a]，则b 的最小值为 .–14.若不等式2210843≥kx y xy+对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是[),k m ∈+∞，则正整数m 只能取_______ ． 1或25．设2()|4|,0,()(),f x x m n f m f n m n =-<<=+若且则的取值范围是_____ .（22，4）6．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{}()100A x y x y x y =+，≤，且≥，≥，则平面区域{}()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积为 . 17．设实数,x y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤，则22y x u xy -=的取值范围是．83,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 8．设函数()y f x =在(),-∞+∞上满足()(4),(4)(10)f x f x f x f x -=+-=+，且在闭区间[]0,7上，()0f x =仅有两个根1x =和3x =，则方程()0f x =在闭区间[]2011,2011-上根的个数有 805 .9．函数f (x )＝sin(ωx ＋3π)（ω＞0）在[0，2]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是．713[,)1212ππ 10．已知22()|1|f x x x kx =-++．（I ）若2k =，求方程()0f x =的解；（II ）若关于x 的方程()0f x =在(02)，上有两个解12x x ，，求k 的取值范围，并证明12114x x +<．（Ⅰ）解：（1）当k ＝2时， 22()|1|20f x x x x =-++=① 当210x -≥时，x ≥1或x ≤－1时，方程化为22210x x +-=解得132x -±=13012-+<<，舍去，所以132x --=．②当210x -<时，－1＜x ＜1时，方程化为210x +=，解得12x =-，由①②得当k ＝2时，方程()0f x =的解所以132x --=12x =-． (II)解：不妨设0＜x 1＜x 2＜2，因为22 1 ||1() 1 ||1x kx x f x kx x ⎧+->=⎨+≤⎩所以()f x 在（0,1］是单调函数，故()f x ＝0在（0,1］上至多一个解，若1＜x 1＜x 2＜2，则x 1x 2＝－12＜0，故不符题意，因此0＜x 1≤1＜x 2＜2．由1()0f x =得11k x =-，所以1k ≤-；由2()0f x =得2212k x x =-，所以712k -<<-；故当712k -<<-时，方程()0f x =在(0，2)上有两个解．因为0＜x 1≤1＜x 2＜2，所以11k x =-，22221x kx +-＝0 消去k 得 2121220x x x x --=即212112x x x +=，因为x 2＜2，所以12114x x +<． 11．已知椭圆E ：22184x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点. （1）求圆C 的方程；（2）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；（3）在平面上是否存在一点P ，使得12GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.解．（1）由椭圆E ：22184x y +=，得l ：4x =-，(4,0)C -，(2,0)F -，又圆C 过原点，所以圆C 的方程为22(4)16x y ++=．………………………………4分（2）由题意，得(3,)G G y -，代入22(4)16x y ++=，得15G y =±所以FG 的斜率为15k =FG 的方程为15(2)y x =+， …………………8分（注意：若点G 或FG 方程只写一种情况扣1分）所以(4,0)C -到FG 的距离为15d =，直线FG 被圆C 截得弦长为215216()72-=．故直线FG 被圆C 截得弦长为7．…………………………………………………………10分（3）设(,)P s t ，00(,)G x y ，则由12GF GP =22002200(2)12()()x y x s y t ++=-+-，整理得222200003()(162)2160x y s x ty s t +++++--=①，…………………………12分又00(,)G x y 在圆C ：22(4)16x y ++=上，所以2200080x y x ++=②，②代入①得2200(28)2160s x ty s t -++--=， …………………………14分又由00(,)G x y 为圆C 上任意一点可知，22280,20,160,s t s t -=⎧⎪=⎨⎪--=⎩解得4,0s t ==．所以在平面上存在一点P ，其坐标为(4,0)．。

高三数学纠错训练(2)doc[原创]新人教

高三数学纠错训练21已知集合{1,3}M =，2{|30,}N x x x x Z =-<∈，又N M P =，那么集合P 的真子集共有___个。

2 设2:f x x →是非空集合A 到B 的映射，如果{1,2}B =，则A B ⋂只可能是 __________3 已知函数2()f x x=,集合{|(1),}A x f x ax x R =+=∈，且(0,)(0,)A ⋃+∞=+∞，则实数a 的取值范围是_________4定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上是增函数，若(31)(25)f a f a ->-，则a 的取值范围是_________3182aa <>或()f x 在(,0]-∞上是减函数，若(31)(25)f a f a ->-，则a的取值范围是_________5 已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2),(3)f p f q ==，则(36)f ＝____6 从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液，又用水填满，这样继续进行，如果倒第(1)k k ≥时共倒出纯酒精x 升，倒第1k +次共倒出纯酒精()f x 升，则函数()f x 的表达式是__________7 已知R 上的函数()f x 的反函数为1()f x -，如果函数1()f x a -+与()f x a +互为反函数，且()f a b =，则(2007)f a ＝__________8 若曲线b kx y x y +=+=与直线1||2没有公共点，则k 应满足的条件是 . b 应满足的条件是9 若)(x f 是R 上的减函数，且)(x f 的图象经过点A （0，4）和点B （3，－2），则当不等式3|1)(|<-+t x f 的解集为（－1，2）时，t 的值为 __________ 10若函数()log (4)(0,1)a a f x x a a x=+->≠的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______11 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图像恰好通过*()k k N ∈个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数。

高三数学试卷全错题及答案

一、选择题1. 下列各式中，正确的是（）A. 2√3 > 3√2B. 2^3 = 3^2C. (√2)^2 = 2D. 2^2 < 3^2答案：C解析：选项A，两边平方得12 < 18，正确；选项B，2^3 = 8，3^2 = 9，错误；选项C，(√2)^2 = 2，正确；选项D，2^2 = 4，3^2 = 9，错误。

故选C。

2. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(2)的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A解析：将x = 2代入函数f(x) = x^2 - 2x + 1，得f(2) = 2^2 - 2×2 + 1 = 1。

故选A。

3. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 120°答案：B180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 45° = 75°。

故选B。

4. 下列各式中，正确的是（）A. 1/2 + 1/3 = 5/6B. 1/2 - 1/3 = 1/6C. 1/2 × 1/3 = 1/6D. 1/2 ÷ 1/3 = 1/6答案：C解析：选项A，1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6，正确；选项B，1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6，正确；选项C，1/2 × 1/3 = 1/6，正确；选项D，1/2 ÷ 1/3 =1/2 × 3/1 = 3/2，错误。

故选C。

5. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10的值为（）A. 21B. 23C. 25D. 27答案：B解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d。

高三数学第一轮复习高三数学第一轮复习(9篇)

高三数学第一轮复习高三数学第一轮复习（9篇）复习应结合自己的实际，基本知识是学习的基础，复习阶段就不能只满足会背诵会证明，复习过程中特别注意对重点知识的掌握与解题方法的锻炼。

那么怎么规划好复习计划呢？以下是编辑给大家整编的9篇高三数学一轮复习，欢迎阅读，希望对大家有所帮助。

高三数学一轮复习计划篇一一。

背景分析近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。

考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。

更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。

数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。

在前二年命题工作的基础上做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现出湖南卷的特色：1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性3 重视对数学思想方法的考查4 深化能力立意，考查考生的学习潜能5 重视基础，以教材为本6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识二、教学计划与要求新课已授完，高三将进入全面复习阶段，全年复习分两轮进行。

一轮为系统复习(一学期)，此轮要求突出知识结构，扎实打好基础知识，全面落实考点，要做到每个知识点，方法点，能力点无一遗漏。

在此基础上，注意各部分知识点在各自发展过程中的纵向联系，以及各个部分之间的横向联系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。

在教学中重点抓好各中通性、通法以及常规方法的复习，是学生形成一些较基本的数学意识，掌握一些较基本的数学方法。

同时有意识进行一定的综合训练，先小综合再大综合，逐步提高学生解题能力。

2024年高三数学工作总结下学期（六篇）

2024年高三数学工作总结下学期本学期，我秉持严谨的教学态度，全方位严格要求自己，积极向经验丰富的教师学习，并结合学校的实际情况及学生的具体需求，脚踏实地，兢兢业业地开展教学工作。

为了在未来的工作中取得更为显著的成效，现对本期教学工作进行系统总结，以期汲取经验、改正不足，为教学质量的进一步提升奠定基础。

以下是本学期的教学工作总结：一、全面提升课堂教学质量，实现复习效果最大化1. 认真研习新课程改革的考试说明和纲要，严格执行教学计划，确保教学进度严格按照既定安排执行。

2. 精确把握复习难度，增强课堂教学的针对性。

我们将临界生作为高考复习的重点关注对象，依据其知识结构和能力层次设计课堂教学内容，避免盲目追求难度，而是在巩固基础知识的基础上，逐步提升学生的能力，从而凸显教学重点，突破难点。

3. 持续优化课堂结构，提升教学质量的有效性。

我们针对复习课的特点，明确了复习思路，构建了“四合一”的二轮复习课堂模式：二、确保学生高效做题，发挥训练的最大效能1. 实施教师“下水上岸”制度，提升练习质量。

教师通过做题筛选合适的练习题，确保练习材料的精当性和适用性。

备课组集体研讨题目，对题目进行改造后使用，确保练习符合学生实际情况。

2. 有效监控训练过程，保证训练效果。

我们重视训练的计划性，明确每周训练安排，对学生进行个性化指导，鼓励学生自我纠错，并定期进行纠错训练。

对考试环节进行严格管理，注重考试纪律和应试技能的培养，及时进行质量分析，以指导后续复习。

3. 强化基础知识掌握，实施分层教学。

针对学生基础薄弱的现状，采取基础题过关的方法，在夯实基础的对实验班适当提高训练难度，实施必做题和选做题的分层训练，取得了显著成效。

在总结中发现，仍有许多方面需要改进。

我将继续保持谦虚谨慎的态度，戒骄戒躁，不断总结经验，发挥优势，改正不足，以不负领导与家长的信任，争取在未来的工作中取得更为优异的成绩。

2024年高三数学工作总结下学期（二）在本学期的教学工作中，我严格遵循新教材的教学要求，积极学习，全面提升自我，紧密结合学校的实际情况以及学生的具体需求，勤恳工作，以确保教学活动有序、有效地进行。

高一数学纠错练习(11.9.17)

高一数学纠错练习（11.9.17） 1.,ababa b y a b ab =++设都是非零实数，可能取的值组成的集合是。

2.{}{}2|8150,|10,A x x x B x ax B =-+==-=若 ≠⊂A ，则由实数a 组成的集合的子集有个。

3.{}{}0,1,|,A B x x A ==⊆设则集合B 的元素为。

4.{}{},|325,|21,U R M x a x a P x x M ==<<+=-≤≤设全集若 ≠⊂U C P ，则实数a 的范围是。

5.{}{}22|23,,|41,A y y x x x R B y y x x x R ==-+∈==-++∈已知集合，则 ()()R R C A C B = 。

6.如右图阴影部分表示的集合是。

7.11|,,|,,623n M x x m m Z N x x n Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭已知集合则 ,M N 的关系为。

8.{}1,0,1,2,3,4,5,4,S a S a S ⊆-∈-∈非空数集并且满足且则这样的S 共有个9.22(10)1()(02)23(2)x x f x x x x +-≤≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎩函数，34f f f ⎧⎫⎡⎤⎛⎫-=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭则。

10.[]()-(23)f x f x -已知函数的定义域为4,5，则的定义域是。

11.,y R m =已知函数定义域为则的取值范围。

12. 3(9)()(4)(9)x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩若，则(7)f = 。

13.{}{}{}2222|190,|560,|280A x x ax a B x x x C x x x =-+-==-+==+-=若(1)A B A B a = 若，求的值。

B AC U(2)φ若≠⊂=A B A B a φ ，，求的值。

14.,()41,2,24x f x x x x ++-+对任意实数设是三个函数中的最小者， (1)();(2)(3)()f x f x 求：作出图像；求的值域15.直线,10l x l x ⊥=轴，从原点开市向右平移直线在处停止，A OB ∆它扫过所得图形的面积是,,0)S x x 它与轴交点为（(1)()S f x =求函数的解析式。

高三数学纠错练习(3)[原创]新人教

高三数学纠错训练31 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12312315,80a a a a a a ++==，则111213a a a ++＝_____2 已知数列}{n a 满足),2(113121,1*13211N n n a n a a a a an n ∈≥-++++==- ，若2007=n a ，则n =___3若数列{}n a 的通项公式是*8111()()3()()()3842n n n na n N =-+∈，且该数列中的最大项是ma 则m＝_____4 已知1是2a 与2b 的等比中项，又是a1与b1的等差中项，则22ba b a ++的值是_________5 设函数2*21()(,,)12x x n n f x x R x x N x x -+-=∈≠∈++，)(x f 的最小值为n a ，最大值为n b ，记)1)(1(n n n b a c --=，则数列}{n cA 是公差不为0的等差数列B 是公比不为1的等比数列C 是常数列D 不是等差数列，也不是等比数列6 过圆01022=-+x y x 内一点P （5，3）的k 条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为数列的末项k a ，若公差∈d11,32[]，则k 的取值不可能是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）77 等差数列}{n a 中，公差d 是自然数，等比数列}{n b 中，111==a b ，22a b =．现又数据：①2，② 3，③ 4，④ 5，当}{n b 中所有的项都是数列}{n a 中的项时，d 可以取．（填上你认为正确的序号）8 数列{a n }中，11a =，545a =，且1(1)n n na n a t +=++，则常数t ＝． 9 设数列{}n a 中，nna a nb c=+，且,,a b c 都是正数，则n a 与1n a +的大小关系是_______10 已知两个等差数列{},{}n n a b 的前n 项的和分别为,n n S T ，且723n nS n T n +==+，则55a b ＝_____11 若4sin()25θπ+=，3sin()225πθ+=，则θ的终边在第______象限。

让错误的历史不再重演——高三数学有效纠错的实践与探索

时，我们总会听到教师抱怨： “ 道题讲了不知多少遍，结果谁出现什么错误，然后把这些错误进行归类，如有哪些同学容易在这
还是错！ ”这说明教师在纠错时没有针对性，没有抓住学生错误计算上错误，哪些学生的公式、定理运用易出错，哪些学生概念不的根源，有效纠错。因此，对学生的错误要弄清实质，采取针清，哪些学生是审题有问题，一一记录，以便有针对性地纠错。对性的措施。如审题的错误，不妨从培养学生审题能力入手，２纠错的有效载体～笔记错题本．让他们通过认真审题，用说的形式把所知道的一切问题或条件随着复习的深入，学生在学习中出现的错误一般会逐步增罗列出来，然后进行筛选，选出有用的条件，再看还缺少什么多，还有前面复习中出现的错误也有可能忘记了。因此，教师要
是学生。而学生犯错误往往与习惯有关，或者对学习数学不是很时间慢慢整理自己的错误。因此，在平时教学中，笔者让学生在
感兴趣，更缺乏学习的主动性和自觉性。因此在高三复习中，对讲义或学案错误的旁边订正一下，还要做下记号，而重要的思路
关键词：有效；实践；探索
一
学生考试的答卷和平时的练习，我们发现学生屡屡 …现的错误主

高三数学评价作业六纠错练习试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校2021届高三数学评价作业六〔纠错练习〕班级 .一、填空题1. 实数{}21,1,a a ∈-，那么函数2()(1)2f x x a x =---的零点为。

〔供题：吴磊、曹与哲等〕 2. 假设函数()x x ax x f -+=233恰好有三个单调区间，那么a 的取值范围是_________.〔供题：陈炳宪等〕3. 函数()()()4log 32+=-ax x f a 在[]1,1-上是单调增函数，那么实数的取值范围是〔供题：陈炳宪等〕4. 假设函数()21f x ax x =++在区间[)2,-+∞上为单调增函数，那么实数a 的取值范围是．5. 假设函数()x f 是定义域R 上的奇函数，且()x f y =的图像关于直线21=x 对称，那么()()()()()=++++54321f f f f f 〔供题：陈炳宪等〕6. 函数()()()()⎩⎨⎧≤-+->=1,5321,log x a x a x x x f a 在R 上是单调增函数，那么a 的范围是_________. 7. 用{}b a ,m in 表示b a ,两数中的最小值。

假设函数(){}t x x x f +=,min 的图象关于直线21=x 对称，那么t 的值为〔供题：陈炳宪等〕 8. 函数a x y -=2log 图象的对称轴为2=x ，那么a 的值为〔供题：马欣建等〕 9. R x m ∈,，且当2≤m 时，不等式()1122->-x m x 恒成立，那么实数x 的取值集合为〔供题：沈寒光等〕 10. ()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，()ln f x x ax =-.假设函数()f x 在其定义域上有且仅有四个不同的零点，那么实数a 的取值范围是 . 〔供题：陆游〕二、解答题11. ,R m ∈设425:≤-m p 不等式；()634:23+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=x m mx x x f q 函数在()+∞∞-,上有极值．求使p 正确且q 正确的m 的取值范围。

2020年 (文科)数学高考高效提分纠错本之专题06 数列

易错点1忽略了n 的取值已知数列{}n a 满足3123=()n a a a a n n ∈*N L ，求数列{}n a 的通项公式n a ．【错解】由3123=n a a a a n L ，可得31231=(1),n a a a a n --L 两式相除可得33=(1)n n a n -．【错因分析】31231=(1)n a a a a n --L 仅适用于n ∈*N 且2n >时的情况，故不能就此断定33=(1)n na n -就是数列{}n a 的通项公式．【试题解析】当1n =时，11a =；当2n ≥时，由3123=n a a a a n L ，可得31231=(1),n a a a a n --L 两式相除可得33=(1)n n a n -，故331,1.,1,(1)n n a n n n n =⎧⎪=⎨>∈⎪-⎩*N已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法(1)形如a n ＋1＝a n f (n )，常用累乘法，即利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1求通项公式．(2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，常用累加法．即利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)求通项公式． (3)形如a n ＋1＝ba n ＋d (其中b ，d 为常数，b ≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造a n ＋1＋x ＝b (a n ＋x )(其中x ＝db －1)，则{a n ＋x }是公比为b 的等比数列，利用它即可求出a n . (4)形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r (p ，q ，r 是常数)的数列，将其变形为1a n ＋1＝r p ·1a n ＋qp .若p ＝r ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为qp ，可用公式求通项；若p ≠r ，则采用(3)的办法来求．(5)形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n (p ，q 是常数，且p ＋q ＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为a n ＋2－a n ＋1＝(－q )·(a n ＋1－a n )，则{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)是等比数列，且公比为－q ，可以求得a n －a n －1＝f (n )，然后用累加法求得通项．(6)形如a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )的式子，由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )，①得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)，② 再由①－②可得a n .(7)形如a n ＋1＋a n ＝f (n )的数列，可将原递推关系改写成a n ＋2＋a n ＋1＝f (n ＋1)，两式相减即得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n )，然后按奇偶分类讨论即可．(8)形如a n ·a n ＋1＝f (n )的数列，可将原递推关系改写成a n ＋2·a n ＋1＝f (n ＋1)，两式作商可得2(1)()n na f n a f n ++=，然后分奇、偶讨论即可．(9)a n ＋1－a n ＝qa n ＋1a n (q ≠0)型，将方程的两边同时除以a n ＋1a n ，可构造一个等差数列．具体步骤：对a n ＋1－a n ＝qa n ＋1a n (q ≠0)两边同时除以a n ＋1a n ，得到1a n －1a n ＋1＝q ，即 1a n ＋1－1a n ＝－q ，令b n ＝1a n ，则{b n }是首项为1a 1，公差为－q 的等差数列. (10)a n ＝pa r n －1(n ≥2，p >0)型，一般利用取对数构造等比数列．具体步骤：对a n ＝pa r n －1两边同取常用对数，得到lg a n ＝r lg a n －1＋lg p ，令b n ＝lg a n ，则{b n }可归为a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)型.1．数列{}n a 的前n 项和n S 满足232n S n n =-+，则数列n a 的通项公式为_____________.【答案】0,124,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】∵数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-+，∴当2n ≥时，22132(1)3(1)224n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，又∵当1n =时，110214a S ==≠⨯-，故0,124,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故答案为0,124,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.【名师点睛】本题考查的知识点是数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n 项和S n ，求通项公式的方法：1112n n n S n a S S n -=-⎨⎩≥⎧=，，和步骤是解答本题的关键．由已知中{}n a 的前n 项和232n S n n =-+，结合1112n n n S n a S S n -=-⎨⎩≥⎧=，，，分别讨论2n ≥时与1n =时的通项公式，并由1n =时，1a 的值不满足2n ≥时的通项公式，故要将数列{}n a 的通项公式写成分段函数的形式．易错点2 忽略数列中为0的项设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则当n S 最大时，n =__________．【错解】由1118S S =，得111110181711+1822a d a d ⨯⨯=+，即1=14a d -，由10a >可知0d <，解不等式组111(1)0,0n n a a n d a a nd +=+-≥⎧⎨=+<⎩即14(1)0,140d n d d nd -+-≥⎧⎨-+<⎩得1415n <≤．又n ∈*N ，故当15n =时n S 最大．【错因分析】由于150a =，所以1415S S =，当14n =或15n =时n S 最大，错解中忽略了数列中为0的项．【试题解析】【正解1】由1118S S =，得111110181711+1822a d a d ⨯⨯=+，即1=14a d -，由10a >可知0d <，解不等式组111(1)0,0n n a a n d a a nd +=+-≥⎧⎨=+≤⎩即14(1)0,140d n d d nd -+-≥⎧⎨-+≤⎩得1415n ≤≤．故当14n =或15n =时n S 最大．【正解2】由1118S S =，可得1=14a d -，所以2(1)2914()222n n n d S dn d n -=-+=--8418d ，由n ∈*N 并结合n S 对应的二次函数的图象知，当14n =或15n =时n S 最大．【正解3】由1118S S =，得121314151617180a a a a a a a ++++++=，即157=0a ，15=0a ，由10a >可知0d <，故当14n =或15n =时n S 最大．数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题1．等差数列的前n 项和与函数的关系等差数列的前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题． 2．等差数列前n 项和的最值(1)若等差数列的首项a 1>0，公差d <0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0. (2)若等差数列的首项a 1<0，公差d >0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0.3．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．4．在等差数列{}n a 中，若10a >，()p q S S p q =≠，则（1）p q +为偶数⇒当2p qn +=时n S 最大；（2）p q +为奇数⇒当12p q n +-=或12p q ++时n S 最大．2．等差数列{}n a 中，12a =，1015S =，记2482n n B a a a a =++++L ，则当n =__________时，n B 取得最大值. 【答案】4【解析】在等差数列{}n a 中，12a =，1015S =，10110910152S a d ⨯∴=+=，即204515d +=，455d =-，19d ∴=-，()111921999n a n n =--=-+，由119099n a n =-+=，得19n =，即190a =，当19n >时，0n a <，当19,0n n a <>，因此在2482,,,n a a a a 中，当4n ≤时，20n a >，当5n ≥时，20n a <，故当4n =时，n B 取得最大值，故答案为4.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的计算，属于难题.求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，即n S 2An Bn =+，当2Bn A=-时有最大值（若2Bn A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.错点3 忽视奇数项或偶数项的符号在等比数列{}n a 中，246825a a a a =，求19a a 的值.【错解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±.【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件．【试题解析】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故19a a =5±．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以190a a >，所以195a a =．1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．3．已知等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，则5a = A ．2± B ．−2 C ．2D ．4【答案】C【解析】因为等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，所以33371,64a a ==，所以371,4a a ==，因此25a =374a a =，因为5a ，3a 同号，所以5 2.a =故选C.【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.应用等比数列性质时的注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.易错点4 忽视q =1致错在数列{}n a 中，若2(0)n nn a m m m =-≠，求{}n a 的前n 项和n S ．【错解】123n n S a a a a =++++L2422()()n n a a a a a a =+++-+++L L222(1)(1)11n n a a a a a a--=---. 【错因分析】错解在进行等比数列求和时忽略了对公比是否等于1的讨论；此外，还需讨论相关数列是否为等比数列.【试题解析】当1m =时，0n a =，所以0n S =；当1m =-时，21m =，所以(1)1(1)12n nn m m S n n m ---=-=+-；当1m ≠±时，222(1)(1)11n n n m m m m S m m--=---．综上，2220,11(1),12(1)(1),111n n n n m S n m m m m m m mm ⎧⎪=⎪--⎪=+=-⎨⎪⎪---≠±⎪--⎩.1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n＋1的式子应进行合并．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．4．各项均为正数的数列{}n a 的首项11a λ=，前n 项和为n S ，且211n n n S S a λ+++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足nn n b a λ=，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n n a λ=；（2）()22,121,0,111n nn n nT n λλλλλλλ⎧+=⎪⎪=⎨-⎪->≠-⎪-⎩. 【解析】（1）因为211n n n S S a λ+++=，① 所以当2n ≥时，21n n n S S a λ-+=，②-①②得：2211n n n n a a a a λλ+++=-，即()()111n n n n n n a a a a a a λ++++=+-，因为{}n a 的各项均为正数，所以10n n a a ++>，且0λ>，所以11n n a a λ+-=．由①知，2212S S a λ+=，即21222a a a λ+=，又因为11a λ=，所以22a λ=，所以211a a λ-=．故()*11n n a a n λ+-=∈N ，所以数列{}n a 是首项为1λ，公差为1λ的等差数列．所以()111n na n λλλ=+-=．（2）由（1）得n na λ=，所以1n n b n λ-=⋅，所以()2211231n n n T n n λλλλ--=++++-+L ，③()231231n n n T n n λλλλλλ-=++++-+L ，④-③④，得()2111n n n T n λλλλλ--=++++-L ，当0λ>且1λ≠时，()111n nn T n λλλλ--=--，解得()2111n n n n T λλλλ-=---；当1λ=时，由③得()()21123122n n n n nT n n ++=++++-+==L ；综上，数列{}n b 的前n 项和()22,121,0,111n nn n nT n λλλλλλλ⎧+=⎪⎪=⎨-⎪->≠-⎪-⎩．【名师点睛】（1）本题主要考查数列前n 项和公式，考查等差数列的通项的求法，考查错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.（2）数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.1.数列求和，一般应从通项入手，若通项未知，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．2.解决非等差、非等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成；(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成123,,,,,,na a a aL L简记为{}n a．2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10无穷数列项数无限的数列，如数列1，2，3，4，…按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，…递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，…常数列各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，…摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2 按项的有界性有界数列任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，…无界数列不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，…3．数列的表示方法（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况．（2）解析法：主要有两种表示方法，①通项公式：如果数列{}n a的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即()na f n=．②递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项(或前几项)，且任一项n a 与它的前一项1n a - (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点． 4．数列的前n 项和与通项的关系数列的前n 项和通常用n S 表示，记作12n n S a a a =+++L ，则通项11,2n nn S a S S n -⎧=⎨-≥⎩．若当2n ≥时求出的n a 也适合1n =时的情形，则用一个式子表示n a ，否则分段表示． 5．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可得1()n a dn a d =+-．令p d =，1q a d =-，则n a pn q =+，其中p ，q 为常数．（1）当0p ≠时，(,)n n a 在一次函数y px q =+的图象上，数列{}n a 的图象是直线y px q =+上均匀分布的一群孤立的点，且当0d >时数列{}n a 为递增数列，当0d <时数列{}n a 为递减数列．（2）当0p =时，n a q =，等差数列为常数列，数列{}n a 的图象是平行于x 轴的直线（或x 轴）上均匀分布的一群孤立的点． 6．等差数列的前n 项和首项为1a ，末项为n a ，项数为n 的等差数列{}n a 的前n 项和公式：11()(1)==22n n n a a n n S na d +-+．令2d p =，12d q a =-，可得2n S pn qn =+，则 ①当0p ≠，即0d ≠时，n S 是关于n 的二次函数，点(,)n n S 是函数2=y px qx +的图象上一系列孤立的点；②当0p =，即0d =时，n S 是关于n 的一次函数(0q ≠，即10)a ≠或常函数(0q =，即10)a =，点(,)n n S 是直线y qx =图象上一系列孤立的点．我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n 项和的相关问题． 7．用前n 项和公式法判定等差数列等差数列的前n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列{}n a 的前n项和2n S an bn c =++，那么当且仅当0c =时，数列{}n a 是以a b +为首项，2a 为公差的等差数列；当0c ≠时，数列{}n a 不是等差数列．8．等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为d 的等差数列{}n a 具有如下性质：（1）通项公式的推广：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*N ．（2）若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*N ．特别地，①若2m n p +=，则2m n p a a a +=(,)m n,p ∈*N ；②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a ++=++(,)m n,p,q,t,r ∈*N ．③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即1211.n n i n i a a a a a a -+-+=+==+=L L（3）下标成等差数列的项2,,,k k m k m a a a ++L 组成以md 为公差的等差数列．（4）数列{}(,n ta t λλ+是常数)是公差为td 的等差数列．（5）若数列{}n b 为等差数列，则数列{}n n ta b λ±(,t λ是常数)仍为等差数列．（6）若,p q a q a p ==，则0p q a +=． 9．与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n 项和公式易得等差数列的前n 项和具有如下性质：设等差数列{}n a （公差为d ）和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，（1）数列{}n S n 是等差数列，首项为1a ，公差为12d ．（2）232(1),,,,,k k k k k mk m k S S S S S S S ----L L 构成公差为2k d 的等差数列．（3）若数列{}n a 共有2n 项，则S S nd -=奇偶，1n n S aS a +=奇偶．（4）若数列{}n a 共有21n -项，则S S -=奇偶n a ，(,1n S n S na S n ==-奇奇偶(1))n S n a =-偶．（5）2121n n n n S a T b --=，21212121m mn nS a m T n b ---=⋅-． 10．等比数列的性质若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S ，则有如下性质：（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ．推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===①L L ②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a =．（2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列．（3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列；数列1{}n a 是公比为1q的等比数列；数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列．（4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++L 成等比数列，公比为mq ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(kq 或2)k q 的等比数列．（6）当1q =时，n m S n S m =；当1q ≠±时，11nn m m S q S q-=-．（7）m nn m m n n m S S q S S q S +=+=+．（8）若项数为2n ，则S q S =偶奇，若项数为21n +，则1S a q S -=奇偶．（9）当1q ≠-时，连续m 项的和（如232,,,m m m m m S S S S S --L ）仍组成等比数列（公比为mq ，2m ≥）．注意：这里连续m 项的和均非零． 11．求和常用方法方法1→错位相减法求和的注意点在运用错位相减法求数列前n 项和时要注意四点： ①乘数（式）的选择；②对公比q 的讨论（是否为1）；③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律； ④相消项中构成数列的项数．方法2→裂项相消法求和的注意点在应用裂项相消法求和时应注意：（1）把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差；（2）在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项．方法3→求和方法——分组求和法的解题步骤利用分组求和法解题的步骤： ①根据通项公式的特征准确拆分，将其分解为可以直接求和的一些数列的和； ②分组求和，分别求出各个数列的和；③得出结论，对拆分后每个数列的和进行组合，解决原数列的求和问题．1．[2018北京文]设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当14,1,1,4a b c d ====时，,,,a b c d 不成等比数列，所以不是充分条件；当,,,a b c d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件.综上所述，“ad bc =”是“,,,a b c d 成等比数列”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】证明“ad bc =”⇒“,,,a b c d 成等比数列”只需举出反例即可，论证“,,,a b c d 成等比数列”⇒“ad bc =”可利用等比数列的性质.2．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若643a a =，且104S a λ=，则λ的值为A ．15B ．21C ．23D ．25【答案】D【解析】依题意， 6411135392a a a d a d a d =⇒+=+⇒=-，其中0d ≠；()10411104532525S a a d a d d d λλλλ=⇒+=+⇒=⇒=，故选D ．3．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，1247S S =，则84S S = A ．13B ．13或12C ． 3D ． 3或2-【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵1247S S =， ∴1q ≠，且()()1241117111a q a q qq--=--，即()124171qq -=-.令4t q =， 0t >，且1t ≠.∴()3171t t -=-，即260t t +-=.∴2t =或3t =-（舍去）.即42q =.故选C ．4．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=，3564a a =，则4S = A ．63或120 B ．256 C ．120D ．63【答案】C【解析】∵11n na a +<，∴0＜q ＜1， ∵a 3+a 5=20，a 3a 5=64∴a 3和a 5为方程x 2﹣20x +64=0的两根， ∵a n ＞0，0＜q ＜1，∴a 3＞a 5，∴a 3=16，a 5=4，∴q =12，∴a 1=64，a 2=32，a 3=16，a 4=8， ∴S 4=64+32+16+8=120，故选C ．5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若212a a =，且3S ，1S ，2S 成等差数列，则4S =A ．10B ．12C ．18D ．30【答案】A【解析】在等比数列{}n a 中，由212a a =，得211a a q =，即1a q =，① 又3S ，1S ，2S 成等差数列，1322S S S ∴=+，即21111222a a a q a q =++，②联立①②得：0(q =舍去)或2q =-．12a q ∴==-，则()()414121161013a q S q--⨯-===-．故选A ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的前n 项和，是中档题． 6．在数列{n a }中，已知12a =，1122n n n a a a --=+()2n ≥，则n a 等于A ．21n + B ．2n C ．3nD ．31n +【答案】B【解析】将等式1122n n n a a a --=+两边取倒数得到11112n n a a -=+，11111=,2n n n a a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列，11a =12，根据等差数列的通项公式的求法得到()1111222n nn a =+-⨯=，故n a =2n. 故答案为B.【名师点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法，数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -再作差得通项，但是这种方法需要检验n =1时通项公式是否适用；还有构造新数列的方法，取倒数，取对数的方法等.7．已知数列{}n a 是递增数列，且对*n ∈N ，都有2n a n n λ=+，则实数λ的取值范围是A ．7,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞【答案】D【解析】∵{a n }是递增数列，∴a n +1＞a n 恒成立，∵a n =n 2+λn ，∴（n +1）2+λ（n +1）＞n 2+λn 恒成立，∴λ＞﹣2n ﹣1对于n ∈N *恒成立．而﹣2n ﹣1在n =1时取得最大值﹣3，∴λ＞﹣3. 故选D ．【名师点睛】本题主要考查由数列的单调性来构造不等式，解决恒成立问题．研究数列单调性的方法有：比较相邻两项间的关系，将a n +1和a n 作差与0比较，即可得到数列的单调性；研究数列通项即数列表达式的单调性.8．已知数列{}n a 满足n a =（*n ∈N ），将数列{}n a 中的整数项按原来的顺序组成新数列{}n b ，则2018b 的末位数字为 A ．8 B ．2 C ．3D ．7【答案】C【解析】由n a =（*n ∈N ），可得此数列为：L，n a 的整数项为L ,∴数列{}n b 的各项依次为： 2,3,7,8,12,13,17,18L ，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8L ，∵201845042=⨯+，故2018b 的末位数字为3，故选C ． 9．[2018浙江]已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>【答案】B【解析】令()ln 1,f x x x =--则()11f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+.若公比0q >，则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意；若公比1q ≤-，则()()212341110,a a a a a q q+++=++≤但()()212311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣⎦，即()12341230ln a a a a a a a +++≤<++，不合题意；因此()210,0,1q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，故选B.10．[2018北京文]“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为ABC．D．【答案】D【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为所以()*12,n n a n n -=≥∈N，又1a f =，则7781a a q f ===，故选D.【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n ≠∈N ）或1nn a q a -=（*0,2,q n n ≠≥∈N ），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n ≥∈N ），则数列{}n a 是等比数列.11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =__________．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--，故答案是63-.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.12．设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，()133343663616 3.n a d d d a n n =∴+++=∴=∴=+-=-Q ，，，【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. 13．已知数列{}n a 满足： 212log 1log n n a a +=+，若310a =，则8a =__________．【答案】320【解析】根据题意，得 212log log 1n n a a +-=，所以{}2log n a 是公差为1的等差数列，52823222log log 5log 10log 2log 320a a =+=+=.所以8320a =.14．设n S 是等比数列{}n a 的前项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为__________．【答案】20【解析】很明显等比数列{a n }的公比q >0，q ≠1.∵236365432112(1)(1)5S S a a a a a a a q q q -=++---=++-=，则2135(1)1a q q q ++=-，q 3=2,即q =. ∴S 9−S 6的最小值为20.15．已知等差数列{}n a ，若24236n a a a a a +++=L ，132135n a a a a a -+++=L ，且2200n S =，则公差d =__________．【答案】0或6【解析】若24236n a a a a a +++=L ①，132135n a a a a a -+++=L ②， ②-①得3nd a d =.（1）若0d =，显然0n a >，则23611a a a na ⋅==，又2200n S =，所以12200na =，解得10n =，满足题意．（2）若0d ≠，则3n a =，56200n a a ∴⋅+=（），又212200n n S n a a ==⋅+（），56122105n a a a a n n ∴+=+∴==，，，3103855200a S a a ∴==+=，（），得835a =，6d ∴=．故答案为0或6．16．[2018全国I 文]已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）b 1=1，b 2=2，b 3=4；（2）见解析；（3）a n =n ·2n -1．【解析】（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n na n-=，所以a n =n ·2n -1．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.17．[2018全国Ⅲ文]等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【答案】（1）1(2)n n a -=-或12n n a -=；（2）6.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=．（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．18．[2018北京文]设{}n a 是等差数列，且123ln2,5ln2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求12e e e n aaa+++L .【答案】（1）ln 2n a n =；（2）122n +-. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵235ln2a a +=， ∴1235ln2a d +=，又1ln2a =， ∴ln2d =.∴()11ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（1）知ln2n a n =， ∵ln 2ln2ee e =2nna n n ==，∴{}e n a 是以2为首项，2为公比的等比数列. ∴212ln2ln2ln221e e e eee=222=22nna a a n n ++++=++++++-L L L .∴12e e ena aa+++L 1=22n +-.【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和共涉及五个基本量1,,,,n n a a d n S ，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.（1）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组，求解1,a d ，代入通项公式可得；（2）由（1）可得e 2n a n =，进而可利用等比数列求和公式进行求解. 19．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和为392S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a +=；（2）n T = 21n -．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得，．化简得11322,,2a d a d +=+=解得11=1,2a d =，故通项公式1=1+2n n a -，即+1=2n n a ．（2）由（1）得141515+1=1==82b b a =，．设{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,从而2q =．故{}n b 的前n 项和()()1111221112nnnn b q T q -⨯-===---．20．设12a =，24a =，数列{}n b 满足：122n n b b +=+且1n n n a a b +-=.（1）求证：数列{}2n b +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2） 1*22()n n a n n +=-∈N .【解析】（1）由题意知： 12222222n n n n b b b b ++++==++，又121422b a a =-=-=Q ，∴124b +=，∴{}2n b +是以4为首项， 2为公比的等比数列.（2）由（1）可得1242n n b -+=⋅，故122n n b +=-.1n n n a a b +-=Q ，∴211a a b -=，322a a b -=，433a a b -=，……11n n n a a b ---=.累加得： 11231n n a a b b b b --=++++L ，()()()()234222222222n n a =+-+-+-++-L ()()21212=2+2112n n -----122n n +=-，即()1222n n a n n +=-≥.而1112221a +==-⨯，∴1*22()n n a n n +=-∈N .21．[2018浙江]已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．【答案】（1）2q =；（2）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=，因为1q >，所以2q =.（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（1）可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-L23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+L . 设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥L ，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅L 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅L ，因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅. 【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 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蒋王数学高三数学练习5.26纠错练习

高三数学练习5.261、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .周长为l(1) 求函数()y f x =的解析式和定义域；(2) 求y 的最大值；（3）求l 的取值范围。

2、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边分别为,,a b c ，且1cos 3A =． (1)求2sin cos 22B C A ++的值； (2)若a =bc 的最大值．3、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，；2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．4、ABC ∆的三边a 、b 、c 和面积满足22()S c a b =--，且a + b=2,求面积S 的最大值5、如图，两座建筑物AB 、CD 的高度分别是m 9和m 15，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角︒=∠45CAD ，求建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD 。

A B C DE6、如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2=OA ，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ∆，问点B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？7、已知函数)6cos()2sin(x x y -+=ππ，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值。

（3）求函数的单调减区间；（4）求函数在区间]6,6[ππ-的值域8、如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥DC ，2DC AB =，AP AD =，PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，E 为PD 的中点．求证：（1）AE ∥平面PBC ；（2）PD ⊥平面ACE ．9、如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2，1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积.D C B A EP（第8题图）第9题 A B C D EF M O10、如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xoy 中，设圆C ：()()()222141,1,0x y a a A ++=>,记点N 的轨迹为曲线E . ⑴证明曲线E 是椭圆，并写出当2a =时该椭圆的标准方程；⑵设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率12e ⎡∈⎢⎣⎦，求点Q 的纵坐标的取值范围.11、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E 的方程；（2）若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M ．（ⅰ）设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；（ⅱ）设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．12、自极点O 作射线与直线cos 3ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得12OM OP ⋅=，求点P 的轨迹方程，并判断点P 的轨迹与直线221x t l y t =+⎧⎨=+⎩:（t 是参数）的位置关系．13、（Ⅰ）设()(1)()n f x x f x =+，展开式中2x 的系数是10，求n 的值；（Ⅱ）利用二项式定理证明：11(1)C 0nk k nk k +=-=∑．。

高考数学易错题专项训练(一)

高考数学易错题专项训练(一)一、正误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A是B的真子集；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.()2.A⊆B说明集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.()3.若集合A中含有n个元素，则集合A的子集的个数为2n个，真子集的个数为2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个.()4.交集的补集等于补集的并集，即∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；并集的补集等于补集的交集，即∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).()5.A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B．()6.若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件，綈p是綈q的必要不充分条件.()7.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.()8.否命题是原命题的条件与结论同时否定，命题的否定是仅仅否定原命题的结论，而命题的条件不变.()9.函数y＝f(x)的零点是方程f(x)＝0的实数根，所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.()10.函数y＝f(x)的图象与直线x＝a(a∈R)的交点可能是0个、1个或2个.()11.f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.存在既是奇函数又是偶函数的函数：f(x)＝0.()12.奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.()13.若满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝2a；若满足f(x＋a)＝1f（x），则f(x)是周期函数，T＝2a(a≠0，a为常数).()14.若f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于x＝a对称；如果f(x)满足f(x)＝－f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a，0)对称.()15.函数y＝a x与y＝log a x(a>0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称，且两函数在各自定义域上具有相同的单调性.()16.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.如果f(x)在(a，b)上单调，则y＝f(x)在(a，b)内有唯一的零点.()17.在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果f′(x)<0.那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.()18.函数f(x)在x0处有f′(x0)＝0，且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值；若在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值，函数的极大值可能会小于函数的极小值.()19.f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线斜率，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).()20.f′(x)≥0是可导函数f(x)在x∈(a，b)内是增函数的充要条件；f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要条件.()二、矫正训练(一)选择题(共10小题)1.集合A＝{x||x＋1|≤3}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}.则下列关系正确的是()A ．A ∪B ＝R B ．A ⊆∁R BC ．B ⊆∁R AD ．∁R A ∁R B2.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数且是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x 2＋sin xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋sin 2x 4.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(13，＋∞) 5.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a6.设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 7.如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1，2) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2，3) 8.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．－2C ．3或－2D ．129.已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≤－2}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}10.已知函数y ＝f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且当x >0，f (x )＋xf ′(x )>0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124，b ＝2f (2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．a >c >b(二)填空题(共6小题)11.已知命题p ：x 2－2x －3<0，命题q ：x >a ，若命题p 是命题q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________.12.如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________.13.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（a －2）x －1，x ≤1，log a x ，x >1.若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________.14.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.15.若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2，(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.16.已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________.参考答案一、1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√ 8.√9.√10.×解析：不符合函数的定义，不会有2个及2个以上的交点.11.√ 12.√ 13.√ 14.√ 15.√16.×解析：不满足零点存在定理的条件，即没有明确图象是连续不断的一条曲线.17.√18.×解析：没有理解函数的极大(小)值的概念，本题把极大值与极小值定义弄反了.19.√20.×解析：错误理解函数单调性与导数的关系.二、1.解析：没有分析清楚集合中的元素导致错误.D [A ＝{x ||x ＋1|≤3}＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，所以∁R B ＝{y |y >2或y <0}，∁R A ＝{x |x <－4或x >2}，所以∁R A∁R B ，选D ．] 2.解析：容易遗漏幂函数的系数是1，且当α>0时，g ＝x α在(0，＋∞)上为增函数而导致错误.B [因为函数为幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.因为幂函数在(0，＋∞)上是增函数，所以－5m －3>0，即m <－35，所以m ＝－1.选B ．]3.解析：判断函数的奇偶性时，应注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，这一点易忽略.A [函数f (x )＝x 2＋sin x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (1)＝1＋sin 1，f (－1)＝1－sin 1，所以函数f (x )＝x 2＋sin x 既不是奇函数，也不是偶函数；函数f (x )＝x 2－cos x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以函数f (x )＝x 2－cos x 是偶函数；函数f (x )＝2x ＋12x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以函数f (x )＝2x ＋12x 是偶函数；函数f (x )＝x ＋sin 2x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝－x ＋sin(－2x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝x ＋sin 2x 是奇函数.故选A ．]4.解析：此类问题易于忽略的是首先判断函数的奇偶性和单调性，从而避免讨论.A [由 f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2可知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上增函数，所以f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔13＜x ＜1，故选A ．]5.解析：此类问题易于忽略的是判断函数的单调性和转化到同一单调区间上讨论问题.C [因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，所以m ＝0，即f (x )＝2|x |－1，所以a ＝f (log 0.53)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝f (log 23) b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )＝f (0)，因为log 25＞log 23＞0，而f (x )＝2|x |－1在[0，＋∞)上为增函数，所以c ＜a ＜b ，故选C ．]6.解析：忽略了由f (f (a ))＝2f (a )直接得到f (a )≥1，从而解不等式或利用数形结合的方法解决问题.C [由f (f (a ))＝2f (a )可知f (a )≥1，则⎩⎨⎧a ≥12a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a －1≥1，解得a ≥23，答案选C ．] 7.解析：忽略利用函数的图象求出a ，b 的范围导致错误.C [由函数图象可知0<b <1，f (1)＝0，从而－2<a <－1，f ′(x )＝2x ＋a ，所以g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，函数g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a <0，g (1)＝ln 1＋2＋a >0，所以函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，选C ．] 8.解析：忽略函数的定义域导致错误.A [函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y ′＝x 2－3x ，由y ′＝x 2－3x ＝12，得x 2－x －6＝0，解得x ＝3或x ＝－2(舍去)，选A ．]9.解析：不能分析清楚存在与恒成立的区别导致错误.A [由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，x ∈[1，2]，所以a ≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.因为命题“p ∧q ”是真命题，则p ，q 同时为真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2，即a ≤－2或a ＝1，选A ．] 10.解析：不会构造函数，不能判断函数的奇偶性导致错误.C [令函数F (x )＝xf (x )，则函数F (x )＝xf (x )为偶函数.当x >0时，F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，此时函数递增，则a ＝F (log 124)＝F (－log 24)＝F (－2)＝F (2)，b ＝F (2)，c ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝F (－lg 5)＝F (lg 5)，因为0<lg 5<1<2<2，所以a >b >c ，选C ．] 11.解析：忽略从集合的角度解决充要条件的应用问题而导致错误.(－∞，－1] [M ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，因为N ＝{x |x >a }且M ⊆N ，所以有a ≤－1.]12.解析：忽略倾斜角的范围以及正切函数的单调性导致错误.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 [由题意可设f ′(x )＝a (x －1)2＋3，(a >0)，即函数切线的斜率为k ＝f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥3，即tan α≥3，所以π3≤α<π2.]13.解析：忽略了第一段函数的最大值小于或等于第二段函数的最小值导致错误.(2，3][要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a ≤3.解得2<a ≤3，即a 的取值范围是(2，3].]14.解析：忽略函数的f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a >0，f (x )极小值＝f (1)＝a －2<0导致错误. (－2，2) [由f (x )＝x 3－3x ＋a ＝0，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，由图象可知f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a >0，f (x )极小值＝f (1)＝a －2<0，即－2<a <2，所以实数a 的取值范围是(－2，2).]15.解析：分段函数的值域是各段函数值域的并集，应首先求出各段函数的值域，易于忽略. (1，2] [当x ≤2，故－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，只需f 1(x )＝3＋log a x (x ＞2)的值域包含于[4，＋∞)，故a ＞1，所以f 1(x )＞3＋log a 2，所以3＋log a 2≥4，解得1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围是(1，2].]16.解析：由于是存在性的问题，易忽略g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值导致错误. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞ [f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，当x >－1时，f ′(x )>0函数递增；当x <－1时，f ′(x )<0函数递减，所以当x ＝－1时f (x )取得极小值即最小值f (－1)＝－1e .函数g (x )的最大值为a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则有g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值，即a ≥－1e .]。

高三数学纠错练习(六)试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校2021届高三数学纠错练习〔六〕一、填空题：1.tan 25tan 353tan 25tan 35++= ．2．如图，在ABC∆中，假设2BE EA =，2AD DC =，()DE CA BC λ=-，那么实数=λ ．3．ln ,0()ln(),0x x f x x x >⎧=⎨--<⎩，假设()()f a f a >-，那么实数a 的取值范围是__________．4．在ABC ∆中，a ，b ，c 是角A 、B 、C 的对应边，那么①假设b a >，那么x B A x f ⋅-=)sin (sin )(在R 上是增函数；②假设222)cos cos (A b B a b a +=-，那么∆ABC 是∆Rt ；③C C sin cos +的最小值为2-；④假设cos2cos2A B =，那么A=B ；⑤假设2)tan 1)(tan 1(=++B A ，那么π43=+B A _____ ．5．关于函数f 〔x 〕＝cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，有以下说法：①y ＝f 〔x 〕的最大值为2；②y ＝f 〔x 〕是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f 〔x 〕在区间13,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移24π个单位后，将与函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．〔注：把你认为正确的说法的序号都填上〕 6．设x x f ln )(=，假设函数ax x f x g -=)()(在区间)4,0(上有三个零点，那么实数a 的取值范围是_______． 7．在ABC ∆中，BD DC 2=过AD 中点E 任作一直线分别交边AB ，AC 于M，N两点，设AM xAB =，AN y AC =〔0xy ≠〕，那么x y +的最小值是．8．函数()2ln f x x a x=+，假设对任意两个不等式的正数()1212,x x x x >，都有()()()12122f x f x x x ->-成立，那么实数a 的取值范围是．二、解答题：9．如图，(6,1),(,),(2,3),ABBC x y CD ===--且BC ∥AD 。