希尔伯特黄变换20页PPT
希尔伯特-黄变换说明及程序(标准程序)
目录∙ 1 本质模态函数(IMF)∙ 2 经验模态分解(EMD)∙ 3 结论∙ 4 相关条目∙ 5 参考文献∙ 6 外部链接[编辑]本质模态函数(IMF)任何一个资料，满足下列两个条件即可称作本质模态函数。
⒈局部极大值(local maxima)以及局部极小值(local minima)的数目之和必须与零交越点(zero crossing)的数目相等或是最多只能差1，也就是说一个极值后面必需马上接一个零交越点。
⒉在任何时间点，局部最大值所定义的上包络线(upper envelope)与局部极小值所定义的下包络线，取平均要接近为零。
因此，一个函数若属于IMF，代表其波形局部对称于零平均值。
此类函数类似于弦波（sinusoid-like），但是这些类似于弦波的部分其周期与振幅可以不是固定。
因为，可以直接使用希尔伯特转换，求得有意义的瞬时频率。
[编辑]经验模态分解(EMD)EMD算法流程图建立IMF是为了满足希尔伯特转换对于瞬时频率的限制条件之前置处理，也是一种转换的过程。
我们将IMF来做希尔伯特转换可以得到较良好的特性，不幸的是大部分的资料并不是IMF，而是由许多弦波所合成的一个组合。
如此一来，希尔伯特转换并不能得到正确的瞬时频率，我们便无法准确的分析资料。
为了解决非线性（non-linear）与非稳态（non-stationary）资料在分解成IMF时所遇到的困难，便发展出EMD。
经验模态分解是将讯号分解成IMF的组合。
经验模态分解是借着不断重复的筛选程序来逐步找出IMF。
以讯号为例，筛选程序的流程概述如下:步骤 1 : 找出中的所有局部极大值以及局部极小值，接着利用三次样条(cubic spline)，分别将局部极大值串连成上包络线与局部极小值串连成下包络线。
步骤 2 : 求出上下包络线之平均，得到均值包络线。
步骤 3 : 原始信号与均值包络线相减，得到第一个分量。
步骤 4 : 检查是否符合IMF的条件。
(研)第二章希尔伯特变换与相关分析第5-6课 PPT
X
()
2
2
1 X ()d 1
d
2 2
1
2
(
)d
2 2 2 2 2 2
|
( 2 2 )
4
因为本项有两项频率项，其解析信号就是略去负频率项
e e 1
Xa
(t)
[ 4
j12)t
j
( 2
)t 1
]
e cos1t j2t
注意: (1) 给定一个实信号,尽管通过Hilbert可以构成一个解析信号, 且是唯一的,但并不是每一个解析信号都有明确的物理意义
(2)只有当 xt A(t) cos(t)
解析信号和原信号之间的频谱关系：
xa (t) x(t) jxˆ(t) Xa () X ( j) jXˆ ( j) Xˆ ( j) jX ( j)Sgn()
所以：
Xˆ ( j) X ( j)
ˆ( )
(
(
) )
2
2
0 0
tt
2 (t) 2其中：
y(t) 1 1 2 (t)
tt
0 0
一.希尔伯特变换
h(t) 1
H
(
j
t
)
jSgn(
)
j
j
0 0
e j900
e
j
900
0 0
HT是将信号相移90度的运算,与其它变换不同是属于 相同域的变换,时域到时域变化.
补充二希尔伯特变换及其应用课件
希尔伯特变换定义
02
对控制系统的传递函数进行希尔伯特变换，得到系统的频域响
应。
应用场景
03
在控制系统分析和设计中，希尔伯特变换用于系统的稳定性分
析和控制性能优化。
05
希尔伯特变换的优缺点分析
希尔伯特变换的优点
线性性
实时性
希尔伯特变换是线性的，对于多个输入信 号的组合，其变换结果等于各个输入信号 变换结果的线性组合。
对于非线性和非平稳信号，希尔伯特变换可能无法得到准确的结果。
对初始条件敏感
对于某些类型的信号，如果初始条件选择不当，希尔伯特变换的结果 可能会产生较大的误差。
对计算精度要求高
对于高精度的信号处理，希尔伯特变换需要较高的计算精度。
希尔伯特变换的改进方向
研究更鲁棒的算法
针对希尔伯特变换对噪声和初始条件 敏感的问题，研究更鲁棒的算法是未 来的一个重要方向。
信号同步
利用希尔伯特变换对通信 信号进行同步处理，可以 提高通信系统的可靠性和 稳定性。
信道均衡
通过希尔伯特变换对通信 信道进行均衡处理，可以 消除信道失真对信号的影 响，提高通信质量。
03
希尔伯特变换的数学推导
希尔伯特变换的推导过程
希尔伯特变换是基于傅里叶变换 的一种扩展，它能够将实数信号 转换为复数信号，从而揭示信号
信号的边缘检测
希尔伯特变换可以用于信号的边缘检测，通过分析信号的 相位变化，可以检测出信号的突变点，从而提取出信号的 边缘信息。
信号去噪
利用希尔伯特变换对信号进行去噪处理，可以通过分析信 号的相位和幅度信息，去除噪声干扰，提高信号的纯净度 。
在控制系统中的应用
系统稳定性分析
通过希尔伯特变换，可以对控制 系统的稳定性进行分析，判断系
北大随机信号分析基础课件 4.1 希尔伯特变换和解析过程
第四章 窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换 一． 希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(ˆt x或)]([t x H ，并定义为τττπd t x t x H t x ⎰∞∞--==)(1)]([)(ˆ用'ττ+=t 代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(ˆτττπd t x t x ⎰∞∞-+-=也可得'')'(1)(ˆτττπd t x t x ⎰∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt x H t x ⎰∞∞----==)(ˆ1)](ˆ[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t xt x ⎰⎰∞∞-∞∞-+=--=)(ˆ1)(ˆ1)(二． 希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和t π1的卷积，即tt x t xπ1*)()(ˆ=于是，可以将)(ˆt x看成是将)(t x 通过一个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为0101)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为00)(<≥-=ωωωj j H即1)(=ωH202)(<≥-=ωπωπωϕ上式表明，希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(ˆt x的傅立叶变换)(ˆωX 为)()sgn()sgn()()(ˆωωωωωX j j X X-=-⋅= 2. )(ˆt x的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](ˆ[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(ˆ)(ˆ*)()(ˆt x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(ˆt x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TT T ⎰⎰⎰⎰-∞→-∞→∞∞-∞∞-==)(ˆ21lim )(21lim )(ˆ)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
希尔伯特变换性质
R d
根据实部、虚部对应相等，可得： 1 X R( ) d ， X 1
R d
因果系统的系统函数，其实部与虚部之间满足 一定的约束关系。实部(虚部)包含全部信息。
第 8 页
H.T.关系： f t f R t j f R t 实信号（或虚信号）才定义H.T。 定理：乘积调制信号的H.T. 定理：调幅信号的H.T. 定理：最小相位信号的幅度和相位的Bode关系式。 参考书：
– 《信号分析与处理》 – 《信号重构理论及应用》
X
1 1 H H 2 j
X
第 3 页
1 1 R jX R 2 2
注 非 H(j)
X d
意 应 H()
X 1 j 2 2
j sgn
ˆ t f ˆ F
jF ˆ ˆ F f t F F j sgn jF
0 0
具有系统函数为 j sgn 的网络是一个使相位滞 后 弧度的宽带相移全通网络。
其傅里叶变换：
即: ht 0， t 0
假设 H ( ) H e j R jX ( ) 则： 1 1 R jX R( ) jX 2 j 1 1 j 1 R X X R 2 2
X
四．希尔伯特变换的等价系统
f t F
第 6 页
ht
j sgn
ˆ t f ˆ F
希尔伯特·黄变换
HHT-希尔伯特·黄变换1998年，Norden E. Huang等人提出了经验模态分解方法，并引入了Hilbert谱的概念和Hilbert谱分析的方法，美国国家航空和宇航局（NASA）将这一方法命名为Hilbert-Huang Transform，简称HHT，即希尔伯特-黄变换。
HHT主要内容包含两部分，第一部分为经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，简称EMD），它是由Huang提出的；第二部分为Hilbert谱分析（Hilbert Spectrum Analysis，简称HAS）。
简单说来，HHT处理非平稳信号的基本过程是：首先利用EMD方法将给定的信号分解为若干固有模态函数（以Intrinsic Mode Function或IMF表示，也称作本征模态函数），这些IMF是满足一定条件的分量；然后，对每一个IMF进行Hilbert变换，得到相应的Hilbert谱，即将每个IMF表示在联合的时频域中；最后，汇总所有IMF的Hilbert谱就会得到原始信号的Hilbert谱。
与传统的信号或数据处理方法相比，HHT具有如下特点：(1)HHT能分析非线性非平稳信号。
传统的数据处理方法，如傅立叶变换只能处理线性非平稳的信号，小波变换虽然在理论上能处理非线性非平稳信号，但在实际算法实现中却只能处理线性非平稳信号。
历史上还出现过不少信号处理方法，然而它们不是受线性束缚，就是受平稳性束缚，并不能完全意义上处理非线性非平稳信号。
HHT则不同于这些传统方法，它彻底摆脱了线性和平稳性束缚，其适用于分析非线性非平稳信号。
(2)HHT具有完全自适应性。
HHT能够自适应产生“基”，即由“筛选”过程产生的IMF。
这点不同于傅立叶变换和小波变换。
傅立叶变换的基是三角函数，小波变换的基是满足“可容性条件”的小波基，小波基也是预先选定的。
在实际工程中，如何选择小波基不是一件容易的事，选择不同的小波基可能产生不同的处理结果。
补充二希尔伯特变换及其应用ppt课件
• z=sqrt(rx.*rx+ix.*ix);%求信号x的包络
• %z=sqrt(abs(x).^2+abs(y).^2);
• subplot(222);
• plot(z);
1
1.5
• thet=atan(ix./rx);%求信0.5号x的瞬时相位
1
• subplot(223);
0
• plot(thet);
h(n) 1 H (e j )e jnd 1 0 je jnd 1 je jnd
2
2
2 0
h(n) 1 (1)n
n
0
2
n
n为偶数 n为奇数
1
Hilbert变换与解析信号
∴ x(n)的Hilbert变换 xˆ(n)为：
xˆ(n) x(n)*h(n) 2 x(n 2m 1)
t
Xˆ ( j) X ( j)H ( j)
X ( j)[ j sgn( )] jX ( j)sgn( )
X ( j) j sgn( )Xˆ ( j)
由此可得：Hilbert反变换的公式
x(t) 1 * xˆ(t) 1 xˆ( )d
解析信号 t
t
设xˆ(t)为x(t)的Hilbert变换，定义 z(t) x(t) jxˆ(t)
1
amp
单道地震信号数值模拟
3. 瞬时属性的分辨率及地质意义
通过单道信号的瞬时属性的分析，可知利用瞬时属性可以反映同相轴的 局部或细微变换，但其分辨率也是有限的，而且不同瞬时属性反映的信息也 不同。
属性类别 物理意义
主要地质意义
瞬时振幅 地震反射波强度 的量度
瞬时相位 瞬时频率
同相轴连续性的 量度
希尔伯特黄变换
（1）由IMF分量的一系列瞬时频率 (k=0,1,2,…,n)，
可以充分反映出 u(t) 的瞬时频率特征。
（2）基于IMF分量的展开，可以得到一个可变幅度与 可变频率的信号描述方法，从而打破固定幅度与固定 频率的傅里叶级数展开的限制。
（3）与传统信号分解算法相比，最大的优点是其自适 应性。EMD 方法将信号分解为若干个IMF 以及一个余 项的和，各IMF 代表了原信号的合乎物理特征的时频 结构，且IMF 是在分解过程中根据原信号的固有属性 自适应地产生，而非在分解之前预先指定，EMD 方法 不但在时间和频率具有局部自适应性，作为表示的基 的IMFs 的结构也是自适应的。
[5]罗奇峰, 石春香. Hilbert—Huang 变换理论及其计算 中的问题[J]. 同济大学学报: 自然科学版, 2003, 31(6): 637-640.
EMD优缺点
EMD优点 EMD存在的问题
EMD算法改进 模态混叠 基本模式分量筛分停止条件 端点效应
EMD的优点
EMD有以下优点：
k
当物体以角速度沿半径作绕原点的圆周运动时， 其在直径上投影P的运动是一简谐运动：
s t =a0 cos t =a0 cost
而实际中，物体绕原点运动的半径往往不为 常数，运动的角速度也不均匀，则投影P的表达 式变为：
s t =a tcos t
其瞬时频率为： f t = t 1 d t
狭义平稳：随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起 点无关。 对任意正整数n和任意实数τ， n维概率密度函数满足：
f n x1 , x2 , xn ;t1 , t2 ,tn f n x1 , xn ;t1 , t2 ,tn
平稳过程的统计特性不随时间的推移而不同。
信号与系统课件 郑君里版 §5.6希尔伯特变换
t
jsgn()
sgn()为奇函数 1
jsgn() t
若系统函数为
H( j) = jsgn()=
j j
0 90 900 1
>0 <0
则冲激响应
h ( t) = F
1
[ H( j ) ] =
t
X
第
系统框图:
f(t) b
3 页
h(t)
j sgn (
X
b jsgn()
F()
b
X
第 5 页
利用卷积定理
>0 F() = F() jsgn() = jF() <0 () jF
具有系统函数为 jsgn()的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络 2
X
第
希尔伯波特变换
f() H[f(t)]= ˆ f(t) = 1 t d
t<0
其傅里叶变换
1 1 H(j)= H(j) ) ( 2 j
又 则
H(j)= H(j)e j() = R(j) jX(j)
1 [R(j) jX(j)]() 2 1 j
R( j ) jX(j) =
1 1 = ( X R 1 j) X(j) j (j) (j) R 2 2
ˆ F()
f(t) b
系统的零状态响应 f ˆ(t) ˆ f(t) = f(t) (t) = f(t) 1 h t 利用卷积定理
)
>0 jsgn jF F ˆ f(t) = F ˆ() = F()[ ()]= () <0 jF()
具有系统函数为 ()的网络是一个使相位滞 jsgn
X
北大随机信号分析基础课件希尔伯特变换和解析过程
北⼤随机信号分析基础课件希尔伯特变换和解析过程第四章窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换⼀．希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(?t x或)]([t x H ，并定义为τττπd t x t x H t x ?∞∞--==)(1)]([)(?⽤'ττ+=t 代⼊上式，进⾏变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(?τττπd t x t x ?∞∞-+-=也可得'')'(1)(?τττπd t x t x ?∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt x H t x ?∞∞----==)(?1)](?[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t xt x ?-∞∞-+=--=)(?1)(?1)(⼆．希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于⼀个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和tπ1的卷积，即tt x t xπ1*)()(?=于是，可以将)(?t x看成是将)(t x 通过⼀个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为0101)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为00)(<≥-=ωωωj j H即1)(=ωH=ωπωπω?上式表明，希尔伯特变换相当于⼀个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(?t x的傅⽴叶变换)(?ωX 为)()sgn()sgn()()(?ωωωωωX j j X X-=-?= 2. )(?t x的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](?[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(?)(?*)()(?t x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(?t x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TT T ?-∞→-∞→∞-==)(?21lim )(21lim )(?)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
4.1希尔伯特变换ppt课件
21
例4.1.1 试求cos(0t)的希尔伯特变换。
22
T 2T T
T 2T T
2 T 2T T
16
17
(5) 平稳随机过程X(t)希尔伯特变换的统计自相关函数和
时间自相关函数分别等于X(t)的自相关函数和时间自相
关函数
R ( ) RX ( ) X
R
XT
(
)
RXT
(
)
平稳随机过程经过希尔伯特变换后，平均功率不变。
R ( ) RX ( ) 令 0 X
xˆ t
H
x t
1
x d
t
xt
1
t
—— 正变换
xt
H 1
xˆ t
1
xˆ
d t
xˆ t
1
t
——
反变换
5
6
3.实信号的复数表示
典型的窄带信号可表示为：
x(t) A(t) cos[0t (t)]
如果由x(t)作为实部，它的希尔伯特变换作为虚
部，构成解析信号
z(t) x(t) jxˆ(t)
12
13
例4.1.1 试求cos(0t)的希尔伯特xt
则: yˆ t vˆ t xt v t xˆ t
（线性系统可以交换）
15
（4）希尔伯特变换只改变相位，不改变能量或功率
能量:
x2 t d xˆ 2 t dt
功率:
lim 1 T x2 (t)dt lim 1 T xˆ2 (t)dt 1 lim 1 T z(t) 2 dt
1
xˆ
d t
xt
两次移相90°，相当于180°
2）希尔伯特反变换