无损耗均匀传输线的波过程
无损耗均匀传输线
1、无损耗线上的电压、电流
U x U 2 cos x jZ C I 2 sin x U2 I x I 2 cos x j Z sin x C
U oc U 2 cos x U2 I oc j Z sin x C
令终端电压
xn
2
(n 0, 1, 2, )
电流波节(wave loop)处
x (2n 1) 4
(n 0, 1, 2, )
电流波腹(wave node) 处
总结 1、传输线上的电压和电流是一个驻波； 2、 x n
2
(n 0, 1, 2, ) 处出现电压波腹和电流波节
3、 x (2n 1) (n 0, 1, 2, ) 处出现电压波节和电流波腹 4
Z oc 0
0 < x < /4
Zoc
0
/4 < x < /2
3/4 < x <
= + j = j
j x j x e e sh x s压、电流为
U x U 2 cos x jZ C I 2 sin x U2 I x I 2 cos x j Z sin x C
距终端x处的输入阻抗为
Z 2 cos( x) jZ c sin( x) Z 2 jZ c tan x Zc Zc Z c jZ 2 tan x Z c cos( x) jZ 2 sin( x)
根据负载的不同来分析无损耗线
U x U 2 cos( x) jZc I 2 sin( x) Zix U2 Ix I 2 cos( x) j sin( x) Zc
均匀无损单导线上的波过程概要
U b (S )e
I b (S )e
S x v
（7-7） （7-8） （7-9） （7-10）
返回
I ( x, S ) I f (S )e
S x v
S x v
将以上频域形式解变换到时域形式为
x x i ( x, t ) i f (t ) ib (t ) v v
x x u ( x, t ) u f (t ) u b (t ) v v
Z uf if ub ib L0 C0
波阻抗Z表示了线路中同方向传播的电流波与电压波的 数值关系，但不同极性的行波向不同的方向传播，需要规定 一定的正方向。根据习惯规定：沿x正方向运动的正电荷相 应的电流波为正方向。在规定行波电流正方向的前提下，前
行波与反行波总是同号，而反行电压波与电流波总是异号，
随着线路的充放电将有电流流过导线的电 感，即在导线周围空间建立起磁场，因此和电 压波相对应，还有电流波以同样的速度沿，方 向流动。综上所述，电压波和电流波沿线路的 传播过程实质上就是电磁波沿线路传播的过程， 电压波和电流波是在线路中传播的伴随而行的 统一体。
返回
7.1.2 波动方程解
x为线路首端到线路上任—点的距离。线路每一单元 长度dx具有电感L0dx和电容C0dx，如图7-2所示，线路上 的电压和电流都是距离和时间的函数。 根据 可知
。
图7-1 均匀无损的单导线 (a)单根无损线首端合闸 （b）等效电路
合闸后，在导线周围空间建立起电场，形 成电压。靠近电源的电容立即充电，并向相邻 的电容放电，由于线路电感的作用，较远处的 电容要间隔一段时间才能充上一定数量的电荷， 并向更远处的电容放电。这样沿线路逐渐建立 起电场，将电场能储存于线路对地电容中，也 就是说电压波以一定的速度沿线路x方向传播。
1.4 均匀无耗传输线的工作状态解析
U (z) U (z) U (0)(e jz e jz )
| U (0) | e ju0 (e jz e jz )
(1-73)
j2 | U (0) | e ju0 sin z
正弦或余弦分布；
最大值和最小值的特点
I (z) Il (e j z e j z ) I (z) I (z) 2
2 I (0) Zc cosz cos(t 0 )
i(z,t) i (z,t) i(z,t)
Ul 2Zc
cos(t
0
z)
Ul 2Zc
cos(t
0
z)
2
U
(0) Zc
sin
z
cos(t
0
2
)
2. 终端开路
§1.4 均匀无耗传输线的工作状态
1. 终端短路
结论
• 短路状态下，均匀无耗传输线上各点电压和电流的复振幅的值是不 相同的，它们是距离z的函数。——与行波不同
• 当 z=(2n+1)λ/4 (n=0,1,2,3,……)时，电压幅值最大（腹点）， 而电流幅值为零（节点）；
• 当 z=nλ/2 (n=0,1,2,3,……)时，电流幅值最大（腹点），而电 压幅值为零（节点）。
• 电压腹点与电压节点之间，以及电流腹点与电流节点之间，空间距 离上相差λ/4，空间相位差是π/2。
• 在传输线某一固定位置观察电压和电流随时间变化时，二者相位差 是π/2；
• 在某一固定时刻沿整个传输线观察电压和电流随时间变化时，二者
相位差也是π/2； 公式(1-77/78)
1. 终端短路
第四节均匀无耗传输线的工作状态
Ui (z) A1
UiL Ui
Ii (z)
U iL Z0
Ui Z0
二、驻波状态(全反射情况)
当终端短路(ZL=0)、开路(ZL=∞)或接纯电抗负载 (ZL=±jXL)时，︱(z)︱=︱L︱=1，终端全反射，沿 线入、反射波叠加形成驻波分布。负载与传输线完全
失配。驻波状态下，︱︱=1，r=∞，K=0。
z
Xin(z)
z长度短路线 的等效电路
0 =0(短路) 串联谐振
0~l/4 >0(感性) 电 感
l/4 =±∞(开路) 并联谐振
l/4 ~ <0(容性) 电 容
l/2
l/2 =0 (短路) 串联谐振
沿线每经过l/4，阻抗性质变化一次；每经过
l/2，阻抗重复原有值。
2. 终端开路(ZL=∞)
L 1 e j0 IL 0 ，U L UiL (1 L ) 2UiL ,
1）沿线电压、电流分布
以上关系代入式(2-4e)得
UI((zz))UjUZ2
cos z
2 sin
0
2Ui2 cos
z j2Ii2 sin
z
z
UiL IiLZ0
电压、电流瞬时表达式为：
u( z, t )
2 U i 2
cos
z
cos(
t
2)
i( z, t )
2
Ii 2
sin
z cos(
z
得
(2 4e)
U (z) j2UiLsin z I(z) 2IiL cos z
设UiL Ui e j 2， 则电压、电流瞬时表达式为：
u( z, t )
2 U i
sin
无损耗传输线
§ 14.5无损耗传输线14.5.1无损耗传输线的特点如果传输线的电阻R o和导线间的漏电导G。
等于零，这时信号在传输线上传播时，其能量不会消耗在传输线上，这种传输线就称为无损耗传输线，简称无损耗线。
当传输线中的信号的很高时，由于L o R o、C o G o，所以略去R o和G o后不会引起较大的误差，此时传输线也可以被看成是无损耗线。
因为R o o，G o o，所以无损耗传输线的传播常数..Z o Y o jL o jC o） j , L o C o即0 , . L o C o，可见无损耗线也是无畸变线。
无损耗传输线的特性阻抗Z c为Z cY：为纯电阻性质的。
因为o，所以依式（14-8 ）可知无损耗线上的电压和电流相量为U U 2 cos( x) jZcJ sin( x)U2I 12cos( x) j 2sin( x)Z(14-10)其中x为传输线上一点到终端的距离。
从距终端x处向终端看进去的输入阻抗为Z in U Z2cos( x) jZ c sin( x)---------------------- ZI Z cos( x) jZ sin( x)(14-11)其中，乙U22为终端负载的阻抗。
14.5.2终端接特性阻抗的无损耗线当传输线的终端阻抗与传输线相匹配，即Z2 Z c时，由式(14-10 )可求得无损耗线上的电压和电流相量为U U2cos( x) jZ c I2sin( x )U U2[cos( x) j sin( x)] U2xU2I I2 cos( x) j -sin( x) 12[cos( x) jsin( x)] I2 x其电压、电流的时域表达式为u .. 2U 2 sin( t x u2)i 2I2S in( t x i2)其中，u2和i2分别为终端电压和电流的初相。
可见，传输线上的电压和电流均为无衰减的入射波，没有反射波分量。
没有反射波分量的原因在前面定义“匹配”这一概念的时候已经解释过了，而入射波无衰减的原因则是因为无损耗线的R0 0，G o 0 ,无法消耗入射波的能量，故入射波是无衰减的。
讲5无耗线的工作状态分析
传输线终端的入射波将被全反射， 传输线终端的入射波将被全反射，沿线入射波与反射 波叠加形成驻波分布。入射功率一点也没有被负载吸收， 波叠加形成驻波分布。入射功率一点也没有被负载吸收， 负载与传输线完全失配。 负载与传输线完全失配。
ρ =∞
Κ =0
+
−
Zg
i u
Il Ul
~ Eg
z’
Zl
z’
1 短路状态
z' =
z' =
mλ g
2 ( 2m + 1)λ g
4
电压波节点， 电压波节点，电流波腹点 电压波腹点， 电压波腹点，电流波节点
m = 0.1,2L
Zg
i u
Il Ul
+
−
~ E g
Zl
z’
z’
λg
3λg 4
λg
2
λg
4
Z ( z ' ) = jZ 0 tan βz '
(2) 传输线阻抗沿线周期变化，周期为 g/2。 传输线阻抗沿线周期变化，周期为λ 。
jβ z '
(1.4-1)有错 有错
z’
z’
u ( z ) = U 0 e − jβ z
u ( z , t ) =| U 0 | cos(ωt − β z + ϕ1 ) i ( z , t ) =| I 0 | cos(ωt − β z + ϕ1 ) u ( z ' , t ) =| U l | cos(ωt − β z '+ϕ1 ' ) i ( z ' , t ) =| I l | cos(ωt − β z '+ϕ1 ' )
无损耗传输线
§14.5 无损耗传输线14.5.1 无损耗传输线的特点如果传输线的电阻0R 和导线间的漏电导0G 等于零，这时信号在传输线上传播时，其能量不会消耗在传输线上，这种传输线就称为无损耗传输线，简称无损耗线。
当传输线中的信号的ω很高时，由于00R L >>ω、00G C >>ω，所以略去0R 和0G 后不会引起较大的误差，此时传输线也可以被看成是无损耗线。
因为00=R ，00=G ，所以无损耗传输线的传播常数γ000000))((C L j C j L j Y Z ωωωγ===即0=α，00C L ωβ=，可见无损耗线也是无畸变线。
无损耗传输线的特性阻抗c Z 为00C L Y Z Z c ==为纯电阻性质的。
因为0=α，所以依式（14-8）可知无损耗线上的电压和电流相量为)sin()cos()sin()cos(2222x Z U j x I I x I jZ x U U cc '+'='+'=ββββ （14-10） 其中x '为传输线上一点到终端的距离。
从距终端x '处向终端看进去的输入阻抗为c c cin Z x jZ x Z x jZ x Z I U Z )sin()cos()sin()cos(22'+''+'==ββββ （14-11）其中，222I UZ =为终端负载的阻抗。
14.5.2 终端接特性阻抗的无损耗线当传输线的终端阻抗与传输线相匹配，即c Z Z =2时，由式（14-10）可求得无损耗线上的电压和电流相量为x I x j x I x Z U j x I I x U x j x U U x I jZ x U U cc '∠='+'='+'='∠='+'='+'=ββββββββββ22222222)]sin()[cos()sin()cos()]sin()[cos()sin()cos(其电压、电流的时域表达式为)sin(2)sin(22222i u x t I i x t U u ϕβωϕβω+'+=+'+=其中，2u ϕ和2i ϕ分别为终端电压和电流的初相。
传输线的工作状态
U max = Ui 2 (1 + Γ 2 ) I min = I i 2 (1 − Γ2 )
行驻波状态
(2)当 (2)当 2 β z '−φ2 = (2n + 1)π
(n = 0,1,2,L)
φLλ λ + (2n + 1) 时，即 z ' = 4π 4
在线上这些点处，电压振幅为最小值(波节) 在线上这些点处，电压振幅为最小值(波节)， 电流振幅为最大值(波腹) 电流振幅为最大值(波腹)，即
Z0 ZL=Z0 z
U 1m )= e Z 0
j (φ1 − β z )
ω ∼ U &1
Z in (z ) = Z 0
行波状态(无反射情况) 行波状态(无反射情况)
沿线电压、 沿线电压、电流和阻抗分布
Γ2 Z0
ZL=Z0
(1) 线上电压和电流的振幅 ω ∼ 恒定不变
(2) 电压行波与电流行波同相，沿 电压行波与电流行波同相， 传 播 方 向 按 线 性 关 系 -βz 不 断 滞 后 . 线上的输入阻抗处处相等， (3) 线上的输入阻抗处处相等，且 均等于特性阻抗 Z in (z ) = Z 0 举例: 举例:
行驻波状态(部分反射情况) 三、行驻波状态(部分反射情况)
当均匀无耗传输线终端接一般复阻抗 Z L = R L + jX L
沿线电压、 1. 沿线电压、电流分布
& & U ( z ′) = Ui ( z ′)(1 + Γ( z ′)) & Ui ( z ′) & I ( z ′) = (1 − Γ( z ′)) Z0
1.条件: 1.条件: 条件
(1)半无限长均匀无耗传输线 (1)半无限长均匀无耗传输线 ∼ Z0
第19章无损耗均匀传输线的暂态分析(liyan)
(3) 行波所到之处电压和电流随时间变化的规律
u(x1,t)=1(t–x1/vp) U0
i(x1,t)= 1(t–x1/vp)I0
hgb
hgb
19.2.1 矩形波在无损耗线上的发出与传播 (4) 波在行进过程中的电磁能量
++++ + + + + +
+
1(t)U0-
-
-
m
- - - - -n -
p
-q
zC e
0
x x+dx
dq=C0dxU0
dq dt
=
C0U0ddxt
=
C0U0vp=I0
(KCL)
e
=
–
d dt
=
–
1
dt
L0dxI0
=
–L0I0vp=
–U0
(KVL)
e
0=
1 2
C0U02
m
0=
1 2
L0
I02
=
1 2
L0(UzC0 )2
=
1 2
C0U02
电源提供给单位长度传输线的能量
S 0=
– ux(x,t)=R0i(x,t)+L0i(xt,t)
–
i(x,t) x
dx =
[u(x,t)+
ux(x,t)dx]G0dx+C0dx
t
[u(x,t)+
ux(x,t)dx]
–
i(x,t) x
=
G0u(x,t)+
C0ut(x,t)
略去dx2项
第19章 无损耗线的暂态分析
无损耗均匀传输线
传输线上电压和电流均为无衰减的入射波，没有反射波。
2、输入阻抗
Zin
Ux Ix
U2e j x I2e j x
U2 I2
Z2
Zc
从线上任一位置向终端看去的输入阻抗 Zin Zc
➢当终端接特性阻抗时，无损耗线上的电压、电流均为由
由始端向终端行进的正向行波，且振幅不发生衰减。
第4章 无损耗均匀传输线
➢ 无损耗传输线 ➢ 无损耗线方程的通解 ➢ 无损耗均匀传输线的波过程 ➢ 无损耗线的波反射
§ 4-1 无损耗传输线
一、无损耗传输线的特点
1、无损耗传输线的定义
传输线的电阻 R0 和导线间的漏电导G0 等于零。
或者当传输线的信号的ω很高时， L0 R0 C0 G0
略去 R0和 G0 后不会引起较大的误差。
当l＝/4时
tan
2π
l
Zin
ZC
ZL ZC
jZC jZ L
tan tan
2
2
l l
ZC2 ZL
负载阻抗经过/4无损耗传输线变换到输入端后等于
它的倒数与特性阻抗平方的乘积。利用/4线的这一阻
抗特性可作成/4阻抗变换器，以达到传输线阻抗匹配 。
当ZL=R, 接入/4无损线
令：Zin
Z2 C1
/R
ZC
3/4 < x < Zsc 容性
五、终端接纯电抗负载的无损耗线 Z2=jX2
N2
Z2 Zc Z2 Zc
jX 2 Zc jX 2 Zc
N2 1
➢ 入射波在终端发生全反射。 ➢ 一个纯电抗元件可以用一段终端短路或开路的无损耗 线作等效替换，替换后均匀传输线上的工作状态保持不变。 ➢ 因此接纯电抗负载的无损耗线上电压、电流沿线的分 布也形成驻波，只是线路的终端一般不再是电压、电流的 波腹或波节。
微波技术均匀无耗长线的工作状态
失配。驻波状态下，︱G︱=1，r=∞，K=0。
(1) 终端短路(ZL=0)
G2
ZL ZL
Z0 Z0
1 e j
U 2 0 Ui2 U r2 Ii2Z0
I2 Ii2 (1 G2 ) 2Ii2
1）沿线电压、电流分布
以上关系式代入式(2-4e)
U (z)
z z
jZ0 ctg
z
j Xin(z) (2 17c)
亦为纯电抗。f 固定时，Zin(z)按余切规律变化，T= /2。
由输入阻抗的等效观点出发， 可将任意长度的
一段开路线等效为相应的等效电路。
z 0 0~l/4 l/4 l/4 ~l/2 l/2
Xin(z) =±∞(开路) <0(容性) =0(短路) >0(感性) =±∞(开路)
Rin (波腹） Z0
r
1
(2 29a)
2. 当 2z -2=(2n+1) (n =0,1,2,…)，即在 z =(2l)/(4) + (2n+1) ·l/4 (2-25a)
处为电压波节点、电流波腹点：
U
I(
min
z) max
Ui2 (1 Ii2 (1
第四节 均匀无耗长线的工作状态
传输线的工作状态是指沿线电压、电流及阻抗 的分布规律。均匀无耗传输线的工作状态分为三种：
(1) 负载无反射的行波状态 ︱G︱=0，r=1，K=1。
(2) 负载全反射的驻波状态 ︱G︱=1，r=∞，K=0。
(3) 负载部分反射的行驻波状态 0<︱G︱<1，1<r<∞，0<K<1。
一、行波状态(无反射情况)
微波技术与天线-均匀无耗长线的工作状态
Z0
Zl jX
l
Z0
Zl jX
l
～
Z0
jXL
～
Z0
-jX
lL
～
Z0
|U| |I|
|U|,|I|
z
0
终端接电感负载时的延长线法
Lc
～
Z0
|U|
|U|,|I|
|I|
z
0
终端接电容负载时的延长线法
传输功率
物理意义：入射波功率与反射波功率之差， 即传输功率等于负载的吸收功率。
1、入射波功率
Pi
1. 电压、电流振幅值沿线不变，且电压和电流同相；
2. 输入阻抗值沿线不变，处处等于特性阻抗，且呈纯阻性；
3. 信号源输入的功率全部被负载吸收，即行波状态最有效地 传输功率。
驻波状态
z p 3p / 4 p / 2 p / 4 0
驻波工作状态特征
传输线终端负载全反射的工
作状态 | u || u | | (z) | 1
| i |max Z0 (1 | l |)
相邻波腹点、U波m节ax点之Z间0 I关ma系x ：
U min Z0 I min
离开负| z载'ma端x 2向z电z'm'm源aaxx方11 |向| 出z4'm现Lin的2第pz 一'min个1 |电 压2p波腹点z|和'mz'i波mn1ax节1点zz'mm位ainx1置1|分4别4p p为：
★ 传输线上电压和电流的 振幅是z’的函数，出现最大值（波腹 点）和零值（波节点）；
★ 传输线上各点的电压和电流在时间上有90o 的相 位差，在空间 上也有λ/4 的相移；
★ 传输线在全驻波状态下没有功率传输。 ★ 输入阻抗是一纯电抗，随z′值不同，传输线可等效为一个电
无损耗传输线
§14.5 无损耗传输线14.5.1 无损耗传输线的特点如果传输线的电阻0R 和导线间的漏电导0G 等于零，这时信号在传输线上传播时，其能量不会消耗在传输线上，这种传输线就称为无损耗传输线，简称无损耗线。
当传输线中的信号的ω很高时，由于00R L >>ω、00G C >>ω，所以略去0R 和0G 后不会引起较大的误差，此时传输线也可以被看成是无损耗线。
因为00=R ，00=G ，所以无损耗传输线的传播常数γ000000))((C L j C j L j Y Z ωωωγ===即0=α，00C L ωβ=，可见无损耗线也是无畸变线。
无损耗传输线的特性阻抗c Z 为00C L Y Z Z c ==为纯电阻性质的。
因为0=α，所以依式（14-8）可知无损耗线上的电压和电流相量为)sin()cos()sin()cos(2222x Z U j x I I x I jZ x U U cc '+'='+'=ββββ （14-10） 其中x '为传输线上一点到终端的距离。
从距终端x '处向终端看进去的输入阻抗为c c cin Z x jZ x Z x jZ x Z I U Z )sin()cos()sin()cos(22'+''+'==ββββ （14-11）其中，222I UZ =为终端负载的阻抗。
14.5.2 终端接特性阻抗的无损耗线当传输线的终端阻抗与传输线相匹配，即c Z Z =2时，由式（14-10）可求得无损耗线上的电压和电流相量为x I x j x I x Z U j x I I x U x j x U U x I jZ x U U cc '∠='+'='+'='∠='+'='+'=ββββββββββ22222222)]sin()[cos()sin()cos()]sin()[cos()sin()cos(其电压、电流的时域表达式为)sin(2)sin(22222i u x t I i x t U u ϕβωϕβω+'+=+'+=其中，2u ϕ和2i ϕ分别为终端电压和电流的初相。
1.3均匀无耗传输线三种状态分析
L
ZL ZL
Z0 Z0
R Z0 R Z0
jX jX
R2 Z02 X 2 (R Z0)2 X 2
j
(R
2Z0 X Z0)2
X2
u jv L e jL
式中终端反射系数的模和相角分别为:
L
( (
R R
Z0 Z0
)2 )2
X X
2 2
;
L
tan1
R2
2Z0 X Z02
X
I (z) Ii
z
Ui1 e j z Z0
（2）电压、电流的瞬时值表达式为：
u(z, t) Ui1 cos(t z 1)
i(z,t)
U i1 Z0
cos(t z 1)
（3）沿线各点的阻抗为：
Zin
(z)
U (z) I (z)
Ui (z) Ii (z)
Z0
（4）沿线各点的输入阻抗、反射系数、驻波比为：
I (z) Ii2 (z) 1 (z) Ii2e j z 1 L e j(L 2 z)
上式取模得:
U (z) Ui2 1 L e j2 zL I (z) Ii2 1 L e j2 zL
由此可知：
(1)沿线电压电流呈非正弦周期分布；
(2)当 2 z L 2n 即
z
4
L
n
Zin Z0, z 0, 1
（5）负载吸收的功率为：
PL
1 2
Re U
z
I
z
*
1 2
Re
U
i1e
j
z
U
* i1
Z0
e jz
1 2
Ui1 2 Z0
Pi
传输线状态分析
2
/4
O
(b) 终端短路线中的纯驻波状态
纯驻波状态
终端短路情形有以下结论: 沿线各点电压和电流振幅按余弦变化,电压和电流 相位差 90°,功率为无功功率,即无能量传输; 在z=nλ/2(n=0,1,2,…)处电压为零,电流的振幅值 最大且等于2|A1|/Z0,称这些位置为电压波节点, 在z=(2n+1）λ/4(n=0,1,2,…)处电压的振幅值最 大且等于2|A1|,而电流为零,称这些位置为电压波 腹点; 传输线上各点阻抗为纯电抗,在电压波节点处Zin=0, 相当于串联谐振,在电压波腹点处|Zin|→∞,相当 于并联谐振；
（3-5）
此时传输线上任意一点z处的输入阻抗为：
Zin(z)=jZ0tanβz
（3-6）
下图给出了终端短路时沿线电压、电流瞬时变 化的幅度分布以及阻抗变化的情形。对无耗传输线
纯驻波状态
z 3 / 4
/2
/4
I
U
z
3 / 4
/2 (a) /2
/4
O Zin
z
3 / 4
2
2 2
由上可知，负载吸收功率与传输线上的位置无关， 所以可以选取传输线上某些特殊点的电压、电流
行驻波状态 计算负载的吸收功率。例如电压、电流同相的波 节、波腹点，这些点上输入阻抗为纯电阻。
1 1 U max PL U max I min 2 2 Z0 1 1 U min U min I max 2 2 kZ 0
U ( z ) A1 (e j z e j z ) A1 j z j z I ( z ) (e e ) Z0
纯驻波状态 也可表示为： U ( z ) 2 A1 cos z