309-磁感应强度：毕奥—萨伐尔定律、磁感应强度叠加原理
6.2 磁感应强度和毕奥-萨伐尔定律
B 是矢量，不仅定义大小，还要定义方向。 定义B的方向：磁场中置于P点小磁针稳定后 N极的指向，定义为 P 点 B 的方向。
定义B的大小：在磁场中让运动检验电荷 q0 以速度 v 经过 P点，测量 q0 所受磁力随电量和 速度的变化
B 0I
4πr
无限长直电流：1 0, 2 π
B 0I
2πr
【例6.3】求载流导体圆环在轴线上的磁感应 强度。载流导体圆环的半径为R，电流为I。
B
0IR 2
2(R2 a2 )3
2
(c)
圆电流在圆心的磁场：B 0 I
2R
空间某点产生的磁感应强度B，等于载流导线 上各个电流元所产生的dB的矢量和
B
dB 0
L
4π
Idl r L r3
2. 磁通连续定理 定义通过磁场中任一曲面 S 的磁通量
m
B dS
S
电流元磁场的磁感应线是一系列圆，它们
通过任一闭合面的磁通量等于零。根据叠加原
理，载流导线的磁场通过任一闭合面的磁通量，
6.2 磁感应强度和毕奥萨伐尔定律 6.2.1 基本磁现象 6.2.2 磁感应强度 6.2.3 毕奥萨伐尔定律 6.2.4 用毕奥萨伐尔定律求磁场
6.2.1 基本磁现象
磁现象一般总是与磁力有关。两个磁铁的同 号磁极互相排斥，异号磁极互相吸引。此外
按照安培分子电流假设，磁性物质的磁性来 源于物质分子内的分子电流。
在真空中，电流元Idl在相对线
元的矢径为r的P点所产生的磁场
dB
0
4π
Idl r r3
dB dl，dB r，磁感应
毕奥萨伐尔定律
• 下右图给出另一个右手定则，用它可以判断载流线 圈的磁感应线方向。这右手定则是：用右手弯曲的 四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着 轴线上Ｂ的方向。
生的磁感应强度的大小 • 与电流元Idl的大小成正比， • 与电流元和从电流元到Ｐ点的位矢之间的夹
角θ的正弦成正比， • 与位矢r的大小的平方成反比。即：
一、毕奥－－－萨伐尔定律
dB的方向 垂直于dl和r所确定的平面，沿
dl×r的方向，用右手螺旋法 则来判定。
矢量表示为： d B 0 Id l r 4 r 3
• 其中：S=πR2为圆线圈的面积。
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 圆线圈轴线上各点的磁感应强度都沿着轴线方向， 与电流方向组成右手螺旋关系。
• 下面讨论两种特殊的情况： • 1、在圆心Ｏ处，即a=0处的磁感应强度为： •
• 2、在远离线圈处，即 a>>R，轴线上各点的磁感 应强度约为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由图
cos 1
x L 2
R2 (x L )2 2
cos 2
x L 2
R2 (x L)2 2
代入即得螺线管轴线上任一点P的磁感应强度。
B随x变化关系见上图中的曲线，由这曲线可以看出，当 L>>R时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀， 只在端点附近B值才显著下降。
• 其中 40为比例系数， • μ0 称 为 真 空 磁 导 率 ， ：
毕奥-萨伐尔定律介绍
cos2
cos1
（1）P点位于管内轴线中点 1 π 2
cos 1 cos 2
cos 2
l/2
l / 22 R2
R
1
* P
2
x
×× ××× × ×× ××× ×× ×
18
B
0nI
cos2
0nI
2
l l 2 / 4 R2 1/2
若 l R
B 0nI
R
1
* P
2
x
×× ××× × ×× ××× ×× ×
选择进入下一节：
7-3 磁场 磁感强度 7-4 毕奥-萨伐尔定律 7-5 磁通量 磁场的高斯定理 7-6 安培环路定理 7-7 带电粒子在电场和磁场中的运动 7-8 载流导线在磁场中所受的力
28
2 π x3
B
0m
2 π x3
en
说明：m的方向与圆电流
的单位正法矢 en的方向相同.
I S
enm
m
en
I S
13
例3 载流直螺线管内部的磁场. 如图所示，有一长为l ，半径为R的载
流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为N， 通有电流I. 设把螺线管放在真空中，求管 内轴线上一点处的磁感强度.
R
P
*
×× ××× × ×× ××× ×× ×
R
0 IR
2x3
2
，
I
B 0IS
2 π x3
10
(1)
R
B0
x
Io
推 (2)
I
R
广
o×
(3) I
R ×o
11
B0
0I
2R
B0
毕奥-萨伐尔定律
x
l 2
17
B
I0 I0
从以上分析可以看出长直载流螺线管的磁场 分布情况：在螺线管中心区域为均匀磁场，在 管端口处，磁场等于中心处的一半，在螺线管 外部距管轴中心约七个管半径处，磁场就几乎 等于零了。
18
例4. 在半径R=2cm的无限长的半圆形金属薄片中， 有电流I=6A自下而上的通过，如图求 圆柱轴线上任一点的磁感应强度。
位矢量，指向与电流的方向满足右螺旋关系。
多匝平面线圈电流I 应以线圈的总匝数与每匝
线圈的电流的乘积代替。
0 m m 0 圆电流 B n 3 3 2π x 2x
10
三 磁矩
m ISen
2
I
例2 中圆电流磁感强度 公式也可写成
S
en
m
B
0 IR
2x
3
0 IR 2
0 IR 2
a
4π a
25
例7 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相 当于一个圆电流，具有相应的磁矩（称为轨道磁 矩）。求轨道磁矩 与轨道角动量之间的关系。 解： 设电子的轨道半径为r，每秒转速为ν。 电流：
I e 2 磁矩： IS e πr
圆电流面积： S π r 2
4π d
R
o （ 3） I R
B0
0 I
4R
R2
*o
B0
o
0 I
8R
B0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
0 I
4π R1
13
例3 载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为 l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流 I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
2.2 磁感应强度 毕奥一萨伐尔定律
实验结果：示零——不动，单位磁极受到的作用力矩相等。
结果分析： F1 H0 B1, F2 H0 B2 F1 B1 , F2 B2 单位磁极, H0=1，所以
1 2
F1r10 Br 1 10 1 F2 r20 B2 r20 B r 1 得到： 1 20 ， 即 ： B B2 r10 r0
两电流元——安培定律：
ˆ I I d l (d l r ) dF12 k 1 2 2 2 1 12 r 12 ˆ ˆ I d l (I d l r ) I dl r 0 2 2 21 1 12 I 2 d l2 0 1 1 12 ） （ 4 r 12 4 r 212 I 2 d l2 dB 0 I1d l1 r12 ˆ dB 4 r 212
电磁学电子教案
使用教材：
赵凯华、陈熙谋: 新概念物理学—电磁学
主讲：周贵德
沧州师范学院物电系
2012年2月修订
1
§2 磁感应强度 毕奥－萨伐尔定律
2.1 磁感应强度适量B
库仑定律： F 1 q1q2 ˆ r 2 4π 0 r
磁的库仑定律：
F
1 qm1qm 2 ˆ r 4πμ0 r 2
B
0
2
(cos 1 cos 2 )
B 0
B
0
2
16
几种载流导线的磁感应线
长直导线(电流元)
17
小结：
原则上，B-S定理加上叠加原理可以求任何载流导线在空 间某点的B 实际上，只在电流分布具有一定对称性，能够判断其磁场 方向，并可简化为标量积分时，才易于求解； 为完成积分，需要利用几何关系，统一积分变量； 一些重要的结果应牢记备用； 如果对称性有所削弱，求解将困难得多 如圆线圈非轴线上一点的磁场，就需要借助特殊函数 才能求解 又如在螺距不可忽略时，螺线管的电流既有环向分量 又有轴向分量，若除去密绕条件，就更为复杂。
毕奥-萨伐尔定律
同 学 们 好§11-2历史之旅：毕奥－萨伐尔定律1820 年4月: 丹麦物理学家奥斯特（1777～1851）发 现电流的磁效应。
“猛然打开了科学中一个黑暗领域的大门。
” ——法拉第历史之旅：1820 年8月: 法国物理学家阿拉果在瑞士得到消息，并于9月向 法国科学院介绍了奥斯特实验，引起极大反响。
1820年10月： 法国物理学家毕奥和沙伐尔发表《运动的电传递给金属 的磁化力》，提出直线电流对磁针作用的实验规律。
法国数学、物理学家拉普拉斯由实验规律推出载流线段 元（电流元）磁场公式。
毕奥和沙伐尔用实验验证了该 公式。
一 毕奥—萨伐尔定律 (电流元在空间产生的磁场)v Idlv dBv 电流元：IdlI d l sin α dB ∝ k 2 rv dBP *v rαv IdlIdB =µ0 Idl sin α4π r2−7v r−2真空磁导率 µ0 = 4π ×10 N ⋅ A方向v Idlv dBv v v µ0 Idl × r dB = 3 4π rv dBP *v rαv IdlIv r任意载流导线在点 P 处的磁感应强度 磁感强度叠加原理v v v v µ 0 I dl × r B = ∫ dB = ∫ 3 4π r试比较点电荷电场公式与电流元毕奥—萨伐尔定律r dE =1 dq v ⋅ 3 r 4 πε0 rr v r µ0 I d l × r ⋅ dB = 4π r3毕—萨定律：电流元产生磁场的规律, 与点电荷电场公式作用地位等价。
二 毕奥—萨伐尔定律的应用 求解电流磁场分布基本思路： 将电流视为 电流元的集合 电流元磁场公式 磁场叠加原理电流磁场分布1.载流长直导线的磁场 已知： I , a , α1 , α2 求：r B 分布r 解：取电流元 I d lµ 0 I d l sin α dB = 4π r 2lBIα2; 方向 ⊗r 各电流元在 P 点 d B同向µ 0 Idl sin α B = ∫ dB = ∫ 4πr 2 ABor I dlaαr rr dB ⊗P统一变量：l = − actgα a dα dl = sin 2α a r= sinαα1Aµ0I α B= ∫α sin α d α 4π a µ0I = (cos α 1 − cos α 2 ) 4π a2 1方向⊗µ0I B= (cos α 1 − cos α 2 ) 4π a方向 ⊗µ0I (cos α 1 − cos α 2 ) B= 讨论： 4π a α1 = 0 , α 2 = π (1)无限长直电流：Iµ0I B = 2π aIr B内密外疏(2)导线半无限长，场点与一端的连线垂 直于导线 µ0IB = 4π a(3)直导线及其延长线上点 r α = 0 或 π , dB = 0r B=02.载流圆线圈轴线上的磁场（I,R）r Id lRr rθr dBPr 解：在圆电流上取电流元 IdlxIoµ 0 I d l sin 90 o µ Id l dB = = 0 2 4π r 2 4π r方向如图各电流元在 P 点r IdlRr dB大小相等，方向不同，由对称性：zr dBr rθr dBPB⊥ = ∫ dB⊥ = 0yIoxr' dBPr Idl ′r IdlRr rθr dBPB = B// = ∫ dB sin θ =x2πR∫0µ0 Idl R 4πr 2 r23 2Ior' Id lr' dBµ0 IR = 4πr 32πR∫ dl = 2( R0µ 0 IR 22+x )方向 :+ x （右螺旋法则）轴线上r B=µ 0 IR 22( R 2 + x 2 )3 2r i讨论： （1） 定义电流的磁矩v v m = IS e nr Pmr nS : 电流所包围的面积规定正法线方向： 圆电流磁矩：r n与 I 指向成右旋关系v 2v m = Iπ R enSI圆电流轴线上磁场：r B=µ 0 IR 22( R + x )2 23 2r i =µ0 m2π ( R + x )2 23 2vr B=µ 0 IR 22( R + x )2 23 2r i =µ0 m2π ( R + x )2 23 2v（2）圆心处磁场x=0Nµ0 I B0 = ; N匝 : B0 = 2R 2R（3）在远离线圈处µ0 Ix >> R, x ≈ rµ 0 IS µ 0 IS B = = 3 2π x 2π r 3 v r µ0 m B = 3 2π r（4）画 B− x曲线 2 r r µ0 IR B= 3 i 2 2 2( R + x ) 2 练习：BoBo = ?xIRoR o⊗IB0 =µ0 I8R3µ 0 I µ 0 I B0 = + 8R 4π R⋅（1） I （2 ）v R B x 0 µ0I o B0 = 2RI R o+（4）BA =d （5） I *AR1µ0 I4π dB0 =µ0 I4RR2（3） I R o*oB0 =µ0 I8RB0 =µ0 I4 R2−µ0 I4 R1−µ0 I4π R1亥姆霍兹圈：两个完全相同的N匝共轴密绕短线圈，其 中心间距与线圈半径R相等，通同向平行等大电流 I。
磁学 3-2 毕奥-萨伐尔定律
B
0m 2x3
类似于电偶极子电场强度
m S en
I
B
磁偶极子
E
电偶极子
三、运动电荷产生的磁场
电流是大量电荷定向运动形 成的，所以从本质上说电流 产生的电场就是运动电荷所 产生的磁场。
I
qv
I = nqSv
S
P
在载流 导线中选取一段电流
dl
元 Idl ，其电流 I = nqSv
代入毕奥-萨伐尔定律，得
大小为
dB
0 4
Idl sin
r2
θ2
Id l
θ
r
l
Oa
θ1
B
P
由右手螺旋法则知其方向 垂直于纸面向内。因直导 线上所有电流元在 P 点产 生的磁感应强度方向均相
B
dB
0 4
Idl sin r2
l a cot ( ) a cot
同，故 P 点总的磁感应强
dl ad / sin 2
磁场叠加原理：任意形状的载流导线的磁场是所有
电流元的磁场的矢量和
B dB
0
L
L 4
Idl
r2
er
积分遍及整 个载流导线
实际上不存在孤立的电流元，毕奥-萨伐尔定律是基 于特殊情形的实验结果从数学上倒推出来的。但从 此定律出发推出任意恒定电流的磁场都与实验结果 相符，从而验证了毕奥-萨伐尔定律的正确性。
B 0I 4a
（3）直电流延长线上 B = 0
直线电流的 磁感应线
例 2 载流圆线圈半径为 R，电流强度为 I，求圆线圈 中轴线上与圆心 O 距离为 x 处 P 点的磁感应强度。
解：如图建立坐标 系
任取一电流元 Idl，注意到
毕奥—萨法尔定律及应用
8.1
磁
场
毕奥—萨法尔定律
课时：15 分钟
人类离不开磁
地磁场是地球生物的保护伞
磁技术的开发利用推动人类社会不断发展
知识回顾
磁感应强度的叠加原理
回忆：电场的叠加原理 磁感应强度的叠加原理
如果有几个点电荷同时存在,它们产 生的电场就相互叠加,形成合电场,这时 某点的场强等于各个电荷单独存在时在 该点产生的场强的矢量和.
稳恒电流产生的磁场，可把稳恒电流分 割成无限多个电流元 （载流导线上某一线 元矢量 dl 与流经它的电流 的乘积 称 为电流元。规定，电流元的方向为线元中 电流的流向，先求出每个电流元在所求点 产生的磁感应强度 ，再应用叠加原理计 算电 巴蒂斯特· 毕奥，法国物理学家。曾恪守电与磁 无关系的看法，后支持他奥斯特，与萨伐尔共同提 出毕奥——萨伐尔定律。是第一个发现云母独特的 光学性质，因此以云母为基础的矿物黑云母就是以 他命名的。 1804年，他和约瑟夫· 路易· 盖-吕萨克 制造了一个热气球，上升到了五千米的高度，目的 是为了研究地球的大气层。
在真空中，载流导线上任一电 流元 ，在空间某点P处的磁 感应强度 的大小，与电流元 的大小 Idl 成正比，与电流元和 自电流元到 P点的矢量r 间的夹 角 的正弦成正比，而与电流元 到 P点的距离 r的平方成反比。
数学表达式:
Idl sin dB k r2
0 如式中各量均用国际单位制，则 k ，其 4 7 1 中 0 4 10 N A ，为真空中磁导率。
菲利克斯· 萨伐尔（ Félix Savart ，1791年6月30日－ 1841年3月16日），法国物理学家和医生。他与让-巴 蒂斯特· 毕奥共同创建了毕奥-萨伐尔定律。这是静磁学 的一个基本定律，精确地描述载流导线的电流所产生的 磁场。萨伐尔对于声学也很有研究。他发展出一种声学 仪器，沙伐音轮 (Savart wheel) ，可以用来研究听觉的 最低频率限度。现在不再常用的音程度量单位，沙伐 (savart) ，也是因他而命名。
13.5 毕奥-萨伐尔定律
2 1/ 2
)
l >> R
B = µ 0 nI
(2) 无限长的螺线管 无限长的螺线管
B = µ 0 nI
或由 β1 = π , β 2 = 0 代入
π β1 = , β 2 = 0 2
1 B = µ 0 nI 2
µ0nI
x
B=
µ0nI
2
(cos β2 − cos β1 )
B
1 µ 0 nI 2
O
v Idl
r
v B
v dB
p *
o
R
ϕ
v B
I 解 根据对称性分析
4π r B = Bx = ∫ dB sin ϕ
dB =
µ 0 Id l
2
x
v Idl
R
r
x
dB =
o
ϕ
ϕ
*p
v dB
r =R +x
2 2
2
x
B=
µ 0 I sin ϕdl
4π
∫
l
r2
2π R
µ 0 Id l
2
B=
B=
µ0 IR
4π r
方向相反 所以
B3 = B4
① ④
B=0
②
练习2、在一无限长的半径为R的半圆柱体金属薄片中 的半圆柱体金属薄片中， 练习 、在一无限长的半径为 的半圆柱体金属薄片中， 自上而下地流有电流 I。 。 圆柱轴线上任一点的磁感应强度. 求：圆柱轴线上任一点的磁感应强度
解：将载流圆柱薄壳分成无数多个宽为dl 的无限长细导 将载流圆柱薄壳分成无数多个宽为
1 µo I1 B3 = 4 2R
方向⊙ 方向⊙
毕奥—萨伐尔定律等
磁感应强度：毕奥—萨伐尔定律、磁感应强度叠加原理1.选择题两条无限长载流导线，间距0.5厘米，电流10A ，电流方向相同，在两导线间距中点处磁场强度大小为（A ）0 （B ）πμ02000T （C ）πμ04000 T （D ）πμ0400T 答案：A边长为a 的一个导体方框上通有电流I ，则此方框中心点的磁场强度（A ）与a 无关 （B ）正比于2a （C ）正比于a （D ）与a 成反比 答案：D载流的圆形线圈（半径1a ）与正方形线圈（边长2a ）通有相同的电流强度I 。
若两个线圈中心1O 、2O 处的磁感应强度大小相同，则1a ：2a ＝（A ）1：1 （B ）π2：1 （C ）π2：4 （D ）π2：8 答案：D一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I 。
若作一个半径为a R 5=、高l 的圆柱形曲面，轴与载流导线的轴平行且相距a 3，则B在圆柱侧面S 上积分⎰⋅s d B为（A ）I a πμ520 （B ）I a πμ250 （C ）0 （D ）I aπμ50 答案：C长直导线通有电流I ，将其弯成如图所示形状，则O 点处的磁感应强度大小为（A ）R I R I 4200μπμ+ （B ）R I R I 8400μπμ+ （C ）R I R I 8200μπμ+ （D ）RIR I 4400μπμ+ 答案：B如图所示，两根长导线沿半径方向引到铁环上的A 、B 两点上，两导线的夹角为α，环的半径R ，将两根导线在很远处与电源相连，从而在导线中形成电流I ，则环中心点的磁感应强度为（A ）0 （B ）RI20μ （C ）αμsin 20RI（D ）αμcos 20RI答案：A两条长导线交叉于一点O ，这两条导线上通过的电流分别为I 和2I ，则O 点的磁感应强度为（A ）0 （B ）πμI 0 （C ）πμI 02 （D ） πμI04答案：A两条长导线相互平行放置于真空中，如图所示，两条导线的电流为I I I ==21，两条导线到P 点的距离都是a ，P 点的磁感应强度方向（A ）竖直向上 （B ）竖直向下 （C ）水平向右 （D ） 水平向左 答案：B2. 计算题如图一半径为R 的带电塑料圆盘，其中有一半径为r 的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为σ+，其余部分带负电荷，面电荷密度为σ-，当圆盘以角速度ω旋转时，测得圆盘中心O 点的磁感应强度为零，问R 与r 满足什么关系？解：带电圆盘的转动，可看作无数的电流圆环的磁场在O 点的叠加，某一半径为ρ的圆环的磁场为ρμ20didB =而()ρσωρπωρπρσd d di =⋅=22 （2分）ρσωμρρσωρμd d dB 00212==∴ （2分） 正电部分产生的磁感应强度为r d B r22000σωμρσωμ==⎰+ （2分）负电部分产生的磁感应强度为)(2200r R d B Rr-==⎰-σωμρσωμ （2分）令-+=B B （2分）r R 2=∴一半径为R 的无限长半圆柱形金属薄片，其中通有电流I ，如图所示。
第八讲 磁感应强度 毕奥萨伐尔定律
r
a
I
建立坐标系
θ
Idl
z
分析对称性、写出分量式 由对称性： B y Bz 0
19
B0
B dBx dB cos
21
国防科大
B dBx dB cos
0 I cosdl 4 r 2 I a I 0 2 cos dl 0 2 2a 4r r 4 r
0 Idl ( I ' dl 'r ) dF 4 r3 r x x ' , 4 10 N A I ' dl '( Idl r ') dF ' 0 4 r '3 r ' r
7 0
提出寻找电流、电流之间的相互作用的定量规律问题。
dB p
I ' dl 'r B dB 4 r
0 3
r
Biot-savert定律
dl '
I ' dl '
r
实验表明磁场满足叠加原理：
dl '
I'
dB p
点电荷的场强+场强叠加原理
1 dq E dE r 4 r
cos
a r
r ( x 2 a 2 )1 2
dB
例3. 在Bohr氢原子模型中，电子在圆轨道上绕核转动，试 证明电子的轨道磁矩 与轨道角动量 L 之间有关系：
x P
x
θ
dB
e L 2m
L
e为电子电荷，m为电子质量。 解：
Ia 2 0 Ia 2 0 3 2( x 2 a 2 )3 2 2r
磁感强度叠加原理
毕奥--沙伐尔--拉普拉斯定律 版权者沈辉奇
dB
r I
2010-10-24
Idl
B = ∫ dB
L
1
一、Biot Savart Laplace 定律 若磁场中， 到某点P的矢径为 若磁场中，电流元 Idl 到某点 的矢径为 r， 则电流元在P点产生的磁感应强度的大小 则电流元在 点产生的磁感应强度的大小 dB 成正比， 与 Idl成正比，与 Idl 经过小于180 的角转到 的方向的角的正弦成正比， 矢径 r 的方向的角的正弦成正比，与 r 的平 方成反比， 的方向。 方成反比，其方向为 Idl × r 的方向。
应用程序
P
dB
r
2010-10-24
θ
Idl
I
k = 10 Tm/ A = 10 h / m
2
Idl sinθ dB ∝ 2 r Idl sinθ dB = k 2 r 7 7
P
dB
r I
θ
Idl
k = 10 Tm/ A = 10 h / m
Idl sinθ dB = k 2 r
7 7
0 Idl × r dB = 2 4π r
cot(π θ ) = cotθ = z / r0
0
z
D
θ2
Idz
θ
(π θ )
z
x
C
θ1
2
r
*
dB
o r0
P
y
z = r0 cotθ , r = r0 / sinθ
dz = r0dθ / sin 2 θ
B=
0 I
4 π r0
d cot θ = ( 1 / sin θ )dθ
∫θ
毕奥- 萨伐尔定律
毕奥- 萨伐尔定律
如图9- 12所示.因此，总 磁感应强度B的矢量积分可化为 标量积分
图9- 12 直线电流的磁场
毕奥- 萨伐尔定律
（1）若直线电流为无限长，即θ1=0,θ2=π，则 (9- 13)
与实验结果一致.无限长直线电流是一个理想模型， 在实际问题中，若直线电流的长度远大于到场点P的距离 a，此时直线电流就可视为无限长.直线外到带电直线距 离相等的各点磁感应强度B，其大小都相等，方向沿每点 的切向，人们称无限长直线电流在场点激发的磁场具有 轴对称性.
毕奥- 萨伐尔定律
三、 典型电流的磁场计算——毕- 萨定律的应用
电流磁场的计算类似于带电体电场分布的计算，用毕奥- 萨伐 尔定律计算磁场中各点磁感应强度的具体步骤如下：
首先，将载流导线划分为一段段电流元，任选一段电流元Idl， 并标出Idl到场点P的位矢r，确定两者的夹角θ（Idl，r）.
其次，根据毕奥- 萨伐尔定律，求出电流元Idl在场点P所激发 的磁感应强度dB的大小，并由右手螺旋法则决定dB的方向.
毕奥- 萨伐尔定律
（2）若直线电流为半无限长，即θ1=0， θ2=π/2（或θ1=π/2，θ2=π），则P点的B的大小 为
（3）P点在延长线上，θ=0或θ2=π， dB=0,B=0.
毕奥- 萨伐尔定律
2. 圆电流在其轴线上的磁场
设圆电流（载流线圈）半径为R,通有电流I，试计算它 在其轴线上任一点P的磁感应强度.
毕奥- 萨伐尔定律
【例9-1】
如图9-11所示，试求电流元Idl周围空间的磁感 应强度.
解：计算电流元Idl周围空间的磁感应强度dB.根 据毕- 萨定律先计算dB的大小，即
毕奥- 萨伐尔定律
图9- 11 例9- 1图
磁感应强度毕奥-萨伐定律
Idl
L
0 B 4
Idl r 0 r2
毕奥-萨伐尔 定律应用
有限长载流 I 直导线
2
Idl
l
o
I
a
r0
r
P
0 Idl r 0 dB 4 r2 0 Idl r 0 B 2 4 r L
1
有限长 载流 I 直导线
B
2
0 4
Idl sin 2 r L
0 In
(cos 1 cos 2 )
1. 无限长 1 0 2 B 0 In 0i 所有磁力线全部被拘束在内部 2. 半无限长 1 0 2 B
B
0 nI
0 nI
2
2
O
0 In
2
0i
2
X
无限大载流平面 的B 讨论
Z
B 0i
I
2r
3
a
r
X
R sin
2
x l cot R
x
a
dl
b
Rd 1 R 3 sin 2 2( ) sin 2 In 0 In 0 B sin d (cos 1 cos 2 ) 1 2 2 B
0 InR 2
载流螺线管的讨论
2 讨论： B
12 C 8 . 85 10 两个常数： 0
N m
2
7 N 4 10 ， 0 A2
Thanks
cos x r
Y
dB
0
dy
r
X
0 idy B By cos a 2 r a i dy x B 0 a 2 r r
磁感强度叠加原理
P * r
Idl
大小：dB
0
4π
Idl sin
r2
4
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
dB
0
4π
Idl
r3
r
I
dB
磁感强度叠加原理
P* Idl
r Idl
B dB
0I
dl r
4π r3
0I
dl er
4π r2
17
例4 无限长直导线在P 处完成半径为R 的圆， 当通以电流I 时，求圆心O 点的磁感强度大 小.
0
4π
Idl r3
N r
A
2
注意：dB
与
Idl
r
同向
Idl
dB
r
dB
P * r
Idl
3
电流元在空间产生的磁场
dB
0
4π
Idl
r
r3
dB
0
Idl er
4π r2
dB
Idl
dB
r
单位矢量：er
r r
2
d *A
R1
R2
*o
BA B1 B2
BA
0
0I
4π d
取B向里为正
B0
0
0I
4R2
0I
4R1
0I
4 π R1
长直电流：B 0I
2πr
309-磁感应强度：毕奥—萨伐尔定律、磁感应强度叠加原理
309-磁感应强度： 毕奥—萨伐尔定律、 磁感应强度叠加原理1. 选择题1. 两条无限长载流导线，间距0.5厘米，电流10A ，电流方向相同，在两导线间距中点处磁场强度大小为[ ]（A ）0 （B ）πμ02000T （C ）πμ04000 T （D ）πμ0400T 答案：A2. 在一个平面内，有两条垂直交叉但相互绝缘的导线，流过每条导线的电流相等，方向如图所示。
问哪个区域中有些点的磁感应强度可能为零[ ] (A)仅在象限1 (B)仅在象限2 (C)仅在象限1、3 (D)仅在象限2、4答案：D3. 两条长导线交叉于一点O ，这两条导线上通过的电流分别为I 和2I ，则O 点的磁感应强度为[ ]（A ）0 （B ）πμI 0 （C ）πμI 02 （D ） πμI 04 答案：A4. 边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I ，图中ab 、cd 与正方形共面，在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为[ ]（A ）01=B ，02=B （B ）01=B ，lIB πμ0222=（C ）l IB πμ0122=，02=B （D ）l I B πμ0122=， lIB πμ0222= 答案：C5. 四条相互平行的载流长直导线电流强度均为I ，方向如图所示。
设正方形的边长为2a ，则正方形中心的磁感应强度为[ ]（A ）I a πμ02 （B ）I aπμ220 （C ）0 （D ）I a πμ0 答案：C6. 一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I 。
若作一个半径为a R 5=、高l 的圆柱形曲面，轴与载流导线的轴平行且相距a 3，则B 在圆柱侧面S 上积分⎰⋅sd B为[ ] (A)I a πμ520 (B)I a πμ250 (C)0 (D)I aπμ50 答案：C7. 如图所示，一条长导线折成钝角α，导线中通有电流I ，则O 点的磁感应强度为[ ] (A)0 (B)απμcos 20I (C)απμsin 20I (D)απμsin 0I答案：A8. 两条长导线相互平行放置于真空中，如图所示，两条导线的电流为I I I ==21，两条导线到P 点的距离都是a ，P 点的磁感应强度方向[ ]（A ）竖直向上 （B ）竖直向下 （C ）水平向右 （D ） 水平向左 答案：D9. 两条长导线相互平行放置于真空中，如图所示，两条导线的电流为I I I ==21，两条导线到P 点的距离都是a ，P 点的磁感应强度为[ ]（A ）0 （B ）a I πμ220 （C ）a I πμ02 （D ） aIπμ0 答案：B10. 边长为a 的一个导体方框上通有电流I ，则此方框中心点的磁场强度[ ] （A ）与a 无关 （B ）正比于2a （C ）正比于a （D ）与a 成反比 答案：D11. 两条长导线相互平行放置于真空中，如图所示，两条导线的电流为I I I ==21，两条导线到P 点的距离都是a ，P 点的磁感应强度方向[ ](A)竖直向上 (B)竖直向下 (C)水平向右 (D) 水平向左答案：B12. 电流由长直导线1沿半径方向经a 点流入一由电阻均匀的导线构成的圆环，再由b 点沿半径方向从圆环流出，经长直导线2返回电源，如图。
7.1 磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律
7.1 磁感应强度、毕奥-萨伐尔定律
一、基本磁现象和本质
1、地球磁场
磁极
磁极
中性区2、磁铁
1820年丹麦奥斯特（1）电流对磁针有作用力
I
（2）磁铁对电流有作用力
（3）电流与电流之间也有相互作用
3、电流的磁效应
总结：磁铁和电流在本质上是否一致？
运动电荷产生磁场
二、毕奥－萨伐尔定律
电流产生磁场，而人体能承受的磁场是有限制的，现实生活中的一些电流产生的磁场：
1.高压线
2.家里的电暖
毕奥－萨定律
三、毕奥－萨伐尔定律的运用
B
d r θ P a y 2
θ1
θo l 例 求直线电流外一点的磁场 02d d 4r I l e B r
μπ⨯=取电流元 磁感强度
θπμsin d 4d 20r l I B =大小 方向 ⎰=B B d ⎰=θπμsin d 420r
l I 同向叠加 d I l
θ
sin a r =θactg l -=θ
θ2sin d d a l =⎰=214d sin 0θθπθθμa I B ()210cos cos 4θθπμ-=a I B d r θ P a l I d y 2θ1
θo l ⎰=θπμsin d 4B 20r
l I
()210cos cos 4θθπμ-=a
I B 讨论：1）无限长直电流 a << L 2）半无限长直电流 01=θa
I B πμ20=π
θ=221πθ=π
θ=2a I B πμ40= 3) 延长线上一点 I
P 0ˆd =⨯r l I 0=B r θ P a l I d y 2
θ1θo B
毕奥－萨伐尔定律求解电流磁场的解题思路。
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磁感应强度：毕奥—萨伐尔定律、磁感应强度叠加原理1．选择题ADCAC CAADB A2．判断题对对错对对 对对错错3．填空题l4I30πμ； 0 ； 垂直纸面向里 ； R4I0πμ； y = 410T -´；510T -´； 垂直纸面向内 ；a I πμ02； )(2200b a Ib I -+πμπμ； R I 40μ；在X=2的直线上 ； 0 ； 4210T -´；510T -； 610T 6p-´；4. 计算题1．如图一半径为R 的带电塑料圆盘，其中有一半径为r 的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为σ+，其余部分带负电荷，面电荷密度为σ-，当圆盘以角速度ω旋转时，测得圆盘中心O 点的磁感应强度为零，问R 与r 满足什么关系？解：带电圆盘的转动，可看作无数的电流圆环的磁场在O 点的叠加，某一半径为ρ的圆环的磁场为ρμ20didB =而()ρσωρπωρπρσd d di =⋅=22 （2分）ρσωμρρσωρμd d dB 00212==∴ （2分） 正电部分产生的磁感应强度为r d B r22000σωμρσωμ==⎰+ （2分）负电部分产生的磁感应强度为)(2200r R d B Rr-==⎰-σωμρσωμ （2分）令-+=B B （2分）r R 2=∴2．一段导线先弯成图（a ）所示形状，然后将同样长的导线再弯成图（b ）所示形状。
在导线通以电流I 后，求两个图形中P 点的磁感应强度之比。
（a ）（b ） 解：图中（a ）可分解为5段电流。
处于同一直线的两段电流对P 点的磁感应强度为零，其他三段在P 点的磁感应强度方向相同。
长为l 的两段在P 点的磁感应强度为 lIB πμ4201=（2分） 长为2l 的一段在P 点的磁感应强度为 lIB πμ4202=（2分） 所以lIB B B πμ22012=+= （2分） 图（b ）中可分解为3段电流。
处于同一直线的两段电流对P 点的磁感应强度为零，半圆弧在P 点的磁感应强度为 lIB 1602πμ='所以lIB B 1602πμ='=' （2分）两个图形中P 点的磁感应强度之比228π='B B （2分）3．半径为R 的木球上密绕有细导线，相邻的线圈彼此平行地靠着，以单层盖住半个球面共有N 匝，如图所示。
设导线中通有电流I ，求在球心O 处的磁感应强度。
解：取坐标系如图。
θπd NdN 2=（2分）它们在O 点产生的磁感应强度：232220)(2x r dIr dB +=μ （2分）根据 θsin R r =，222R x r =+，θπd NI IdN dI 2== 有θθπμd RNIdB 20sin =（3分） O 点磁感应强度：RNId R NI B 4sin 02020μθθπμπ⎰== （3分）4．一长直导线ABCDE ，通有电流I ，中部一段弯成圆弧形，半径为a ，︒='=6022ββ，求圆心处的磁感强度。
解：载流导线BCD 段在O 点产生的磁感强度⎰⎰===23002201644πμθπμπμa IaIad r Idl B 方向垂直纸面向里。
（3分） AB 段在O 点产生的磁感强度 0221(sin sin )4IB dμββπ=- 式中32πβ-=,21πβ-=,0cos 602ad a ==，代入得02(1)22I B a μπ=+ 方向垂直纸面向里。
（2分） DE 段在O 点产生的磁感强度)sin (sin 4'1'203ββπμ-=dI B 式中3'1πβ=，2'2πβ=，代入得)231(203-=a I B πμ 方向也是方向垂直纸面向里。
（2分） 整个载流导线在O 点产生的磁感强度aI a I aIB B B B 00032121.0)231(226μπμμ=-+=++= 方向垂直纸面向里 （3分）5．A 和B 为两个正交放置的圆形线圈，其圆心相重合。
A 线圈半径2.0=A R m ，10=A N 匝，通有电流10=A I A ；B 线圈半径1.0=B R m ，20=B N 匝，通有电流5=B I A 。
求两线圈公共中心处的磁感应强度。
（70104-⨯=πμTm/A ）解：两线圈在各自圆心处的磁感应强度分别为401014.32-⨯==A AA A R I NB μ T （3分）401028.62-⨯==BBB B R I N B μ T （3分）两线圈在各自圆心处的磁感应强度相互垂直，所以在公共中心处的磁感应强度大小为4221002.7-⨯=+=B A B B B T （3分）B 与B B 的夹角为 ︒==56.26arctan BA B Bα （1分）6．宽度为b 的无限长薄铜片，通有电流I 。
求铜片中心线正上方P 点的磁感强度。
解：将薄铜片分成无限多个宽度为dx 的细长条，如图，把每个长条当成载有电流bIdxdI =的长直导线。
（1分）每条长直导线在P 点产生的磁感强度大小bdxr I r dI dB πμπμ2200==,方向位于xOy 平面内且与r 垂直。
（3分） B d 的分量为x dB 和y dB ，由于铜片对y 轴对称，所以长条电流的y dB 分量代数和为零。
故铜片在P 点的磁感强度的大小yb b I dx x y y b I rb Idx dB dB B b b bb x 2arctan 2cos 2cos 022220220πμπμθπμθ=+====⎰⎰⎰⎰-- （3分） 如铜片为无限大平面，即22arctan,π→∞→y b b ,于是 I bB 021μ=（3分） 7．一个塑料圆盘，半径为R ，带电q ,均匀分布于盘表面上，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴线转动，角速度为w 。
试求在圆盘中心处的磁感强度。
解 盘上的电荷密度2R qπσ=。
在圆盘上取一个半径为r 宽为dr 的细环,它所带的电量rdr dq πσ2⋅=。
（1分）这转动的带电细环相当于一个圆电流，其电流：rdr w rdr wrdr n ndq di σπσππσ=⋅=⋅==222 （3分） 它在盘心处所产生的磁感强度dr wrdr w rrdidB σμσμμ222000===（3分）整个圆盘在盘心的磁感强度RwqR w dr w dB B Rπμσμσμ2220000====⎰⎰方向垂直盘面。
（3分） 8．电流为I 的一长直导线在C 点被折成60角，若用同样导线将B A ,两点连接，且L BC AB ==，求三角形中心点O 的磁感应强度。
解：由图可知ABC ∆为等边三角形，所以l a 6330tan 21==，电流在A 处分为两支路1I 和2I ，设三角形每条边上的电阻值相同为R ，AC 边加CB 边与AB 边并联得R I R I 212= 而 I I I =+21 解得 I I I I 32,321==（2分） 利用载流直导线磁感应强度表示式)cos (cos 4210θθπμ-=aIB ，设垂直图面向里为正向，导线AC 和CB 在O 点的磁场强度为l I l I l I lI B B CB AC πμπμπμπμ223)2323(323)150cos 30(cos 6340101010==+=-== （2分） 导线AB 在O 点的磁感应强度为 lIl I lI B AB πμπμπμ0202023)150cos 30(cos 323-=-=--=（2分） 半无限长电流EA 、BF 在O 点磁感应强度为)231(323)30cos 0(cos 32300-=-==lI lI B B BF AB πμπμ （2分） 由叠加原理，O 点的磁感应强度为)231(30-=++++=l I B B B B B B CB AC AB BF EA πμ 方向垂直图面向里。
（2分）9．两根直导线与铜环上B A ,两点连接，如图所示，并在很远处与电源相连接。
若圆环的粗细均匀，半径为r ，直导线中电流I 。
求圆环中心处的磁感应强度。
解：电流在A 点分为两支路为1I 和2I ，设R 为单位弧长电阻，AdB 弧长与AcB 并联，得 21I l R I l R AcB AdB =即 21I l I l A c B A d B = （1分） 以垂直图面向里为正向，所以 rl I B AdBo AdB ππμ221-= （2分）AcB 支路在圆环中心O 点磁感应强度方向垂直图面向里，大小为rl I l l I B AdBAcB AcB ππμππμ22221020==（2分） 两支路在O 点的磁感应强度叠加，得0=+AcB AdB B B . （2分）半无限长直电流EA 延长线过圆心O ，,0=EA B O 点的磁感应强度等于半无限长直电流BF 在O 点磁感应强度，得rIr I B B BF πμπμ4)180cos 90(cos 400=-== 方向垂直图面向里。
（3分）10．一无限长的载流导线中部被弯成圆弧形，如图所示，圆弧形半径为3=R cm ，导线中的电流为2=I A 。
求圆弧形中心O 点的磁感应强度。
解：两根半无限长直电流在O 点的磁感应强度方向同为垂直图面向外，大小相等，以垂直图面向里为正向，叠加后得RIR I B πμπμ242001-=-= （3分） 圆弧形导线在O 点产生的磁感应强度方向垂直图面向里，大小为 RIR I B 83432002μμ==（3分） 二者叠加后得 T RIR I B B B 500121081.1283-⨯=-=+=πμμ （3分） 方向垂直图面向里。
（1分）11．一无限长的载流导线中部被弯成圆弧形，并用同样的直导线将B A ,两点连接，如图所示，圆弧形半径为3=R cm ，导线中的电流为2=I A 。
求圆弧形中心O 点的磁感应强度。
（70104-⨯=πμTm/A ）解：电流I 在A 点分为两支路1I 和2I ，每一支路上的电阻值应有长度成正比，且B A ,两点间电压恒定，得 R I R I 224321⋅=⋅⋅π （1分） 在A 点有 I I I =+21 由以上两式可得 I I I I I I 77.03223,23.03222221=+==+=πππ（2分）有 RIR I B AcB 869.0243010μμ==方向垂直图面向里。
（2分）RIR I R I B o A d B πμπμπμ277.02)135cos 45(cos 22402020-=-=--= 方向垂直图面向外。
（2分）527011063.1)1469.077.0(10322104)1469.077.0(2---⨯-=-⨯+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-+-=++=πππππμR I B B B B AcB AdB方向垂直图面向外。