专题一乘法公式及应用完整版

专题一乘法公式及应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

专题一乘法公式的复习一、复习:

(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

①位置变化，xyyxx2y2

②符号变化，xyxyx2y2 x2y2

③指数变化，x2y2x2y2x4y4

④系数变化，2ab2ab4a2b2

⑤换式变化，xyzmxyzm

xy2zm2

x2y2zmzm

x2y2z2zmzmm2

x2y2z22zmm2

⑥增项变化，xyzxyz

xy2z2

xyxyz2

x2xyxyy2z2

x22xyy2z2

⑦连用公式变化，xyxyx2y2

x2y2x2y2

x4y4

⑧ 逆用公式变化，xyz 2xyz 2

xyzxyzxyzxyz

2x 2y 2z

4xy 4xz

例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+

∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-

∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -

∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-

例3：计算19992-2000×1998

例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。

例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

例7．运用公式简便计算

（1）1032 （2）1982

例8．计算

（1）a 4b 3ca 4b 3c （2）3xy 23xy 2

例9．解下列各式

（1）已知a 2b 213，ab 6，求ab 2，ab 2的值。

（2）已知ab 27，ab 24，求a 2b 2，ab 的值。

（3）已知aa 1a

2b 2，求222

a b ab +-的值。

（4）已知13x x -=，求441x x +的值。

例11．计算 （1）x 2x 12 （2）3mnp 2

两数和的平方的推广

abc 2abc 2 ab 22abcc 2 a 22abb 22ac 2bcc 2

a 2

b 2

c 22ab 2bc 2ac 即abc 2a 2b 2c 22ab 2bc 2ac

几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2

倍。

二、乘法公式的用法

(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1. 计算：()()53532222x y x y +- 解：原式

()()=-=-53259222244x y x y

(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例2. 计算：()()()()111124-+++a a a a

例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--

三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4. 计算：()()57857822a b c a b c +---+

四、变用: 题目变形后运用公式解题。

例5. 计算：()()x y z x y z +-++26

五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例6. 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。

解：()a b a b ab 2222242526+=-+=+⨯=

例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22

三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．

例1 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)

分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ． 解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．

例2 计算(-a 2+4b )2

分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．（解略）

（二）、注意为使用公式创造条件

例3 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．

分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的

“2x ”、“5”两项同号，“y ”、“z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．

解：原式=〔(2x +5)+(y -z )〕〔(2x +5)-(y -z )〕

=(2x +5)2-(y -z )2

=4x 2+20x +25-y +2yz -z 2．

例4 计算(a -1)2(a 2+a +1)2(a 6+a 3+1)2

分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．

解：原式=[(a -1)(a 2+a +1)(a 6+a 3+1)]2

=[(a 3-1)(a 6+a 3+1)]2

=(a 9-1)2=a 18-2a 9+1

例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．

分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-

1），则可运用公式，使问题化繁为简．

解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)

=（28-1）（28+1）

=216-1

（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由(a +b )2=a 2+2ab +b 2，可推广得到：

(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ．

可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积