分布的基本概念

第一章 分布的基本概念
• • • • • • • 1、随机变量 2、随机变量的分布特征 3、均匀分布(矩形分布） 4、正态分布N(μ, σ) 5、 t 分布 6、 其它分布 7 、随机变量的基本定理
1 、随机变量
• 1.1随机事件:
•
在一定条件下,可能出现也可能不出现的事件.
• 1.2 随机变量:
• 临界值tp(ν)相当于正态分布时的置信因子k • 当ν=∞时， tp(ν)=k
5.4 t分布概率的算法
• 1）查表法
•
见JJF1059
P24附录A
• 2）t分布的分布函数可根据t分布与Beta分布的分布函 数关系用递推算法求解(略) 3）Excel算法：
TDIST函数: 求t分布的函数值。 TINV 函
•
•
以有限次测量的标准差s代替标准差σ，则：
n
N (0,1)
x t ( ) s n

t(ν)称为t分布。
( ν—自由度）
• t分布是正态分布的一般形式，当自由度=∞时，就成为正态分布。 • 数学期望： μ • 标准偏差：σ
• 5.2 t分布的概率密度表达式：
f ( x)
(
n 1 ) x 2 ( n1) / 2 2 (1 ) n n n ( ) 2
( x) u x 1e u du
0

5.3 t分布对应不同区间的概率
• 对t分布，变量处于区间[-a,a]的概率p与自由度 ν有关。 • 区间边界一般用tp(ν)表示，称为临界值。 • [-tp(ν)， tp(ν)]
i 0
10
y=-ln[4α (1-α )]
b1=0.3706987906×10-1 b2=-0.8364353589×10-3 b4=0.6841218299×10-5 b5=0.5824238515×10-5 b7=0.8360937017×10-7 b8=-0.3231081277×10-8 b10=0.6936233982×10-12
• 在一定条件下,取某值/或在某范围内取值是随机事件.
• •
•
分
类:
连续型：随机变量x可在坐标轴上任意点取值。 离散 型：随机变量x只有有限个或可数个实数值。
1.3 随机变量的数字特征:
• • • • •
•
大 小: 数学期望μ 离散型: 连续型:
x E ( x) xi pi x E ( x) xf ( x)dx
6.2两点分布：
a
-a 0 a
应用：
按级使用量块时，中心长度偏差导致的不确定度。
6.3反正弦分分布
• 1）概率密度函数：
f ( x) 1
a2 x2
• 2）标准偏差：

a 2
• 3）应用：
• 度盘偏心引起的不确定度；正弦振动引起的不确定度 • 无线电中失配引起的不确定度； • 随时间正弦变化的温度引起的不确定度。
• 应用：
• • • • • • • 数据修约导致的不确定度； 数字式测量仪器分辨率导致的不确定度； 测量仪器由于滞后、磨擦效应导致的不确定度； 按级使用的仪器允差； 用上下界给出的线膨胀系数； 仪器度盘或齿轮回差引起的不确定度； 平衡指示器调零不准导致的不确定度。
4 正态分布N(μ, σ)
• 4.1概率密度函数 •
x
3 均匀分布(矩形分布)：
• 在某一区间（-a，a）内，被测量值以等概率落入，而 落于该区间外的概率为零。
K
-a
μ
a
数学期望： = 中心点μ
标准偏差：
1 y f ( x) K 2a
2 a 1 a 2 2 D ( x ) f ( x)dx x dx a a 2a 3 a 3 a
i 1 6
k i 16 ) ) 2
a1=0.0705230784 ， a2=0.0422820123 ， a3=0.0092705272 a4=0.0001520143 ，a5=0.0002765672 ，a6=0.0000430638
k ( y bi y i )1/ 2
b0=0.1570796288×10 b3=-0.2250947176×10-3 b6=-0.1045274970×10-5 b9=0.3657763036×10-10
4）Excel算法：
NORMSDIST函数:求标准正态分布的函数值。 NORMDIST 函数:求正态分布的函数值。 NORMSINV 函数:求标准正态分布的区间点。 NORMINV 函数:求正态分布的区间点。
4.4正态分布的应用
1）重复性或复现性条件下多次测量的算术平均值的分布。
2）被测量用Up给出，又未指明分布时；
7随机变量的基本定理
• 1大数定理 • 1.1切比谢夫定理（大意）
• 对独立重复观测，当n充分大时，算术平均值接近于真值。
• 1.2贝努利定理（大意）
• 当观测条件稳定时，如n充分大，则可用频率代替概率。
• 2中心极限定理（大意）
• 大量的随机变量之各具有近似于正态的分布。
F(a)=P(X<a) P(b<X<a) = F(a)- F(b) p
• •
a
b
X
2.2 概率分布密度函数f(x)
• 概率分布密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数。
• 概率分布密度函数f(x)反映了随机变量在x附近出现的概率大小。
•
f ( x) dF ( x) dx
x
f(x)
F ( x) f ( x)dx
置信 区间 置信 因子 置信 概率 [- σ, σ] 1 [- 2σ,2 σ] 2 [- 3σ,3 σ] 3 [- ∞,∞]
68.27%
95.45%
99.73%
100%
4.3正态分布 概率的算法
1)查表法
2）等距内插求积公式。 3）近似公式（ 10-7 ， 10-8 ）：
P(k ) 1 (1 ai (
• • • • • • • • •
f ( x)
1 1 x 2 exp[ ( ) ] 2 2
拐点
式中σ称为标准偏差 对应图中的拐点 测量结果落在区间[-σ, σ]的概率为68.27%
-σ
μ
σ
正态分布是一种理想分布。 数学期望： μ 标准偏差：σ
4.2正态分布不同区间对应的的概率
• 置信概率p ：与置信区间或统计包含区间有关的概 • 率值。 • 置信因子k ：选定区间对标准差的倍数。
3）计算合成标准不确定度时，相互独立的量较多，且大小接近； 4）计算合成标准不确定度时，相互独立的分量中，存在两个相 近的三角分布或四个均匀分布； 5）计算合成标准不确定度时，相互独立的分量中，量值较大的 分量（起决定作用）接近正态分布。
5 t 分布
• • • • 5.1概念 被测量xi~N（μ，σ），测量n次。 其算术平均值： x N [ , ] n 当n足够大时，

分散性: 方差D,或标准偏差σ 离散型: D ( x ) p ,
2 i x i
D D
D ( x x ) 2 f ( x)dx,


2 随机变量的分布特征
• P
X
5
6
7
2.1 分布函数F(x)
•
分布函数F(x)是x的函数，它在任一点x=a 处的值表示随机变量X落在区间（-∞，a]上的 概率:
6 其它分布
6.1梯形分布：

a 6 / 1 2
上底 / 下底
-a
0
a
β= 0时：→ 三角分布
β= 1时： → 均匀分布
• 三角分布：

a 6
-a
0
a
• 应用：
• • • • 两相同的均匀分布的合成； 相同修约间隔给出的两独立量之和或差，由修约导致的不确定度； 因分辨率引起的两次测量之各或之差的不确定度； 用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零不准导致的不确定度。