20-21第1章集合的概念

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1.1.1 集合的含义与表示(第2课时)集合的表示(课件)

[解] (1)不大于 10 的非负偶数有 0,2,4,6,8,10，所以 A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于 8 的质数有 2,3,5,7，所以 B＝{2,3,5,7}． (3)方程 2x2－x－3＝0 的实数根为－1，32.所以 C＝－1，32. (4)由yy＝＝－x＋23x，＋6，得xy＝＝14， . 所以一次函数 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点为(1,4)，所以 D＝{(1,4)}．
[规律方法] 用列举法表示集合的个步骤求出集合的元素把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次用花括号括起来提醒：二元方程组的解集，函数的图象点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“,”隔开.如{2，3，5，－1}.
[跟踪训练] 1．用列举法表示下列集合： (1)方程组xx－＋yy＝＝02，的解集； (2)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}.
2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数 k 的取值范围． [解] 由题意可知，方程 kx22－8x＋16＝0 至少有一个实数根． ①当 k＝0 时，由－8x＋16＝0 得 x＝2，合题意； ②当 k≠0 时，要使方程 kx22－8x＋16＝0 至少有一个实数根，则 Δ＝64－64k≤0，即 k≥1. 综合①②可知，实数 k 的取值集合为{k|k＝0 或 k≥1}．
[解] (1)解方程组23xx－＋32yy＝＝18，4，得xy＝＝－4，2，故解集为{(4，－2)}． (2)集合用描述法表示为{x|x 是正方形}，简写为{正方形}． (3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．
“ THANKS ”
【解答】解：解集合A方程，x2-x-2=0得到x=2，x=-1， ∵y∈A，即：y=2，y=-1， ∴集合B|x|=y+2，y∈A，得：|x|=y+2=4，|x|=y+2=1，故：x=±4，x=±1， ∴集合B={-4，-1，1，4} 故选：B．

高一数学集合知识点总结_3

高一数学集合知识点总结高一数学集合知识点总结高一数学集合知识点总结一．知识归纳：1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（aA和aA，二者必居其一）、互异性（若aA，bA，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N，Z，Q，R，N某2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对某∈A 都有某∈B，则AB（或AB）；2）真子集：AB且存在某0∈B但某0A；记为AB（或，且）3）交集：A∩B={某|某∈A且某∈B}4）并集：A∪B={某|某∈A或某∈B}5）补集：CUA={某|某A但某∈U}注意：①A，若A≠，则A；②若，，则；③若且，则A=B（等集）3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。

4．有关子集的几个等价关系①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABCuACuB；④A∩CuB=空集CuAB；⑤CuA∪B=IAB。

5．交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩=，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪=A，A∪B=B∪A；③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB；6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

二．例题讲解：【例1】已知集合M={某|某=m+,m∈Z},N={某|某=,n∈Z},P={某|某=,p∈Z}，则M,N,P满足关系A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM分析一：从判断元素的共性与区别入手。

集合的概念ppt课件

(1) 1
N
(3) -12
Z (5) √2
R
(2) 0
N* (4) √3
Q (6) π
R
解析： (1) ∈ (3) ∈
(5) ∈
(2) ∉ (4) ∉ (6) ∈
03
集合的表示
一、合作探究
小组讨论：
1、小于5的自然数集合A，有哪些元素？ 2、小于5的实数集合B，包括哪些元素？
1、集合A，包括元素：0,1,2,3,4。集合A中的元素可以一一列举。
③ 集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性 ④ 集合的分类：有限集、无限集、空集 ⑤ 数集：N , N* , Z , Q , R ⑥ 集合的表示方法：列举法、描述法
06
课后作业
课后作业1
1、用符号“∈”或“∉”填空：
（1） -3
N， 0.5
N， 0.3
N
（2） 1.5
Z， -5
Z，
3
Z
（3）-0.2
第一章集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
目录
01 集合的概念
0 元素与集合 2
0 集合的表示 3
04 集合的分类
01
集合的概念
一、导入生活情景
情景1-上架商品：
如右图，“美汇”生活超市新进了一批果蔬：苹果，葡萄，黄桃，柠檬，石榴，西瓜，土豆。茄子，西蓝花等。
作为陈列员，你该如何分类摆放这些商品呢？
四、集合中元素的性质
集合中元素的性质
确定性
1 集合中的元素必须是确定的
无序性
2 集合中的元素
无顺序之分 {a, b, c} = {a, c, d}
互异性
3 集合中的元素是互不相同的

1.集合的含义及基本关系

1. 集合的含义及基本关系（1）集合的概念：把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.一、单选题1．给出下列四个关系式：(1)√3∈R ；（2）Z ∈Q ；（3）0∈ϕ；（4）ϕ⊆{0}，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．下列给出的对象中，能表示集合的是（）．A ．一切很大的数B ．无限接近零的数C ．聪明的人D ．方程x 2=2的实数根3．集合{x ∈N|x −3<2}用列举法表示是A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{0，1，2，3，4}4．设集合M ={x|x ≥4},a =√11，则下列关系中正确的是（）A ．a ∈MB ．a ∉MC ．{a}∈MD ．{a}∉M5．下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a∈AD ．a ＝A7．方程x 2–1=0的解集可表示为A ．{x =1或x =–1}B ．{x 2–1=0}C ．1，–1D ．{1，–1}8．下列元素与集合的关系表示正确的是( )①1-∈N *∉Z ；③32∈Q；④π∈Q A ．①② B ．②③C ．①③D ．③④ 9．已知集合{}1,2A =，则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知单元素集合A ={x|x 2−(a +2)x +1=0}，则a =A ．0B ．−4C．−4或1D．−4或011．下列所给关系正确的个数是（）①π∈R Q；③0∈*N；④|−4|∉*N．A．1B．2C．3D．4 12．设集合S={x|(x−2)(x−3)≥0},T={x|x>0}，则S∩T=A．[2,3] B．（−∞,2]∪[3,+∞）C．[3,+∞）D．（0,2]∪[3,+∞）13．设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，则∁A B=A．{4,8}B．{0，2,6}C．{0，2，6,10}D．{0，2，4，6，8,10} 14．已知集合M={0,1}，则下列关系式中，正确的是（）A．{0}∈M B．{0}∉M C．0∈M D．0⊆M15．已知集合A={0,1},B={−1,0,a+3}，若A⊆B，则a的值为A．−2B．−1C．0D．116．集合A={1,2,3}，则集合A的子集个数是（）A．6B．7C．8D．917．已知集合A={0,1,2}，B={1,m}.若B⊆A，则实数m的值是（）A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或2二、填空题18．用符号“∈”或“∉”填空：（1）若集合P由小于√11的实数构成，则2√3_____P;（2）若集合Q由可表示为n2+1(n∈N∗)的实数构成，则5____ Q.19．已知集合A={−1,3,m}，B={3,5}，若B⊆A，则实数m的值为__________.20．满足条件{2,3}⊆A ⊂≠{1,2,3,4}的集合A有__________个．21．集合A={0,1}，写出A的所有子集__________．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

20-21版：2.2.2　不等式的解集（创新设计）

法二
原不等式等价于x1≤－1x，＋2－x＞2或1x－<x1<＋2，2－x>2或xx≥ －21，＋x－2>2，解得
1 x<2
或或 x>52，∴x<12或 x>52.故原不等式的解集为－∞，12∪52，＋∞.
26
课前预习
课堂互动
素养达成
(2)AB 的中点 Mx－2 1，由题意x－2 1－1>5，即x－2 3>5， ∴|x－3|>10，x－3<－10或x－3>10，即x<－7或x>13， ∴x的取值范围是(－∞，－7)∪(13，＋∞).
解由①得x<3，由②得x>－9. 所以原不等式组的解集为(－9，3).
@《创新设计》
18
课前预习
课堂互动
素养达成
题型三含一个绝对值的不等式的解法【例3】求下列绝对值不等式的解集：
(1)|3x－1|≤6；(2)3≤|x－2|<4. 解 (1)因为|3x－1|≤6⇔－6≤3x－1≤6，
即－5≤3x≤7，从而得－53≤x≤73，所以原不等式的解集是x|－53≤x≤73. (2)因为3≤|x－2|<4，所以3≤x－2<4或－4<x－2≤－3，即5≤x<6或－2<x≤－1. 所以原不等式的解集为：{x|－2<x≤－1或5≤x<6}.
@《创新设计》
规律方法一元一次不等式组的解法 (1)分开解：分别解每个不等式，求出其解集. (2)集中判：根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集.(或把不等式的解集在数轴上表示出来，数形结合确定不等式组的解集)
17
课前预习

第一章集合 —2022届高三数学一轮复习备考

第一章第一节集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法2.集合的基本关系⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊄⊆=⊆⊆⊆≠),,(),,()()1(B A A B B A B A A B B A B A 则若真包含则若相等包含其中，若B A ⊆，则称A 是B 的子集，若B A ≠⊂，则称A 是B 的真子集.(2)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ.规定：空集是任何集合的子集、空集是任何非空集合的真子集.(3)集合中元素个数与子集个数的关系：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ,真子集个数为2n -1,非空真子集个数为2n -2. 3．集合的基本运算(1)并集的常考性质A ⊆A ∪B,B ⊆A ∪B.A ⊆B ⇔A ∪B=B. A ∪B=∅⇔A=B=∅. (2)交集的常考性质A ∩B ⊆A,A ∩B ⊆B.A ⊆B ⇔A ∩B=A. A ∩B=A ∪B ⇔A=B. (3)补集的常考性质A ∪(∁U A)=U A ∩(∁U A)=∅∁U (∁U A)=A∁U (A ∩B)=(∁U A)∪(∁U B)∁U (A ∪B)=(∁U A)∩(∁U B).考点1 集合的含义与表示1．已知集合A ={0，1，2}，则集合B =中元素的个数是( ) A ．1 B ．3C ．5D ．92．若集合A ={−1,1}，B ={0,2}，则集合{z|z =x +y,x ∈A,y ∈B}中的元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．23．已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x −y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．104．已知集合A ={(x,y)|x,y ∈N ∗,y ≥x}，B ={(x,y)|x +y =8}，则A ∩B 中元素的个数为() A ．2 B ．3C ．4D ．65．已知集合A ={(x,y)│x 2+y 2=1}，B ={(x,y)│y =x}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．06．已知集合A ={(x ， y)|x 2+y 2≤3 ， x ∈Z ， y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．47．已知集合A ={(x,y)|x,y 为实数，且x 2+y 2=1}，B ={(x,y)|x,y 为实数，且x +y =1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1{}|,x y x A y A -∈∈8.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=.9.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( )A.4B.2C.0D.0或410.已知集合A={x|ax=1},B={x|x2-1=0},若A⊆B,则a的取值构成的集合是( )A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}11.已知M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为( )(A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)0或1或-112.设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为________.考点2 集合间关系1．若P={x|x<1},Q={x|x>−1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆P C．C R P⊆Q D．Q⊆C R P2．已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x||x−2|≤5｝，则( )A、A∩B=B、A∪B=RC、B⊆AD、A⊆B3．已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是( ) A．(−∞，−1] B．[1，+∞) C．[−1，1] D．(−∞，−1] ∪[1，+∞)4．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，4，5}，P=M∩N，则P的真子集共有( ) (A)2个(B)4个(C)6个(D)7个5．已知集合A={x|x2−3x+2=0,x∈R}，B={x|0<x<5,x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．46．已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=( ) A．∅B．S C．T D．Z∪B=A,则m= .7.已知集合8.若集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A∪B=A∩B,则实数a的取值集合是.9.已知a ∈R,b ∈R,若{ a,ln(b+1),1}={a 2,a+b,0},则a2018+b2018=________.考点3 集合间的基本运算1．已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A ∩B= ( )(A)｛1，4｝ (B)｛2，3｝ (C){9，16}(D)｛1，2}2．已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N},B ={6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中的元素个数为( )(A) 5 (B)4 (C)3 (D)23．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则C U A ∩B =（） A. {}1- B. {}0,1 C. {}1,2,3- D. {}1,0,1,3-4．已知全集U =R,A ={x|x ≤0},B ={x|x ≥1}，则集合C U (A ∪B)=( ) A ．{x|x ≥0} B ．{x|x ≤1} C ．{x|0≤x ≤1} D ．{x|0<x <1}5．已知集合P ={x |x 2−2x ≥0},Q ={x |1<x ≤2}，则(∁R P)∩Q =( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]6．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，C ={x ∈R|1⩽x <3} ，则()A C B =( )A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}7．已知集合均为全集的子集，且C U (AUB )={4}，，则A ∩C U B =( )A.{3} B ．{4}C ．{3，4}D ．8．若全集U ={1,2,3,4,5,6},M ={2,3},N ={1,4}，则集合{5,6}等于( ) A ．M ∪N B ．M ∩N C ．(C n M )∪(C n N ) D ．(C n M )∩(C n N )B A 、}4,3,2,1{=U {1,2}B =∅9．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩C I M =∅，则M ∪N =( )A ．MB ．NC ．ID ．∅10．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =() A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．411．已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =()A ．∅B ．{–3，–2，2，3)C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}12．设集合A ＝{x ∈Z||x+1|≤3}，B ={x|32x≤1}，则A ∩B ＝（）A ．{﹣4，﹣3，﹣2，0，2}B ．{2}C ．{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，2}D ．{1，2}13.已知集合104x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{}2230B x x x =--≥，则A B 等于（）A ．(-1，1]B ．(](),11,-∞-+∞C ．[3，4)D ．(][),13,-∞-+∞14．已知集合02xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，集合{}0B x x =>，则A B =（）A ．{}2x x ≥-B ．{}2x x >-C ．{}0x x ≥D ．{}0x x >15．已知全集为，集合，，则( )A ．B ．{x|2≤x ≤4}C ．D ．16．设集合则=( )A ．B ．C ．D ．17.设全集U=R,集合A={x|2x-x 2>0},B={y|y=e x +1},则A ∪B 等于( ) A.{x|x<2}B.{x|1<x<2}C.{x|x>1}D.{x|x>0}R 112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}2|680B x x x =-+≤R A C B ={}|0x x ≤{}|024x x x ≤<>或{}|024x x x <≤≥或2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R AB (1,1)-(0,1)(1,)-+∞(0,)+∞18．设集合A ={x||x −1|<2},B ={y |y =2x ,x ∈[0,2]},则A ∩B =( )A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)19．设集合M ={x|x 2=x}，N ={x|lg x ≤0}，则M ∪N =( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(−∞,1]20.已知全集为R,集合A={x|lgx ≤1},B={x|x 2-6x+8≤0},则A ∩(∁R B)=.21.已知U={y|y=log 2x,x>1}, P={y|y =1x ,x >2},则∁U P= ( )11A.[) B.(0,)221C.(0,)D. (,0][,)2+∞ +∞ -∞⋃+∞，22．已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |e x-2≤1}，则A ∪B ＝（） A ．（﹣∞，4） B ．（1，4）C ．（1，2）D ．（1，2]。

专题集合的概念与表示、集合间的关系(解析版)

专题05 集合的概念与表示、集合间的关系集合的概念我们把能够确切指定的一些对象组成的知识梳理知识结构模块一：集合的概念整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一．比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定．互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素：1，2．无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．典例剖析【例1】下列所给对象不能构成集合的是________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生；(5)1，2，3，1．【难度】★【答案】(1)(3)(5)集合与元素的字母表示、元素与集合的关系集合常用大写字母CBA、、…来表示，集合中的元素用c b a、、…表示，如果a是集合A的元素，就记作Aa∈，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作Aa∉，读作“a不属于A”【例2】已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．M∉0B．M∈2 C．M∉-4D．M∈4【难度】★【答案】D常用的数集及记法数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N，不包含零的自然数组成的集合，记作*N全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R常用的集合的特殊表示法：实数集R（正实数集+R）、有理数集Q（负有理数集-Q）、整数集Z（正整数集+Z）、自然数集N（包含零）、不包含零的自然数集*N；【例3】用“∈”或“∉”填空(1)－3______N；(2)3．14______Q；(3)13______Z；(4)－12______R；(5)1______N*；(6)0________N．【难度】★【答案】(1)∉(2)∈(3)∉(4)∈(5)∈(6)∈集合的分类我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集我们引进一个特殊的集合——空集，规定空集不含元素，记作∅，例如，方程012=+x的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集．【例4】已知集合}=A∈x=，且A中只有ax++,0x21{2Rx一个元素，求x的值．【难度】★★【答案】0a或1==a【例5】已知},0,1{2xx∈，求实数x的值．【难度】★【答案】1-【例6】已知集合S的三个元素a．、b、c 是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【难度】★【答案】D【例7】设A为实数集，且满足条件：若a．∈A，则1∈A (a．≠1)．1a求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明．【难度】★★【答案】(1)若a ．∈A ，则a -11∈A ，又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A ． ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A ，∵12∈A ，∴11－12＝2∈A ，∴A 中另外两个元素为－1，12． (2)若A 为单元素集，则a ＝a-11，即a ．2－a ．＋1＝0，方程无解．∴a ．≠a -11，∴A 不可能为单元素集【例8】设P、Q为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a ＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？【难度】★★【答案】8对点精练1．下列几组对象可以构成集合的是() A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7 m以上的人【难度】★★【答案】D2．用符号∈或∉填空：（1）0{0}（2）0φ（3）0N（4）0Z（5（6）2-Z【难度】★【答案】(1)∈(2)∉(3)∈(4)∈(5)∉(6)∈3．下列四个说法中正确的个数是( )①集合N 中最小数为1； ②若a ∈N ，则N a ∉-；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．A ．0B ．1C ．2D ．3 【难度】★★ 【答案】A4．由422、、a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a ．的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D．2【难度】★★【答案】C5．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生．【难度】★★【答案】①④⑤6．已知集合M ＝{－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x ．【难度】★★【答案】x ＝－3或x ＝2．7．设集合},12{},,2{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==．若B b A a ∈∈,，试判断b a +与B 、A 的关系．【难度】★★ 【答案】A b a B b a ∉+∈+,8．已知集合},032{2R m x mx R x A ∈=+-∈=，且A 中只有一个元素，求m 的值．【难度】★★ 【答案】31,0集合的表示方法常用列举法和描述法将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程0652=+-x x 的解的集合，可表示为{2,3}，也可表示为{3,2} 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：}{p x x A 满足性质=（集合A 中的元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程0652=+-x x 的解的集合可表示为}065{2=+-x x x ．集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限模块二：集合的表示方法集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示．典例剖析【例9】写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合（2）大于10而小于20的合数组成的集合【难度】★【答案】（1）{}2；（2）{}12,14,15,16,18【例10】用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合（3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点（4）}75,64,53,42,31{ 【难度】★★【答案】（1）},15{N k k x x ∈+=；（2）},,0),{(R y R x xy y x ∈∈>；（3）},,12),{(2R y R x x x y y x ∈∈+-=；（4）}5,,2{*≤∈+=n N n n nx x【例11】用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N xx ∈∈- 【难度】★【答案】（1）()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0；（2）{}3,1-；（3）∅；（4）{}--7,1,1,3,4【例12】用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C【难度】★★【答案】（1）}6,4,2{；（2）}x∈+=；（3）x{N,2n3nyyxx∈>x<∈,0,0,}R)y{(R,【例13】下列表示同一个集合的是（）A．)}3,2{(2,3{==NM},M B．}3,2{2,3{(==N)},C．)}3,2{(=N0{M},M D．φ==N},2,3{=【难度】★【答案】B【例14】已知集合}A∈xxxZ=≤∈==，用-,2},,1B{2A{yxyx列举法分别表示集合BA、【难度】★★【答案】}3,0,1{-=BA-2,1,0,1=,2},{-【例15】设∇是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意A b a∈,，有A∇，则称Aba∈对运算∇封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（）A．自然数集B．整数集C ．有理数集D ．无理数集【难度】★★ 【答案】C【例16】设cb a ,,为实数，)1)(1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f ，记集合},0)({},,0)({R x x g x T R x x f x S ∈==∈==，若T S ,分别为集合T S ,的元素个数，则下列结论不可能的是（）A ．0,1==T S 且B ．1,1==T S 且C ．2,2==T S 且D ．3,2==T S 且【难度】★★★ 【答案】D 【解析】【例17】设集合},,{22Z b a b a x x M ∈-==，求证：（1）奇数属于M （2）偶数)(24Z k k ∈-不属于M（3）属于M 的两个整数，其积属于M 【难度】★★★【答案】（1）M k Z k k k k ∈+∴∈-+=+12),()1(1222；（2）假设M k ∈-24，则可设),,(2422Z b a b a k ∈-=-即ba b a b a b a k +--+=-与 ))((24的奇偶性相同，))((b a b a -+∴是奇数或者是4的倍数，这与24-k 是偶数且不是4的倍数矛盾，故假设不成立，即M k ∉-24 （3）设,,,,22222121d c x b a x M x x -=-=∈且则2222222222222221)()())((bc ad bd ac d b c b d a c a d c b a x x +-+=+--=--=，M x x ∈211．用适当的方法表示下列集合．对点精练(1)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(2)由所有非负偶数组成的集合；(3)直角坐标系内第三象限的点组成的集合．【难度】★★【答案】(1){3，5，7，11，13，17，19};(2){x|x ＝2n，n★N};(3){(x，y)|x<0且y<0}2．下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y ＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？【难度】★★【答案】(1)不是；(2)①表示的是函数的定义域，x的取值范围；②表示的是函数的值域y的取值范围；③表示的是点集，是坐标平面内的点},{y x构成的集合，且这些点的坐标满足12+=xy3．用列举法表示下列集合：（1）}yxx∈∈+=yx),3,{(NNy,（2）}yyxx∈-≤={(2Z,1,2),xx（3）}xyy∈∈=+x,,3{NyN【难度】★★【答案】（1）)}0,3(),1,2(),2,1(),3,0{(；（2）)}3,2(),3,2(),0,1(),0,1(),1,0{(--；-（3）{0,1,2,3}4．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集．（1）第三象限内所有点组成的集合；（2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合；（3）所有被5除余2的奇数组成的集合．【难度】★★【答案】（1）{(,)|0,0}<<，它是无限集；（2）x y x y-，共有5个元素，是有限集；（3）{2,2,4,6,8}{|107,}=+∈，它是无限集．x x k k Z5．集合{}2=+中实数m的取值集合M=4,3A m m【难度】★★【答案】{}≠-≠且m m m|416．给出下列四种说法①任意一个集合的表示方法都是唯一的；②集合{}-是同一个集合2,1,0,1-与集合{}1,0,1,2③集合{}|21,x x k k Z =-∈与集合{}|21,y y s s Z =+∈表示的是同一个集合；④集合{}|01x x <<是一个无限集．其中正确说法的序号是．（填上所有正确说法的序号）【难度】★★ 【答案】②③④7．设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求【难度】★★【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=91,31M8．用列举法表示集合：},110{Z m Z m m M ∈∈+== 【难度】★★ 【答案】{}9,4,1,0,2,3,6,11----9．已知集合},2{},,2{22R x x x y y B R x x x y x A ∈-==∈-==，描述集合B A 与之间的区别【难度】★★【答案】集合A 表示的是函数的定义域，集合B 表示函数值的取值范围子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”．模块三：集合之间的关系典例剖析【例17】已知A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则A与B的关系正确的是()A．A⊆B B．A B=C．B A⊆D．A∈B【难度】★【答案】D相等的集合：对于两个集合A和B，若A B⊆且B A⊆则称集合A 与集合B 相等，记作A B =．也就是说，集合A 和集合B 含有完全相同的元素．【例18】已知集合}2,,{b a b a a A ++=，集合},,{2ac ac a B =，若B A =，求实数c 的值【难度】★★ 【答案】21-=c真子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A叫做集合B 的真子集，记作B ≠⊂A 或A ≠⊃B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”．【例19】已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠⊂B ，求a 的值．【难度】★★【答案】21,31,0-子集的个数：若集合A 中有n 个元素，则有2n个子集，21n-个非空子集，21n-个真子集．【例20】定义A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，3，4，6}，B ＝{2，4，5，6}，则A *B 的子集个数为【难度】★★ 【答案】4空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．图示法（文氏图）：用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图．（1）A B ⊆有两种可能：①A 中所有元素是B 中的一部分元素；②A 与B 是中的所有元素都相同；（2）空集∅是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集；（3）判定A 是B 的子集，即判定“任意x A x B ∈⇒∈”；（4）判定A B =，即判定“任意x A x B ∈⇒∈，且任意x B x A ∈⇒∈”；（5）判定B ≠⊂A ，即判定“任意x A x B ∈⇒∈，且存在0x B x A ∈⇒∉”；（6）易混符号：①“∈”与“⊆”②{}0与∅；（7）R Q Z N ≠≠≠⊂⊂⊂．【例21】已知集合A Z k k x x B Z k k x x A 则},,21{},,21{∈==∈+==________B ．【难度】★★【答案】A B ⊆【解析】方法一 (列举法)对于集合A ，取k ＝…，0，1，2，3，…，得A ＝},27,25,23,21{⋯⋯ 对于集合B ，取k ＝…，0，1，2，3，4，5，…，得B ＝},252,231,21{⋯⋯，，，故A B ⊆．方法二 (通分法)集合A ：x ＝2k ＋12 (k ∈Z )，分子为奇数．集合B ：x ＝k 2 (k ∈Z )，分子为整数，∴A B ⊆．【例22】设}2,1{B }4,3,2,1{A ==，，试求集合C ，使A C ≠⊂且C B ⊆ 【难度】★★【答案】}4,2,1{}3,2,1{}2,1{===C C C 或或【例23】设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋2a －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．【难度】★★【答案】1≤aa或-,1=【例24】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m 的取值范围．【难度】★★【答案】{m|m≤3}【例25】若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．【难度】★★【答案】32-，【例26】已知(){}(){}1,||1|0,,|1y A x y y B x y x =-=+===或，则A 与B 之间的包含关系为；【难度】★★【答案】B ≠⊂A【例27】已知()2f x x px q =++，集合(){}|,A x f x x x R ==∈，(){}|B x f f x x ==⎡⎤⎣⎦，（1）求证：A B ⊆；（2）如果{}3,1A =-，用列举法表示集合B ．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）{1,B =-【例28】已知集合}3{>=x x A ，集合}1{m x x B >+=，若A B ≠⊂，实数m 的取值范围是，若A B ⊆，实数m的取值范围是【难度】★★【答案】4m;4≤>m对点精练1．下列五个关系式：（1）{}∅=0；（2）0=∅；（3）0；（4）{}∅⊇0；（5）{}0≠∅；其中正确的个数∈∅是（）A．2 B．3 C．4 D．5【难度】★【答案】A2．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值【难度】★★【答案】x＝y＝－13．若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A 有________个．【难度】★★【答案】164．若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________【难度】★★【答案】{0，1，2，3，4，5}5．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B⊆A，求a的值．【难度】★★【答案】26．已知，（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围【难度】★★【答案】（1）空集；（2）7．已知集合B A,,},=若{,},,1{2，则实数b a,分别baab=aBA=a是【难度】★★【答案】0,1-8．设集合},421{},,412{Z k k x x N Z k kx x M ∈+==∈+==，则 (A 与B 的包含关系)【难度】★★【答案】N M ≠⊂9．设集合}0,,{},,,{2222y x y x Q xy y x y x P -+=+-=，若Q P =，求y x ,的值及集合Q P ,【难度】★★【答案】}0,1,1{-10．已知}0{},21{<-=<<=a x x B x x A ，若B A ≠⊂，求实数a 的取值范围【难度】★★【答案】}2{≥a a模块四：集合的概念和集合间的关系的能力拓展典例剖析【例29】集合，且、、恰有一个成立，若且，则下列选项正确的是( )A ．，B ．，C ．，D ．，【难度】★★★【答案】B【解析】【例30】若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符()*{,,S x y z x y z N =∈、、x y z <<y z x <<z x y <<}(),,x y z S ∈(),,z w x S ∈(),,y z w S ∈(),,x y w S ∉(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∉合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．【难度】★★【答案】6【解析】【例31】设P 是一个数集，且至少含两个数，若对任意,a b P ∈，都有)0(,,,≠∈-+b P b a ab b a b a ，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集Q},|2{∈+=b a b a F 也是数域．给出下列命题：①整数集是数域；②若有理数集M Q ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题是．(填序号) 【难度】★★★ 【答案】③④【例32】已知},2{},,,3614{Z k k x x B Z n m n m x x A ∈==∈+==，求证BA =【难度】★★★【答案】（1）先证B A ⊆，设A a ∈，则存在Z m m ∈21,，满足)187(236141111n m n m a +=+=，B A B a Z n m ⊆∈∴∈+即,,18711（2）再证A B ⊆，设B b ∈，则存在Z k ∈1，满足)2(36)5(142111k k k a +-==，A B A b Z k k ⊆∈∴∈-即,,2,511【例33】已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体，对任意R x ∈，存在非零的常数t 使)()(x f t t x f ⋅≥+成立，其中非零常数t 叫做函数)(x f 的一个特征参数（1）函数x x f =)(是否属于集合M ？说明理由（2）试证明：函数2)(x x f =是集合M 中的一个元素，并求出2)(x x f =的所有特征参数组成的集合【难度】★★★ 【答案】（1）1=t 即可；（2）,02)1(,)(2222<≥++-≥+t t tx x t tx t x 可求得即1．已知},64{},,2{*2*2N b b b x x P N a a x x M ∈+-==∈+==，确定M与P 的关系【难度】★★★ 【答案】P M ≠⊂2．已知集合},,14{},,12{Z m m x x B Z n n x x A ∈±==∈+==求证B A =对点精练【难度】★★★ 【答案】略 3．集合{}12|,,,M x x m m n Z x x M ==+∈∈、、下列元素中哪些一定属于M ?（1）12x x +；（2）12x x ⋅；（3）122(0)x x x ≠【难度】★★ 【答案】（1），（2）4．设集合{}1,2,3,...,10,A =求集合A 的所有非空子集元素和的和【难度】★★★【答案】含有1的子集有92个；含有2的子集有92个；含有3的子集有92个；…，含有10的子集有92个，∴9(123...10)228160++++⨯=集合元素具有三个特征：确定性、互异性、无序性；确定性用来判断符合什么条件的研究对象可组成集合；互异性是相同元素只写一次，在解决集合的关系或运算时，要注意验证互异性；无序性，即只要元素完全相同的两个集合是相等集合，与元素的顺序无关；集合中的元素的确定性和互异性，一是可以作为解题的依据;二可以检验所求结果是否正确．用描述法表示集合时，一定要明确研究的代表元素是什么，如；表示的是由二次函数的自变量组成的集合，即的定义域；表示的是由二次函数的{}4|2-=x y x 42-=x y 42-=x y {}4|2-=xy y 42-=xy 反思总结函数值组成的集合，即的值域；表示的是由二次函数的图像上的点组成的集合，即的图像．要注意空集的特殊性，空集不含任何元素，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为n2，真子集个数为12-n，非空真子集有．22-n．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关42-=x y {}4|),(2-=x y y x 42-=x y 42-=x y系．在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示．1．选择适当的方法表示下列集合． (1)Welcome 中的所有字母组成的集合； (2)所有正偶数组成的集合；(3)二元二次方程组⎩⎨⎧==2xy xy 的解集； (4)所有正三角形组成的集合．【知识点】集合的表示【难度】★★ 【题型】填空题【答案】(1)列举法：},,,,,{m o c l e W ．课后练习(2)描述法：}xx∈=．kk,{*2N(3)列举法：)}1,1(),0,0{((4)描述法：}xx{是正三角形2．由实数x x x、、-所组成的集合，其元素最多有几个？【知识点】集合的概念【难度】★【题型】填空题【答案】23．若集合}01xA是空集，则实数a的值为=ax+{=【知识点】集合的概念【难度】★【题型】填空题【答案】04．已知集合}14{2有唯一解=+-=a x x a A ，用列举法表示集合A【知识点】集合的表示【难度】★★ 【题型】解答题【答案】}2,2,417{--=A5．集合},023{2R a x ax x A ∈=+-=（1）若A 是空集，求a 的取值范围（2）若A 中只有一个元素，求a 的值并把这个元素写出来（3）若A 中至多一个元素，求a 的范围【知识点】集合的概念【难度】★★ 【题型】解答题【答案】（1）89>a ；（2）890==a a 或；（3）890≥=a a 或6．已知集合}044{2<+-=a x x x M ，且M ∉2，则实数a 的取值范围是【知识点】集合的概念【难度】★★ 【题型】填空题【答案】}1{≥a a7．用适当的符号填空：（1）∅}01{2=-x x ；（2）{1，2，3} N ；（3）{1}}{2x x x =；（4）0}2{2x x x =．【知识点】集合间的关系【难度】★【题型】填空题【答案】，，，8．定义集合运算：，，．设集合，则集合的所有元素之和为_______________【知识点】集合的概念【难度】★★【题型】填空题【答案】189．已知{25}=+≤≤-，B A⊆，求m的B x m x mA x x=-≤≤，{121}取值范围。

《集合的概念》说课稿(精选10篇)

《集合的概念》说课稿（精选10篇）《集合的概念》说课稿 1一、说教材1、教材的地位和作用《集合的概念》是人教版第一章的内容(中职数学)。

本节课的主要内容：集合以及集合有关的概念，元素与集合间的关系。

初中数学课本中已现了一些数和点的集合，如：自然数的集合、有理数的集合、不等式解的集合等，但学生并不清楚“集合”在数学中的含义，集合是一个基础性的概念，也是也是中职数学的开篇，是我们后续学习的重要工具，如：用集合的语言表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集，曲线上点的集合等。

通过本章节的学习，能让学生领会到数学语言的.简洁和准确性，帮助学生学会用集合的语言描述客观，发展学生运用数学语言交流的能力。

2、教学目标（1）知识目标：a、通过实例了解集合的含义，理解集合以及有关概念；b、初步体会元素与集合的“属于”关系，掌握元素与集合关系的表示方法。

（2）能力目标：a、让学生感知数学知识与实际生活得密切联系，培养学生解决实际的能力；b、学会借助实例分析，探究数学问题，发展学生的观察归纳能力。

（3）情感目标：a、通过联系生活，提高学生学习数学的积极性，形成积极的学习态度；b、通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

3、重点和难点重点：集合的概念，元素与集合的关系。

难点：准确理解集合的.概念。

二、学情分析（说学情）对于中职生来说，学生的数学基础相对薄弱，他们还没具备一定的观察、分析理解、解决实际问题的能力，在运算能力、思维能力等方面参差不齐，学生学好数学的自信心不强，学习积极性不高，有厌学情绪。

三、说教法针对学生的实际情况，采用探究式教学法进行教学。

首先从学生较熟悉的实例出发，提高学生的注意力和激发学生的学习兴趣。

在创设情境认知策略上给予适当的点拨和引导，引导学生主动思、交流、讨论，提出问题。

在此基础上教师层层深入，启发学生积极思维，逐步提升学生的数学学习能力。

集合概念的形成遵循由感性到理性，由具体到抽象，便于学生的理解和掌握。

高一数学-集合

∴2q2－q－1＝0
12.
【解析】（1）设 k∈Z，则任意奇数可表示为 2k－1 ∵2k－1＝k2－(k－1)2
已知集合 A＝{ x∣x＝m2－n2，m，n∈Z }，求证：（1）任意奇数都是 A 的元素。（2）偶数 4k－2（k∈Z）不属于 A。（2）假设存在 k∈Z，使得 4k－2∈A。即存在 m，n 使得 4k－2＝m2－n2 ∴2(2k－1)＝(m－n)(m＋n） ∵k，(k－1)∈Z ∴2k－1∈A 即任意奇数都是 A 的元素。 ∴(m－n)，(m＋n)为偶数
当 x＝4 时，y＝1；当 x＝5 时，y＝0； 7.
【解析】∵a，b∈Z 且 a≠b
若集合 M＝{0，2，3，7}，P＝{x∣x＝ab，a，b∈M，a≠b }，则 P＝
∴①当 a＝0 时，b＝2，3，7，此时 ab＝0；②当 a＝2 时，b＝0，3，7，此时 ab＝0，6，14；
③当 a＝3 时，b＝0，2，7，此时 ab＝0，6，21；④当 a＝7 时，b＝0，2，3，此时 ab＝0，14，21；故 P＝{0，6，14，21} 8. 若集合 M＝{ x∣ax2＋2x＋1＝0}只含一个元素，则 a＝ ∴方程 ax ＋2x＋1＝0 只有一个解
21.
集合{1，2，3}的子集的个数是（ A. 6
【解析】方法 1、∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3} ∴集合{1，2，3}的子集个数为 23＝8 个，故选 C。 22.
方法 2、对于有限集 A 有 n 个元素，则的子集个数为 2n 个，真子集个数为 2n－1 个。
D. M
T且M
T
【解析】由∵ x＋y＞0 且 x y＞0 得 x＞0， x＞0 17. 用适当的符号（∈，∉，＝，（1）3.14 Q；，）填空：

集合的含义表示及基本关系

集合的含义表⽰及基本关系学校：年级：课时数：学员姓名：辅导科⽬：数学学科教师：教学⽬标(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常⽤数集及其专⽤记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.⽆序性；(4)会⽤集合语⾔表⽰有关数学对象；（5）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（6）理解在给定集合中⼀个⼦集的补集的含义，会求给定⼦集的补集；（7）能⽤Vern图表达集合的关系及运算，体会直观图⽰对理解抽象概念的作⽤。

教学内容集合的含义与表⽰及基本关系（⼀）集合的有关概念⒈定义：⼀般地，把⼀些能够确定的不同的对象看成⼀个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

2.表⽰⽅法：集合通常⽤⼤括号{ }或⼤写的拉丁字母A,B,C…表⽰，⽽元素⽤⼩写的拉丁字母a,b,c…表⽰。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全⼀样。

4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作5.常⽤的数集及记法：⾮负整数集（或⾃然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定⼀个集合，那么任何⼀个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四⼤洋”（太平洋,⼤西洋，印度洋，北冰洋）。

“中国古代四⼤发明”（造纸，印刷，⽕药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；⽽“⽐较⼤的数”，“平⾯点P周围的点”⼀般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：⼀个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

.如:⽅程(x-2)(x-1)2=0的解集表⽰为{1,-2},⽽不是{1,1,-2}⑶⽆序性：即集合中的元素⽆顺序,可以任意排列、调换。

2020-2021学年数学人教A版必修1：检测试题第一章集合与函数概念

以 2,4 满足条件；而 a＝6 时，6－a＝0∉A，所以 6 不满足条件．故
选 C.
2．设全集 U＝Z，集合 A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5}，则
图中阴影部分表示的集合是( D )
A．{1,3,5} C．{7,9}
B．{1,2,3,4,5} D．{2,4}
解析：题图中所示阴影表示的集合是(∁UA)∩B＝{2,4}．
14．若函数 y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数 g(x)＝fxx－＋21的
定义域是 [－1,2)．
解析：由题意可知0x－≤2x＋ ≠10≤ ，3，解得－1≤x<2，所以函数 g(x)的定义域为[－1,2)．
15．若函数 f(x)＝x＋1x2x－a为奇函数，则 a＝ 2 . 解析：由题意知 x≠－1 且 x≠a2.因为函数 f(x)为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，故 x≠1，即a2＝1，a＝2.
10．函数 y＝f(x)是 R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函
数，若 f(a)≤f(2)，则实数 a 的取值范围是( D )
A．a≤2
B．a≥－2
C．－2≤a≤2 D．a≤－2 或 a≥2
解析：∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y ＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由 f(a)≤f(2)，得 f(|a|)≤f(2)．∴ |a|≥2，得 a≤－2，或 a≥2.
A．f(x)·f(－x)>0 B．f(x)·f(－x)<0 C．f(x)<f(－x) D．f(x)>f(－x)
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2<0(f(x)≠0)．
6．已知 a，b 为两个不相等的实数，集合 M＝{a2－4a，－1}，

集合与集合的表示方法

集合与集合的表⽰⽅法第1章集合1.1 集合与集合的表⽰⽅法1.1.1 集合的概念⼀、概念与能⼒聚焦1、集合的概念集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些指定的且不同的对象集在⼀起就成为⼀个集合。

组成集合的对象叫元素，集合通常⽤⼤写字母A 、B 、C 、…来表⽰。

元素常⽤⼩写字母a 、b 、c 、…来表⽰。

集合是⼀个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的⼀个集合。

例题1：考察下列每组对象能否组成⼀个集合？（1）2010年上海世博会上展出的所有展馆；（2）2010年辽宁⾼考数学试卷中所有的难题；（3）清华⼤学2010级的新⽣；（4）平⾯直⾓坐标系中，第⼀象限内的⼀些点；（5）2的近似值的全体.2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a 属于集合A ，记作A a ∈；元素a 不属于集合A ，记作A a ?。

例题 2：已知321-=a ，}{Z n m n m x x A ∈+==,,3，则a 与A 之间是什么关系？3、集合中元素的特性（1）确定性：设A 是⼀个给定的集合，x 是某⼀具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有⼀种且只有⼀种成⽴。

例如}{4,3,1,0=A ,可知A A ?∈6,0。

（2）互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说“对于⼀个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。

如⽅程0)4(2=-x 的解集记为}{4，⽽不能记为}{4,4。

（3）⽆序性：集合与其中元素的排列次序⽆关，如集合}{c b a ,,与集合}{a b c ,,是同⼀个集合。

例题3：已知集合A 中含有两个元素3-a 和12-a ，若A ∈-3，试求实数a 的值。

4、集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。

如“⽅程013=+x 的解组成的集合”，由“8,6,4,2组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集。

1.4充分条件与必要条件-2020-2021学年高一数学同步课堂(人教A版2019必修第一册)

第一章集合与函数概念1.4 充分条件与必要条件一、充分条件与必要条件充分条件与必要条件【特别提醒】对充分条件和必要条件的理解：(1)对“推出”的正确理解：对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝12.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的．(2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．(3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．（4）以下五种表述形式是等价的：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q。

二、充要条件充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为条件．(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．【特别提醒】（1）若p是q的充要条件，则p⇔q，即命题p和q是两个相互等价的命题。

（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．一、充分必要充分必要二、充要1．充分条件的判断充分条件的判断方法(1)判定p 是q 的充分条件要先分清什么是p ，什么是q ，即转化成p ⇒q 问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p 构成的集合为A ，q 构成的集合为B ，A ⊆B ，则p 是q 的充分条件．【例1】下列命题中，p 是q 的充分条件的是________．①p ：(x －2)(x －3)＝0，q ：x －2＝0；②p ：两个三角形面积相等，q ：两个三角形全等； ③p ：m <－2，q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．【答案】②【解析】①∵(x －2)(x －3)＝0，∴x ＝2或x ＝3，不能推出x －2＝0.∴p不是q的充分条件．②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p 不是q 的充分条件． ③∵m <－2，∴12＋4m <0，∴方程x 2－x －m ＝0无实根，∴p 是q 的充分条件．【跟踪训练】“a >2且b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的________条件．【答案】充分【解析】由a >2且b >2⇒a ＋b >4，ab >4，∴是充分条件． 2．必要条件的判定(1)判断p 是q 的什么条件，主要判断若p 成立时，能否推出q 成立，反过来，若q 成立时，能否推出p 成立；若p ⇒q 为真，则p 是q 的充分条件，若q ⇒p 为真，则p 是q 的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x ∈A ”，条件乙“x ∈B ”，若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件．在以下各题中，分析p 与q 的关系：(1)p ：x >2且y >3，q ：x ＋y >5；(2)p ：一个四边形的四个角都相等，q ：四边形是正方形．【解析】(1)由于p ⇒q ，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)由于q ⇒p ，故q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件．【跟踪训练】下列p 是q 的必要条件的是( )A ．p ：a ＝1，q ：|a |＝1B ．p ：－1<a <1，q ：a <1C ．p ：a b ，q ：a >b ＋1 【答案】D【解析】要满足p 是q 的必要条件，即q ⇒p ，只有q ：a >b ＋1⇒q ：a －b >1⇒p ：a >b ，故选D. 3．根据充分条件或必要条件求参数的范围充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．【解析】p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以32,3,0.a a a ≥-⎧⎪≤⎨⎪<⎩⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是－23≤a <0. 【跟踪训练】变式1. （变条件）将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a的取值范围．【解】p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为q ⇒p ，所以B ⊆A ，所以33,2,0.a a a >⎧⎪<-⎨⎪>⎩⇒a ∈∅.变式2. （变条件）将例题中的条件“q ：实数x 满足－2≤x ≤3”改为“q ：实数x 满足－3≤x ≤0”其他条件不变，求实数a 的取值范围．【解】p ：3a <x <a ，其中a <0，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－3≤x ≤0，即集合B ＝{x |－3≤x ≤0}．因为p 是q 的充分条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以33,0,0.a a a >⎧⎪≤⎨⎪<⎩⇒－1≤a <0.所以a 的取值范围是－1≤a <0. 4．充分必要条件的判断定义法判断充分条件、必要条件（1）确定谁是条件，谁是结论（2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件（3）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.指出下列各题中p 是q 的什么条件．(1)p ：x －3＝0，q ：(x －2)(x －3)＝0.(2)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等． (3)p ：a ＞b ，q ：ac ＞bc .【解析】(1)x －3＝0⇒(x －2)(x －3)＝0，但(x －2)(x －3)＝0x －3＝0，故p 是q 的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p 是q 的必要不充分条件．(3)a ＞b ac ＞bc ，且ac ＞bc a ＞b ，故p 是q 的既不充分也不必要条件．【跟踪训练】指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形． (2)p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.【解析】 (1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)因为(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2⇒(x －1)(y －2)＝0，而(x －1)(y －2)＝0(x －1)2＋(y －2)2＝0，所以p 是q 的充分不必要条件． 5．充要条件的证明充要条件的证明策略（1）要证明一个条件p 是否是q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p ，则q ”为真且“若q ，则p ”为真.（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p 与q 的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.【证明】先证必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，则a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.再证充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，可得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0，故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.因此，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.【跟踪训练】求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0. 证明：必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．所以Δ＝b 2－4ac ＞0，x 1x 2＝ca＜0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac ＜0. 充分性：由ac ＜0，可推得b 2－4ac ＞0，及x 1x 2＝ca＜0.(x 1，x 2为方程的两根)所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0. 6．充分条件与必要条件的应用充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．(3)关键点：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解析】p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有12,110,m m -≥-⎧⎨+<⎩或12,110,m m ->-⎧⎨+≤⎩解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．例 6例 5【跟踪训练】变式1. （变条件）若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．【解析】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A B.所以12,110,mm-≤-⎧⎨+>⎩或12,110,mm-<-⎧⎨+≥⎩解得m≥9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}．变式2. （变设问）本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解析】因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．若p是q的充要条件，则21101mm-=-⎧⎨=+⎩方程组无解．故不存在实数m，使得p是q的充要条件．1．若p是q的充分条件，则q是p的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件2．使x>1成立的一个必要条件是()A．x>0 B．x>3 C．x>2 D．x<23．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是()A．若1x＝1y，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y D．若x<y，则x2<y24.设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A.既是充分条件，又是必要条件B.充分条件但不是必要条件C.必要条件但不是充分条件D.既不是充分条件，也不是必要条件5．若“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是()A．0 B．2C．4 D．166．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”“必要”) 7．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”“必要”)8. 下列说法不正确的是________．(只填序号)①“x>5”是“x>4”的充分条件；②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件．9. 指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.10.“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件11．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13. 下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是()A．－2≤x≤2B．－2<x<0C．0<x≤2 D．1<x<314.“x＝1”是“x∈{x|x≤a}”的充分条件，则实数a的取值范围为()A.a＝12B.a<12C.a<1D.a≥115. 已知x，y为两个正整数，p：x＝2且y＝3，q：x＋y＝5，则p是q的________条件．16．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件．17．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.18．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；(3)p：a<b，q：ab<1.19.（多选）对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是()A．“ac2>bc2”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件20.已知集合A＝{x∈R|－1<x<3}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是()A．m≥2 B．m≤2C．m>2 D．－2<m<221. 若A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为________．22. 已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．23．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？24．若p：－2<a<0,0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，则p是q的什么条件？25．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则()A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件26.（多选）使“x∈1|32x x x⎧⎫>≤-⎨⎬⎩⎭或”成立的一个充分不必要条件是()A.x≥3B.x<0或x>2C.x∈{－1，3，5}D.x≤－12或x≥327.若p：x－3<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．28.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限的充要条件是________.29. 已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：11x y<的充要条件是xy>0.30．已知a ，b ，c ∈R ，a ≠0.判断“a －b ＋c ＝0”是“二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．31．（2018·上海高考真题）已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件32．（2018·天津高考真题（理））设R x ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件33．（2019·北京高考真题（文））设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件34．（2020·天津高考真题）设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件35．（2020·浙江省高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件1.【答案】B【解析】因为p 是q 的充分条件，所以p ⇒q ，所以q 是p 的必要条件． 2.【答案】A【解析】只有x >1⇒x >0，其他选项均不可由x >1推出，故选A. 3.【答案】A【解析】B 项中，x 2＝1⇒x ＝1或x ＝－1；C 项中，当x ＝y <0时，x ，y 无意义；D 项中，当x <y <0⇒x 2>y 2，所以B ，C ，D 中p 不是q 的充分条件． 4.【答案】C【解析】因为{x |－1<x <3}{x |x <3}，所以p 是q 成立的必要不充分条件. 5.【答案】B【解析】由“x ＝2”能得出“x 2＝4”，选项B 正确． 6.【答案】必要【解析】因为N ⊆M ，所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要条件。

实变函数论课后答案第一章2

实变函数论课后答案第一章2（p20-21）第一章第二节1. 证明平面上坐标为有理数的点构成一可数集合。

证明：将全体有理数排成一列 12,n r r r ，则平面上的有理点)({}1,;,jj Q Q r s r Q s Q A ∞=⨯=∈∈= ，其中)({},;1,2,j i jA r r i n == 为可列集，故作为可数个j A 的并1j j Q Q A ∞=⨯= 为可数集。

（第20页定理5）。

2. 以直线上的互不相交的开区间为元素的任意集合至多只有可数多个元素. 证明：设这里Λ为某指标集。

则我们可在任意I α∈A 这一开区间中选定一个有理数r α，与之对应，从而给出一个对应，A Q I r αα→→由于I α互不相交，当αβαβ∈Λ≠，，时，显然r r αβ≠，故上述对应是11-的. 故A 与有理数集的一个子集对等，所以A 的势最多与Q 的势相同，不会超过Q 的势，故A 要么为有限，要么为可数集.3. 所有系数为有理数的多项式组成一可数集合. 证明：我们称系数为有理的多项式为有理多项式任取非负整数n ，全体n 阶有理多项式的集合的势是0ℵ. 事实上，∀ n 阶有理数()()120,,,,ni n i i n i X x a x a Q a a a ==∈∑ 令与之对应，这一对应显然是11-的，即0,m mm Q Q Q Q ∀⨯⨯=ℵ的势是，这是因为由第一题：已知2Q Q Q =⨯是可数集，利用归纳法，设kkQ Q Q Q =⨯⨯是可数集，，待证1k k Q Q Q +=⨯是可数集，.将Q 中的点排成一列12,,m γγγ ，将kQ 中的点排成一列12,,m l l l ，则11k kj j QQ Q A ∞+==⨯= ，其中(){},,,1,2,3,j i j A l i j γ== 显然为可数集，故11k j j QA ∞+== 也是可数集，这表明0,n n ∀≥阶有理多项式全体是一可数集，而全体有理多项式{}0n n ∞= 全体阶有理多项式作为可数集的并也是可数集.4. 如果()f x 是(),-∞∞上的单调函数，则()f x 的不连续点最多有可数多个.证明：我们在数学分析中知道(),-∞∞上的单调函数的不连续点，只能是跳跃间断点，其任取(),-∞∞上的单调函数()f x ，设其可能的间断点为{};,A x αα=∈ΛΛ 为某指标集，在x A α∀∈，令()()lim ,lim ,x xx xf x y f x y αααα+-+-→→==则,y y αα+-=故A α∀∈，有一1R 上的开区间(),y y αα-+与之对应.不妨设x x αβ>，设0δ∃>使x x αβδδ->+，()(),,,x x x y x x ααββδδ∀∈-∀∈+，有()()f x f y ≥，故()()lim lim x xx xf x y y f x αααα-+-+→→=≥=，所以()(),,y y y y αααβ-+-+=∅ ..故()f x 的间断点的集合A 与1R 上的一族互不相交的开区间11-对应，而后者的势为0ℵ，故()f x 的间断点至多为可数多个.5.设A 是一无穷集合，证明必有A A *⊂，使~A A *，且A A *-可数.证明：若A 为可数集，则不妨设{};1,2,i A a i n == ，令{}2;1,2,i A a i n *==，则 ~A A *，且{}21,1,2,,i A A a i n *+-== .显然仍为可数集，故此时结论成立.若A 为无穷集，且不是可数集，则由P19定理1，A 中包含一个可数子集B ，令A A B *=-，则由于A 是无穷集，且不是可数集，A B -是无穷集. 由P21定理7和B 为可数集知：.A A B A **= 证毕6. 若A 为一可数集合，则A 的所有有限子集构成的集合也是可数集.证明：由第一，第三题的证明已知,mmm N Q Q Q Q ∀∈⨯⨯⨯=（Q 为有理数集）.由于A是可数集，故m 个由全体A 中的一个元素组成的集合{}{}1;A a a A N =∈ ，1A 是可数集.由全体A 中的两个元素组成的集合{}{}221212,;,A a a a aA N =∈ ，2A 是可数集若{}{}12,,,;,1,2,m miA a a a a A i n =∈= ，记A 中的m 个元素组成的子集全体，则mmm A N N N N ⨯⨯⨯=故是可数集.显然A 的所有有限子集构成的集合可表示为1m m A ∞= ，m A 为可数集，故1m m A ∞= 作为可数个可数集的并也是可数集.注意：A 的全体子集构成的集合不是可数集.7. 若A 是有非蜕化的（即左，右端点不相等的）开区间组成的不可数无穷集合，则有0δ>，使A 中无穷多个区间的长度大于δ.证明：设Λ为一指标集，{};,A I I ααα=∈Λ为非蜕化的开区间，记I α的长度为I α.若本题的结论不成立，则n N ∀∈，只有有限个12,,n m I I I ∈Λ ，使1,I nα>{}12,,n n m A I I I = 记，由于A 中的区间都是非蜕化的，,0I A I αα∀∈>， {}1;0n n A A I I αα∞===>由于n A 是有限集，故作为可数个可数集的并，A 也是可数集，这与A 是不可数无穷集矛盾. 故0,δ∃>，使A 中有无穷多个区间的长度大于0δ>. 事实上，A 中有不可数无穷多个区间的长度大于δ.8. 如果空间中的长方形(){}121212,,;,,I x y z ax a b y b c z c =<<<<<<，中的121212,,,,,a a b b c c ()121212,,a a b b c c <<<都是有理数，则称I 为有理长方形，证明全体有理长方形构成一可数集合.证明：由前面题3，6中已知mmQ Q Q Q =⨯⨯⨯是可数集（Q 为有理数组成的集合）设{};A I I =为有理长方形，任取(){}121212,,;,,I x y z ax a b y b c z c A =<<<<<<∈，记之为()1212126,,,,,121212,,,,,,a a b b c c I a a b b c c Q ∈. 与之对应，由于两有理长方形121212121212,,,,,,,,,,,a ab bc c a a b b c c I I 相等112211221122,,,,,a a a a b b b b c c c c ⇔======，故上述对应是单射，故A 与6Q 这一可数集的一个子集 Q11-对应.反过来，01111,,r I r Q ∈与Q 显然11-对应，故6Q 与01111,,r I r Q ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭11-对应所以6Q 与A 的一个子集对等. 由Berrstein 定理 6A Q 对等所以A 是可数集.。

集合的基本概念(2)-

• 13描述法：把集合中的元素的公共属性
描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
• 14描述法有两种表述形式：1、数式形式
如由不等式x-3＞2的所有解组成的集合，
可表示为 {x│x-3＞2}；由直线y=x+1
上所有的点的坐标组成的集合，可表示
为
{（x，y）│ y=x+1 }。2、
语言形式如由所有直角三角形组成的集
那么集合A叫做集合B的子集。
记（为BA包含BA（）或.如BN AZ）读作Q“，AR包含Z于，B”
R Q，Q N.
• (1) 当A不是B的子集时，可以记作
A B（或B A）.
• (2)任何一个集合是它本身的子集.
即 A A • (3)空集是任何集合A的子集.即φ A
2.真子集：如果A是B的子集，并且 B中至少有一个元素不属于A，那么
• 7单元素集：仅含有一个元素的集合。
• 8点集：集合中的元素全部由点组成。
• 9数集：集合中的元素全部由数组成。
• 10解集：由方程或方程组、不等式或不等式组的解作为元素构成的集合。
• 11列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
• 12列举法有三种形式：1、是有限集而元素个数较少，如由0、2、-3、5组成的集合可表示为{0，2，-3，5}；2、是有限集但元素个数较多，如由从50到100的所有整数组成的集合可表示为{50，51，52， 53，…，98，99，100}；3、是无限集且元素离散，如由所有的正偶数组成的集合可表示为{2，4，6，8，……}
集合的基本概念（2）
（王新敞）
• 1集合的定义：由一些确定的、互异的对象构成的一个整体就叫做集合。简称集。

专题01 集合的概念学案——2023届高考数学一轮复习重难点突破

2023年高考一轮复习重难点突破专题01 集合的概念【知识归纳】1.集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R【题型分类】与集合中元素有关问题的求解步骤步骤一：确定集合的元素是什么，集合是数集还是点集.步骤二：看这些元素满足什么限制条件.步骤三：根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性.题型一．集合的含义1．现规定：A是一些点构成的集合，若连接点集A内任意两点的线段，当该线段上所有点仍在点集A内时，则称该点集A是连通集，下列点集是连通集的是() A．函数2xy 图象上的点构成的集合B．旋转体表面及其内部点构成的集合C．扇形边界及其内部点构成的集合D．正四面体表面及其内部点构成的集合2．下列命题正确的有( ) （1）很小的实数可以构成集合；（2）集合2{|1}y y x =-与集合2{(,)|1}x y y x =-是同一个集合；（3）3611,,,||,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{(,)|0x y xy ，x ，}y R ∈是指第二和第四象限内的点集． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．定义集合A ，B 的一种运算“*”， *{|A B p p x y ==+，x A ∈，}y B ∈．若{1A =，2，3}，{1B =，2}，则集合*A B 中所有元素的和．4．记集合{0T =，1，2，3，4，5，6}，3124234|,1,2,3,47777i a a a a M a T i ⎧⎫=+++∈=⎨⎬⎩⎭，将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是．题型二．元素与集合关系的判断5．已知集合{0A =，1，2}，那么( ) A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．{1}A ∈D ．{0，1，2}A6．若集合{1}A =，则下列关系错误的是( ) A ．1A ∈B ．A A ⊆C ．A ∅⊆D ．A ∅∈7．若集合{|2020}A x N x =∈，22a =，则下列结论正确的是( )A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉8．已知集合{|14A x x =-<，)x Z ∈，则集合A 中元素的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．69．已知集合{|0}M x x =，{|x N y y e ==，}x R ∈，那么正确的一项是( ) A e NB ．0N ∈C ．N M ⊆D ．M N =10．若集合2{|1}A x N x =∈，1a =-，则下列结论正确的是( ) A ．a A ∉B ．a A ∈C ．{}a A ∈D ．{}a A ⊆11．已知i 是虚数单位，则集合{|n A x x i ==，}n Z ∈中元素的个数为．12．设集合{1A =-，0，1，2}，{1B =，2}，{|C x x ab ==，a A ∈，}b B ∈，则集合C 中元素的个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．813．已知集合{|(3)(7)0A x x x =--，}x Z ∈，则集合A 中元素个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．614．已知集合{|(3)(7)0}A x Z x x =∈--，则集合A 中元素个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．615．设集合{|31}A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2,5)B ．[2，5)C ．(2，5]D ．[2，5]16．已知实数集合{1，2，3，}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x = ． 17．已知集合{|1}kM x x=>-，且3M -∈，则k 的取值范围是． 18．若集合{|(3)(2)6}A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．619．已知集合2{|45}A x x x =-<，则( ) A ． 1.2A -∈ B ．0.93A ∉C ．2log 30A ∈D ．{1A N =，2，3，4}20．设A ，B 是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：0,,0,1,,1,x A x Bm n x A x B∉∉⎧⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩．①若A B ⊆．则对任意x R ∈，(1)m n -= ； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则A ，B 的关系为．题型三．集合的确定性、互异性、无序性21．已知集合2{|210A x ax x =++=，}a R ∈只有一个元素，则a 的值( ) A ．0B ．1C ．0或1D ．1-22．由实数a ，a -，||a ，所组成的集合里，所含元素个数最多有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个23．定义集合运算：*{|A B z z xy ==，x A ∈，}y B ∈．设{1A =，2}，{0B =，2}，则集合*A B 的所有元素之和为( ) A ．0B ．2C ．3D ．624．已知集合{1A =，2}，{|B x x a b ==+，a A ∈，}b A ∈，则集合B 中元素个数为() A ．1B ．2C ．3D ．425．已知集合{1A =，2}，{1B =，2，3}，{|P x x a b ==+，a A ∈，}b B ∈，则集合P 的元素个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．626．若集合{M a =，b ，}c 中的元素是ABC ∆的三边长，则ABC ∆一定不是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形27．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．1228．集合{1A =，}t 中实数t 的取值范围是．29．已知集合{1A =-，0}，集合{0B =，1，2}x +，且A B ⊆，则实数x 的值为． 30．已知数集{1M =-，0，2}x -中有3个元素，则实数x 不能取的值构成的集合为．题型四．集合的表示法31．若集合2{|10}A x ax ax =-+=∅，则实数a 的取值集合为( ) A ．{|04}a a <B ．8kC ．16k >D ．16k33．已知集合{|(1)}A x y lg x ==-，{|21}x B y y ==+，则( ) A ．{|0}AB x x =D ．A B =∅34．已知集合{|(1)}A x y lg x ==-，{|10}B x x =->，则( ) A ．{|0}AB x x =D ．A B =∅35．已知集合{|1}M x x =<，2{|0}N x x x =-<，则( ) A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．{|1}MN x x =<D ．{|0}MN x x =>36．已知集合2{|0}A x x x =->，2{|log 0}B x x =<，则( ) A ．{|0}AB x x =37．已知单元素集合2{|(2)10}A x x a x =-++=，则(a = ) A ．0B ．4-C ．4-或1D ．4-或038．已知集合2{|30A x x x =-<，*}x N ∈，则用列举法表示集合A = ．参考答案1．【解析】解：函数2x y =图象上连接任意两点的线段上的其它点不在函数2x y =图象上的，A ∴不正确．如果旋转体内部是空腔时，内表面上连接任意两点的线段上的其它点不在旋转体表面或其内部．，B ∴不正确如果扇形的圆心角大于180︒时，会出现连接某些点的线段上的其它点不在扇形边界或其内部，C ∴不正确∴利用排除法，应该选D故选：D ．2．【解析】解：（1）中很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；（2）中集合2{|1}y y x =-的元素为实数，而集合2{(,)|1}x y y x =-的元素是点；（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；（4）集合{(,)|0x y xy ，x ，}y R ∈中还包括实数轴上的点．故选：A ． 3．【解析】解：*{|A B p p x y ==+，x A ∈，}y B ∈．{1A =，2，3}，{1B =，2}， *{2A B ∴=，3，4，5}， 234514+++=．故答案为：14．4．【解析】解：解法一：3124234|,1,2,3,47777i a a a a M a T i ⎧⎫=+++∈=⎨⎬⎩⎭中的元素为 444444012371,,,,77777-，故从大到小排列第2009个数是3928240149=．解法二：根据题意，发现M 是关于类似7进制的转换问题，从大到小排序的第一个是 6666（7）[1-（7）1]- 所以第2009个数就是： 6666（7）[5566-（7）1]- 即1100（7）392(10)= 故本题的答案即为3928240149=；故答案为：849． 5．【解析】解：因为集合{0A =，1，2}，所以0A ∈，选项A 不正确，选项B 正确，选项C 是集合与集合之间的关系，错用元素与集合关系，选项D 两个集合相等，所以D 错误．故选：B ．6．【解析】解：A 、B 、C 显然正确，∅与集合的关系不能是∈，故选：D ．7．【解析】解：因为{|2020}A x N x =∈，所以A 中元素全是整数，因为22a =，所以a A ∉，故选：D ．8．【解析】解：14x -<，x z ∈，1x ∴=-，0，1，2，3∴集合{1A =-，0，1，2，3}共有5个元素．故选：C ．9．【解析】解：{|0}M x x =，{|0}N y y =>，∴,0,e N N N M ∉⊆，M N ≠．故选：C ．10．【解析】解：集合{|11}{0A x N x =∈-=，1}，1a =-，故A 、1A -∉，故本选项正确；B 、1A -∉，故本选项错误；C 、{1}A -⊂/，故本选项错误；D 、{1}A -⊂/，故本选项错误；故选：A ．11．【解析】解：当4n k =，*k N ∈时，1n i =；当41n k =+，*k N ∈时，n i i =；当42n k =+，*k N ∈时，1n i =-；当43n k =+，*k N ∈时，n i i =-；所以集合{1A =-，i -，1，}i ．故答案为：4．12．【解析】解：当1a =-，1b =时，1ab =-，当1a =-，2b =时，2ab =-，当0a =，1b =时，0ab =，当0a =，2b =时，0ab =，当1a =，1b =时，1ab =，当1a =，2b =时，2ab =，当2a =，1b =时，2ab =，当2a =，2b =时，4ab =，、故{2C =-，1-，0，1，2，4}，即C 中元素的个数为6个．故选：B ．13．【解析】解：已知集合{|(3)(7)0A x x x =--，}{3x Z ∈=，4，5，6，7}，则集合A 中元素个数为5个，故选：C ．14．【解析】解：已知集合{|(3)(7)0}{3A x Z x x =∈--=，4，5，6，7}，则集合A 中元素个数为5个，故选：C ．15．【解析】解：因为集合{|31}A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉， 311m ∴⨯-<且321m ⨯-；解得25m <；故选：C ．16．【解析】解：因为实数集合{1，2，3，}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，所以123x x +++=（无解）或者1233x +++=，解之得3x =-．故答案为3-． 17．【解析】解：因为10()0k k xx x k x x+>-⇒>⇒+>， 3M -∈，(3)(3)03k k ∴--+>⇒<， k ∴的取值范围是：(,3)-∞．故答案为：(,3)-∞．18．【解析】解：集合{|(3)(2)6}{|05}{1A x N x x x N x =∈--<=∈<<=，2，3，4}，则集合A 中的元素个数为4，故选：B ．19．【解析】解：2{|45}{|15}A x x x x x =-<=-<<， 220log 30log 325<<=， 2log 30A ∴∈故选：C ． 20．【解析】解：①A B ⊆．则x A ∉时，0m =，(1)0m n -=．x A ∈时，必有x B ∈，1m n ∴==，(1)0m n -=．综上可得：(1)0m n -=．②对任意x R ∈，1m n +=，则m ，n 的值一个为0，另一个为1，即x A ∈时，必有x B ∉，或x B ∈时，必有x A ∉，A ∴，B 的关系为RA B =．故答案为：0，RA B =．21．【解析】解：若集合2{|210A x ax x =++=，}a R ∈只有一个元素，则方程2210ax x ++=有且只有一个解当0a =时，方程可化为210x +=，满足条件；当0a ≠时，二次方程2210ax x ++=有且只有一个解则△440a =-=，解得1a = 故满足条件的a 的值为0或1 故选：C ．22．【解析】解：根据题意，分三种情况讨论， ①0a =，有||a a a =-=，组成的集合中有一个元素； ②0a >，有||a a =，组成的集合中有两个元素； ③0a <，有||a a -=，组成的集合中有两个元素；故在其组成的集合里，所含元素个数最多有2个；故选：C ．23．【解析】解：根据题意，设{1A =，2}，{0B =，2}，则集合*A B 中的元素可能为：0、2、0、4，又有集合元素的互异性，则*{0A B =，2，4}，其所有元素之和为6；故选：D ．24．【解析】解：集合{1A =，2}，{|B x x a b ==+，a A ∈，}b A ∈， {2B ∴=，3，4}，∴集合B 中元素个数为3．故选：C ．25．【解析】解：集合{1A =，2}，{1B =，2，3}，{|P x x a b ==+，a A ∈，}{2b B ∈=，3，4，5}，则集合P 的元素个数为：4．故选：B ．26．【解析】解：根据集合元素的互异性，在集合{M a =，b ，}c 中，必有a 、b 、c 互不相等，故ABC ∆一定不是等腰三角形；故选：D ．27．【解析】解：由题意，集合*12{|}x N Z x∈∈中的元素满足 x 是正整数，且12x是整数，由此列出下表x 1 2 3 4 6 12 12x1264321根据表格，可得符合条件的x 共有6个，即集合*{|}x N Z x∈∈中有6个元素故选：B ．28．【解析】解：集合{1A =，}t 由集合元素的互异性可得1t ≠ 故实数t 的取值范围是{|1}t t ≠ 故答案为：{|1}t t ≠29．【解析】解：由分析知21x +=-，3x ∴=-．故答案为3-．30．【解析】解：由集合中元素的互异性可得21x -≠-，20x -≠，解得1x ≠，且2x ≠，故实数x 不能取的值构成的集合为{1，2}．31．【解析】解：当0a =时，不等式等价于10<，此时不等式无解；当0a ≠时，要使原不等式无解，应满足 00a >⎧⎨<⎩，即2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<；综上，a 的取值范围是[0，4)．故选：B ．32．【解析】解：集合2{|1log }A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素， {2A ∴=，3，4}， 2log 4k ∴>，16k ∴>．故选：C ．33．【解析】解：集合{|(1)}{|1}A x y lg x x x ==-=<，{|21}{|1}x B y y y y ==+=>， AB ∴=∅．故选：D ．34．【解析】解：集合{|(1)}{|1}A x y lg x x x ==-=<，{|10}{|1}B x x x x =->=>， AB ∴=∅．故选：D ．35．【解析】解：集合{|1}M x x =<，2{|0}{|01}N x x x x x =-<=<<，N M ∴⊆．故选：B ．36．【解析】解：集合2{|0}{|0A x x x x x =-><或1}x >， 2{|log 0}{|01}B x x x x =<=<<， AB ∴=∅，{|0AB x x =≠且1}x ≠，故选：C ．37．【解析】解：单元素集合2{|(2)10}A x x a x =-++=，∴△2[(2)]4110a =-+-⨯⨯=，解得4a =-或0a =．故选：D ．38．【解析】解：由集合2{|30A x x x =-<，*}x N ∈可得，条件等价于集合{|03A x x =<<，*}{1x N ∈=，2}．故填：{1，2}．。

集合的概念(习题作业)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学

1.1集合的概念一、单选题1．集合{3213,Z}x x x -<-<∈用列举法表示为（）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{1,0,1,2}-C ．{0,1}D ．{1}【答案】C【分析】直接求出集合中的元素即可.【详解】{}{3213,Z}{12,Z}0,1x x x x x x -<-<∈=-<<∈=.故选：C.2．给出下列关系：①12ÎR R ；③3-∈N ；④3Q -∈．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】结合数的分类判断即可.【详解】1233-=，为自然数及有理数，③④正确.故选：C.3．若()(){}1,20,0A =-,，则集合A 中的元素个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据定义直接得到答案.【详解】()(){}1,20,0A =-,中的元素个数是2故选：B4．设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（）A ．0B ．1-C ．0或1-D ．0或1【答案】C【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论213-=-m 和33m -=-两种情况，求解m 并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，3M -∈ ，213m ∴-=-或33m -=-，当213-=-m 时，1m =-，此时{}3,4M =--；当33m -=-时，0m =，此时{}3,1M =--；所以1m =-或0.故选：C5．定义集合{}*,,A B z z xy x A y B ==∈∈∣，设集合{}1,0,1A =-，{}1,1,3B =-，则*A B 中元素的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】根据集合的新定义求得*A B ，从而确定正确答案.【详解】因为{}1,0,1A =-，{}1,1,3B =-，所以{}*3,1,0,1,3A B =--，故*A B 中元素的个数为5.故选：B.6．已知集合{A x x =≤，a =a 与集合A 的关系是（）A ．a A ∈B ．a A∉C ．a A=D ．{}a A∈【答案】A【分析】对a =210a <，从而得到a a A ∈.【详解】∵a =∴225510a ==+<=，∴a <，∴a A ∈.故选：A7．已知集合{}4,,2A x y =，{}22,,1B x y =--，若A B =，则实数x 的取值集合为（）A ．{1,0,2}-B ．{2,2}-C ．{}1,0,2-D ．{2,1,2}-【答案】B【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.【详解】因为A B =，所以2A -∈.当2x =-时，21y y =-，得13y =；当22y =-时，则2x =.故实数x 的取值集合为{}2,2-.故选：B8．已知{}{}21,2,1m m -=--，则实数m 等于（）A ．2B ．－1C ．2或－1D ．4【答案】C【分析】根据两集合相等列出方程，解方程，检验后得到答案.【详解】由已知得，22m m -=，解得2m =或－1，经检验符合题意．故选：C.9．已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A ．{0,1,7}B ．{1,7}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2,3,7}【答案】B【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.【详解】因为{3,2,0,1,2,3,7}A =--，{,}B xx A x A =∈-∉∣，所以{1,7}B =.故选：B.10．集合{},,A a b c =中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形【答案】A【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.【详解】根据集合中元素的互异性得,,a b b c a c ≠≠≠，故三角形一定不是等腰三角形.故选：A.11．已知集合{}0,1,2,3,4,5,{(,)|,,}A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈，则集合B 中所含元素个数为（）A ．20B ．21C ．22D ．23【答案】B【分析】根据x y -的值分类讨论，即可求出集合B 中所含元素个数．【详解】当0x y -=时，有(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)，6个元素；当1x y -=时，有(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)，5个元素；当2x y -=时，有(2,0),(3,1),(4,2),(5,3)，4个元素；当3x y -=时，有(3,0),(4,1),(5,2)，3个元素；当4x y -=时，有(4,0),(5,1)，2个元素；当5x y -=时，有(5,0)，1个元素，综上，一共有21个元素．故选：B ．12．若集合()220222,10,,2n mn n A m n m n *⎧⎫++⎪⎪==∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z N ，则集合A 的元素个数为（）A ．4044B ．4046C ．22021D ．22022【答案】B【分析】由已知可得()2023202221=25n n m ++⨯，对n 是偶数和奇数进行分类讨论，对n 的A 的元素的个数.【详解】由题意，()2023202221=25n n m ++⨯，若n 为偶数，21n m ++为奇数，若20232n =，则2022202320225212152n m m +-=⇒-=+∈Z ，以此类推，202325n =⨯，2023225n =⨯，L ，2023202225n =⨯，共2023个n ，每个n 对应一个m ∈Z ；同理，若n 为奇数，21n m ++为偶数，此时05n =、15、L 、20225，共2023个n ，每个n 对应一个m ∈Z .于是，共有4046个n ，每一个n 对应一个m 满足题意.故选：B.二、多选题13．下列各组对象能构成集合的是（）A ．全体较高的学生B ．所有素数C ．2021年高考数学难题D ．所有正方形【答案】BD【分析】AC 不满足集合的确定性，BD 满足集合的确定性.【详解】A 选项中“比较高”标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，A 错误；B 选项，所有素数满足确定性，能构成集合，B 正确；C 选项，“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，C 错误；D 选项，所有正方形满足确定性，能构成集合，D 正确故选：BD14．以下命题中正确的是（）A ．所有正数组成的集合可表示为{}0x x >B ．大于2020小于2023的整数组成的集合为{}20202023x x <<C ．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}D ．N 中的元素比N +中的元素只多一个元素0，它们都是无限集【答案】AD【分析】由集合的概念和集合的表示方法，即可得到答案.【详解】正数均大于0，故所有正数的集合应表示为{|0}x x >，故A 正确；大于2020小于2023的整数组成的集合应表示为{Z |20202023}x x ∈<<或{2021,2022}，故B 不正确；全部三角形组成的集合应表示为{三角形}或{|x x 是三角形}，故C 不正确；N 为自然数集，N +为正整数集，故N 中的元素比N +中的元素只多一个元素0，它们都是无限集，故D 正确.故选：AD.15．已知集合M 中的元素x满足x a =，其中a ，Z b ∈，则下列选项中属于集合M 的是（）A ．0BC ．211-D ．1-【答案】ACD【分析】根据集合M 中的元素x 的性质即可判断.【详解】当0a b ==时，0x =，所以0M ∈，A 正确；当1,1a b =-=-时，1x M =--，C 正确；当1,3a b =-=时，1x M =-∈，D 正确；因为Z a ∈，Z b ∈，故x a =≠M ，B 错误.故选：ACD16．在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类集”，其中{0,1,2,3,4,5}k ∈，记为[]k ，即[]{|6,Z}k x x n k n ==+∈，以下判断不正确的是（）A ．2022[2]∈B ．13[1]-∈C ．若[0]a b +∈，则整数,a b 一定不属于同一类集D ．若[0]a b -∈，则整数,a b 一定属于同一类集【答案】ABC【分析】由“类集”的定义对选项逐一判断即可得出答案．【详解】对于A ，202263370=⨯+ ，2022[0]∴∈，故A 不正确；对于B ，()13635-=⨯-+ ，13[5]∴-∈，故B 不正确；对于C ，若[0]a b +∈，则整数,a b 可能属于同一类集，比如3[3]a =∈，9[3]b =∈，则12[0]a b +=∈，故C 不正确；对于D ，若[]0a b -∈，则a b -被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故整数,a b 属于同一类集，故D 正确，故选：ABC ．17．下列说法中，正确的是（）A的近似值的全体构成集合B ．自然数集N 中最小的元素是0C ．在数集Z 中，若a ∈Z ，则a -∈Z D ．一个集合中可以有两个相同的元素【答案】BC【分析】根据集合的定义以及集合元素的性质逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A A 错误；对于B ，由自然数的定义可得B 正确；对于C ，若a ∈Z ，则a -∈Z ，故C 正确；对于D ，由集合的互异性可知，一个集合中不可以有两个相同的元素，故D 错误.故选:BC18．已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的取值不可以为（）A ．2B ．3C ．0D ．2-【答案】ACD【分析】根据2A ∈可得出2m =或2322m m -+=，解出m 的值，然后对集合A 中的元素是否满足互异性进行检验，综合可得结果.【详解】因为集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则2m =或2322m m -+=，解得{}0,2,3m ∈.当0m =时，集合A 中的元素不满足互异性；当2m =时，2320m m -+=，集合A 中的元素不满足互异性；当3m =时，{}0,3,2A =，合乎题意.综上所述，3m =.故选：ACD.19．设集合{}23,2,4A x x x =-+-，且5A ∈，则x 的值可以为（）A ．3B ．1-C ．5D ．3-【答案】BC【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.【详解】∵5A ∈，则有：若25x +=，则3x =，此时249123x x -=-=-，不符合题意，故舍去；若245x x -=，则=1x -或5x =，当=1x -时，{}3,1,5A =-，符合题意；当5x =时，{}3,7,5A =-，符合题意；综上所述：=1x -或5x =.故选：BC.20．下列说法错误的是（）A ．在直角坐标平面内，第一､三象限的点的集合为()}{,0x y xy >B |2|0y +=的解集为}{2,2-C ．集合()}{,1x y y x =-与}{1x y x =-是相等的D ．若}{Z 11A x x =∈-≤≤，则0.5A -∈【答案】BCD【分析】根据集合的定义依次判断即可求解.【详解】对于A ，因为0xy >，所以00x y >⎧⎨>⎩或00x y <⎧⎨<⎩，所以集合为()}{,0x y xy >表示直角坐标平面内第一､三象限的点的集合，故A 正确；对于B |2|0y +=的解集为()}{2,2-，故B 错误；对于C ，集合()}{,1x y y x =-表示直线1y x =-上的点，集合}{1x y x =-表示函数1y x =-的定义域，所以集合()}{,1x y y x =-与}{1x y x =-不相等，故C 错误；对于D ，}{}{Z 111,0,1A x x =∈-≤≤=-，所以0.5A -∉，故D 错误.故选：BCD.21．若对任意x A ∈，1A x∈，则称A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（）A ．{}1,1-B ．1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}21x x >D ．{}0x x >【答案】ABD【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可.【详解】根据“影子关系”集合的定义，可知{}1,1-，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}0x x >为“影子关系”集合，由{}21x x >，得{1x x <-或}1x >，当2x =时，{}2112x x ∉>，故不是“影子关系”集合．故选：ABD 22．关于x 的方程241x k x x x x-=--的解集中只含有一个元素，则k 的可能取值是（）A ．4-B ．0C ．1D ．5【答案】ABD【分析】由方程有意义可得0x ≠且1x ≠，并将方程化为240x x k +-=；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得k 所有可能的值.【详解】由已知方程得：2100x x x -≠⎧⎨-≠⎩，解得：0x ≠且1x ≠；由241x k x x x x-=--得：240x x k +-=；若241x k x x x x-=--的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：①方程240x x k +-=有且仅有一个不为0和1的解，1640k ∴∆=+=，解得：4k =-，此时240x x k +-=的解为2x =-，满足题意；②方程240x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为0，另一根不为1；由0400k +⨯-=得：=0k ，240x x ∴+=，此时方程另一根为4x =-，满足题意；③方程240x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为0；由1410k +⨯-=得：5k =，2450x x ∴+-=，此时方程另一根为5x =-，满足题意；综上所述：4k =-或0或5.故选：ABD三、填空题23．已知集合{}22,33A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为____________.【答案】1-或2-【分析】根据元素与集合的关系求解.【详解】因为1A ∈，{}22,33A a a =++，所以2331a a ++=，解得1a =-或2a =-，故答案为：1-或2-24．用列举法表示集合{}4|M x x =-∈∈=N N ___________．【答案】{}0,1,2,3,4【分析】根据题意可得x N ∈且04x ≤≤，再分别令0,1,2,3,4x =进行判断即可．【详解】由题意可得x N ∈且04x ≤≤，当0x =时，44x -=当1x =时，43x -=，符合题意；当2x =时，42x -=，符合题意；当3x =时，41x -=，符合题意；当4x =时，40x -=，符合题意，综上，{}{}4|0,1,2,3,4M x x =-∈∈=N N ．故答案为：{}0,1,2,3,4．25．已知{}(1,2)(,)230x y x ay ∈+-=，则a 的值为______．【答案】12/0.5【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a 的值．【详解】因为{}(1,2)(,)230x y x ay ∈+-=，所以2230a +-=，解得：12a =，故答案为：12．26．设集合6ZN 2A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，则用列举法表示集合A 为______.【答案】{1,0,1,4}-【分析】根据自然数集N 与整数集Z 的概念分析集合A 中的元素即可.【详解】要使6N 2x ∈+，则2x +可取1,2,3,6，又Z x ∈，则x 可取1,0,1,4-，故答案为：{}1,0,1,4-.四、解答题27．含有三个实数的集合2,,b A a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若0A ∈且1A ∈，求20222022a b +的值.【答案】1【分析】利用集合中元素的互异性可求解.【详解】由0A ∈,可知0a ≠，故20a ≠，所以0,ba=解得=0b ，又1A ∈可得21a =或=1a ，当=1a 时21a =，与集合中元素的互异性矛盾，所以21a =且1a ≠，所以1a =-，故1a =-，=0b ，所以202220221a b =+.28．已知集合()2{|10}A x x p x q =+-+，()()2{|111}B x x p x q x =-+-+=+，当{}2A =时，求集合B ．【答案】{3B =【分析】根据集合和元素的关系解出,p q 的值，代入()()2111x p x q x -+-+=+，解一元二次方程即可.【详解】因为{}2A =，所以()()222120140p q p q ⎧+-⨯+=⎪⎨--=⎪⎩，解得34p q =-⎧⎨=⎩，代入()()2111x p x q x -+-+=+得()()213141x x x ---+=+，整理得2670x x -+=，解得3x =±所以{3B =.29．已知集合2{|320,R,R}A x ax x x a =-+=∈∈.(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围【答案】(1)9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)a 的值为0或98，当0a =时23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当98a =时43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(3)9{0},8∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭【分析】（1）A 是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；（2）A 中只有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且方程有两个相同的根；（3）A 中至多有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且至多一个实根.【详解】（1）A 是空集，0a ∴≠且Δ0<，980a ∴-<，解得98a >，a ∴的取值范围为：98+∞（，）；（2）当0a =时，集合2{|320}3A x x ⎧⎫=-+==⎨⎩⎭，当0a ≠时，Δ0=，980a ∴-=，解得98a =，此时集合43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，综上所求，a 的值为0或98，当0a =时，集合23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当98a =时，集合43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）由12（），（）可知，当A 中至多有一个元素时，98a ≥或0a =，a ∴的取值范围为：{}90[8+∞ ）.30．已知集合(){}2R |1210A x a x x =∈--+=，a 为实数.(1)若集合A 是空集，求实数a 的取值范围；(2)若集合A 是单元素集，求实数a 的值；(3)若集合A 中元素个数为偶数，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}2a a >(2)1a =或2a =.(3){|2a a ≠且1}a ≠【分析】（1）若集合A 是空集，要满足二次方程()21210a x x --+=无解；（2）若集合A 是单元素集，则方程()21210a x x --+=为一次方程或二次方程Δ0=；（3）若集合A 中元素个数为偶数，则A 中有0个或2个元素，二次方程()21210a x x --+=无解或两不相同的解.【详解】（1）若集合A 是空集，则()()210Δ2410a a -≠⎧⎪⎨=---<⎪⎩，解得2a >.故实数a 的取值范围为{}2a a >.（2）若集合A 是单元素集，则①当10a -=时，即1a =时，1{R |210}{}2A x x =∈-+==，满足题意；②当10a -≠，即1a ≠时，()()2Δ2410a =---=，解得2a =，此时{}{}2|2101A x x x =∈-+==R .综上所述，1a =或2a =.（3）若集合A 中元素个数为偶数，则A 中有0个或2个元素.当A 中有0个元素时，由(1)知2a >；当A 中有2个元素时，210,Δ(2)4(1)0a a -≠⎧⎨=--->⎩解得2a <且1a ≠.综上所述，实数a 的取值范围为{|2a a ≠且1}a ≠.。

高一数学必修1第一章知识点总结

集合函数不过关，曾头马上帮你忙！高一数学必修 1 第一章知识点总结一、集合( 一 ) 集合有关概念1、集合的含义：练习1：下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2、元素与集合的关系(1)如果 a 是集合 A 的元素，则 a 属于 A，记作 a____A(2)如果 a 不是集合 A 的元素，则 a 不属于 A，记作 a_____A 3、常用数集自然数集 ______，正整数集 ______ ，整数集 ______，有理数集 ______，实数集 ______。

练习 2：用适当的符号填空（1） 5 ______N,（2）1___ Q,____ Q 2（3） 3 ______ x | x 2 , 1,2____x , y | y x 1（4）25 _______ x | x2 3 ，4、集合的中元素的三个特性(1) 元素的 ______(2)元素的 ______(3)元素的 ______练习 3：若集合M a,b, c中的元素是△ABC的三边长，则△ABC 一定不是（）A．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D．等腰三角形练习 4：下面有四个命题：1N N（1）集合N中最小的数是；（ 2）若a不属于，则 a 属于；（3）若a N ,b N , 则a b 的最小值为 2 ；（4）x212x 的解可表示为1,1 ；其中正确命题的个数为（）A．0个B． 1个C． 2 个D． 3个5、集合常用的表示方法：1） _______ ：{a,b,c ⋯⋯}2） ________ ：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x>2} ,{x| x-3>2}3） __________ ：例： { 不是直角三角形的三角形} ； 4） Venn 图练习 5：集合 M={0，2，3，7} ，P={x|x=ab ，a、b∈ M，a≠ b} ，用列举法表示，则 P=___________.练习 6：集合{ x | f (x)0}{x| f(x)0}{x | y f(x)}{y| y f(x)}（{x, y）| y f ( x)}含义练习 7：已知集合 Ax8 N ，试用列举法表示集合 A = ___ _N |6 xx y 2 ）练习 8：方程组y的解集是（x 4（A ）x 3或 1（ B ） (3, 1)（C ） 3, 1（ D ） (3, 1)( 二 ) 集合间的基本关系1. “包含”关系：子集（ AB ）：注：有两种可能：B （A ）① 任何一个集合是它本身的子集，即： ________2． “相等”关系： ________ ，如图所示：B （A ）3． “真包含”关系： ________，如图所示：练习 10：能满足关系 { a ， b } M { a ， b ， c ，d ， e } 的集合 M 的个数是A ．8 个B ．6 个C ．4 个D ．3 个4. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 Φ规定 : 空集是任何集合的 _______，空集是任何非空集合的_______。

集合的定义(一)

如<1>{30旳质因数}可表达为: 2, 3, 5
<2> A
表达任意一种集合
<3>用图示法表达集合A={6旳正约数}和
B={8旳正约数}之间旳关系.
A
B
3,6 1,2 4,8
三种表达法对比
列举法---详细
描述法---简洁,抽象
图示法---形象直观,尤其是表达集合间旳关系时体现了数形结合思想,比较直观.
康托尔简介
发疯了旳数学家康托尔（1845－1918）是德国数学家，集合论旳创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1923年 1月6日病逝于哈雷。康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年(21岁）曾去格丁根学习一学期。 1867年（22岁）以数论方面旳论文获博士学位。1869年（24岁）在哈雷大学经过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年(27岁）任副教授，1879年（34岁）任教授。
若集合A={(1，2)}，集合B={(2，1)}, 那么A、B是否为同一集合?
例题2：用列举法表达下列集合
（1）1～20以内旳全部质数；
43 2,3,5,7,11,13,17,19
（2）方程 x2 3x 2 0 旳全部实数根
1,2
有限集
（3）全部旳自然数 (3)元素个数集无合限旳但分有类：规律无时限，集
(3)所有描述的内容都要写在集合符号内．例如，{x∈Z|x＝2k}， k∈Z，这种表述方式不符合要求，需将 k∈Z 也写进大括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素所属范围为实数集时可以省略．
文字描述法---用文字把所具有旳属性描述出来

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