平面与平面立体相交
平面与平面立体面相交
§4-2 平面与平面立体表面相交平面与立体表面的交线，称为截交线；当平面切割立体时，由截交线围成的平面图形，称为截面。
一、平面立体的截交线和断面如图4-16a所示，平面立体的截交线是截平面上的一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点，它的边是截平面与平面立体表面的交线，图中截平面P与三棱锥的截交线是一个三角形ⅠⅡⅢ。
如图4-16b中的黑色图形所示，已知三棱锥SABC和正垂的截平面P，求作截交线的三面投影。
作图过程如图4-16b中的红色图形所示：（1）在棱线SA、SB、SC的正面投影s＇a＇、s＇b＇、s＇c＇与截平面P的有积聚性的迹线P v的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1＇、2＇、3＇，与P v相重合的直线1＇2＇3＇，即为截交线△ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2）由1＇、2＇、3＇引投影连线，分别与sa、sb、sc和s″a″、s″b″、s″c″交出1、2、3和1″、2″、3″。
连接这些点的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面投影△1″2″3″。
由于三个棱面的水平投影和棱面SAB、SCA的侧面投影都可见，在其上的截交线的同面投影12、23、31和1″2″、3″1″也都可见，画粗实线；棱面SBC的侧面投影不可见，在其上的截交线的侧面投影2″3″也不可见，画细虚线。
如图4-17a中的黑色图形所示，已知五棱柱的正面投影和水平投影，并用正垂面P切割掉左上方的一块，被切割掉的部分用细双点划线表示，求作截交线以及五棱柱被切割后的三面投影。
因为截交线的各边是正垂面P与五棱柱的棱面和顶面的交线，它们的正面投影都重合在P v上，因为截交线的正面投影已知，五棱柱被切割后的正面投影也已知，只要作出截交线的水平投影，就可以作出五棱柱被切割后的水平投影。
根据五棱柱的正面投影和水平投影，可以作出它的侧面投影；同理，由已作出的截交线的正面投影和水平投影，也可以作出截交线的侧面投影，从而作出五棱柱被切割后的侧面投影。
空间几何体的相交与平行
空间几何体的相交与平行在几何学中，空间几何体的相交与平行是一个重要的概念，它关系着几何体之间的位置关系和相互作用。
本文将探讨空间几何体之间的相交与平行关系，并对其进行详细阐述。
一、平面与立体的相交平面与立体之间的相交是几何学中最基础的情况之一。
当一个平面与一个立体相交时，可能会出现以下几种情况：1. 平面与立体相交于一条线段：当一个平面与一个立体只有一个交点时，交点所在的线段称为平面与立体的交线段。
2. 平面与立体相交于一条线：当一个平面与一个立体有多个交点，并这些交点都在同一条直线上时，这条直线即为平面与立体的交线。
3. 平面与立体相交于点集：当一个平面与一个立体有多个交点，并且这些交点不在一条直线上时，这些交点组成的集合即为平面与立体的交点集。
二、平面与平面的相交平面与平面之间的相交有多种情况，下面列举了其中几种常见的情况：1. 平面与平面相交于一条直线：当两个平面相交于一条直线时，这条直线即为平面与平面的交线。
2. 平面与平面相交于一点：当两个平面相交于一个点时，这个点即为平面与平面的交点。
3. 平面与平面相交于一条线段：当两个平面相交于一条线段时，这条线段即为平面与平面的交线段。
三、立体与立体的相交立体与立体之间的相交情况相对复杂，下面列举了几种常见的情况：1. 立体与立体相交于一条线：当两个立体相交于一条线时，这条线即为立体与立体的交线。
2. 立体与立体相交于点集：当两个立体相交于多个点，并且这些点不在一条直线上时，这些点组成的集合即为立体与立体的交点集。
3. 立体与立体相互包含：当一个立体完全包含另一个立体时，这两个立体相互包含。
四、平行关系除了相交关系，空间几何体还存在着平行关系。
平行是指在同一平面或不同平面上的两条线或两个面之间的位置关系。
1. 平面与平面的平行：当两个平面之间的交线与它们本身都平行时，这两个平面就是平行的。
2. 直线与直线的平行：当两条直线在同一平面内，且它们的方向完全相同或者不存在交点时，这两条直线就是平行的。
平面与平面立体相交
何培英
平面与平面立体相交
概述 平面立体的截交线 作图举例
平面与平面立体相交
概述
当平面截切立体时，由截交线围成的平面图形——截断面 平面与立体表面相交产生的交线——截交线
截断面
截断面
截平面
截平面
截交线
截交线
平面与平面立体相交
平面立体的截交线
1.截交线的特点
平面多边形
平面与平面立体相交产生的截交 线是一个封闭的平面多边形。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。
由图可以看出，这是一 个正垂的三棱柱与一个铅垂 的六棱柱相交，三棱柱由前 穿入六棱柱，不再穿出。
两立体相交可以看成是 六棱柱被三个平面截切所得。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。求水平面与六棱柱 面的交点
作图：
求水平面截切后的
1/
截交线
1//
求正垂面截切后的
2/
2//
截交线
（Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
2 1
平面与平面立体相交
作图举例 例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
作图：
求水平面截切后的 截交线
求正垂面截切后的 截交线 （Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
1/
1//
2/
3/ (4/) 4//
2// 3//
Y4 Y3
4
2 1
多边形的顶点是截平面与立体棱 线或边线的交点。
截平面与立 体棱线交点 截平面与立
多边形的边是截平面与立体表面的交线。 体表面交线
平面立体的截交线
2.求截交线的方法
平面与平面立体相交
棱线法：求各棱线与截平面的交点。
机械制图课件-6平面与平面立体表面相交
平面与平面立体表面的交线称为截交线;当平面切割立体 时,由截交线围成的平面图形称为断面。
断面
一、平面立体的截交线和断面
平面立体的截交线是一个多边形,它的顶点是平面立体的
棱线或底边与截平面的交点,它的边是截平面与平面立体表
面的交线。
s′
Pv
s″
3′ 2′
3″ 2″
1′
1″
作图过程
a′ b′
c′ c″ a″
b″
c
3 a
1s
2
b
（1）、在棱线SA、SB、SC的正面投影s′a′、 s′b′、 s′c′与截平 面P的有积聚性的迹线PV的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 正面投影1′、 2′、 3′，与PV相重合的直线1′ 2′3′，即为截交线 △ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2） 由1′、 2′、 3′引投影连线，分别与sa、 sb、 sc和 s″a″、 s″b″、 s″c″交出1、2、3和1″、2″、 3″。连接这些点 的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面 投影△ 1″2″ 3″。
例3 已知一个缺口三棱锥的正面投影，补全它的水平投影和 侧面投影。
S
A
B
分析：由正面投影可见三棱锥上的缺口系水平面△ⅠⅡⅢ和正垂 面△ⅡⅢ Ⅳ组成，其中点Ⅰ、Ⅳ为棱线SA上的点，这两点的投 影必在棱线的同面投影上。点Ⅱ、Ⅲ分别为处于一般位置的棱面 △SAB和△SAC内的点，因此作辅助线求出它们的投影。
第二步
第三步 第四步
第五步
例２ 试完成五棱柱被两平面Ｐ、Ｑ截切后的正面投 影
完成后的投影图
在形状较为负责的机件上，有时会见到由平面和 平面立体相交而形成的具有缺口的平面立体或穿孔的 平面立体，只要逐个作出各个截平面与平面立体的截 交线，并画出截平面之间的交线，就可作出这些平面 立体的投影图。
§4.2 平面与立体相交求截交线
1
s 2
3
(3)连接各点同面投影即等截交 线的三个投影
(4)补全棱线投影
求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
分析：截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 为直线。截平面与四条 棱线相交，从正面可直 接找出交点。 作出各对应点的投影， 4• 1 2
•
1'
(4') 2'
3'
4"
3"
2"
1"
依次连接各点。 3 补全棱锥体的外形投影。
3 1
2
a
3
2
[例题5]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
主要内容
4.2.1 圆柱截交线 4.2.2 圆锥截交线
4.2.3 圆球截交线
一.面与圆球相交所得截交线
圆
二.求圆球截交线上点
平行圆画法:在圆球表面上取若干个平行于投
影面的平行圆,求这些平行圆与截平面的交点;
三.圆球截交线
[例题1]求圆球截交线
ο
截平面与圆锥轴线
倾斜，倾角θ>α 截交线为椭圆。
Pv
Pv
Pv
截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角θ=α 截交线为抛物线。
截平面与圆锥轴线 平行或倾角θ<α， 截交线为双曲线。
截平面过锥顶截 交线为三角形。
特殊点 一般点 b'
a'
a''
c'
b''
c''
整理加深
S
由点连线
P
b
c
a
Ⅰ
解题步骤 1 分析 截交线的水 平投影和侧面投影已 知，正面投影为双曲 线并反映实形； 2 求出截交线上的特 殊点A、C； 3 求出一般点B ； 4 光滑且顺次地连接 各点，作出截交线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
5平面与立体相交
作业
上 节
P 轴线 = 交线为抛物线
P
轴线 0 < 交线为双曲线
进入 ACAD
平面与回 转体相交 3.1
平面与圆 柱相交
单面与圆锥相交 是什么点？ 椭圆短轴的投影
P
3.2
平面与圆 锥相交
P
3.3
平面与 球相交
3.4
平面与组合 回转体相交
截交线分析
截交线投影分析 截交线为椭圆
正面投影积聚成直线 检查 水平、侧面投影均为椭圆
3.3
平面与 球相交
3.4
平面与组合 回转体相交
作业
上 节
平面与回 转体相交 3.1
平面与圆 柱相交
3.3 平面与球相交
注意
3.2
平面与圆 锥相交
3.3
平面与 球相交
3.4
平面与组合 回转体相交
交线为圆
作业
上 节
球面上 无直线
平面与回 转体相交 3.1
平面与圆 柱相交
多截面与球相交
3.2
平面与圆 锥相交
作业
上 节
交线可见性 轮廓线投影 椭圆画法 特殊点 中间点 光滑连接曲线
平面与回 转体相交 3.1
平面与圆 柱相交
多面与圆锥相交
3.2
平面与圆 锥相交
中点
3.3
平面与 球相交
3.4
平面与组合 回转体相交
作业
上 节
进入 ACAD
平面与回 转体相交 3.1
平面与圆 柱相交
观察与思考
3.2
平面与圆 锥相交
平面与圆 柱相交
3.1 平面与圆柱相交
一组平面与圆柱相交
3.2
平面与圆 锥相交
6 平面与立体相交
连线原则：
1、一个平面完全截断立体时，属于立体同一棱 面上的点才能相连； 2、当几个平面截切立体时，属于立体同一棱面， 又属于同一截平面的两点，方能相连，但截平 面与截平面间的交线除外。
重点、难 点： 掌握平面立体切割体的投
影作图方法。
作业： P26 6-1 P27 6-2
第二节 平面与曲面立体 相交
例6-7 求圆锥切割体的投 影。 投影规律：长对正、高平齐、宽相等
3'(4') 5'(6') ° 7'(8') ° 1' ° Pv
° ° 2'
极限点、转向点 特征点
取一般点 依次光滑连接
2″ 3″ 4″ ° ° 6″ 5″ ° ° 8″ 7″ ° °
° °
1″
°
64 8°
°
1
水平、侧面投影是椭圆 将切割体投影补齐
2 ° ° ° °°
3d动画
75 3
例6-8 求圆锥切割体的水平投影和侧面 投影。 投影规律：长对正、高平齐、宽相等
作图: 形体分析 Qv—正垂面 Pv—水平面 正面投影积聚成两条直线
Qv
° 1' °
1″
°
取特殊点：
极限点、转向点、 特征点、 结合点 取一般点 切口的底面是圆 切口的侧面是抛物线 将切割体投影补齐
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
二、平面与平面立体相交
1、平面与棱柱相交
Pv—正垂面 正面投影是一 条直线 有积聚性 （定位） 水平投影与 棱面积聚 侧面投影取点连线 将切割体投影补齐
b(e)2
°
作图：
a′
b′
c′
a″(c″)
b″
3′ °
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整理棱线投影
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二、平面与回转体相交
平面截切回转体，在回转体表面留有的交线， 称为回转体的截交线。
㈠ 回转体截交线性质
1、截交线是截平面与回转 体表面的公有线。截交线上 的点为截平面与回转体表面 的公有点。
2、截交线的形状通常为平 面曲线，特殊情况下可含有 直线段组成。截交线的形状 取决于回转体表面性质和截 平面与回转体的相对位置。
一、截交线概述
平面截切立体，在立体表面留有的交线成为截交线。 依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：
平面体截交线和曲面体截交线
•工程制图平面与立体相交
二、平面与平面立体相交
平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交 线，称为平面立体的截交线。
㈠ 平面体截交线的性质：
⒈平面体截交线是截平面与平面 立体表面的公有线。
2、投影作图
运用锥面取点方法作 出抛物线顶点和底端点、 转向轮廓线上点和一般 点，用曲线光滑连接各 点。
3、整理轮廓线
•工程制图平面与立体相交
【例题3】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析
截交线为圆弧和两根 直线段，两截平面间有 一条交线。截交线的正 面投影落在截平面的正 面积聚性投影上，求作 截交线的水平投影和侧 面投影。
3、整理轮廓线
浏览三维动画•工程制图平面与立体相交
3、圆球的截交线 平面截切圆球，其截交线的形状为圆。
当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映实形； 当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为直线段； 当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为椭圆。
•工程制图平面与立体相交
平面与立体相交
6.2.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平 面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交 线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线 问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’ s
3
2 1
a’ b’
3 1
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
RV
RW
h b g
df a
c e
例5
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3 PV4
2' 5'
3'
4'
1'
1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立 体表面交线的投影为直线或圆。
例6
3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
8"
Ⅵ
4
6 1
Ⅰ
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
平面与立体相交PPT课件
垂直相交
总结词
当平面与立体垂直且相交时，称为垂直相交。
详细描述
垂直相交是指平面与立体在空间中垂直且有一个公共点。这个公共点是平面与立 体的交点，也是平面与立体边界线的起点和终点。垂直相交通常发生在平面与立 体的棱线或顶点相交时。
斜交
总结词
当平面与立体不平行也不垂直，且有一个公共点时，称为斜 交。
平面与立体相交ppt 课件
目 录
• 平面与立体的基本概念 • 平面与立体的相交类型 • 平面与立体相交的特性 • 平面与立体相交的应用 • 平面与立体相交的实例分析
01
CATALOGUE
平面与立体的基本概念
平面的定义与性质
定义
平面是指在空间中无限延展、没 有厚度的二维图形。
性质
平面具有无限延展性、无厚度、 可无限分割等特性。
当一个平面与一个立体垂 直时，它们在某个方向上 相互垂直，形成垂直线。
02
CATALOGUE
平面与立体的相交类型
平行相交
总结词
当平面与立体平行且不重合时，称为平行相交。
详细描述
平行相交是指平面与立体在空间中平行且不与立体接触，即平面与立体的边界 线平行且不相交。在这种情况下，平面与立体之间没有公共点。
详细描述
斜交是指平面与立体在空间中不平行也不垂直，有一个公共 点。这个公共点是平面与立体的交点，也是平面与立体边界 线的起点和终点。斜交通常发生在平面与立体在空间中形成 一定的角度时。
03
CATALOGUE
平面与立体相交的特性
相交线的性质
相交线是平面与立体接触的部 分，具有确定的长度和方向。
相交线的位置和数量取决于平 面和立体的形状、大小和相对 位置。
平面与立体平面相交说课稿
平面和平面立体相交各位领导、各位老师、大家好！今天我将要为大家讲的课题是“平面和平面立体”。
是中农版《画法几何及水利工程制图》第五章第二节的内容。
一、教材分析：•1、教材的地位和作用今天所讲的内容属于中农版《画法几何及水利工程制图》第五章第二节的内容，这一节主要讲基本几何体截交线的求法，是今后学习组合体的基础。
2、学情分析要想讲好一堂课，不仅要备教材，还要备学生，只有对授课对象也就是学生的知识结构、心理特征进行分析、掌握，才能制定出切合实际的教学目标和教学重点。
在学习本节内容之前，学生已经掌握了点、线、面的投影的一些知识，知识水平不应有困难，能力水平也不应有困难，但要通过多做练习来达到熟练的目的，并且注意对个别学习困难学生的辅导。
3、教学目标知识与技能1）、掌握表面交线的概念和种类；平面立体截交线的形式和求作方法；能力目标2)、能对平面立体的截交线进行分析，并正确作图。
素质目标引导学生注重知识与生活实际经验相联系，在分析问题的过程中，不断发现矛盾，激发动机，提出问题，思考、讨论、求证、归纳、总结，从而自觉的培养认知规律和创造性学习。
4、教学重点和难点[教学重点]平面立体截交线及求作方法；培养读图、画图能力。
[难点]截交线的应用。
二、教法设计1.讲授法：通过老师的讲解，使学生掌握相关知识2.多媒体演示法：通过多媒体演示，使理论性较强的课本知识形象化、生动化，激发他们的学习兴趣。
三、学法指导教师的教是为了不教而教，这要求我们教师在授课中不仅要让学生听懂、学会，还要指导他们的学习方法，不能让学生离开老师这根拐棍就不会走路了，必须学会自主学习。
在本节内容的讲授中要引导学生积极思考，善于提问，形成主动探究和协作学习的良好学习习惯。
四、教学过程：1、复习回顾（10分钟）讲评作业批改情况，上一节课知识回顾3)．预习检测：什么叫截交线？截交线有什么特点？导入新课简述本次课概念、要点、作用和地位；导出学习目标。
在零件上常会遇到立体被平面所截，或者是立体与立体相交的情况。
8 平面与立体相交-截交线
截切立体
二、截交线的性质： 截交线的性质： 1、截交线是截平面与立体表面的共有 线，线上的任意一点都是截平面与立 体表面的共有点。 2、截交线是一个封闭的平面多边形。 3、截交线的形状取决于立体表面形状， 以及截平面与立体的相对位置。
截交线
三、截交线的求法： 截交线的求法： 画截切立体的投影时，为了清楚地表达该立体的 形状，既要画出截切立体表面上截交线的投影，又要 画出立体轮廓线的投影。
[例题 例题1] 求圆锥截交线。 例题
1.分析 1.分析 截平面为正垂面 截交线为椭圆； ，截交线为椭圆；截交线 的水平投影和侧面投影均 为椭圆； 为椭圆；
3'
2.求出截交线上的特殊点 2.求出截交线上的特殊点 Ⅰ、 Ⅱ、Ⅳ； 3.求出一般点 3.求出一般点Ⅲ、 Ⅴ； 4.光滑顺次连接各点， 4.光滑顺次连接各点，作 光滑顺次连接各点 出截交线，判别可见性； 出截交线，判别可见性； 5．整理轮廓线
五、平面与组合回转体相交
[例题1] 已知顶尖截切后的正面、侧面投影，求作水平投影。 例题1]
分析：
a' g'h' d'e' • f '• • • • b' (c') a" • e" d" c"• • • • • b" h" f " g"
e
h • • f • g • • c •a • • d b
顶尖头是由圆锥和圆柱相 连,被两个平面截切而成，轴线 为侧垂线，截平面分别为侧平 面和水平面。 侧平面与圆柱轴线垂直，与 圆柱的截交线为圆弧，正面投 影积聚为直线，侧面投影为圆 弧的实形。 水平面平行于回转轴，与 圆柱的截交线为开口矩形，与 圆锥的截交线为双曲线，其正 面和侧面投影均为直线 。
第4章 立体及平面与立体相交
外表面和内表面相交
a
84 返回
两回转体表面相交
两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。
相贯线的性质
相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表 面的共有线。求相贯线的实质就是求两曲面立体表面的共 有点。
作图方法
利用投影的积聚性直接表取点。
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的
投影
擦除多余作图线后的结果
例 已知圆锥被正平面所截，求截交线的正面投影
上一级
[例二]:求圆锥被截切后的截交线，并完成三视图。 QV
PV
擦除多余作图线后的结果
平面与球面相交
[例题] 切割平面为水平面时,圆球的截交线
[例题] 求圆球的截交线
正面投影和侧面投 影是两个相等的矩形， 矩形的高度等于圆柱的 高度，宽度等于圆柱的 直径（回转轴的投影用 细点画线来表示） 。
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆柱最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的 投影与回转轴的投影重合。
第4章 立体及平面与立体相交
4.1 平面立体的投影 4.2 曲面立体的投影 4.3 平面与平面立体相交 4.4 平面与曲面立体相交
空间几何中的平面与立体形的相交关系
空间几何中的平面与立体形的相交关系概述：在空间几何中，平面与立体形的相交关系是一个重要的研究方向。
平面与立体形的相交关系不仅涉及到数学本身，也与物理、工程等领域密切相关。
本文将探讨平面与立体形的不同相交情况，并深入研究其几何性质和应用。
一、平面与平面相交：平面与平面相交是最简单的一种情况，可以分为平行和非平行两种情况。
当两个平面平行时，它们永远不会相交；当两个平面不平行时，它们会相交于一条直线。
这一性质在工程测量、建筑设计等领域具有广泛的应用。
二、平面与直线相交：平面与直线相交是平面几何中常见的情况。
当平面与直线相交时，它们的交点为一点。
通过求解平面与直线的方程，可以得到交点的坐标。
这一性质在数学中被广泛运用于解析几何的推导和证明。
三、平面与球体相交：平面与球体相交是空间几何中的一个重要问题。
当一个平面与一个球体相交时，可能存在以下三种情况：平面与球体相切于一点、相切于一个圆或者相交于两个交点。
根据不同情况，可以进一步讨论平面和球体的切线、交点等几何性质。
四、平面与圆柱相交：平面与圆柱相交也是几何学中的常见问题。
当一个平面与一个圆柱相交时，可能存在以下几种情况：相切于一个点、相交于一个圆或者相交于两个交线。
这一性质在建筑设计、机械工程等领域具有广泛的应用。
五、平面与圆锥相交：平面与圆锥相交是空间几何中的一个有趣问题。
当一个平面与一个圆锥相交时，可能存在以下几种情况：相切于一个点、相交于一个圆或者相交于两个交线。
通过研究平面和圆锥的相交性质，可以深入理解圆锥几何学中的一些基本概念和定理。
六、平面与多面体相交：平面与多面体相交是几何学中的一个复杂问题。
多面体包括了诸如立方体、正四面体、正六面体等形状，它们与平面的相交关系具有一定的规律性。
通过研究平面和多面体的相交性质，可以在计算机图形学、空间分析等领域中得到广泛应用。
七、应用领域：平面与立体形的相交关系在各个领域都有广泛的应用。
在建筑设计中，平面与立体形的相交关系决定了建筑物的外观和结构；在工程测量中，平面与立体形的相交关系决定了各种测量数据的获取方式；在计算机图形学中，平面与立体形的相交关系决定了虚拟场景的呈现效果。
第八章 平面与立体相交 直线与立体相交
第八章 平面与立体相交•直线与立体相交¤ 8-1 平面与立体相交平面与立体相交，可看作是立体被平面所截，这个平面称为截平面．．．，截平面与立体表面的交线称为截交线．．．（图8-1）。
为了正确地画出截交线的投影，应掌握截交线的基本性质：（1）截交线是截平面和立体表面交点的集合，截交线既属于截平面，又属于立体表面，是截平面和立体表面的共有线。
（2）立体是由其表面围成的，所以截交线必然是一个或多个由直线或平面曲线围成的封闭平面图形。
图8-1 平面与立体相交求截交线的实质就是求出截平面和立体表面的共有点。
为此，可以根据立体表面的性质，在其上选取一系列适当的线（棱线、直素线或圆），求这些线与截平面的交点，然后按其可见或不可见用实线或虚线依次连成多边形或平面曲线。
一、平面与平面立体相交平面与平面立体相交，其截交线的形状是由直线围成的多边形。
多边形的顶点为平面立体上有关棱线（包括底面边线）与截平面的交点。
[例8-1] 三棱锥与一正垂面P相交，求截交线的投影（图8-2）。
分析：正垂面P的正面投影有积聚性，即P v，可直接求出平面P与棱线SA、SB、SC的交点Ⅰ（1，1′）、Ⅱ（2，2′）及Ⅲ（3，3′）。
顺次连接各顶点，得截交线为△ⅠⅡⅢ（△123，1′2′3′）。
103关于截交线可见性的判别，在假定截平面透明的前提下，可根据各段交线所在表面的可见与否而定。
可见表面上的交线为可见，用实线画出；不可见表面上的交线为不可见，用虚线画出。
在本例中，三棱锥的三个棱面的水平投影都为可见，故截交线的水平投影△123为可见，用实线画出；正面投影1′2′3′积聚在P V 线上，不再判别。
(a) (b)图8-2 三棱锥的截交线二、平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交，其截交线形状一般为封闭的平面曲线。
曲线上的任何一点，都可当作是曲面上某一条线（直素线或圆）与截平面的交点。
求截交线时必须根据曲面的性质，在其 上选取一系列的直素线或圆，求出它们与截平面的交点。
立体的投影及直线、平面与立体相交
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立体与平面相交的作图方法
01
02
03
确定交点
绘制相交线
标注尺寸
首先确定立体和平面的交点位置。
根据交点绘制出立体与平面的相 交线。
在作图中标注必要的尺寸，以明 确立体和平面的相对位置和大小。
04
直线与立体的相交
直线与立体相交的性质
直线与立体相交时，只会有一 个交点，这个交点称为交点。
当直线与立体相交时，该直线 上的所有点都会与立体相交， 形成一条交线。
交点是交线上的一个点，而交 线是直线与立体的公共部分。
直线与立体相交的判定
如果直线与立体的一个面平行， 则该直线不会与立体相交。
如果直线与立体的一个面相交， 则该直线可能会与立体相交。
如果直线与立体的一个面垂直， 则该直线一定与立体相交。
直线与立体相交的作图方法
首先确定直线的方向和位置。 然后确定立体与直线的交点或交线的位置。
投影判定
通过比较平面和立体的投影特性，判断它们是否相交。
代数判定
通过建立代数方程，求解平面和立体的交点，从而判断它们是否相 交。
平面与立体相交的作图方法
几何作图法
利用几何知识，通过作图的方式求出平面与立体的相交线。
投影法
利用投影原理，通过投影的方式求出平面与立体的相交线。
代数法
利用代数方程，通过求解方程的方式求出平面与立体的相交线。
直线与平面的交点是唯一的，且该点在直线和平面上都有投影。
03
直线与平面相交的判定
判断直线上的任意一 点是否在平面上，如 果在则直线与平面相 交。
判断直线和平面的法 线是否平行，如果平 行则直线与平面不相 交。
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截平面为正垂面，故 截断面的正面投影积聚为 直线，另外两个投影为类 似形。
平面与平面立体相交
作图举例 例1：补全截头五棱柱的俯视图和左视图。
作图： 求棱线上的点 求截平面与
YⅠ
d’ a’
b’ e’ 1’(2)’ e” YⅡ 2” d”
1” b”
不可见棱线 a”
上端面的交线
粗实线
平面立体的截交线
ห้องสมุดไป่ตู้
3.求截交线的步骤 ★ 空间及投影分析
☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的 交线，判别可见性，并连接成 多边形。
确定截交 线的形状
确定截交线 的投影特性
平面与平面立体相交
作图举例 例1：补全截头五棱柱的俯视图和左视图。
分析：
截平面与体的相对位置：
该立体为五棱柱被一 个与棱线倾斜的平面所截 切，截平面与五棱柱的五 个棱面及上端面相交，形 成的截交线为六边形。六 边形的顶点分别为截平面 与四个棱线的交点及截平 面与上端面上的两条边的 交点。
平面与平面立体相交
作图举例 例1：补全截头五棱柱的俯视图和左视图。
分析：
截平面与体的相对位置：
平面与平面立体相交
何培英
平面与平面立体相交
概述 平面立体的截交线 作图举例
平面与平面立体相交
概述
当平面截切立体时，由截交线围成的平面图形——截断面 平面与立体表面相交产生的交线——截交线
截断面
截断面
截平面
截平面
截交线
截交线
平面与平面立体相交
平面立体的截交线
1.截交线的特点
平面多边形
平面与平面立体相交产生的截交 线是一个封闭的平面多边形。
Y3 Y4
3
平面与平面立体相交
作图举例
作图：
例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
求水平面截切后的 截交线
求正垂面截切后的 截交线 （Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点） 判别截交线的可见 性，连点成线。
判别三棱锥截切后 棱线的投影范围及 可见性，加深。
1/ 2/
3/ (4/) 4//
4 2
1
3
1// 2// 3//
作图：
求水平面截切后的
1/
截交线
1//
求正垂面截切后的
2/
2//
截交线
（Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
2 1
平面与平面立体相交
作图举例 例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
作图：
求水平面截切后的 截交线
求正垂面截切后的 截交线 （Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
1/
1//
2/
3/ (4/) 4//
2// 3//
Y4 Y3
4
2 1
YⅡ YⅠ
判断截交线的
d
e
可见性连点成线
2
zzqy
zzqy
zzqy zzqy
判断五棱柱轮廓 a 线投影范围及可 见性，加深完成。
1 b
交线
平面与平面立体相交
作图举例
分析：
例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
切口由正垂面 和水平面组合截切 形成
平面与平面立体相交
作图举例 例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
多边形的顶点是截平面与立体棱 线或边线的交点。
截平面与立 体棱线交点 截平面与立
多边形的边是截平面与立体表面的交线。 体表面交线
平面立体的截交线
2.求截交线的方法
平面与平面立体相交
棱线法：求各棱线与截平面的交点。
棱面法：求各棱面与截平面的交线。
截平面与立 体棱线交点 截平面与立
体表面交线
平面与平面立体相交
求正垂面与六棱柱 面的交点
连接各点作交线
注意：两立体融合 部分无轮廓线
YB
a/
1/
2/
b/
c/
3/
4/
b
c
a
1(3) 2(4)
a//
1//(2//)
b//(c//) 3//(4//) YB
AC
Ⅰ
B
Ⅲ Ⅳ
平面与平面立体相交
小结
概述 平面立体的截交线 作图举例
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。
由图可以看出，这是一 个正垂的三棱柱与一个铅垂 的六棱柱相交，三棱柱由前 穿入六棱柱，不再穿出。
两立体相交可以看成是 六棱柱被三个平面截切所得。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。
求水平面与六棱柱 面的交点