函数极限与连续的MATLAB求解
高等数学问题的MATLAB解法
第5章 高等数学问题的MATLAB解法
图 5-3 摆线的绘制
第5章 高等数学问题的MATLAB解法
5.1.3 曲线族的绘制 【例5-1-3】 三次曲线的方程为y=ax3+cx，试探讨参数a和c
对其图形的影响。 解: ◆ 建模 因为函数比较简单， 因此可以直接写入绘图语句中，用循环
语句来改变参数。注意坐标的设定方法，以得到适于观察的图形。 给出的程序不是唯一的，例如也可用fplot函数等。读者可自行探 索其他编法。
xvalues=w*exp(-4*tvalues).*sin(w*tvalues + pi/3);
第5章 高等数学问题的MATLAB解法
◆ 程序运行结果 运行这两种程序都得到图5-1所示的曲线。为了节省篇幅，我 们没有显示y的数据。以后的各例中还将省略绘图时的标注语句。 从本例看，第二种方法似乎更麻烦一些，但它具备模块化的特点。 当程序中要反复多次调用此函数，而且输入不同的自变量时，利 用函数文件可大大简化编程。我们应该掌握这种方法。两次应用 diff函数或用diff(y，2)可以求y的二次导数，读者可自行实践。
【例5-1-4】 极限的定义和判别。 解: ◆ 建模 对于函数y=f(x)，当任意给定一个正数ε时，有一个对应的正数
δ 0＜|xc-x|<δ
时, |A-f(x)|＜ε
其中，A是f(x)在x→xc时的极限，如果找不到这样的δ，A就不是 它的极限。只考虑左极限时，因为xc-x必为正数，所以可去掉绝 对值符号。
ezplot(′(1-cos(x))./x./sin(x)′) grid on 运行程序得出图5-5。从图上可见，此函数在x0=±π处有间断 点。在间断点左右，函数f(x)分别趋向于±∞。现在尝试用数组方 法计算以下三个特征点的值，令 x1=［-pi，0，pi］ y1=(1-cos(x1))./x1./sin(x1) 得到警告: Warning: Divide by zero及 y1=1.0e+015 *［5.1984， NaN， 5.1984］
实验报告
实验课程： 数学分析 专业： 数学与应用数学 班级： 09级数本一班 学号： 2009403078 姓名： 王h实验一 函数极限（黑体三号）【实验目的】1.掌握使用Matlab 求极限的方法2.通过Matlab 实验理解掌握极限的定义。
【实验内容】1.求函数极限 2. 求数列极限 3. 了解函数在某点连续【实验所使用的仪器设备与软件平台】实验使用MATLAB 软件【实验方法与步骤】（阐述实验的原理、方案、方法及完成实验的具体步骤等，对于必须编写计算机程序的实验，要附上编写的程序）一、 实验原理：1.运用数列极限的定义。
2.函数极限的定义。
3.函数)(x f 在0x 点连续的定义。
4.运用极限)(limx f 与)(lim x f 存在的充要条件。
二、 实验方案与方法：首先了解极限的定义，然后运用Matlab 软件编写程序求极限。
在使用Matlab 时要会运用声明符号变量syms,并且针对函数求极限的情况（左极限或右极限以及趋近于某点的左右极限等不同情况）编写相应的程序。
三、 实验步骤： 1. 先确定函数极限求∞→n limnn，)1ln(cos 1lim+-→x e x xx ，22)2(sin ln lim x x x -→ππ，xx arctan lim ∞→，xx xx 2)1(lim +∞→2. 以第一个为例编写程序如下：3.再求数列极限618.0215lim1≈-=+∞→n n n F F （其中已知数列])251()251[(51F 11++--+=n n n【实验结果】【结果分析与讨论】。
matlab计算函数极值,如何用MATLAB求函数的极值点和最大值
matlab计算函数极值,如何⽤MATLAB求函数的极值点和最⼤值两种⽅法：1、求导的⽅法：syms x y；>>y=x^3+x^2+1>>diff(y)ans =3*x^2 + 2*x>>solve(ans)ans=-2/3极值有两点。
同时也是最值；2、直接⽤最⼩值函数：求最⼤值，既求-y的最⼩值：>>f=@(x)(-x^3-x^2-1)f =@(x)(-x^3-x^2-1)>>x=fminunc(f,-3,3)%在-3；-3范围内找Warning: Gradient must be provided fortrust-region method; using line-search methodinstead. > In fminunc at354Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient lessthan options.TolFun.x =-0.6667>> f(x)ans =-1.1481在规定范围内的最⼤值是1.1481由于函数的局限性，求出的极值可能是局部最⼩(⼤)值。
求全局最值要⽤遗传算法。
例⼦：syms xf=(200+5*x)*(0.65-x*0.01)-x*0.45;s=diff(f);%⼀阶导数s2=diff(f,2);%⼆阶导数h=double(solve(s));%⼀阶导数为零的点可能就是极值点，注意是可能，详情请见⾼数课本fori=1:length(h)ifsubs(s2,x,h(i))<0disp(['函数在' num2str(h(i))'处取得极⼤值，极⼤值为' num2str(subs(f,x,h(i)))])elseifsubs(s2,x,h(i))>0disp(['函数在' num2str(h(i))'处取得极⼩值，极⼩值为'num2str(subs(f,x,h(i)))])elsedisp(['函数在' num2str(h(i))'处⼆阶导数也为0，故在该点处函数可能有极⼤值、极⼩值或⽆极值'])%%%详情见⾼数课本endend。
高等数学：MATLAB实验
MATLAB实验
2.fplot绘图命令 fplot绘图命令专门用于绘制一元函数曲线,格式为:
fplot('fun',[a,b]) 用于绘制区间[a,b]上的函数y=fun的图像.
MATLAB实验 【实验内容】
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由此可知,函数在点x=3处的二阶导数为6,所以f(3)=3为 极小值;函数在点x= 1处的二阶导数为-6,所以f(1)=7为极大值.
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例12-10 假设某种商品的需求量q 是单价p(单位:元)的函 数q=12000-80p,商 品的总成本C 是需求量q 的函数 C=25000+50q.每单位商品需要纳税2元,试求使销售 利润达 到最大的商品单价和最大利润额.
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MATLAB实验 实验九 用 MATLAB求解二重积分
【实验目的】 熟悉LAB中的int命令,会用int命令求解简单的二重积分.
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【实验M步A骤T】 由于二重积分可以化成二次积分来进行计算,因此只要
MATLAB实验
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实验七 应用 MATLAB绘制三维曲线图
【实验目的】 (1)熟悉 MATLAB软件的绘图功能; (2)熟悉常见空间曲线的作图方法.
【实验要求】 (1)掌握 MATLAB中绘图命令plot3和 mesh的使用; (2)会用plot3和 mesh函数绘制出某区间的三维曲线,线型
matlab求曲线极值程序,matlab函数求极值matlab函数求极值.ppt
matlab求曲线极值程序,matlab函数求极值matlab函数求极值.pptmatlab函数求极值matlab函数求极值* * 函数的极值 1、⼀元函数的极值 函数命令：fminbnd 调⽤格式：[x,feval,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2,options) %求fun在区间(x1,x2)上的极值. 返回值： x:函数fun在(x1,x2)内的极值点 feval:求得函数的极值 exitflag: exitflag>0,函数收敛于解x处 exitflag=0,已达最⼤迭代次数 exiflag<0,函数在计算区间内不收敛. 例1：求函数 在 上的极⼩值. fun=inline('(x+pi)*exp(abs(sin(x+pi)))')[x,feval,exitflag,output]=fminbnd(fun,-pi/2,pi/2) fun = Inline function: fun(x) = (x+pi)*exp(abs(sin(x+pi))) x = -1.2999e-005 feval = 3.1416 exitflag = 1 output = iterations: 21 funcCount: 22 algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation' message: [1x112 char] xx=-pi/2:pi/200:pi/2; yxx=(xx+pi).*exp(abs(sin(xx+pi))); plot(xx,yxx) xlabel('x'),grid on % 可以⽤命令[xx,yy]=ginput(1) 从局部图上取出极值点及相应函数值 例2：求解函数humps的极⼩值. type humps %humps 是⼀个Matlab提供的M 函数⽂件 function [out1,out2] = humps(x) %HUMPS A function used by QUADDEMO, ZERODEMO and FPLOTDEMO. % Y = HUMPS(X) is a function with strong maxima near x = .3 % and x = .9. % % [X,Y] = HUMPS(X) also returns X. With no input arguments, % HUMPS uses X = 0:.05:1. % % Example: % plot(humps) % % See QUADDEMO, ZERODEMO and FPLOTDEMO. % Copyright 1984-2002 The MathWorks, Inc. % $Revision: 5.8 $ $Date: 2002/04/15 03:34:07 $ if nargin==0, x = 0:.05:1; end y = 1 ./ ((x-.3).^2 + .01) + 1 ./ ((x-.9).^2 + .04) - 6; if nargout==2, out1 = x; out2 = y; else out1 = y; end[x,y]=fminbnd(@humps,0.5,0.8) x = 0.6370 y = 11.2528 xx=0:0.001:2; yy=humps(xx); plot(xx,yy) 例3：求 在(0,1)内的极⼩值. type myfunmin1 %显⽰M⽂件内容 function f=myfunmin1(x) f=x.^x; [x,y]=fminbnd(@myfunmin1,0,1) x = 0.3679 y =0.6922 xx=0:0.001:1; yy=myfunmin1(xx); plot(xx,yy) [x,y]=fminbnd('x.^x',0,1) x = 0.3679 y = 0.6922 2、 多元函数的极值 函数命令：fminsearch 调⽤格式：[x,feval,exitflag,output]=fminsearch(fun,x0,optipons) % 求在x0附近的极值 例4：求 的极⼩值. type myfunmin2 function f=myfunmin2(v) x=v(1); y=v(2); f=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2;[sx,sfeval]=fminsearch(@myfunmin2,[1 1]) sx。
实验三 用matlab求极限和导数
实验三 用matlab 求极限和导数1.求极限、导数的MATLAB 命令MATLAB 中主要用limit,diff 分别求函数的极限与导数。
可以用help limit, help diff 查阅有关这些命令的详细信息例1首先分别作出函数x y 1cos=在区[-1,-0.01],[0.01,1],[-1,-0.001],[0.001,1]等区间上的图形，观测图形在0=x 附近的形状。
在区间[-1,-0.01]绘图的MA TLAB 代码为： >>x=(-1):0.0001:(-0.01); y=cos(1./x); plot(x,y) 结果如图2.1图2.1函数x y 1cos=的图形根据图形，能否判断出极限x x x x 1sinlim ,1cos lim 00→→的存在性？ 当然，也可用limit 命令直接求极限，相应的MATLAB 代码为：>>clear;>>syms x; %说明x 为符号变量>>limit(sin(1/x),x,0)结果为ans = -1 .. 1，即极限值在-1，1之间，而极限如果存在则必唯一，故极限x x 1sinlim 0→不存在，同样，极限x x 1coslim 0→也不存在。
例2 首先分别作出函数x xy sin =在区间[-1,-0.01],[0.01,1],[-1,-0.001],[0.001,1]等区间上的图形，观测图形在0=x 附近的形状。
在区间[-1,-0.01]绘图的MA TLAB 代码为： >>x=(-1):0.0001:(-0.01); y=sin(x)./x; plot(x,y) 结果如图2.2图2.2 函数x xy sin =的图形根据图形，能否判断出极限1sin lim0=→x xx 的正确性？当然，也可用limit 命令直接求极限，相应的MATLAB 代码为：>>clear; >>syms x;>>limit(sin(x)/x,x,0) 结果为ans =1.例3 观测当n 趋于无穷大时，数列n n n a )11(+=和1)11(++=n n n A 的变化趋势。
matlab多项式运算及求极限、复杂函数求极限
文章主题：深入探讨MATLAB中的多项式运算及求极限、复杂函数求极限MATLAB（Matrix Laboratory）是一款强大的数学软件，广泛应用于工程、科学、经济等领域。
在MATLAB中，多项式运算及求极限、复杂函数求极限是常见且重要的数学问题，对于提高数学建模和计算能力具有重要意义。
本文将从简到繁地探讨MATLAB中的多项式运算及求极限、复杂函数求极限，以帮助读者深入理解这一主题。
一、MATLAB中的多项式运算多项式是数学中常见的代数表达式，通常以系数的形式表示。
在MATLAB中，可以使用多种方法进行多项式的运算，如加法、减法、乘法、除法等。
对于两个多项式f(x)和g(x)，可以使用“+”、“-”、“*”、“/”等运算符进行运算。
在实际应用中，多项式的运算往往涉及到多项式系数的提取、多项式的乘方、多项式的符号变化等操作。
MATLAB提供了丰富的函数和工具箱，如polyval、polyfit、roots等，可以帮助用户进行多项式的运算。
通过这些工具，用户可以方便地进行多项式的求值、拟合、求根等操作。
二、MATLAB中的多项式求极限求多项式的极限是微积分中常见的问题，对于研究函数的性质和图像具有重要意义。
在MATLAB中，可以通过lim函数来求多项式的极限。
lim函数可以接受不同的输入参数，如函数、变量、极限点等，从而计算多项式在某一点的极限值。
在进行多项式求极限时，需要注意的是对极限的性质和运算规则。
MATLAB中的lim函数遵循了标准的极限计算规则，如极限的四则运算法则、极限的有界性、极限的夹逼定理等。
用户可以通过lim函数灵活地进行多项式求极限的计算和分析。
三、MATLAB中的复杂函数求极限除了多项式，复杂函数在工程和科学中也具有广泛的应用。
MATLAB提供了丰富的函数和工具箱，如syms、limit、diff等，可以帮助用户进行复杂函数的求导、求极限等操作。
对于复杂函数的极限计算，需要综合运用代数运算、微分计算、极限性质等技巧。
Matlab系列教辅(4)-极限、导数和积分
小综合练习
问题：老张在银行存入1000元，复利率为 问题：老张在银行存入 元 每年10％， ％，分别以按年结算和按连续复 每年 ％，分别以按年结算和按连续复 利结算两种方式计算10年后老张在银行 利结算两种方式计算 年后老张在银行 的存款额。 注 按复利计算， 的存款额。(注：按复利计算，若每年结 算m次，则每个结算周期的复利率为 ／ 次 则每个结算周期的复利率为r／ m，r为年利润 。 ， 为年利润)。 为年利润
分析： 表示n年后的存款额 年后的存款额， 分析：令 Pn 表示 年后的存款额， r 表示 年利率，用 P 表示本金，则 年利率， 表示本金， 按年结算，； 10 （１）按年结算，；P = P(1+ r)10 （２）按复利结算，设每年结算m次，则 按复利结算，设每年结算 次 每个结算周期的复利率为r／m，所以１０ 每个结算周期的复利率为r／m，所以１０ r ) ，而我们所说的是 p (1 + 年后的存款额为 m 按连续复利计算，即一年结算无数次， 按连续复利计算，即一年结算无数次，所 以按连续复利计算的１０ １０年后的存款额应 以按连续复利计算的１０年后的存款额应 为： P = lim p (1 + r )
符号微积分(求导）
例：求
1 d −2x (e cos(3x 2 )) dx
syms x y f=sym('exp(cos(3 x^(1 f=sym('exp(-2*x) * cos(3 * x^(1/2))') diff(f,x) 运行
符号微积分(求导）
例：求 ∂ f(x, y, g(x, y)), ∂x
问题：近年来， 问题：近年来，世界范围内每年的石油 消耗率呈指数增长， 消耗率呈指数增长，增长指数大约为 0.07。1970年初，消耗率大约为每年 年初， 。 年初 161亿桶 161亿桶．设 R(t) 表示从1970年起第年 亿桶． 表示从1970年起第年 的石油消耗率， 亿桶)。 的石油消耗率，则R(t ) = 161e0.07t (亿桶 。试 亿桶 用此式估计从1970年到 年到1990年间石油 用此式估计从 年到 年间石油 消耗的总量。 消耗的总量。
Matlab程序设计：函数的极限与连续
无穷小 lim 3x3 与 lim x ；
x0
x0
无穷小
与 lim
n
1 n
lim
n
1 n2
；
无穷小 lim x2 9 与 lim x 3 ；
x3
x3
无穷小 lim x 与 lim sin x
x0
x0
2.1.4 函数间断点类型及特征
本节使用的函数与命令大致与上节相同，主要有：
声明符号变量syms x , y …
例1 已知，请利用图像研究时的变化，并近似计算e 值精确到15位小数。 解：理论上n可取无限大，但为更好观察图像变化， 我们灵活取n值。
M文件程序处理如下： x=input('x=');% 输入自变量x（x可以是数值或离散 化）
n=input('n=');% 输入n为展开项数 %d= input('d=');% 输入d为小数位数 y=1; %函数初始值
>> x=[2:0.01:2*pi];y=sin(x).*(x>0)+(x.^2).*(x<= 0);plot(x,y)
2.1.2 函数的极限
• ⑴ 声明符号变量syms； • ⑵ 极限函数：
• p=limit(F,x,a)：求符号表达式F在变量 x a 时的
极限.缺省a时默认为a=0.缺省x时Matlab将按人们的表达 习惯来确定F中的求极限变量.
syms x; y=limit((1+1/x)^x, x, inf) %求出的极限，证明
figure %生成新的图形窗口
theta2=0:0.01:2*pi; rho2=2*(1-cos(theta2)); polar(theta2,rho2,'b');
matlab计算函数极限
matlab计算函数极限标题：用MATLAB计算函数极限在数学中，极限是研究函数在某个特定点附近的行为的重要概念之一。
计算函数的极限有助于我们了解函数在该点附近的性质，包括函数的趋势、连续性以及导数等。
在本文中，我们将使用MATLAB 来计算函数的极限，并通过实例来说明这一过程。
在MATLAB中，我们可以使用`limit`函数来计算函数的极限。
`limit`函数的语法为：```L = limit(f, x, a)```其中，`f`是输入的函数表达式，`x`是自变量，`a`是自变量趋于的点。
`limit`函数将返回函数在自变量趋于该点时的极限值`L`。
下面，我们通过一个具体的例子来演示如何使用MATLAB计算函数的极限。
假设我们要计算函数`f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)`在`x`趋于1时的极限。
我们定义函数`f`：```matlabsyms x;f = (x^2 - 1)/(x - 1);```然后，我们使用`limit`函数计算极限：```matlabL = limit(f, x, 1);```运行以上代码后，MATLAB将返回极限值`L`。
除了计算函数在某个点处的极限外，MATLAB还可以计算函数在正无穷或负无穷处的极限。
例如，我们要计算函数`g(x) = 1/x^2`在`x`趋于正无穷时的极限，可以使用以下代码：```matlabsyms x;g = 1/x^2;L = limit(g, x, inf);```同样地，MATLAB将返回极限值`L`。
除了计算极限值外，MATLAB还可以判断函数在某个点是否存在极限。
如果函数在某个点处的左极限和右极限相等，则称该函数在该点处存在极限。
我们可以使用`islimit`函数来判断函数在某个点是否存在极限。
例如，我们要判断函数`h(x) = sin(x)/x`在`x`趋于0时是否存在极限，可以使用以下代码：```matlabsyms x;h = sin(x)/x;exist_limit = islimit(h, x, 0);```运行以上代码后，MATLAB将返回布尔值`exist_limit`，若为`true`则表示函数在该点处存在极限，若为`false`则表示不存在。
高等数学实验matlab
式函数a0+a1x+a2x2作为经验公式n )，此时偏差平方和函数为
W=
(a
0
+a1xi
+a
2
x
2 i
-yi
)
2
i=1
其中n为数据点的数目。要使偏差平方和函数W最小，需要
n
n
n
na0 a1 xi a2 xi2 yi
i 1
i 1
i 1
a0
n
xi a1
n
xi2 a2
n
xi3
即拟合函数为 y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2
从图1-10可以看出拟合效果比较好，但是是否还可以更好呢？ 一般而言，拟合次数的提高可以使得拟合效果变好，但是并 不是次数越高越好。现在提高拟合次数，将基函数由1，x，x2 修改为{1，x，x2，x3}(三次拟合)，{1，x，x2，x3，x4}(四次拟合 )……，得到拟合图1-5至图1-9。
67
101
135
202
259
336
404
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
471 30.75
【实验方案】
设y代表土豆产量，x代表氮肥的施肥量。显然，y和x之间应该 有某种关系，假设y与x之间的关系为函数关系，则问题就转 化拟为合已问知题数。据点(xi,yi)位置关系，寻找函数y=y(x)。这就是数据
设计性实验
实验一 数据拟合问题 实验二 复利问题
第1章函数与极限—设计性实验
实验一 数据拟合问题
【实验目的】 1.加深对函数基本概念的理解 2.讨论了函数的实际应用问题 3.掌握Matlab软件中有关函数、画图等命令 【实验要求】 掌握函数基本知识，Matlab软件
Matlab求极限
Matlab 求极限网上有许多关于使用Matlab 求极限的文章，我粗略浏览了一下发现都只是简单介绍了求极限函数limit 的一种应用情况，大多就是只针对求双向极限进行了介绍，但是有的情况只要求左极限或则右极限，还有的是求趋于无穷的极限，这借个方面都很少有文章介绍，所以这里系统的介绍一下关于使用Matlab 求极限的一系列问题。
极限无外乎7种未定式，在手工求解时常用方法是洛必达法则、等价无穷小法和泰勒公式法。
这三种方法中洛必达法则并不是所有的极限都可以求的，其要求分子分母都可导，并且导函数的极限存在，所以对于分子分母不可导或者可导，但是导函数极限不存在的情况就不能用洛必达法则，而等价无穷小法其实就是泰勒公式的简化版，忽略了高次项而已。
手工求极限必须遵守的一个规则就是“先化简”，对于一些复杂表达式的极限手工求解化简不恰单时是很难求出的，或则容易求错的，都是借助Matlab 就可以很轻松的求解复杂极限。
一、求x 0处的极限（双向极限）求一个表达式f (x )在自变量x 趋于某一点x 0时的极限，0lim ()x x f x 使用的Matlab 函数是limit 函数，这时的调用格式是：limit(fun,var,x 0)其中fun 是所要求极限的表达，var 是自变量，x 0是自变量趋于的点例：求sin(x )/x 在x 趋于0时的极限解：运行以后得到结果：二、求趋于x 0-的极限（左极限）求一个表达式f (x )在自变量x 趋于某一点x 0-时的极限，0lim ()x x f x -→ 这时limit 函数的调用格式是：limit(fun,var,x 0,’left’)其中fun 是所要求极限的表达，var 是自变量，x 0是自变量趋于的点，left 代表是趋于x 0的左边例：求表达式1/x 的左极限，x 趋于0-解：运行以后得到结果：可以看到当x 趋于0-时，1/x 的值是-∞.三、求x 趋于x 0+的极限（右极限）求一个表达式f (x )在自变量x 趋于某一点x 0-时的极限，0lim ()x x f x +→ 这时limit 函数的调用格式是：limit(fun,var,x 0,’right’)其中fun 是所要求极限的表达，var 是自变量，x 0是自变量趋于的点，right 代表是趋于x 0的右边例：求表达式1/x 的右极限，x 趋于0+解：运行以后得到结果：可以看到当x 趋于0+时，1/x 的值是+∞.四、求x →∞时的极限当然这里的∞也包括-∞和+∞，正负的求解方法同二、三中一样。
《基于MATLAB的高等数学问题求解》学习笔记
第六章：函数，极限与连续的MATLAB1 映射与函数。
（1）集合（更多的是用于数组间的运算）：ismember（一个个元素判断是否是子集，返回一个数组）；intersect（求交集，返回结果数组）；setdiff(a,b)（求差集，属于a不属于b的数组）；union （求并集）。
（2）函数：定义方法：y=@(x)f(x)；syms x y=f(x)；y=sym(‘f(x)’);求反函数：finverse(f,t)；求复合函数f(g(x))：y=compose(f,g)；2 求极限。
（1）求数列极限：limit(xn, n, inf)；limit(xn, inf)。
（2）求函数极限：limit(fx, x, x0(, ‘left’) )；limit(fx, x, inf)。
3 函数的连续性与间断点。
（1）判断连续性的函数代码：P144。
（2）判断x0是否是函数f(x)的间断点的函数代码：（P146，文件夹MATLAB学习中的程序储存里）。
实际应用中，可以根据绘图来判定是否是间断点。
（3）求函数区间的方法：P215。
第七章：导数与微分的MATLAB求解1 导数求解：diff(fx,x,n)后面2个可以省略，则是求导函数；隐函数的导数求解见P156的2个例子；稍微总结就是把y定义为y=sym(‘y(x)’)，然后定义隐函数的表达式为F=…，把表达式等号右侧置为0，左侧为F函数表达式，之后：diff(F,x)。
参数方程确定的函数的导数P157。
2 洛必达法则：P168.3 泰勒公式：P172.另外，MATLAB有taylor(fx,x,n,a)。
MATLAB提供了泰勒级数逼近分析界面：taylortool，4 函数的凹凸性与曲线的单调性：求函数单调区间及各个区间单调性的判定：P175。
求凹凸性与拐点的程序：P179。
求方程实根从而可以进行一些特殊数值表达式的求解（比如（-8）^(1/3)的求解）的函数代码：P176。
第二章 高等数学问题的MATLAB解法
>> syms x a >> f1=(cos(x) - 1) / x; >> f11=limit(f1) f11 = 0 >> f11=limit(f1,x,0) f11 = 0 >> f2 = 1 / x^3; >> f21 = limit(f2,'right') ??? Error using ==> sym.limit Limit point must be a scalar. >> f21 = limit(f2,x,0,'right') f21 = Inf >> f3 = [(1+a/x)^2,exp(-x)]; >> f21 = limit(f3,x,inf,'left') f21 = [ 1, 0]
-0.96 -0.965 -0.97 -0.975 -0.98 -0.985 -0.99 -0.995 -1 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4
例
f ( x, y) 100 ( y x 2 ) 2 (1 x) 2的 小 点 极 值 。
>> x0 = [-1.2,1]; >> h = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2; >> [x,fval] = fminsearch(h,x0) x= 1.0000 1.0000 fval = 8.1777e-010
>> f = @(x)x^3-2*x - 5 f= f 1x1 16 function_handle array Grand total is 1 element using 16 bytes @(x)x^3-2*x – 5 >> [x,fval] = fminbnd(f,0,2) x= 0.8165 fval = -6.0887 >>fplot(f,[0 2])
一用Matlab软件求函数的极限二用Matlab软件求函数的
fplot('-3*t^2+18*t+12',[0,8])
结论：在[0，3 13 ]上生产效率增加； 在[3 13，8]上生产效率减少。
Matlab软件
例1 求下列函数的导数
1、y 2 3x ,求y' 2 x
syms x y=(2-3*x)/(2+x); diff(y,x)
2、y ln x,求y(9)
Matlab软件
引例1 某储户将10万元的人民币以活期的形式存入银行， 年利率为5%，如果银行允许储户在一年内可任意次结算， 在不计利息税的情况下，若储户等间隔地结算n次，每次 结算后将本息全部存入银行，问一年后该储户的本息和 是多少？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否 会成为百万富翁？
解: 本金A=10万元，年利率r=5%,一年等间隔地结算n次， 每期利率为r/n,一年后储户的本息和y为：
zx
'
dz dx
Fx Fz
' '
,
z
y
'
dz dy
Fy ' Fz '
syms x y z F=2*z-x*y-sin(z)-y; pretty(-diff(F,x)/diff(F,z)) pretty(-diff(F,y)/diff(F,z))
mn f 求 xmyn 解方程1
解方程组
Matlab软件
syms t
solve('-3*t^2+18*t+12=0')
Q=-t^3+9*t^2+12*t
ans =
y=diff(Q,t)
[ 3-13^(1/2)]=-0.6056
MATLAB数学实验100例题解
一元函数微分学实验1 一元函数的图形（基础实验）实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Matlab 作平面曲线图性的方法与技巧.初等函数的图形2 作出函数x y tan =和x y cot =的图形观察其周期性和变化趋势. 解：程序代码：>> x=linspace(0,2*pi,600); t=sin(x)./(cos(x)+eps);plot(x,t);title('tan(x)');axis ([0,2*pi,-50,50]); 图象：程序代码：>> x=linspace(0,2*pi,100); ct=cos(x)./(sin(x)+eps);plot(x,ct);title('cot(x)');axis ([0,2*pi,-50,50]); 图象：4在区间]1,1[-画出函数xy 1sin =的图形.解：程序代码：>> x=linspace(-1,1,10000);y=sin(1./x); plot(x,y);axis([-1,1,-2,2]) 图象：二维参数方程作图6画出参数方程⎩⎨⎧==t t t y tt t x 3cos sin )(5cos cos )(的图形：解：程序代码：>> t=linspace(0,2*pi,100);plot(cos(t).*cos(5*t),sin(t).*cos(3*t)); 图象：极坐标方程作图8 作出极坐标方程为10/t e r =的对数螺线的图形. 解：程序代码：>> t=0:0.01:2*pi; r=exp(t/10);polar(log(t+eps),log(r+eps)); 图象：90270分段函数作图10 作出符号函数x y sgn =的图形. 解：>> x=linspace(-100,100,10000); y=sign(x); plot(x,y);axis([-100 100 -2 2]);函数性质的研究12研究函数)3(log 3)(35x e x x f x -++=在区间]2,2[-上图形的特征.解：程序代码：>> x=linspace(-2,2,10000);y=x.^5+3*exp(x)+log(3-x)/log(3); plot(x,y); 图象：实验2 极限与连续（基础实验）实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用 Matlab 画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形 特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.作散点图14分别画出坐标为)10,,2,1(),4,(),,(3222 =+i i i i i i 的散点图, 并画出折线图. 解：散点图程序代码：plot(i,i.^2,'.')或：>> x=1:10;y=x.^2;for i=1:10;plot(x(i),y(i),'r')hold onend折线图程序代码：>> i=1:10;plot(i,i.^2,'-x')程序代码： >> i=1:10;plot(i.^2,4*(i.^2)+i.^3,'.')>> i=1:10;plot(i.^2,4*(i.^2)+i.^3,'-x')数列极限的概念16通过动画观察当∞→n 时数列21n a n =的变化趋势.解：程序代码： >> n=1:100; an=(n.^2); n=1:100; an=1./(n.^2); n=1:100; an=1./(n.^2); for i=1:100plot(n(1:i),an(1:i)),axis([0,100,0,1]) pause(0.1) end 图象：函数的极限18在区间]4,4[-上作出函数xx xx x f --=339)(的图形, 并研究 )(lim x f x ∞→ 和 ).(lim 1x f x →解：作出函数x x xx x f --=339)(在区间]4,4[-上的图形>> x=-4:0.01:4;y=(x.^3-9*x)./(x.^3-x+eps); plot(x,y)16从图上看，()f x 在x →1与x →∞时极限为0两个重要极限 20计算极限⎪⎭⎫⎝⎛+→x x x x x sin 11sin lim )1(0 x x e x 2lim )2(+∞→30sin tan lim )3(xx x x -→ x x x 0lim )4(+→ x xx ln cot ln lim )5(0+→ x x x ln lim )6(20+→ x x xx x x sin cos sin lim )7(20-→ 125523lim )8(323+++-∞→x x x x x xx x e e x x x sin 2lim )9(0----→ xx x x cos 110sin lim )10(-→⎪⎭⎫ ⎝⎛ 解：（1）>> limit(x*sin(1/x)+1/x*sin(x))ans =1(2) >> limit(x^2/exp(x),inf) ans = 0(3) >> limit((tan(x)-sin(8))/x^3) ans =NaN(4) >> limit(x^x,x,0,'right') ans =1(5) >> limit(log(cot(x))/log(x),x,0,'right') ans =-1(6) >> limit(x^2*log(x),x,0,'right') ans =0(7) >> limit((sin(x)-x.*cos(x))./(x.^2.*sin(x)),x,0) ans =1/3(8) >> limit((3*x.^3-2*x.^2+5)/(5*x.^3+2*+1),x,inf) ans =3/5(9) >> limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)./(x-sin(x))) ans =2(10) >> limit((sin(x)/x).^(1/(1-cos(x)))) ans =exp(-1/3)实验3 导数（基础实验）实验目的 深入理解导数与微分的概念, 导数的几何意义. 掌握用Matlab 求导数与高 阶导数的方法. 深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法. 导数概念与导数的几何意义22作函数71232)(23+-+=x x x x f 的图形和在1-=x 处的切线. 解：作函数71232)(23+-+=x x x x f 的图形程序代码： >> syms x;>> y=2*x^3+3*x^2-12*x+7; >> diff(y) ans =6*x^2+6*x-12 >> syms x;y=2*x^3+3*x^2-12*x+7; >> f=diff(y) f =6*x^2+6*x-12 >> x=-1;f1=6*x^2+6*x-12 f1 = -12>> f2=2*x^3+3*x^2-12*x+7 f2 = 20>> x=linspace(-10,10,1000);y1=2*x.^3+3*x.^2-12*x+7; y2=-12*(x+1)+20; plot(x,y1,'r',x,y2,'g')求函数的导数与微分24求函数bx ax x f cos sin )(=的一阶导数. 并求.1⎪⎭⎫⎝⎛+'b a f解：求函数bx ax x f cos sin )(=的一阶导数程序代码： >> syms a b x y;y= sin(a*x)*cos(b*x); D1=diff(y,x,1) 答案：D1 =cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b求.1⎪⎭⎫ ⎝⎛+'b a f程序代码： >> x=1/(a+b);>> cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b答案：ans =cos(a/(a+b))*a*cos(b/(a+b))-sin(a/(a+b))*sin(b/(a+b))*b 拉格朗日中值定理26对函数),2)(1()(--=x x x x f 观察罗尔定理的几何意义. (1) 画出)(x f y =与)(x f '的图形, 并求出1x 与.2x 解：程序代码：>> syms x;f=x*(x-1)*(x-2); f1=diff(f) f1 =(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1) >> solve(f1) ans =1+1/3*3^(1/2) 1-1/3*3^(1/2)>> x=linspace(-10,10,1000); y1=x.*(x-1).*(x-2);y2 =(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1); plot(x,y1,x,y2)(2)画出)(x f y =及其在点))(,(11x f x 与))(,(22x f x 处的切线. 程序代码：>> syms x; >> f=x*(x-1)*(x-2); >> f1=diff(f) f1 =(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1) >> solve(f1) ans =1+1/3*3^(1/2) 1-1/3*3^(1/2)>> x=linspace(-3,3,1000); >> y1=x.*(x-1).*(x-2);>> y2 =(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1); >> plot(x,y1,x,y2) >> hold on>> x=1+1/3*3^(1/2); >> yx1=x*(x-1)*(x-2) yx1 =-0.3849>> x=1-1/3*3^(1/2); >> yx2=x*(x-1)*(x-2) yx2 =0.3849x=linspace(-3,3,1000); yx1 =-0.3849*x.^0; yx2 =0.3849*x.^0; plot(x,yx1,x,yx2)28求下列函数的导数:(1) 31+=x e y ; 解：程序代码：>> syms x y; y=exp((x+1)^3); D1=diff(y,1) 答案：D1 =3*(x+1)^2*exp((x+1)^3)(2) )]42ln[tan(π+=x y ;解：程序代码：>> syms x;y=log(tan(x/2+pi/4)); D1=diff(y,1) 答案：D1 =(1/2+1/2*tan(1/2*x+1/4*pi)^2)/tan(1/2*x+1/4*pi)(3) x x y sin ln cot 212+=;解：程序代码：>> syms x;y=1/2*(cot(x))^2+log(sin(x)); D1=diff(y,1) 答案：D1 =cot(x)*(-1-cot(x)^2)+cos(x)/sin(x) (4) xy 2arctan21=. 解：程序代码：>> syms x;>> y=sqrt(2)*atan(sqrt(2)/x); >> D1=diff(y,1) 答案：D1 =-2/x^2/(1+2/x^2)一元函数积分学与空间图形的画法实验4 一元函数积分学(基础实验)实验目的 掌握用Matlab 计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用 定积分解决各种问题的能力.不定积分计算30求.)1(532⎰-dx x x解：程序代码：>> syms x y;>> y=x^2*(1-x^3)^5; >> R=int(y,x) 答案：R =-1/18*x^18+1/3*x^15-5/6*x^12+10/9*x^9-5/6*x^6+1/3*x^332求.arctan 2⎰xdx x解：程序代码：>> syms x y;>> y=x^2*atan(x); >> R=int(y,x) 答案：R =1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)定积分计算34 求.)(102⎰-dx x x解：程序代码：>> syms x y; >> y=x-x^2;>> R=int(y,x,0,1) 答案： R =1/6变上限积分36 画出变上限函数⎰x dt t t 02sin 及其导函数的图形.解：程序代码：>> syms x y t; >> y=t*sin(t^2); >> R=int(y,x,0,x) 答案：R =t*sin(t^2)*x 再求导函数 程序代码：>> DR=diff(R,x,1) 答案：DR =t*sin(t^2)实验5 空间图形的画法(基础实验)实验目的 掌握用Matlab 绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.一般二元函数作图38作出函数2214y x z ++=的图形.解：程序代码：>> x=linspace(-5,5,500); [x,y]=meshgrid(x); z=4./(1+x.^2+y.^2); mesh(x,y,z);xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis');title('function')40作出函数)94cos(22y x z +=的图形. 解：程序代码：>> x=-10:0.1:10;[x,y]=meshgrid(x);z=cos(4*x.^2+9*y.^2); mesh(x,y,z);xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis');title('function')讨论：坐标轴选取范围不同时，图形差异很大，对本题尤为明显，如右图为坐标轴[-1，1]二次曲面42作出单叶双曲面1941222=-+z y x 的图形.(曲面的参数方程为 ,tan 3,cos sec 2,sin sec u z v u y v u x === (.20,2/2/πππ≤≤<<-v u ))解：程序代码：>> v=0:pi/100:2*pi; >> u=-pi/2:pi/100:pi/2; >> [U,V]=meshgrid(u,v); >> x=sec(U).*sin(V); >> y=2*sec(U).*cos(V); >> z=3*tan(U); >> surf(x,y,z)44 可以证明: 函数xy z =的图形是双曲抛物面. 在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上作出它的图形.解：程序代码：>> x=-2:0.01:2;[x,y]=meshgrid(x); >> z=x.*y;>> mesh(x,y,z);46 画出参数曲面]2,001.0[],4,0[)5/2/ln(tan cos sin sin sin cos ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧++===v u u v v z vu y v u x π 的图形.解：程序代码：>> v=0.001:0.001:2; >> u=0:pi/100:4*pi;>> [U,V]=meshgrid(u,v); >> x=cos(U).*sin(V); >> y=sin(U).*sin(V);>> z=cos(V)+log(tan(V/2)+U/5); >> mesh(x,y,z);空间曲线48 作出空间曲线)60(2,sin ,cos π≤≤===t t z t t y t t x 的图形. 解：程序代码：>> syms t;ezplot3(t*cos(t),t*sin(t),2*t,[0,6*pi])xx = t cos(t), y = t sin(t), z = 2 tz50绘制参数曲线 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==t z t y t x arctan 211cos 2的图形.解：程序代码：>> t=-2*pi:pi/100:2*pi;x=cos(t).*cos(t);y=1./(1+2*t);z=atan(t); plot3(x,y,z);grid;xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')xyz多元函数微积分实验6 多元函数微分学（基础实验）实验目的 掌握利用Matlab 计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元函数极值和条件极值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通过作图和观察, 理解二元 函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.求多元函数的偏导数与全微分 52设),(cos )sin(2xy xy z +=求.,,,222yx z x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：程序代码：>> syms x y;S=sin(x*y)+(cos(x*y))^2; D1=diff(S,'x',1); D2=diff(S,'y',1); D3=diff(S,'x',2); D4=diff(S,'y',2); D1,D2,D3,D4答案： D1 = cos(x*y)*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)*yD2 = cos(x*y)*x-2*cos(x*y)*sin(x*y)*xD3 =-sin(x*y)*y^2+2*sin(x*y)^2*y^2-2*cos(x*y)^2*y^2 D4 = -sin(x*y)*x^2+2*sin(x*y)^2*x^2-2*cos(x*y)^2*x^2实验7 多元函数积分学（基础实验）实验目的掌握用Matlab 计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的 概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.计算重积分54计算,2dxdy xy D⎰⎰其中D 为由,,2y x y x ==+ 2=y 所围成的有界区域.解：程序代码：>> syms x y;int(int(x*y^2,x,2-y,sqrt(y)),y,1,2) 答案：ans =193/120 重积分的应用56求旋转抛物面224y x z --=在Oxy 平面上部的面积.S 解：程序代码：>> int(2*pi*r,r,0,2) 答案： ans =4*pi无穷级数与微分方程实验8 无穷级数（基础实验） 实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的 逼近. 掌握用Matlab 求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法.数项级数58(1)观察级数∑∞=12 1n n的部分和序列的变化趋势.解：程序代码：for i=1:100 s=0;for n=1:i s=s+1/n^2;endplot(i,s,'.');hold on;end(2) 观察级数∑∞=11n n的部分和序列的变化趋势.>> for i=1:100 s=0; for n=1:i s=s+1/n; endplot(i,s,'.'); hold on; end60 求∑∞=++123841n n n 的值. 解：程序代码：>> syms n;score=symsum(1/(4*n^2+8*n+3),1,inf) 答案： score =1/6函数的幂级数展开62求x arctan 的5阶泰勒展开式. >> syms x;>> T5=taylor(atan(x),6) 答案：T5 =x-1/3*x^3+1/5*x^5实验9 微分方程（基础实验）实验目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用 Matlab 求微分方程及方程组解的常用命令和方法.求解微分方程64求微分方程 22x xe xy y -=+'的通解. 解：程序代码：>> y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') 答案：y =(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)66求微分方程x e y y y x 2cos 52=+'-''的通解. 解：程序代码：>> y=dsolve('D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*cos(2*x)','x') 答案： y =exp(x)*sin(2*x)*C2+exp(x)*cos(2*x)*C1+1/4*exp(x)*sin(2*x)*x68求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++02y x dtdy e y x dt dx t 在初始条件0,100====t t y x 下的特解.解：程序代码：>> [x,y]=dsolve('Dx+x+2*y-exp(t)','Dy-x-y','x(0)=1','y(0)=0','t') 答案： x = cos(t)y = 1/2*sin(t)-1/2*cos(t)+1/2*exp(t)70求解微分方程,)1(122/5+=+-x x y dx dy 并作出积分曲线. 解：程序代码：>> syms x yy=dsolve('Dy-2*y/(x+1)-(x+1)^(5/2)','x') 答案：y =(2/3*(x+1)^(3/2)+C1)*(x+1)^2 做积分曲线 由>> syms x yx=linspace(-5,5,100); C=input('请输入C 的值:'); y=(2/3*(x+1).^(3/2)+C).*(x+1).^2; plot(x,y)例如对应有： 请输入C 的值:2 请输入C 的值:20矩阵运算与方程组求解实验10 行列式与矩阵实验目的掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Matlab 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.矩阵A 的转置函数Transpose[A]72 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛411365243271的转置. 解：程序代码：>> A=[1,7,2;3,4,2;5,6,3;1,1,4]; >> Sove=A' 答案：Sove =1 3 5 1 7 4 6 12 234 矩阵线性运算 73设,291724,624543⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B A 求.24,A B B A -+ 解：程序代码：>> A=[3,4,5;4,2,6]; B=[4,2,7;1,9,2]; S1=A+B S2=4*B-2*A 答案：S1 =7 6 12 5 11 8 S2 =10 0 18 -4 32 -474设,148530291724,36242543⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mb ma 求矩阵ma 与mb 的乘积. 解：程序代码：>> ma=[3,4,5,2;4,2,6,3];>> mb=[4,2,7;1,9,2;0,3,5;8,4,1]; >> Sove=ma*mb 答案：Sove =32 65 56 42 56 65 矩阵的乘法运算75设,101,530291724⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 求AB 与,A B T 并求.3A解：程序代码：>> A=[4 2 7;1 9 2;0 3 5]; B=[1;0;1]; >> AB=A*B AB = 11 3 5 >> BTA=B'*A BTA =4 5 12 >> A3=A^3 A3 =119 660 555 141 932 444 54 477 260 求方阵的逆 76 设,5123641033252312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A 解：程序代码：>> A=[2,1,3,2;5,2,3,3;0,1,4,6;3,2,1,5];Y=inv(A)答案：Y =-1.7500 1.3125 0.5000 -0.6875 5.5000 -3.6250 -2.0000 2.3750 0.5000 -0.1250 0.0000 -0.1250 -1.2500 0.6875 0.5000 -0.3125 77 设,221331317230,5121435133124403⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B A 求.1B A - 解：程序代码：>> A=[3 0 4 4 ;2 1 3 3 ;1 5 3 4;1 2 1 5]; B=[0 3 2 ;7 1 3;1 3 3 ;1 2 2]; Solve=A'*B 答案：Solve =16 16 17 14 20 22 25 26 28 30 37 3978 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=++.2442,63,723z y x z y x z y x解：程序代码：>> A=[3 2 1;1 -1 3;2 4 -4]; b=[7 6 -2]; >> A\b' 答案：ans =1.0000 1.00002.0000 求方阵的行列式79 求行列式 .3351110243152113------=D解：程序代码：>> A=[3,1,-1,2;-5,1,3,-4;2,0,1,-1;1,-5,3,-3]; D=det(A) 答案：D =4080求.11111111111122222222ddd d c c c c b b b b a a a a D ++++=解：程序代码：>> syms a b c d;D=[a^2+1/a^2 a 1/a 1;b^2+1/b^2 b 1/b 1;c^2+1/c^2 c 1/c 1;d^2+1/d^2 d 1/d 1]; det(D) 答案：ans =-(-c*d^2*b^3+c^2*d*b^3-c^3*d^2*a+c^3*d*a^2*b^4+c*d^2*a^3-c^3*d^2*a*b^4-c^2*d*a^3-c*d^2*b^3*a^4+c^2*d*b^3*a^4+c^3*d^2*b*a^4-c^3*d*b^2*a^4-c^2*d^3*b*a^4+c*d^3*b^2*a^4+c*d ^2*a^3*b^4-c^2*d*a^3*b^4+c^3*d^2*b-c^3*d*b^2-c^2*d^3*b+c*d^3*b^2+c^3*d*a^2+c^2*d^3*a-c *d^3*a^2-b*d^2*a^3+b^2*d*a^3+b^3*d^2*a-b^3*d*a^2-b^2*d^3*a+b*d^3*a^2+b*c^2*a^3-b^2*c*a ^3-b^3*c^2*a+b^3*c*a^2+b^2*c^3*a-b*c^3*a^2+c^2*d^3*a*b^4-c*d^3*a^2*b^4-b*d^2*a^3*c^4+b ^2*d*a^3*c^4+b^3*d^2*a*c^4-b^3*d*a^2*c^4-b^2*d^3*a*c^4+b*d^3*a^2*c^4+b*c^2*a^3*d^4-b^2*c*a^3*d^4-b^3*c^2*a*d^4+b^3*c*a^2*d^4+b^2*c^3*a*d^4-b*c^3*a^2*d^4)/a^2/c^2/d^2/b^281 计算范德蒙行列式.1111145444342413534333231252423222154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：程序代码：>> syms x1 x2 x3 x4 x5;>> A=[1,1,1,1,1;x1,x2,x3,x4,x5;x1^2,x2^2,x3^2,x4^2,x5^2; x1^3,x2^3,x3^3,x4^3,x5^3;x1^4,x2^4,x3^4,x4^4,x5^4];>> DC=det(A);>> DS=simple(DC) 答案：DS =(-x5+x4)*(x3-x5)*(x3-x4)*(-x5+x2)*(x2-x4)*(x2-x3)*(-x5+x1)*(x1-x4)*(x1-x3)*(x1-x2) 82 设矩阵 ,60975738723965110249746273⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 求.),(|,|3A A tr A 解：程序代码：>> A=[3,7,2,6,-4;7,9,4,2,0;11,5,-6,9,3;2,7,-8,3,7;5,7,9,0,-6]; >> D=det(A),T=trace(A),A3=A^3 答案：D =11592 T = 3 A3=726 2062 944 294 -358 1848 3150 26 1516 228 1713 2218 31 1006 404 1743 984 -451 1222 384 801 2666 477 745 -125 向量的内积83 求向量}3,2,1{=u 与}0,1,1{-=v 的内积. 解：程序代码：>> u=[1 2 3]; v=[1 -1 0]; solve=dot(u,v) 答案：solve =-184设,001001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλA 求.10A 一般地?=k A (k 是正整数).解：程序代码：>> syms r;>> A=[r,1,0;0,r,1;0,0,r]; >> A^10 答案：ans =[ r^10, 10*r^9, 45*r^8] [ 0, r^10, 10*r^9] [ 0, 0, r^10]85.求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a a a aa1111111111111111111111111的逆.解：程序代码：>> syms aA=[1+a,1,1,1,1;1,1+a,1,1,1;1,1,1+a,1,1;1,1,1,1+a,1;1,1,1,1,1+a]; solve=inv(A) 答案：solve =[ 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5)] [ -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5)] [ -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5)] [ -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5)] [ -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5)]实验11 矩阵的秩与向量组的极大无关组实验目的 学习利用Matlab 求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组. 求矩阵的秩86 设,815073*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=M 求矩阵M 的秩.解：程序代码：>> M=[3,2,-1,-3,-2;2,-1,3,1,-3;7,0,5,-1,-8]; R=rank(M) 答案：R=2 向量组的秩87求向量组)0,3,0,2(),2,5,4,0(),1,1,2,1(231=--=-=ααα的秩. 解：程序代码：>> A=[1,2,-1,1;0,-4,5,-2;2,0,3,0]; R=rank(A) 答案：R =288向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是否线性相关? 解：由>> A=[1 1 2 3;1 -1 1 1;1 3 4 5;3 1 5 7];rank(A) ans = 3即rank(A)=3 小于阶数489向量组)3,1,1(),2,1,3(),7,2,2(321=-==ααα是否线性相关? 解：由>> A3=[2,2,7;3,-1,2;1,1,3];R=rank(A3) 得 R = 3即rank(A3)=3 等于阶数3 故向量组线性无关。
MATLAB基本操作2
八、微积分中的应用1、求极限（1）单变量函数极限： 极限：limit(fun,x,x0)左右极限：limit(fun, x, x0, ‘left ’或‘right ’) 例：lim (1)sinxx a b x xx→∞+ 程序：syms x a b;f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x); L=limit(f,x,inf) 练习： 1) 32lim(1)xx t x→∞+2) 30tan sin limx x xx →-3) lim )x x →-∞4) limx x 5) 111lim()ln 1x x x→--6) limx π→（2）多变量函数极限：limit(limit(fun,x,x0),y,y0)或limit(limit(f,y,y0),x,x0)例：1222()sin 1(1)x y x a yx x y x y -+++程序：syms x y a;f=exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2); limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf) 练习：1) 00cos lim 1x x y e yx y →→++2) 22011limx y x xyx y →→-++2、求导数 求导数：dfdx, diff(f,x)求高阶导数：n nd fdx ,diff(f,x,n)例：syms x y;y=x^4;diff(y,x,2);diff(y,x,4);求偏导数：diff(diff(f,x,m),y,n) 或 diff(diff(f,y,n),x,m)例：222z x y xy =++,2zx y∂∂∂程序：syms x y;z=x^2+y^2+2*x*y;diff(diff(z,x,1),y,1); 练习：1) y =，求y ''2) 2sin y x x =，求(10)y3) x y z x y -=+,求22222,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂4) sin sin 2x t y t =⎧⎨=⎩,求22,dy d ydx dx3、求积分不定积分：int(f,x)例：syms x f;f=x^2;int(f,x)定积分和无穷积分：int(f,x,a,b)(注：a,b 可以是inf 或-inf) 例：syms x; syms x;int(exp(x),x,0,1)重积分：int(int(int(f,x,a,b),y,c,d),z,e,g)其中f 为x,y,z 的函数，x,y,z 为变量，a,b,c,d,e,g 是x,y,z 的上下限； 例：22204x y xzedzdydx ππ--⎰⎰⎰程序：syms x y z;int(int(int(4*x*z*exp(-x^2-y^2),x,0,2),y,0,pi),z,0,pi) 练习：1) sin 4cos2x x dx ⎰ 2) arctan x x dx ⎰ 3) cos ax e bx dx ⎰4)5) 21(1)x dx e +⎰6) 4dx ⎰7) 10⎰ 8) 1200sin()ydy y dx ⎰⎰9) 10dy ⎰10) 111220x x ydx dy xdz ---⎰⎰⎰4、 代数方程的求解（1） 多项式求根：roots(p)其中：p 为多项式的系数，按降幂方式形成的行向量 例如：求765422 5.2 4.8729.810x x x x x x -+-++++=的根 程序：p=[-2 5.2 -4.8 7 0 2 9.8 1] ;roots(p) 练习:求4322610x x x +++=的根 （2） 求一元函数零点：fzero(f,x0)表示求函数f 在x0附近零点；若x0为一个二维向量[a,b],则变成求函数f 在区间(a,b)内的零点；例如 :求方程30x e x --=在区间(1,2)内的一个实根 程序 :x0=[1,2] ;syms x ;f= 'exp(x)-x-3 ';fzero(f,x0) 练习 :1) 求方程3250x x --=在区间(0,3)内的实根 2) 求方程323220x x x +--=在区间(-1,0)内的实根 (3) 求代数方程组的解 solve(f1,f2,f3,……)例如：求方程组2222225x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解程序：syms x y z ;f1= 'x+y+z=2 ';f2= '2*x+y+2*z=2 ' ;f3= '2*x+2*y+z=5 '; [x,y,z]=solve(f1,f2,f3); 5、 Taylor 展开按x=0进行Taylor 幂级数展开：taylor(f,x,k)(注：k 表示显示前k 项，常数项，x 的一次项，x 的二次项，……x 的k-1次项) 按x=a 进行Taylor 幂级数展开：taylor(f,x,k,a) 例：syms x ;taylor(sin(x),x,5) 练习 :1) 求函数x f e =在0x =处前8项Taylor 展开式 2) 2) 求函数ln f x =在1x =处前6项Taylor 展开式6、 微分方程（组）的求解（1） 常微分方程的求解dsolve(‘e ’,’c ’,’v ’)其中：e 为微分方程，c 为初值条件，v 为微分方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，以小写的t 为自变量。
matlab二元函数极限算法依据
matlab二元函数极限算法依据（原创实用版）目录一、引言二、MATLAB 求二元函数极值的方法1.使用 fmincon 函数2.使用 diff 函数三、MATLAB 实例讲解四、二元函数极限的求法五、结论正文一、引言在数学研究中，求解二元函数的极值问题是一个重要课题。
近年来，随着计算机技术的不断发展，利用 MATLAB 等数学软件求解二元函数极值问题变得愈发便捷。
本文将探讨如何使用 MATLAB 求解二元函数的极值问题，并介绍二元函数极限的求法。
二、MATLAB 求二元函数极值的方法1.使用 fmincon 函数MATLAB 提供了专门的优化函数 fmincon，可以求解具有约束条件的最值问题。
对于二元函数 f(x, y)，我们可以将其写成向量形式，并给出约束条件 Ax < b，其中 A 和 b 为常数矩阵和向量。
然后调用 fmincon 函数，传入目标函数和约束条件，即可求解极值点。
2.使用 diff 函数MATLAB 中的 diff 函数可以用于求解函数的偏导数。
对于二元函数f(x, y)，我们可以分别求解其关于 x 和 y 的偏导数，然后利用偏导数的符号判断极值点的位置。
这种方法适用于函数在特定域内的极值问题。
三、MATLAB 实例讲解以下为一个求解二元函数极值的 MATLAB 实例：函数 z = 7.2 * sqrt(25 * (15 - x(1))^2) + 7.2 * (107 / (20 - x(1))) * sqrt((8 - x(2))^2 + (20 - x(1))^2) + 7.2 * x(2)，约束条件为 A[1, 0; 0, 1] * x <= b，其中 A 和 b 为常数矩阵和向量，x0 为初始值。
通过调用 fmincon 函数，我们可以得到局部极小值的坐标和函数值。
四、二元函数极限的求法求解二元函数的极限，通常可以采用以下几种方法：1.利用定义验证极限为常数2.利用泰勒展开求解极限3.利用洛必达法则求解极限五、结论综上所述，MATLAB 为求解二元函数极值问题提供了便捷的工具。
matlab极限函数输入方法
matlab极限函数输入方法Matlab中的极限函数是用来计算函数在某点处的极限值的函数。
极限函数在数学分析中是一个非常重要的计算工具，可以帮助我们研究函数的性质和行为。
Matlab中的极限函数可以通过输入函数表达式和极限点来计算函数在极限点处的极限值。
下面是一些常用的极限函数及其输入方法： 1. limit函数：用于计算一个函数在某个点处的极限值。
输入格式：limit(f, x, a)，其中f为函数表达式，x为自变量，a为极限点。
例如，计算函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x = 1处的极限值，输入代码为：>>syms x>>f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1);>>limit(f, x, 1)输出结果为2。
2. ezplot函数：用于绘制一个函数的图像。
输入格式：ezplot(f)，其中f为函数表达式。
例如，绘制函数f(x) = sin(x)/x的图像，输入代码为：>>syms x>>f(x) = sin(x)/x;>>ezplot(f)3. diff函数：用于计算一个函数在某点处的导数值。
输入格式：diff(f, x)，其中f为函数表达式，x为自变量。
例如，计算函数f(x) = x^2在x = 2处的导数值，输入代码为： >>syms x>>f(x) = x^2;>>diff(f, x)输出结果为4。
4. int函数：用于计算一个函数在某个区间内的积分值。
输入格式：int(f, x, a, b)，其中f为函数表达式，x为自变量，a和b为积分区间的上下限。
例如，计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]内的积分值，输入代码为：>>syms x>>f(x) = x^2;>>int(f, x, 0, 1)输出结果为1/3。
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另一种是描述法，若集合 是由具有某种性质 的元素 的全体所组成的是两个非空集合，如果存在一个法则 ，使得对 中每个元素 ，按法则 ，在 中有 唯一确定的元素 与之对应，则称 为从 到 的映射，记作 其中 称为元素 在映射 下的像，并记作 ，即 ，即 ； 中所
第6章 函数、极限与连续的MATLAB求解
编者
Outline
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
映射与函数 数列的极限 函数的极限 函数的连续性与间断点 闭区间上连续函数的性质
6.1
1.集合
映射与函数
集合是数学中的一个基本概念，所谓集合是指具有某种特定性质的对象的总体，组成 这个集合的每一个体称为该集合的元素。如果 是集合 的元素，就说 属于 ，记作 ， 否则就说 不属于 ，记作 或 。一个集合，若它只含有限个元素，则称为有限集； 否则称为无限集。 表示集合的方法通常有以下两种：一种是列举法，就是把集合的全体元素一一列举出 来表示。例如，由元素 组成的集合 可表示成
如果 使得 ，则 称为函数 设函数 在闭区间 上连续，且 内至少有一点 ，使 的零点。 与 异号（即
），那么在开区间
从几何上看，上述定理（称为零点定理）表示：如果连续曲线弧 的两个端点位于 轴的不同侧，那么这段曲线弧与 轴至少有一个交点。 将上述零点定理稍加推广可得到介值定理：设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的 端点取不同的函数值 及 那么，对于 与 之间的任意一个数 ，在开区间 内至少有一点 ，使
谢谢大家！
6.4 函数的连续性与间断点
1.函数的连续性
设函数 在点 的某一邻域内有定义，如果
那么就称函数 在点 连续。 述函数的连续性定义利用程序语句的形式来描述可以编写函数文件FunContinuity.m。
运行结果如图所示。
图
函数连续性的图形直观表示
2.函数的间断点
设函数 在点 的某去心邻域内有定义，在此前提下，如果函数 有下列三种 情形之一： （1）在 没有定义； （2）虽在 有定义，但 不存在； （3）虽在 有定义，且 存在，但 ， 则函数 在点 为不连续，而点 称为函数 的不连续点或间断点。 间断点的几种常见类型有：无穷间断点、振荡间断点、可去间断点和跳跃间断点等。 若根据函数的左极限与右极限是否存在分类还可以将间断点分为两类：如果 是函数 的 间断点，但左极限 及右极限 都存在，那么 称为函数 的的第一类间断点，不是 第一类间断点的任何间断点均成为第二类间断点。可去间断点和跳跃间断点属于第一类间 断点，而无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点。
3.常用数学函数
在我们所研究的函数关系中，有几类最基本的常见函数，这就是常值函数、幂函数、指 数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，这几类函数称为基本初等函数。 MATLAB只提供了底为 的对数求解函数，对于一般情形，可根据换底公式：
6.2
数列的极限
1.数列极限的定义
设 为一数列，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存 在正整数 ，使得当 时，不等式 都成立，那么就称常量 是数列 的极限，或者称数列 或 收敛于 ，记为
6.5
闭区间上连续函数的性质
上有定义的函数 ，如果存在 ，使得对于任一 都有
1.有界性与最大值最小值定理
对于在区间
则称 是函数 在区间 上的最大值（最小值）。 根据该定义，我们可以给出有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该 区间上有界且一定能取到它的最大值和最小值。
2.零点定理与介值定理
）
函数极限的MATLAB符号求解
数列可以看成一种特殊的函数，所以求函数的极限仍然采用limit函数，此时其调用格式为： L=limit(fx, x, x0) L=limit(fx, x, x0, 'left') L=limit(fx, x, x0, 'right') 运行结果如图所示。
图
函数极限的图形直观表示
2.数列极限的MATLAB符号求解
在MATLAB中，提供了limit函数来求取数列的极限，其调用格式为： L=limit(xn, n, inf) L=limit(xn, inf)
运行结果如图所示。
图
数列极限的图形直观表示
6.3
函数的极限
函数极限的定义
1. 自变量趋于有限值时的函数极限 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （ 不论它多么小），总存在正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都 满足不等式 那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作 或 （当 ） 2. 自变量趋于无穷大时的极限 设函数 当 大于某一正数时有定义，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （不论 它多么小），总存在正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式 那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作 或 （当
而元素 称为元素 在映射 下的原像；集合 称为映射 的定义域，记作 有元素的像所组成的集合称为映射 的值域，记作 或 ，即 设数集 ，则称映射 为定义在 上的函数，通常简记为
其中 称为自变量， 称为因变量， 称为定义域。
2. 反函数与复合函数
设函数 的定义域为 ，值域为 。如果对于任意数值 ，在 中都有唯一确定的值 ， 使得 ，则得到以 为自变量， 为因变量的新函数，这个新函数叫做函数 的反函数，记作 ，其 定义域为 ，值域为 。