第六章 代数系统
第6章代数
第六章 代 数 例3 (a) 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。 (1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a
那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, 和〈R, min, +∞〉(这里R是
包含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。
而每一非0元素 x 的逆元是（k - x） 。
第六章 代 数
(g) 设Nk是前k个自然数的集, 这里k≥2, 定义模k乘法×k如下:
x×ky = z
这里z∈Nk, 且对某一n, xy – z = nk。
即 xy/k = n …… z （余 )
（ --------用于计算）
结论：
① 1是幺元 。
② 有逆元仅当x和k互质。
第六章 代 数
③ （G除去幺元ｂ，剩下a与c ) 经考察发现：
运算表中a所在行与c 所在列的交叉元素，
以及c所在行与a所在列 的交叉元素都是幺元b。
故a与c互 逆 。
*a b c aa a b ba b c cbc c
第六章 代 数
(e) 考虑在函数的合成运算下,集合A上的所有函数的集合F。
那么恒等函数IA 是幺元，每一双射函数有一逆元。 (f) 设 Nk 是前k 个自然数的集合, 这里 k ﹥ 0 ,
在运算表中， x0所在行与列的元素，分别与表头的行与
列的元素一一对应相同 。 结论２： 在运算表中，某元素 y0 ∈ A是运算*的零元
在运算表中， y0所在行与列的元素都是y0
结论３： 运算*满足交换律
运算表中的元素 关于主对角线对称
第六章 几种典型的代数系统
➢ < N, + >， < Z, + >， < Q, + >，< R, + > 都 是无限交换幺半群，幺元是 0。< Z+, + > 不 是幺半群。
定理6.1 群中元素 x 的逆元 x1 的逆元是 x， 即 (x1) 1 = x。 证明 因为 xx1= x1x = e，所以 (x1) 1 = x 。 定理6.2 群中的二元运算满足消去律。 证明 群中的每个元素都有逆元。由定理5.4立 即得出结论。
定理6.3 幺元是群中唯一的幂等元。 证明 ee = e，e 是幂等元。设 a 是群中的任意 幂等元，则 aa = ae。因为群中的二元运算满 足消去律，所以 a = e。
定义6.3 若幺半群 < G, , e > 中的每个元素都有 逆元，f 是 G 上的求逆元运算，即 f(x) = x1，则 称代数系统 < G, , f, e > 为群。若群中的二元运 算是可交换的，则称它为交换群，也称为阿贝 尔群。若群中的集合是有限集，则称该群为有 限群，否则称为无限群。若有限群中的集合有 n 个元素，则称该有限群为 n 阶群。一阶群， 即幺元是群中唯一元素的群称为平凡群。
例如， < Z, +, , 0 > 是无限交换群，称其为整 数加法群。
定义实函数集 RR 上的二元运算 + 如下：
对于任意 f, gRR，(f + g)(x) = f(x) + g(x)。
代数系统(抽象代数)
6-1 代数结构(系统)的概念
所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合， 和若干个运算，构成的系统。 一. n元运算 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 以及N上的“+” P(E) ~ P(E) N2 + N I - I 。 Φ Φ。 <0,0>。 。 0 2。 。 -2 <0,1>。 。 {a} 。 。 {a} 1 1。 。 -1 <0,2>。 0。 。 。 0 2 {b} 。 。 {b} -1。 。 1 。 -2。 。 3 <1,0> 。 2 {a,b} 。 。 {a,b} <1,1>。 <1,2>。
九.分配律 设和 都是X上的二元运算，若对任何x,y,z∈X，有 x(yz)=(xy)(xz) ，(yz) x =(y x)(z x) 则称对可分配。 例如： 乘法对加法可分配。 集合的∪与∩互相可分配。 命题的∧与∨互相可分配。 十.吸收律 设和 都是X上的可交换二元运算，若对任何x,y∈X， 有 x(xy)=x ，x(xy)=x 则与 满足吸收律。 例如：集合的∪与∩满足吸收律。 命题的∧与∨满足吸收律。
2.二元运算的运算表 有时用一个表来表示二元 运算的运算规律。 例如令E={a,b}， P(E)上的 ∩运算表如图所示。
∩ Φ 左 Φ Φ 表 {a} Φ 头 元 {b} Φ 素 {a,b} Φ
运算 上 表 头 元 素
{a} Φ {a} Φ {a}
{b} Φ Φ {b} {b}
{a,b} Φ {a} {b} {a,b}
六.可结合性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y,z∈X，有 (xy)z =x(yz)，则称是可结合的。 例：数值的加法、乘法，集合的交、并、对称差， 关系的复合、函数的复合，命题的合取、析取等。
第6章 代数系统基础汇总
1 2 3 4 6 12 1 0 1 2 3 5 11 2 1 0 1 2 4 10 3 2 1 0 1 3 9 4 3 2 1 0 2 8 a*b=|a-b|
6 5 4 3 2 0 6
12 11 10 9 8 6 0
3、子代数系统
V=<S，Ω>:代数系统 S′ S S′≠φ
子系统或子代 数
V′为V的子代数系统 每一个运算ω∈ Ω对 S′均封闭 V′ =<S′，Ω>是一个代数系统
定理
U=<X, ∘ > V=<Y, *> f:同态映射
Rf :X上的二元关系， 对于任意的x1,x2X x1Rfx2 f(x1)=f(x2) Rf是U上的同余关系
证明
③可传递性： (1) Rf是等价关系： ①自反性： x1Rfx2∧x2Rfx3 对任意的xX f(x1)=f(x2)∧f(x2)=f(x3) f(x)=f(x) f(x1)= f(x3) xRx x1Rfx3 ②对称性： x1Rfx2 f(x1)=f(x2) f(x2)=f(x1) x2Rfx1
变换运算表
g
1,2列交换 2,4列交换
1,2行交换
2,4行交换
一致
同构对运算保持相同的性质
设U=<X, ∘ >，V=<Y,*>同构，f是U到V的同构，则： (1) 若∘有幺元e *有幺元法f(e) (2) 若∘有零元 *有零元f() (3) 若xX有逆元x-1 f(x)Y有逆元f(x-1),反之亦然； (4) 若∘运算可交换 *运算也可交换 (5) 若∘运算可结合 *运算也可结合
+4 0 1 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2
6_1_运算与代数系统[10页]
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例=> 实数集上的乘法对加法、n阶多项式和矩阵上的乘法对加法都是可分配 的；一个集合的幂集上的∪和∩是互相可分配的。
思考：原则上，可以将一个映射 f：An→B作为n元运算的定义，但总需要考虑 运算结果对A的封闭性，即应有B⊆A，否则没有什么实际意义。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
[例6-1] 设A={x|x=2n，nN}，问算数乘法和加法是否为A上的二元运算？ 解： 问题等同于衡量运算是否对A封闭。对A的任意两个元素x=2p 和y=2q，因为
6.1 运算及其性质
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
在一个集合上构造映射之后，可以利用映射得到集合元素的像，从而形成了运 算。
[定义6-1：n元运算] 设A是一个非空集合，一个映射 f：An→A 称为A上的n元代 数运算，简称 n 元运算（n-ary operation）。其中，n ≥ 1为自然数，称为运算的 元、阶或目。
第6章 运算与代数系统
Discrete mathematics
运算是指对集合元素的加工、处理和变换，集合与其上定义的运算构成了各种 代数系统，也称为代数结构，它们是近世代数（也称为抽象代数）研究的中心 内容，在现代数学、计算机科学和编码理论等领域具有很多重要的应用。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
xy = 2p +q
但p=1且q=2时，有 21+22=6A
离散数学第二版答案(6-7章)
离散数学第二版答案(6-7章)LT第六章 代数系统6.1第129页1． 证明：任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此，运算*是可结合的。
该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。
2．证明：任取,,x y N x y ∈≠，由*,*x y x y x y x ==≠知，**y x x y ≠，*运算不是可交换的。
任取,,x y z N ∈，由(*)**x y z x z x ==，*(*)*x y z x y x ==知，(*)**(*)x y z x y z =，*运算是可结合的。
任取x N ∈，*x x x =，可知N 中的所有元素都是等幂的。
*运算有右么元，任取,x y N ∈，*x y x =，知N 中的所有元素都是右么元。
*运算没有左么元。
证明：采用反证法。
假定e 为*运算的左么元，取,b N b e ∈≠，由*的运算公式知*e b e =，由么元的性质知，*e b b =，得e b =，这与b e ≠相矛盾，因此，*运算没有左么元。
3．解： ① 任取y x I y x ≠∈,,的最小公倍数和y x y x =*的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=，即二元运算*是可交换的。
离散数学第六章代数系统
6.2 代数系统的基本性质
性质4 吸收率
给定<S，⊙，*>，则 ⊙对于*满足左吸收律：(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x*y)=x) ⊙对于*满足右吸收律：(x)(y)(x，y∈S→(x*y)⊙x=x) 若⊙对于*既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙对于*满足吸收律或
者可吸收的。
*对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。 若⊙对于*是可吸收的且*对于⊙也是可吸收的，则⊙和*是互为吸收的或
代数﹝Algebra﹞是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数学和抽象 代数学两部分。
代数的由来
初等代数学：是指19世纪中期以前发展的方程理论，主要研究某一方程﹝ 组﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有 何性质等问题。
抽象代数：是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世 纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H. Abel)、 法国数学家伽罗瓦(E′. Galois)、英国数学家德·摩根(A. De Morgan) 和布尔(G. Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L. Van Der Waerden)根据德国数学家诺特(A.E. Noether)和奥地利数学家阿 廷(E. Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷 和二卷，标志着抽象代数的成熟。
同态与同构
PART 同余、商代数、积代数
04
PART 05
代数系统实例
6.1 代数系统的定义
定义6.1 设S是个非空集合且函数f： Sn→S ，则称f为S上的一个 n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。
当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元运算，等等。 定义6.2 如果对给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而
第六章 代数系统--复习
第一部分：代数系统基本概念及性质 第二部分：半群与群 第三部分：格与布尔代数
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代数系统基本概念及性质
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代数系统—基本定义
代数系统：设S是个非空集合且fi是S上的ni元 运算，其中i = 1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数系统，记 作< S， f1，f2，…，fm >。
– 同余关系是代数结构的集合中的等价关系，并且在运 算的作用下，能够保持关系的等价类。
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代数系统—基本定义
商代数：给定<S，⊙>及其上的同余关系E， 且由E对S所产生同余类构成一个商集S/E。 若在S/E中定义运算*如下： [x]E *[y]E = [x⊙y]E
其中[x]E，[y]E∈S/E 于是<S/E，*>构成了一个代数结构，则称
– 给定群<G，⊙>，子群<H，⊙>的左陪集关系，记作CH，其定义 为： CH ：= {<a，b＞| a，b∈G∧b-1⊙a∈H}。
• 群的同态与同构
– 给定群<G，⊙>和群<H，*>，则<G，⊙>~<H，*>： ( g)(g ∈HG∧(∀a)(∀b)(a，b∈G → g(a⊙b)= g(a)*g(b)))，并称g为从群<G，⊙>到群<H，⊙>的群 同态映射。
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群论-基本概念
• 子半群:给定半群<S，⊙>及非空集合T⊆S，若T对⊙封
闭，则称<T，⊙>为<S，⊙>的子半群。
– 子独异点
• 循环子半群：给定半群<S，⊙>及任意a∈S，则<{a，a2 ，a3，…}，⊙>是循环子半群。
第6章 代数系统一般性质
6.1
6.1 二元运算及其性质
二元运算 6.1.2 二元运算律 6.1.3 二元运算特殊元 6.1.4二元运算实例
6.1.1
6.1.1 二元运算
二元运算是最常见的代数运算。 定义6.1.1 设S为集合，函数 f：S×S→S称为S上的一个二元运算， 简称为二元运算。
定义6.1.6 设 ◦ 和 * 为 S 上的两个二元运算，如果对任意的 x, y, z∈S都有
x ( y z) (x y) (x z)
( y z) x ( y x) ( z x)
则称运算 *对 ◦ 是可分配的，也可以说 * 对 ◦ 满足分配律。 例如，在实数集上普通乘法对加法是可分配的，在 n 阶实矩阵集合 M n ( R )上 矩阵乘法对矩阵加法是可分配的。而在幂集 ( S )上∪ 和∩运算是互相可分配的。 在讲到分配律时应指明哪个运算对哪个运算可分配，因为往往一个运算对另 一个运算可分配，但反之不对。例如，普通乘法对加法可分配，但普通加法对乘 法不是可分配的。
ai
a1
a1
a1 a1
a 2 a1
a2
a1 a 2
a2 a2
an
a1 a n
a1 a2
a1 a2
a2
a2 an
an
a n a1
an a2
an an
an
an
6.1二元运算及其性质
二元运算 6.1.2 二元运算律 6.1.3 二元运算特殊元 6.1.4二元运算实例
大连理工大学软件学院 离散数学 第六章 代数系统1：-3rd
• 例6(1).4.1 给定<Z，+，×>，其中Z是整数集 合，+和×是一般加、乘法。假设Z中的关系R 定义如下： • i1Ri2：= | i1 | = | i2 | 其中i1、i2∈Z • 试问，R为该结构的同余关系吗？ • 其中| i1 | 表示i1的绝对值. • 相等关系是等价关系是明显的，只要证它满足 代换性即可．即证对任意的i1,i2,i3,i4Z和 i1Ri2i3Ri4 | i1 | = | i2 | | I3 | = | i4 | • | i1+i3 |= | i2+i4 | • 对i1=1, i2=1, I3 =3, i4=-3
• | i1+I3 |=4 • | i2+i4 | =2 • 即对+不满足代换性，即Ｒ不是 <Z，+，×>的 同余关系．
• 可见，考察一个等价关系E对于有多个运算的 代数结构是否为同余关系，这里有个次序先后 问题，选择得好，即你一下子就考察到了E对 某个运算是不具有代换性质，那么立刻便可断 定E不是该结构的同余关系，否则验证应继续 下去，直至遇到不具有代换性质的运算为止。 如果对于所有运算都有代换性质，则E为该结 构的同余关系。在例6.4.1中，首先发现R对于 +不具有代换性质，那么可断定R不是该结构的 同余关系。如果你首先验证是R对于×的代换 性质，结果R对于×有代换性质，至此你只是 有希望E是同余关系，但还得继续工作，考察R 对于+的代换性质，由此结果才能判定R是否为 该结构的同余关系。
定义6补.2 设*是定义在集合A上的二元运 算，如果对于任意的x，y∈A，都有x*y＝ y*x，则称该二元运算*是可交换的。 例题2 设Q是有理数集合，△是Q上的二 元运算，对任意的a，b∈Q，a△b＝a+ba· b，问运算△是否可交换。 解 因为 a△b＝a+b-a· b＝b+a-b· a＝b△a 所以运算△是可交换的。
离散数学第6章+代数系统
于是A中的所有元素都是零元，与A中至少有两个元素矛盾。
第6章 代数系统
3.逆元 定义6.2.8 设∗是集合A上的二元运算，e为A中关于运算∗ 的幺元。如果对于A中的元素a存在着A中的某个元素b，使 得b∗a=e，那么称b为a的左逆元；如果存在A中的某个元素b， 使得a∗b=e，那么称b为a的右逆元；如果存在着A中的某个 元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么称b为a的逆 元。a的逆元记为a–1。如果aA存在逆元a–1A，那么称a为 可逆元。 一般地说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆
n个 an a a a
第6章 代数系统
当运算*满足结合律时，an的也可以递归定义如下： ⑴a1=a ⑵an+1=an∗a 由此利用数学归纳法，不难证明下列的公式： ⑴am∗an= am+n ⑵(am)n= amn 3.分配律 定义6.2.3 设*和是非空集合A上的两个二元运算，如果 对于任意a,b,cA，有
等元，对任意的正整数n，则an=a。 6.2.2特殊元素 1.幺元 定义6.2.6 设∗是定义在集合A上的二元运算，如果有一个
elA，对于任意的aA，有el ∗ a=a，则称el为A中关于运算∗的 左单位元或左幺元；如果有一个erA，对于任意的aA，有个元素，它既是左单位元又是右单位元，则称为A中关 于运算∗的单位元或幺元。
元。一个元素可以有左逆元而没有右逆元，同样可以有右逆 元而没有左逆元。甚至一个元素的左逆元或者右逆元还可以 不是惟一的。
定理6.2.6 设∗为A中的一个二元运算，A中存在幺元e且 每个元素都有左逆元。如果∗是可结合的运算，则在A中任何 元素的左逆元必定是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是 惟一的。
第6章 代数系统
第六章 代数系统2：-3rd-li
李豪杰 副教授 大连理工大学软件学院 数字媒体技术系 Email: hjli@
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回顾
• 群
给定代数系统Ｖ＝ ， 给定代数系统Ｖ＝<G，⊙>，若<G，⊙>是独异点且 Ｖ＝ ， ， 是独异点且 每个元素存在逆元， 每个元素存在逆元，或者 是可结合的， ① ⊙是可结合的， 关于⊙存在幺元， ② 关于⊙存在幺元， 中每个元素关于⊙ 是群。 ③ G中每个元素关于⊙是可逆的，则称 ，⊙>是群。 中每个元素关于 是可逆的，则称<G， 是群
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•
接下来讨论子群的陪集。 接下来讨论子群的陪集。
• 定义 定义6.12.3 令<H，⊙>是群 ，⊙>的子群且 ∈G， 是群<G， 的子群且a∈ ， ， 是群 的子群且 则把下面集合： 则把下面集合： • a⊙H = {a⊙h | h∈H} ⊙ ⊙ ∈ • 称为由元素 所确定的群 ，⊙>中的 的左陪集，或 称为由元素a所确定的群 所确定的群<G， 中的H的左陪集 中的 的左陪集， 简称为左陪集并简记aH。此外， 是左陪集aH的代 简称为左陪集并简记 。此外，称a是左陪集 的代 是左陪集 表元素。 表元素。 • 类似地可定义由 所确定群 ，⊙>中的 的右陪集 。 类似地可定义由a所确定群 所确定群<G， 中的H的右陪集 中的 的右陪集Ha。 • 显然，若<G，⊙>是Abel群，并且 ，⊙>是其子群， 显然， 是其子群， ， 是 群 并且<H， 是其子群 则aH = Ha，即循环群的任意元素的左陪集等于其右 ， 陪集。 陪集。
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• 若aCHb且bCHc，则b-1⊙a∈H和 且 ， ∈ 和 • c-1⊙b∈H，所以 -1⊙a = ∈ ，所以c • (c-1⊙b) ⊙(b-1⊙a)∈H，故有 Hc，因而满足传递性。 传递性。 ∈ ，故有aC ，因而满足传递性 • 显然，左陪集关系能把集合G划分成等价类。若a∈G， 显然，左陪集关系能把集合 划分成等价类。 ∈ ， 划分成等价类 则 • [a]= {b | bCHa} = {b | <b，a>∈CH} ， ∈ • = {b | a-1⊙b∈H} = {b | a-1⊙b=h, h∈H} = {b | b = ∈ ∈ a⊙h，h∈H} ⊙ ， ∈ • = {a⊙h | h∈H} = aH ⊙ ∈ • 其中 = a-1⊙b。 其中h 。 • 也就是说，a的等价类等于 确定的 的左陪集 也就是说， 的等价类等于 确定的H的左陪集 的等价类等于a确定的
第六章 代数系统(复习)
二. 域 (Field)
定义： 定义：设<F,+, ·>是个代数系统， >是个代数系统， K[F]≥2，如果F上二元运算+ 满足： K[F]≥2，如果F上二元运算+和 ·满足： 满足 F,+>是交换群 是交换群。 ⑴ <F,+>是交换群。 ⑵ <F-{0}, ·>是交换群。 >是交换群。 可分配。 ⑶ · 对+可分配。 F,+,·>是个域。 称<F,+, >是个域。 定理： 定理：6-9.2 设<F,+, ·>是域，则F中无 > 零因子。 零因子。
定理6 5.1设 是半群，如果S 定理6-5.1设<S, >是半群，如果S是有 限集合，则必存在a∈S,使得 a=a。 使得a 限集合，则必存在a∈S,使得a a=a。 定理6 5.2设 是交换独异点, 定理6-5.2设<M, >是交换独异点,A是M 中所有幂等元构成的集合， 中所有幂等元构成的集合，则<A, > 的子独异点。 是<M, >的子独异点。
同构关系≌ 同构关系≌是等价关系
1.≌有自反性：任何代数系统<X, > , .≌有自反性：任何代数系统< 有自反性 X≌X。 有X≌X。 2.≌有对称性：任何代数系统<X, > <Y, .≌有对称性：任何代数系统< 有对称性 如果有X≌Y 则必有Y≌X。 则必有Y≌X Y≌X。 ⊕>, 如果有X≌Y .≌有传递性 任何代数系统< 有传递性： 3.≌有传递性：任何代数系统<X, > <Y,⊕>,<Z,♦ 如果有X≌Y Y≌Z， <Y,⊕>,<Z,♦> 如果有X≌Y 和 Y≌Z， 则必有 X≌Z 。
6 代数系统
3) 等幂元：设*是集合 中的二元运算 且x∈X，如果有 等幂元： 是集合X中的二元运算 是集合 中的二元运算,且 ∈ ， x*x=x,则称 对于 运算是等幂的； x称为等幂元。 则称x对于 运算是等幂的； 称为等幂元 称为等幂元。 则称 对于*运算是等幂的 对任何运算来说，幺元和零元都是等幂元。 例 对任何运算来说，幺元和零元都是等幂元。 4) 逆元（左逆元 l 、右逆元 r ） 逆元（左逆元x 右逆元x 是集合X中的运算 中对于*存在幺元 设*是集合 中的运算 且X中对于 存在幺元 ，令x∈X 是集合 中的运算,且 中对于 存在幺元e， ∈ （1）如果有一个元素 l∈X，能使得 l*x= e,则称 l为x的 则称x ）如果有一个元素x ，能使得x 则称 的 左逆元，并称x是左可逆的 是左可逆的； 左逆元，并称 是左可逆的； 则称x ，能使得x*xr= e,则称 r为x的 则称 的 （2）如果有一个元素 r∈X，能使得 ）如果有一个元素x 右逆元，并称x是右可逆的 是右可逆的； 右逆元，并称 是右可逆的； 既左可逆的又是右可逆的， （3）如果 既左可逆的又是右可逆的，则称 是可逆的。 ）如果x既左可逆的又是右可逆的 则称x是可逆的
对任意xx若其逆元x1存在则x1xx11xx1为整故只有2和0有逆元212015可约的或可消去的设是集合x中的运算且ax定理设是集合x中的运算且是可结合的若ax对运算是可逆的则a也是可约的
第6章 代数系统初步
大连海事大学
计算机科学与技术学院
第3篇 代数系统
代数系统又称代数结构或抽象代数， 代数系统又称代数结构或抽象代数，是近代数学研 代数结构 究的主要对象。代数系统是指集合及其运算所组成 究的主要对象。代数系统是指集合及其运算所组成 的一个整体（或系统）。 的一个整体（或系统）。 我们研究代数系统主要是研究它的代数性质， 我们研究代数系统主要是研究它的代数性质，即代 它的代数性质 数运算所表达的性质， 集合和映射是研究代数系 数运算所表达的性质，而集合和映射是研究代数系 所表达的性质 统的基础。 统的基础。 典型的代数系统主要包括群 典型的代数系统主要包括群、环、域、格与布尔代 数等内容。 等内容。
几个典型的代数系统
第六章几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．6.1 半群定义 6.1称代数结构<S，*>为半群（semigroups），如果*运算满足结合律．当半群<S，*>含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例6.1 <I+，＋>，<N，·>，<∑*，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理6.1设<S，*>为一半群,那么（1）<S，*>的任一子代数都是半群，称为<S，*>的子半群．（2）若独异点<S,*,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S，*, e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理6.2设<S，*>,<S’，*’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，*’>为一半群．（2）当<S，*>为独异点时，则<h(S)，*’>为一独异点.定理6.3设<S，*>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a∈Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x∈S，f a（x）= a*x现证h为一同态．对任何元素a,b∈S．h(a*b)＝f a*b （l1－1）而对任何x∈S，f a*b（x）= a*b*x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a*b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a*b）= f a*b = f a○f b ＝h（a）○h（b）本定理称半群表示定理。
第六章-代数系统-4-zhou
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Lagrange定理的推论
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有an = e. 证 任取a∈G，<a>是G的子群，<a>的阶是n的因子. <a>是由a生成的子群，若|a| = r，则 <a> = {a0=e,a1,a2,…,ar1} 即<a>的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e. 推论2 对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>.
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实例
(2) 设A={1,2,3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}， f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}， f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}， f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>} 令 G = {f1, f2, … , f6}，则G 关于函数的复合运算构成群. 考虑 G 的子群H={f1, f2}. 做出 H 的全体右陪集如下： Hf1={f1f1, f2f1}=H , Hf2={f1f2, f2f2}=H Hf3={f1f3, f2f3}={f3, f5}, Hf5={f1f5, f2f5}={f5, f3} Hf4={f1f4, f2f4}={f4, f6}, Hf6={f1f6, f2f6}={f6, f4} 结论： Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.
几个典型的代数系统
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例5、证明 G 是阿贝尔群当且仅当对a,bG， (ab)2 a2b2。
证明：设 G 为阿贝尔群，
则 a,bG，有 abba ，
故 (ab)2(ab)(ab)a(ba)b a (a b )b(a a )(b b )a 2 b 2
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例5、证明 G 是阿贝尔群当且仅当对a,bG， (ab)2 a2b2。
x y(xy)m o dn， x y(xy)m odn。
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二、域。
定义：环 F , , 满足：
(1) F 至少两个元素，
(2) F , 含有幺元， (3) F , 是可交换的， (4) F , 除加法幺元外，其余元素均有逆元， 则称 F , , 为域。
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例2、 Q , , ， R , , 都是域，但 Z , , 不是域，
证明：反之，设 a,bG，(ab)2 a2b2 ， 即 (ab)(ab)(aa)(bb)， 即 a(ba)ba(ab)b， 由消去律，得 ba ab ，
故G 为阿贝尔群。
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例6、如果 G 中的每一个元素 a 都满足 a 2 e ，
则 G 是阿贝尔群。
证明：a,bG ， 由题设知，a 1 a ，b1 b，(ab)1 ab 从而 ab(ab) 1b 1a 1ba，
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下图给出了格 S 8 , D ， S 6 , D ，S30 , D ，S36 , D
6 8
4
2
3
2
1
1
S 8,D
S6,D
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下图给出了格 S 8 , D ， S 6 , D ，S30 , D ，S36 , D
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第六章代数系统1. 填空题：f是X上的n元运算的定义是（）。
2. 判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。
3. 判断正误，并说明原因：实数集合R上的除法运算“¸”是个封闭的运算。
4.填空题：代数系统的定义是：（）。
5. 填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性，则它的运算表的特征是（）。
6.填空题：*是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。
7. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？8. 简答题：*是X上的二元运算，*具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？9. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何判定哪个元素是元素x的逆元？10 令N4={0,1,2,3}，N4上定义运算+4：任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。
例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)＝1请列出<N4, +4>的运算表。
然后判断+4运算是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素是否有逆元？如果有上述这些元素，请指出这些元素都是什么。
11. 判断正误，并说明原因：对于整集合I上的减法运算“－”来说， 0是幺元。
12. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的交运算Ç的幺元是（）。
零元是（）。
有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。
13. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的并运算È的幺元是（）。
零元是（）。
有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。
14. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的对称差运算Å的幺元是（）。
零元是（）。
有逆元的元素是（）。
它们的逆元分别是（）。
15. 填空题：对于自然数集合N上的加法运算“＋”，13＝（）。
16. 填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（）。
17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有（），其零元是（）。
18. 设«是X上的二元运算，如果有左幺元 e L∈X，也有右幺元 e R∈X，则 e L= e R =e ，且幺元 e 是唯一的。
19. 设«是X上的二元运算，如果有左零元θL∈X，也有右零元θR∈X，则θL=θR=θ,且零元θ是唯一的。
20. 设«是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果 x∈X，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等。
且x的逆元是唯一的。
21. 设«是X上且可结合的二元运算，如a∈X，且a-1∈X，则a是可消去的，即任取x,y∈X，设有a«x=a«y 则x=y。
22. 对于实数集合R，给出运算如下：＋是加法、—是减法、·是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x与y差的绝对值。
判断这”。
23. 设R是实数集合，在R上定义二元运算* 如下：任取x,y∈R，x*y=xy－2x－2y＋61．验证运算* 是否满足交换律和结合律。
2．求运算*是否有幺元和零元，如果有请求出幺元和零元。
3．对任何实数x，是否有逆元？如果有，求它的逆元，如果没有，说明原因。
24.设«是X 上有幺元e 且可结合的二元运算，求证如果"x ∈X ，都存在左逆元，则x 的左逆元也是它的右逆元。
25. .给定下面4个运算表如下所示。
分别判断这些运算的性质，并用“Y ”表示“有”，用“N ”表示“无”填下面表。
如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素，要指出这些元素是什么。
26. 分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构？27. 什么叫做同态核？28.请举同构的两个代数系统的例子，并说明它们同构的理由。
29. 给出集合A ＝{0,1,2,3}和A 上的二元运算“*”。
集合B ＝{S,R,A,L}和B 上的二元运算★ a b ca b ca b c bc a c a ba)★a b ca b ca b c b a c c c cb)★a b ca b ca b c a b c a b cc)★a b ca b ca b c b b c c c bd)“o ”。
它们的运算表如下面所示。
验证<A, *>与<B, o >同构。
30令S={<X,*>|X 是集合，*是X 上的二元运算}，即S 是所有含有一个二元运算的代数系统构成的集合。
@是S 中的代数系统间的同构关系。
求证，@是S 中的等价关系。
31. 令A={0,1,2,3,4,…},B={1,2,4,8,16,…}，+表示加法，*表示乘法， 问<A,+>和<B,*>是否同构？为什么？32 已知代数系统<S, * >和<P, · >，其中S={a,b,c} P={1,2,3} 二元运算表如下所示：试证明它们同构。
a b ca b ca b c b b cc b c·1 2 31 2 31 2 1 1 2 21 2 3*0 1 2 30 0 1 2 31 123 02 23 0 1 3 3 0 1 2*S R A LS S R A LR R A L SA A L S R L L S R A33给定两个代数系统，<R+,×>：R+是正实数，×是R+上的乘法运算；<R, +>： R 是实数集合，＋是R上的加法运算。
它们是否同构？对你的回答给予证明或者举反例说明之。
34. 已知代数系统<X,«>与<Y, o>同构，即 X @ Y。
并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果运算«可结合，则运算o也可结合。
35. 已知代数系统<X,«>与<Y, o>同构，即 X @ Y。
并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果运算«可交换，则运算o也可交换。
36. 已知代数系统<X,«>与<Y, o>同构，即 X @ Y。
并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果运算«有幺元e«，则运算o也有幺元e o，且f(e« )= e o。
37. 已知代数系统<X,«>与<Y, o>同构，即 X @ Y。
并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果运算«有零元θ«，则运算o也有零元θo ，且f(θ«)=θo 。
38 已知代数系统<X,«>与<Y, o>同构，即 X @ Y。
并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果<X,«>中每个x∈X可逆，即x-1∈X, 则<Y, o>中每个y∈Y也可逆，即y-1∈Y。
且如果y=f(x) ，则 y-1= (f(x))-1 =f(x-1)。
(x映像的逆元=x逆元的映像)39集合A上两个同余关系R、S, 证明R∩S也是同余关系.40. 考察代数系统<I,+>,定义I上如下关系R是同余关系？a).<x,y>∈R当且仅当(x<0∧y<0)∨(x≥0∧y≥0)b). <x,y>∈R当且仅当|x-y|<10c). <x,y>∈R当且仅当(x=y=0)∨(x¹0∧y¹0)d). <x,y>∈R当且仅当x≥y41. 填空：«是A上二元运算，代数<A,«>是半群，当且仅当（）。
42. 填空：«是A上二元运算，代数<A,«>是独异点，当且仅当（）。
43 列举出5个你所熟悉的是半群的例子。
44. 列举出5个你所熟悉的是独异点的例子。
45 列举出1个你所熟悉的是半群但不是独异点的例子。
46. 给定代数系统<R,«> ，«是实数R上二元运算，定义为："a,b∈R,a « b=a+b+a·b求证<R,«> 是独异点。
47. <A,«>是个半群，"a,b∈A，若a≠b则a«b≠b«a，试证：a) "a∈A，有a«a=ab) "a,b∈A，a«b«a=ac) "a,b,c∈A，a«b«c=a«c48. 设<S,*>是个半群，且左右消去律都成立，证明S是交换半群的充要条件是对任何a,b∈S，有 (a*b)2=a2*b249. 设<S,«>是半群，如果S是有限集合，则必存在a∈S,使得a«a=a。
50. 设A是有理数集合，在笛卡尔积A×A上，定义二元运算△如下：任取<a,b>,<c,d>∈A×A <a,b>△<c,d>=<a´c,a´d+b> 其中：´是乘法。
+是加法。
求证<A×A,△>是独异点。
51..设<M,«>是交换独异点，A是M中所有幂等元构成的集合，证明<A,«>是<M,«>的子独异点。
52.令I：是整数集合；N：自然数集合，R：实数集合。
＋是加法运算，×是乘法运算。
给定代数系统<I,+>,<R,+>, <I,×>,<N,×>,<R,×>,<P(E),Ç >,< P(E), È>,<P(E), Å>。
请问哪些代数系统不是群？只要说明一条理由即可。
又问哪些代数系统是群？并说明理由。
53. X=R－{0,1}, X上定义六个函数，如下所示："x∈X,f1(x)=x f2(x)=x-1 f3(x)=1-xf4(x)=(1-x) -1 f5(x)=(x-1)x-1 f6(x)=x(x-1) -1令F={f1,f2, f3, f4, f5, f6}，o 是F上的复合运算，试证明<F, o >是群。
54. 令R是实数，F={f| f(x)=ax+b，a,b,x∈R,a¹o }，o 是F上的函数左复合运算，试证明<F, o >是群。