人教版高中数学必修一《指数函数与对数函数》
人教高中数学必修一A版《函数的应用》指数函数与对数函数说课复习(函数模型的应用)
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问题导学 预习教材 P148－P154，并思考以下问题： 1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？ 2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？
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第四章 指数函数与对数函数
几类常见的函数模型
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(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1)，则 a(1－x)10＝12
a，即(1－x)10＝12，解得 x＝1－12110.
(2)设经过 m 年后森林剩余面积为原来的 22，则 a(1－x)m＝ 22a，
即121m0＝1212，则1m0＝12，解得 m＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年．
是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，
已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
2 2.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
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第四章 指数函数与对数函数
【解】
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(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高 1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原 来的多少倍．
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【解】 (1)由 v＝12log31θ00可知， 当 θ＝900 时，
人教A版高中数学必修一课件 《对数》指数函数与对数函数PPT(第一课时对数的概念)
【解】 (1)loge16＝a，即 ln16＝a. (2)log6414＝－13. (3)32＝9. (4)xz＝y.
将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4;
(2)log127＝－3； 3
(3)43＝64; (4)14－2＝16. 解：(1)由 log216＝4 可得 24＝16.
(2)由
1．对数的概念 一 般 地 ， 如 果 ax ＝ N(a>0 ， 且 a≠1) ， 那 么 数 x 叫 做 _以___a_为___底__N__的__对__数____ ， 记 作 _x_＝___lo_g_a_N__ ， 其 中 a 叫 做 ___对__数__的__底__数____，N 叫做真 __数___．
把对数式 loga49＝2 写成指数式为( )
A．a49＝2
B．2a＝49
C．492＝a
D．a2＝49
答案：D
log32x－ 5 1＝0，则 x＝________．
答案：3
指数式与对数式的互化
将下列指数式与对数式互化： (1)ea＝16; (2)64－13＝14； (3)log39＝2; (4)logxy＝z(x＞0 且 x≠1，y＞0)．
log127＝－3 3
可得13－3＝27.
(3)由 43＝64 可得 log464＝3.
(4)由14－2＝16
可得
log116＝－2. 4源自利用对数式与指数式的关系求值
求下列各式中 x 的值： (1)log27x＝－23； (2)logx16＝－4； (3)lg10100＝x; (4)－lne－3＝x.
4.3对数 第一课时 对数
的概念
第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标
人教A版高中数学必修一 《指数》指数函数与对数函数PPT课件
考点
学习目标
利用指数幂的性质化 理解指数幂的含义及其
简求值
运算性质
会根据已知条件，利用
条件求值问题
指数幂的运算性质、 根式的性质进行相关求
值运算
核心素养 数学运算
数学运算
问题导学 预习教材 P104－P109，并思考以下问题： 1．n 次方根是怎样定义的？ 2．根式的定义是什么？它有哪些性质？ 3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ 4．有理指数幂有哪些运算性质？
A. （－5）2＝－5
4 B.
a4＝a
C. 72＝7
3 D.
（－π）3＝π
解析：选 C.由于 （－5）2＝5，4 a4＝|a|，3 （－π）3＝－π， 故 A，B，D 项错误，故选 C.
2．化简( a－1)2＋ （1－a）2＋3 （1－a）3＝________．
解析：由( a－1)2 知 a－1≥0，a≥1. 故原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1. 答案：a－1
1
4 ＝
4 x3
1x3(x＞0)，
故③正确；对于④，x－13＝ 1 ，故④错误．综上，故填③. 3 x
答案：③
2．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)： (1)a2 a；(2)3 a2· a3；(3)(3 a)2· ab3；(4) a2 .
6 a5 解：(1)原式＝a2a12＝a2+12＝a52. (2)原式＝a23·a32＝a23＋32＝a163. (3)原式＝(a13)2·(ab3)12＝a32a12b32＝a32+12b23＝a67b32. (4)原式＝a2·a－56＝a2－56＝a76.
4.1 指 数
第四章 指数函数与对数函数
高中数学必修第一册人教A版(2019)第四章-《指数函数与对数函数》本章教材分析【2024版】
可编辑修改精选全文完整版《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。
人教A版高中数学必修一 《指数函数》指数函数与对数函数PPT(第1课时指数函数的概念、图象及性质)
5．求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2x－1 4；(2)y＝23 －|x|.
解：(1)要使函数有意义，则 x－4≠0，解得 x≠4.
1
所以函数 y＝2x－4的定义域为{x|x≠4}． 因为x－1 4≠0，所以 2x－1 4≠1，即函数 y＝2x－1 4的值域为{y|y>0，且 y≠1}．
(2)要使函数有意义，则－|x|≥0，解得 x＝0. 所以函数 y＝23 －|x|的定义域为{x|x＝0}． 因为 x＝0，所以23 －|x|＝230＝1，即函数 y＝23 －|x|的值域为{y|y＝ 1}．
本部分内容讲解结束
问题导学 预习教材 P111－P118，并思考以下问题： 1．指数函数的概念是什么？ 2．结合指数函数的图象，分别指出指数函数 y＝ax(a>1)和 y＝ ax(0<a<1)的定义域、值域和单调性各是什么？
1．指数函数的概念 一般地，函数 y＝__a_x__ (a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是____自_变__量___．
指数函数的图象
根据函数 f(x)＝12x的图象，画出函数 g(x)＝12|x|的图象， 并借助图象，写出这个函数的一些重要性质．
【解】
g(x)＝12|x
|＝12x（x≥0），其图象如图． 2x（x<0），
由图象可知，函数 g(x)的定义域为 R，值域是(0，1]， 图象关于 y 轴对称，单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是(0，＋∞)．
■名师点拨 指数函数解析式的 3 个特征
(1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数． (2)自变量 x 的位置在指数上，且 x 的系数是 1. (3)ax 的系数是 1.
人教高中数学必修一A版《指数函数》指数函数与对数函数说课教学课件
解析:若函数y=(a-2)ax是指数函数,
-2 = 1,
则
解得 a=3.
> 0 且 ≠ 1,
答案:C
)
课前篇
自主预习
一
二
二、指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与性质
x
分别在同一平面直角坐标系内画出 y=2 与 y=
与 y=
1
的图象及
2
y=3x
1
||
1
单调区间吗?
2
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
分析:(1)作直线x=1,其与函数图象的交点的纵坐标即为指数函数
底数的值;(2)令幂指数等于0,即x+1=0,即可解得;(3)先讨论x,将函数
写为分段函数,再画出函数的图象,然后根据图象写出函数的值域
和单调区间.
(1)解析:(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底
轴;当底数a大于1时图象上升,为增函数;当底数a大于0小于1时图象
下降,为减函数.
(3)图象是否经过定点?这与底数的大小有关系吗?
提示:图象恒过定点(0,1),与a无关.
课前篇
自主预习
一
二
(4)函数 y=3 与 y=
x
1
3
的图象有什么关系?
提示:通过图象(略)看出 y=3 与 y=
x
1
3
的图象也关于 y 轴对称.
(5)你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的
哪些性质?(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶
高中数学必修一(人教版)《4.1 指数》课件
4.掌握指数的运算性质，会利用整体代换 简或求值，培养数学运算素养.
的思想求值.
知识点一 根式的概念及其性质
(一)教材梳理填空
1．n次方根的概念： 一般地，如果 xn＝a，那么_x__叫做 a 的 n次方根 ，其中 n
定义 ＞1，且 n∈N *
a＞0 n 是奇数
[方法技巧] 根式化简应遵循的三个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数． (3)被开方数中不能含有分母；使用 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)化简时，被开 方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．
【对点练清】
4
4
5
4
1．在① －42n，② －42n＋1，③ a4，④ a5(n∈N ，a∈R )中，一定有意义
3．实数指数幂的运算性质： (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈R)．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8.
()
(2)(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3.
指数幂
数幂
规定：a
m n
＝
＝____(a＞0，m，n∈N *，n＞1)
性质
0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义
n
[微思考]
在分数指数幂与根式的互化公式
a
m n
＝
am中，为什么必须规
定 a>0?
n
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即 am＝a n ＝0，无研究
人教高中数学必修一A版《对数函数》指数函数与对数函数说课复习(对数函数的概念、图象及性质)
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a＞1
性质
定义域 值域 定点
单调性
_(_0_，__＋__∞__) _
R
_(_1_，__0_)__，即 x＝__1__时，y＝__0__
在(0，＋∞)上是
_减__函__数___
在(0，＋∞)上是
_增__函__数___
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第四章 指数函数与对数函数
■名师点拨
________．
解析：因为(a －4a＋4)·log x 是对数函数，则 a －4a＋4＝1，得 2 a
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2
a＝1 或 a＝3.由于 a>0，a≠1，则 a＝1 舍去，即 a＝3.
答案：3
3．若对数函数 f(x)＝logax 的图象过点(2，1)，则 f(8)＝________． 解析：依题意知 1＝loga2，所以 a＝2，所以 f(x)＝log2x，故 f(8) ＝log28＝3.
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(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线 y＝1 与所给
图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，
自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数
的大小．
高中人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结
高中人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们经常出现在各种高考试题中。
下面对高中人教A版必修一中的指数函数和对数函数的知识点进行总结：一、指数函数的定义和性质：1.指数函数的定义：设a是一个正数且不等于1，x是任意实数，则形如y=a^x的函数称为指数函数。
2.指数函数的性质：(1)当a>1时，指数函数y=a^x是递增函数。
(2)当0<a<1时，指数函数y=a^x是递减函数。
(3)当a>0且不等于1时，指数函数y=a^x的图象经过点(0,1)。
(4)当a>1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无上界，且在x轴的左半部分无下界；当0<a<1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无下界，且在x轴的左半部分无上界。
(5)指数函数y=a^x的图象经过点(1,a)。
二、对数函数的定义和性质：1. 对数函数的定义：设a是一个大于0且不等于1的实数，b是一个正数，则形如y=log_a^b的函数称为对数函数。
2.对数函数的性质：(1) 对数函数y=log_a^b的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
(2) 当0<a<1时，对数函数y=log_a^b是递增函数。
(3) 当a>1时，对数函数y=log_a^b是递减函数。
(4) 对数函数y=log_a^b的图象经过点(a,1)。
(5) 对数函数y=log_a^b是指数函数y=a^x的反函数，即y=log_a^b等价于b=a^y。
三、指数方程和对数方程：1.指数方程：形如a^x=b的等式称为指数方程。
(1)指数方程的解法：当指数方程左右两边的底数相等时，可取对数得到对数方程，再解对数方程得到解；当指数方程左右两边的指数相等时，可取对数得到对数方程，再解对数方程得到解。
2. 对数方程：形如log_a^b=c的等式称为对数方程。
(1)对数方程的解法：根据对数的定义，可将对数方程化为指数方程，再解指数方程得到解。
人教高中数学必修一A版《函数的应用》指数函数与对数函数说课复习(函数的零点与方程的解)
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 课件
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(1)函数的零点是一个点．( × )
(2)任何函数都有零点．( × )
(3)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)＜
0.( × )
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第四章 指数函数与对数函数
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即函数 f(x)＝lnx＋x －3 有一个零点． 2
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法二：因为 f(1)＝－2，f(2)＝ln2＋1＞0.
所以 f(1)·f(2)＜0，
又 f(x)＝lnx＋x2－3 的图象在(1，2)上是不间断的，
所以 f(x)在(1，2)上必有零点，
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答案：8
已知函数 y＝f(x)的定义域为 R，图象连续不断，若计算得 f(1)<0， f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________． 答案：(1.25，1.5)
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数学运算、 直观想象
第四章 指数函数与对数函数
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人教高中数学A版必修一 《对数》指数函数与对数函数PPT课件(第2课时对数的运算)
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2
＋lg 5＋lg 2＝3.
第十六页，共三十五页。
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对数的换底公式 【例2】 (1)计算： (log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)． (2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)． [解] (1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋ log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝3＋1＋13log25·(1＋1＋1)log52 ＝133·3＝13.
第四页，共三十五页。
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思考：当 M>0，N>0 时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝ logaM·logaN 是否成立？
提示：不一定．
第五页，共三十五页。
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2．对数的换底公式 若 a>0 且 a≠1；c>0 且 c≠1；b>0，
logcb 则有 logab＝_l_o_g_ca__.
第六页，共三十五页。
1．计算 log84＋log82 等于( )
A．log86
B．8
C．6
D．1
7
D [log84＋log82＝log88＝1.]
第七页，共三十五页。
2．计算 log510－log52 等于( )
A．log58 B．lg 5
C．1
D．2
8
C [log510－log52＝log55＝1.]
第十五页，共三十五页。
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人教高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳
(名师选题)人教高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳单选题1、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12 C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3，答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．2、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度v(m /s )，其中v 0(m /s )是喷流相对速度，m(kg )是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg )是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：lge ≈0.434,lg2≈0.301）A ．5790m /sB ．6219m /sC ．6442m /sD ．6689m /s 答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果. v =v 0 ln M m =1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s .故选：C ．3、下列函数中是偶函数且在区间(0,+∞)单调递减的函数是（ ） A ．f(x)=1|x |B ．f(x)=(13)xC ．f(x)=lg |x |D ．f(x)=x −13 答案：A分析：利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论． 解：f(x)=1|x |是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，满足条件；f(x)=(13)x是非奇非 偶函数，不满足条件；f(x)=lg |x |是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件； f(x)=x −13是奇函数不是偶函数，不合题意. 故选：A ．4、已知a =ln 13，b =30.3，c =1og 54，则a,b,c 的大小关系是（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <a <b 答案：C解析：分别将a,b,c 与0,1比较大小，从而得到a,b,c 的大小关系.因为a =ln 13<ln1=0，b =30.3>30=1，0=log 51<c =1og 54<log 55=1，所以可知b >c >a 故选：C5、若2x −2y <3−x −3−y ，则（ ）A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y|>0D ．ln|x −y|<0 答案：A分析：将不等式变为2x −3−x <2y −3−y ，根据f (t )=2t −3−t 的单调性知x <y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2x−2y<3−x−3−y得：2x−3−x<2y−3−y，令f(t)=2t−3−t，∵y=2x为R上的增函数，y=3−x为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，∵y−x>0，∴y−x+1>1，∴ln(y−x+1)>0，则A正确，B错误；∵|x−y|与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.6、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=log2(x+2)+t，f(−6)=（）A．−2B．2C．−4D．4答案：A分析：因f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，从而可求t，再由奇函数的定义即可求出f(−6)的值. 解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，又当x≥0时，f(x)=log2(x+2)+t，∴f(0)=log2(0+2)+t=0，∴t=−1，∴当x≥0时，f(x)=log2(x+2)−1，∴f(−6)=−f(6)=−[log2(6+2)−1]=−(log223−1)=−2，故选：A.7、已知函数f(x)={2,x>mx2+4x+2,x≤m，若方程f(x)−x=0恰有三个根，那么实数m的取值范围是（）A．[−1,2)B．[−1,2]C．[2,+∞)D．(−∞,−1]答案：A分析：由题意得，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线y=x与函数f(x)=2(x>m)至多有一个交点，而直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)至多两个交点，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，则只需要满足直线y=x与函数f(x)=2(x>m)有一个交点直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点即可，如图所示，y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2)，B(−1,−1)，故有m≥−1.而当m≥2时，直线y=x和射线y=2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[−1,2).故选：A.8、已知函数f(x)=log a(x−b)（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a>0，b<−1B．a>0，−1<b<0C．0<a<1，b<−1D．0<a<1，−1<b<0答案：D分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解.因为函数f(x)=log a(x−b)为减函数，所以0<a<1又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x=1+b>0，即b>−1又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以−1<b<0，故选：D9、下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2）√a nn＝a(a≥0)；（3）(ab )5=a5b15；（4）√(−3)26=(−3)13．A．1B．2C．3D．4答案：A分析：（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为a5b−5；（4）符号错误49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；(ab )5=a5b−5，（3）错；√(−3)26=313，(4)错，正确个数为1个，故选：A10、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C大约增加了（）（附：lg2≈0.3010）A．20%B．23%C．28%D．50%答案：B分析：根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.将信噪比SN 从1000提升至5000时，C大约增加了Wlog2(1+5000)−Wlog2(1+1000)Wlog2(1+1000)=log25001−log21001log21001≈lg5000lg2−lg1000lg2lg1000lg2=lg53=1−lg23≈0.23=23%.故选：B. 填空题11、设x>0，y>0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底数），则x2、y2的算术平均值的最小值为__________.答案：1分析：利用指数的运算性质可得出x+y=2，再利用基本不等式可求得结果.由已知条件可得e x⋅e y=e x+y=e2，所以，x+y=2，因为x>0，y>0，由基本不等式可得x2+y2≥2xy，≥1，即2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=4，所以，x2+y22当且仅当x=y=1时，等号成立.因此，x2、y2的算术平均值的最小值为1.所以答案是：1.12、已知函数f(x)是指数函数，且f(2)=9，则f(1)=______．2答案：√3分析：依题意设f(x)=a x（a>0且a≠1），根据f(2)=9即可求出a的值，从而求出函数解析，再代入计算可得.解：由题意，设f(x)=a x（a>0且a≠1），因为f(2)=9，所以a2=9，又a>0，所以a=3，所以f(x)=3x，所以f(1)=√3．2所以答案是：√313、函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线；②∀x∈R，f(x)=f(−x)；③当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，f(x1)−f(x2)>0；④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个解析x1−x2式________答案：f(x)=x2−1（答案不唯一）分析：由题意可得函数f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上为增函数，函数图象与x轴只有2个交点，由此可得函数解析式因为∀x∈R，f(x)=f(−x)，所以f(x)是偶函数，因为当x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，所以f(x)在(0,+∞)上为增函数， 因为f(x)恰有两个零点，所以f(x)图象与x 轴只有2个交点，所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)=x 2−1， 所以答案是：f(x)=x 2−1 （答案不唯一） 14、计算：e ln2+(log 23)⋅(log 34)=________. 答案：4分析：根据换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可. e ln2+(log 23)⋅(log 34)=2+lg3lg2×lg4lg3=2+log 24=2+2=4， 所以答案是：415、已知定义域为R 的函数f (x )=−12+12x +1则关于t 的不等式f(t 2－2t)+f(2t 2－1)<0的解集为________.答案：(−∞,−13)∪(1,+∞).分析：先判断出f (x )是奇函数且在R 上为减函数，利用单调性解不等式. 函数f (x )=−12+12x +1的定义域为R. 因为f (−x )=−12+12−x +1=−12+2x2x +1，所以f (−x )+f (x )=(−12+12−x +1)+(−12+12x +1)=−1+1=0，所以f (−x )=−f (x )， 即f (x )是奇函数.因为y =2x 为增函数，所以y =12x +1为减函数，所以f (x )=−12+12x +1在R 上为减函数. 所以f(t 2－2t)＋f(2t 2－1)＜0可化为f(t 2－2t)＜－f(2t 2－1)＝f(1－2t 2). 所以t 2－2t ＞1－2t 2，解得：t ＞1或t ＜－13. 所以答案是：(−∞,−13)∪(1,+∞). 解答题16、如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB的长为x米．(1)当AB的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？答案：(1)15米；(2)当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米.分析：（1）设篱笆的一面AB的长为x米，则BC=(50−2x)m，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得S=x(50−2x)，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB的长为x米，则BC=(50−2x)m，由题意得，x(50−2x)=300，解得x1=15,x2=10，∵50−2x≤25，∴x≥12.5，∴x=15，所以，AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得，S=x(50−2x)=−2x2+50x=−2(x−12.5)2+312.5,12.5≤x<25∴x=12.5时，S取得最大值，此时，S=312.5，所以，当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米．17、已知函数f(x)=log2(2x+1).（1）求不等式f(x)>1的解集；（2）若函数g(x)=log 2(2x −1)(x >0)，若关于x 的方程g(x)=m +f(x)在[1,2]有解，求m 的取值范围. 答案：（1）{x |x >0 }；（2）[log 213,log 235].分析：（1）由f(x)>1可得2x +1>2，从而可求出不等式的解集，（2）由g(x)=m +f(x)，得m =g (x )−f (x )=log 2(1−22x +1)，再由x ∈[1,2]可得log 2(1−22x +1)的范围，从而可求出m 的取值范围（1）原不等式可化为2x +1>2，即2x >1,∴x >0， 所以原不等式的解集为{x |x >0 } （2）由g(x)=m +f(x)， ∴m =g (x )−f (x )=log 2(1−22x +1)，当1≤x ≤2时，25≤22x +1≤23，13≤1−22x +1≤35，m ∈[log 213，log 235]18、已知函数f (x )=log 12x +12x −172．(1)用单调性的定义证明：f (x )在定义域上是减函数； (2)证明：f (x )有零点； (3)设f (x )的零点在区间(1n+1,1n)内，求正整数n ．答案：(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)10分析：（1）设0<x 1<x 2，则结合对数的运算法则可证得f (x 1)−f (x 2)=(log 12x 1−log 12x 2)+(12x 1−12x 2)>0，则f (x 1)>f (x 2)，由此可得证.（2）结合函数的解析式有f (1)=−8<0，f (116)=72>0，且f (x )在区间(116 ， 1)上连续不断，由零点存在定理可得证.（3）结合函数的解析式可得f (110)f (111)<0，由此可得答案.（1）因为f (x )的定义域为(0,+∞)，设x 1，x 2是(0,+∞)内的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=(log 12x 1−log 12x 2)+(12x 1−12x 2)，因为x 2−x 1>0，x 1x 2>0， 所以log 12x 1−log 12x 2>0，12x 1−12x 2=x 2−x 12x 1x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在定义域(0,+∞)上是减函数． （2）因为f (1)=0+12−172=−8<0，f (116)=4+8−172=72>0，所以f (1)⋅f (116)<0，所以f (x )有零点． （3）f (111)=log 12111+112−172=log 211−3>log 28−3=0，f (110)=log 12110+5−172=log 210−72=log 25−52=log 2√25−log 2√32<0，所以f (110)f (111)<0，又f (x )在(0,+∞)上为减函数，所以f (x )的零点在区间(111,110)内，故n ＝10．。
高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算课件新人教A版必修第一册
=(log23+log23+log23+…+log23)×log9
=n×log23× × log32
= .
探索点三
对数运算的综合应用
【例 3】
(1)已知 2x=3y=a,若 + =2,则 a 的值为(
A.36
B.6
C.2
D.
解析:因为 2x=3y=a,所以 x=log2a,y=log3a,
所以 + =
+
=loga2+loga3=loga6=2,
所以 a2=6,解得 a=±
.
又因为 a>0,所以 a=
,故选 D.
答案:D
)
(2)方程 lgx+lg(x-1)=1-lg5 的根是 (
A.-1
B.2
C.1 或 2
D.-1 或 2
解析:原方程可化为 lg[x(x-1)]=g2,则有
所以
答案:B
所以 log3645=
=
=
=
=
.
方法规律
利用对数换底公式进行化简求值的原则和技巧
【跟踪训练】
3.变式练在本例(2)的条件下,试用 a,b 表示 log310.
+
=
解:log310=
- + -+ -+
① lg 25+
+lg
+lg(2
);
②(lg 5)2+lg 2·lg 50.
解:①原式= ×2×lg 5+3+ lg
+lg
新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第四章指数函数与对数函数《指数》
教学设计：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第四章指数函数与对数函数《指数》教学目标（核心素养）1.数学抽象：学生能够理解指数的概念，包括底数、指数和幂的含义，以及它们之间的关系。
2.逻辑推理：通过实例分析，学生能够推导出指数运算法则，并理解其背后的逻辑依据。
3.数学建模：初步建立指数模型，理解指数在描述实际问题（如增长、衰减）中的应用。
4.数学运算：掌握指数的基本运算法则，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方和积的乘方等。
5.数学交流：能够用数学语言准确表达指数的概念、运算法则及其应用，与同学和教师进行有效交流。
教学重点•指数概念的理解与掌握。
•指数运算法则的推导与应用。
•指数模型在实际问题中的应用。
教学难点•理解指数概念中底数、指数和幂之间的动态关系。
•灵活运用指数运算法则解决实际问题。
教学资源•多媒体课件（包含指数概念介绍、运算法则推导及例题分析）。
•教材及配套习题册。
•黑板和粉笔/白板和笔，用于板书和演示。
•实物或模型（如细胞分裂、人口增长等指数增长现象的模拟），用于辅助说明。
教学方法•讲授与演示结合：通过多媒体展示指数的概念和运算法则，结合实例进行讲解。
•启发式教学：通过提问引导学生思考，逐步揭示指数的本质和运算法则。
•合作学习：分组讨论指数运算法则的应用，促进学生之间的交流与合作。
•练习巩固：通过课堂练习和课后作业，巩固学生对指数概念及运算法则的理解。
教学过程导入新课•生活实例引入：展示细胞分裂、人口增长等实际问题的图片或视频，引导学生观察并思考这些现象的共同特征——即数量的快速增长，且增长速度与初始数量成正比。
由此引出指数的概念。
新课教学1.指数概念的讲解：•定义指数：介绍底数、指数和幂的概念，强调它们之间的关系。
•举例说明：通过具体例子（如2³=8）说明指数运算的过程和结果。
•强调底数的限制：说明底数不能为0且不能为负数（在实数范围内），同时指出当底数为1或-1时的特殊情况。
人教A版高中数学必修第一册精品课件 第4章 指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算
4.3.2
对数的运算
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
自主预习·新知导学
一、对数的运算性质
1.计算下列各组式子的值:
(1)lg 10+lg 100,lg 1 000;(2)log39+log327,log3243;
(3)lo +lo 8,lo 2;(4)logaa5+logaa3,logaa8(a>0,且 a≠1),并观
×
=12.
=- .
反思感悟
对数换底公式的应用技巧
(1)对数换底公式的作用是将不同底数的对数转化为同底数
的对数,将一般对数式转化成常用对数式或自然对数式来进
行运算,要注意对数换底公式的正用和逆用.
(2)当要求值的式子中既含有对数式又含有指数式时,应先将
它们进行互化,统一形式后再利用相关公式计算.
察每组中两个式子的值是否相等?由此你猜测有什么结论?
提示:(1)3,3;(2)5,5;(3)-1,-1;(4)8,8,每组中两个式子的值均相等.
两个正数的乘积的对数等于两个正数对数的和.
2.计算下列各组式子的值:
(1)lg 10-lg 100,lg ;(2)log39-log327,log3 ;(3)lo -lo 8,lo
解:(1)因为 18b=5,所以 log185=b.
又因为 log189=a,
(×)
+
所以 log3645= = (×) = +
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
人教版高中数学必修一指数函数与对数函数的关系-课件
指数函数与对数函数的关系
高一年级 数学
主讲人 徐莉芳 北京师范大学附属中学
回顾：指数函数与对数函数概念之间的关系
指数函数 y ＝ ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ) 指数换 对数 x ＝loga y
交换
x、y 对数函数y ＝logax( a > 0 ,且 a ≠ 1 ).
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。
►A man is not old as long as he is seeking something. A man is not old until regrets take the place of dreams. 只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才算老。
例3. 判断f( x)= 2x+2的反函数是否存在，如 果不存在，说明理由；如果存在，写出反函 数)f -1( x)的解析式，并在同一平面直角坐标 系中作出f( x)与f -1( x)的函数图像.
解：令y= 2x+2，对调其中的x与y得x= 2y+2， 解得y1.
指数函数 y ＝ ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ) 反 函 数
对数函数y ＝loga x( a > 0 ,且 a ≠ 1 ).
反函数的概念：
一般地，如果在函数y ＝f( x )中，给定值域中任意一 个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个 函数称为y ＝f( x )的反函数.此时，称y ＝f( x )存在反函数.
人教A版高中数学必修第一册精品课件 第4章 指数函数与对数函数 第2课时对数函数及其图象、性质(二)
同理可得,当0<a<1时,f(x)在区间(-∞,0)内单调递增.
(3)由f(2x)=loga(ax+1),得loga(a2x-1)=loga(ax+1),即a2x-1=ax+1,
即a2x-ax-2=0,即ax=2(舍去ax=-1).所以x=loga2.
由 x∈[1,3],可知 t∈[2,8].
令 u=4 -2 =t -t= -
x
x
2
− ,
因此当 t=8,即 x=3 时,umax=56.
故 f(x)的最大值为 log256.
思 想 方 法
对数函数问题中的转化与化归思想
【典例】 求函数f(x)=log2(4x)·log2(2x)在区间 , 上的最值,
-
解:(1)由+>0 可得-2<x<2,所以函数的定义域为(-2,2).
(方法一)∀x∈(-2,2),有-x∈(-2,2),且
-
+
=ln +
f(-x)=ln
-
-
-
=-ln+=-f(x),
所以函数 f(x)是奇函数.
(方法二)∀x∈(-2,2),有-x∈(-2,2),且
以函数y=logau在定义域上单调递增.所以a>1.又当x=2时,u=6ax取得最小值,所以6-2a>0,解得a<3,所以1<a<3.
答案:B
探究三 对数函数与指数函数的综合问题
【例3】 已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
人教高中数学必修一A版《对数函数》指数函数与对数函数说课复习(不同函数增长的差异)
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
2．如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可
能的函数模型是( )
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x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型
B．二次函数模型
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
【解】 建立生产量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1，
8)，(2，18)，(3，30)．
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(1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入，
第四章 指数函数与对数函数
解析：画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函
数模型，故选④.
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答案：④
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第四章 指数函数与对数函数
4．已知函数
f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1