8-5隐函数的求导公式 (2)共33页文档
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本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
在上册介绍的隐函数的概念,它是由一个二元方程
F(x, y)=0
(1)
在满足某些条件时所确定的函数y=y(x)或x=x( y)
u u(x, y) v v(x, y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J((F u,,G v))G Fuu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理3. 设函数
满足:
① 在点
的某一邻域内具有连续偏导数；
② F (x0,y0,u 0,v0)0, G (x0,y0,u 0,v0)0;
x
系数行列式
x
J
Fu
Fv 0, 故得
Gu Gv
u1 (F,G) x J (x,v)
v 1(F,G) x J (u, x)
同样可得 u1 (F,G) y J ( y,v)
v 1 (F,G) y J (u, y)
例3.
设 x 2 u y2v 0 ,y2 u 2 x 2 v 1 ,求
u, u, v , v . x y x y
② F(0,1)0,
③ Fy(0,1)2 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可导
的隐函数
且
dy dx
Fx
x 0 Fy
2x
x
0
2y
x
0
0
y1
d 2y d x2
dy dx
d (x)
dx y
y
xy y2
y2 x2 y3
d2y dx2
y2 x2
x0
y3
x0 1
且有偏导数公式 :
u1(F,G)
x J (x,v)
1 Fu Fv
Fx Gx
Fv Gv
Gu Gv
u1 (F,G) y J ( y,v)
1 Fu Fv
Gu Gv
F y Fv G y Gv
v x
1 J
(F,G) (u, x)
1 Fu Fv
Gu Gv
Fu F x Gu G x
v 1 (F,G) y J (u, y)
2z x2
(2yz)e(zx)y(2xy)ze(zzy)
x
(ezx)y2
x
2ez2x y2y(2xy)z(2xy)2 zez
(ezx)2 y
(ezx)3 y
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
x2 u2vyv2xu x x
2uy2ux2 v2xv x x
x2 2vy 由题设 J 2uy2 x2 x44uv3y0
故有
u 1 x J
2xu 2xv
定义1 如果(1)中的函数F (x, y) 在矩形区域(a, b) (c, d) 内满足:对任意x(a, b)都存在唯一的y( c, d )使(x, y) 是方程(1)的解,则称在D内方程(1)确定了一个隐函数
y =f (x), x (a, b) y (c, d).
此函数满足 x (a, b) ,F (x, f(x))0, y (c, d)
)
d d
y x
xy x
FxxFyFy2FyxFx
FxyFyFy2FyyFx
(Fx) Fy
FxxFy22FxF yF y3xFyFyyFx2
例1. 验证方程
在点(0,1)某邻域可确定
一个单值可导隐函数
y
=f
(x), 并求
dy dx
x0,
d2y dx2
x0
解: 令 F (x,y)x2y21,
则① Fx 2x, Fy 2y 连续 ,
③ 雅 可 比 Jp 行 ((F u ,,v G 列 ))PG 式 F u u G F v v0
则方程组 F ( x ,y ,u ,v ) 0 ,G ( x ,y ,u ,v ) 0 在点 (x0, y0)
的某一邻域内Leabharlann Baidu唯一确定一组满足条件 u0u(x0,y0),
v0v(x0,y0)的单值连续函数 u u (x ,y ),v v (x ,y ),
注意到x, y的对称性, 我们也可类似定义隐函数x=g( y).
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点 P(x0, y0) 的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0,y0)0;
③Fy(x0, y0)0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
d y F x (隐函数求导公式) dx Fy
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则 两边对 x 求导
在
d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 F x
二阶导数 :
Fy
d 2y dx2
( x
Fx Fy
)
y
(
Fx Fy
1 Fu Fv
Gu Gv
Fu F y Gu G y
(P62-P63)
定理证明略.仅推导偏导数公式如下：
设方程组
F(x, G(x,
y,u,v) y,u,v)
0 有隐函数组
0
则
两边对 x 求导得
F x G
x
Fu Gu
u x
u
x
Fv
v x
Gv
v x
0
0
这是关u于, v的线性方, 程 在点组P 的某邻域内
y1
y0
定理2 . 若函数 F(x, y,z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0,y0,z0)0 ③ Fz(x0,y0,z0)0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数 zFx, zFy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
则
F (x ,y,f(x,y))0
两边对 x 求偏导
F
x
Fz
z x
0
z Fx x Fz 同样可得 z F y y Fz
例2. 设 x2y2xy ezz0, 求
2z x2 .
解法1 利用隐函数求导
2xyzxyzez z0 x x
z 2x yz x ez xy
再对 x 求导
2 y z x
ez
2z x2
0
2ez2x y2y(2xy)z(2xy)2 zez
(ezx)2 y
(ezx)3 y
解法2 利用公式
设 F (x ,y,z)x 2y2x yezz
则 Fx2xyz, Fz xyez
z Fx x Fz
2x yz xy ez
2 x yz e z xy
两边对 x 求偏导
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
在上册介绍的隐函数的概念,它是由一个二元方程
F(x, y)=0
(1)
在满足某些条件时所确定的函数y=y(x)或x=x( y)
u u(x, y) v v(x, y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J((F u,,G v))G Fuu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理3. 设函数
满足:
① 在点
的某一邻域内具有连续偏导数；
② F (x0,y0,u 0,v0)0, G (x0,y0,u 0,v0)0;
x
系数行列式
x
J
Fu
Fv 0, 故得
Gu Gv
u1 (F,G) x J (x,v)
v 1(F,G) x J (u, x)
同样可得 u1 (F,G) y J ( y,v)
v 1 (F,G) y J (u, y)
例3.
设 x 2 u y2v 0 ,y2 u 2 x 2 v 1 ,求
u, u, v , v . x y x y
② F(0,1)0,
③ Fy(0,1)2 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可导
的隐函数
且
dy dx
Fx
x 0 Fy
2x
x
0
2y
x
0
0
y1
d 2y d x2
dy dx
d (x)
dx y
y
xy y2
y2 x2 y3
d2y dx2
y2 x2
x0
y3
x0 1
且有偏导数公式 :
u1(F,G)
x J (x,v)
1 Fu Fv
Fx Gx
Fv Gv
Gu Gv
u1 (F,G) y J ( y,v)
1 Fu Fv
Gu Gv
F y Fv G y Gv
v x
1 J
(F,G) (u, x)
1 Fu Fv
Gu Gv
Fu F x Gu G x
v 1 (F,G) y J (u, y)
2z x2
(2yz)e(zx)y(2xy)ze(zzy)
x
(ezx)y2
x
2ez2x y2y(2xy)z(2xy)2 zez
(ezx)2 y
(ezx)3 y
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
x2 u2vyv2xu x x
2uy2ux2 v2xv x x
x2 2vy 由题设 J 2uy2 x2 x44uv3y0
故有
u 1 x J
2xu 2xv
定义1 如果(1)中的函数F (x, y) 在矩形区域(a, b) (c, d) 内满足:对任意x(a, b)都存在唯一的y( c, d )使(x, y) 是方程(1)的解,则称在D内方程(1)确定了一个隐函数
y =f (x), x (a, b) y (c, d).
此函数满足 x (a, b) ,F (x, f(x))0, y (c, d)
)
d d
y x
xy x
FxxFyFy2FyxFx
FxyFyFy2FyyFx
(Fx) Fy
FxxFy22FxF yF y3xFyFyyFx2
例1. 验证方程
在点(0,1)某邻域可确定
一个单值可导隐函数
y
=f
(x), 并求
dy dx
x0,
d2y dx2
x0
解: 令 F (x,y)x2y21,
则① Fx 2x, Fy 2y 连续 ,
③ 雅 可 比 Jp 行 ((F u ,,v G 列 ))PG 式 F u u G F v v0
则方程组 F ( x ,y ,u ,v ) 0 ,G ( x ,y ,u ,v ) 0 在点 (x0, y0)
的某一邻域内Leabharlann Baidu唯一确定一组满足条件 u0u(x0,y0),
v0v(x0,y0)的单值连续函数 u u (x ,y ),v v (x ,y ),
注意到x, y的对称性, 我们也可类似定义隐函数x=g( y).
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点 P(x0, y0) 的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0,y0)0;
③Fy(x0, y0)0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
d y F x (隐函数求导公式) dx Fy
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则 两边对 x 求导
在
d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 F x
二阶导数 :
Fy
d 2y dx2
( x
Fx Fy
)
y
(
Fx Fy
1 Fu Fv
Gu Gv
Fu F y Gu G y
(P62-P63)
定理证明略.仅推导偏导数公式如下：
设方程组
F(x, G(x,
y,u,v) y,u,v)
0 有隐函数组
0
则
两边对 x 求导得
F x G
x
Fu Gu
u x
u
x
Fv
v x
Gv
v x
0
0
这是关u于, v的线性方, 程 在点组P 的某邻域内
y1
y0
定理2 . 若函数 F(x, y,z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0,y0,z0)0 ③ Fz(x0,y0,z0)0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数 zFx, zFy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
则
F (x ,y,f(x,y))0
两边对 x 求偏导
F
x
Fz
z x
0
z Fx x Fz 同样可得 z F y y Fz
例2. 设 x2y2xy ezz0, 求
2z x2 .
解法1 利用隐函数求导
2xyzxyzez z0 x x
z 2x yz x ez xy
再对 x 求导
2 y z x
ez
2z x2
0
2ez2x y2y(2xy)z(2xy)2 zez
(ezx)2 y
(ezx)3 y
解法2 利用公式
设 F (x ,y,z)x 2y2x yezz
则 Fx2xyz, Fz xyez
z Fx x Fz
2x yz xy ez
2 x yz e z xy
两边对 x 求偏导