考试必备-福建莆田一中高三数学上学期期末理试卷新人教A版

合集下载

福建市莆田一中高三上学期期末考试(数学理)

莆田一中2008-2009学年第一学期期末考试卷高三数学(理科)注意事项：非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，否则答案无效．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ∪B ）= P （A ）+ P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （AB ）= P （A ）· P （B ）()()22221211236n n n n ++++++=第一部分选择题(共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{(,)|0,,},{(,)|0,,}A x y x y x y R B x y x y x y R =+=∈=-=∈,则集合A B 的元素个数是A. 0B. 1C. 2D. 32．已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -，则向量AC 对应的复数为A ．53i +B ．15i +C ．15i --D ．53i --3.函数()sin cos ()f x x x x R =-∈的最小正周期是A. 2πB. πC. 2πD. 3π 4.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为 A.B.C. D. 125.如图1所示的算法流程图中，第3个输出的数是A. 1B. 32C. 2D. 526.如果一个几何体的三视图如图2所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是A. 2(80cm +B. 296cm C. 2(96cm + 主视图左视图图1俯视图4 D. 2112cm8．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是A ．72B ．73C ．74D ．759.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 A. ()2,2- B. []2,2- C. (),1-∞- D. ()1,+∞10.如图3所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4),i a i =此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若4312412,()1234i i a a a a Sk ih k ======∑则.类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若431241,()1234i i S S S S K iH ======∑则 A.4VK B. 3VK C. 2V K D.V K图2图3否第二部分非选择题(共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是12.已知数列1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数则1100a a += ,123499100a a a a a a ++++++=13．已知,3,2,==⊥b a b a 且b a 23+与b a-λ垂直，则实数λ的值为 .14.不等式组2020220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩所确定的平面区域记为D ,若圆222:O x y r +=上的所有点都在区域D 内上，则圆O 的面积的最大值是15．设奇函数]1,1[)(-在x f 上是单调函数，且,1)1(-=-f 若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.)16．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且222a c b ac +-=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3c a =，求tan A 的值．17．（本小题满分14分）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 为AB 的中点． (Ⅰ)求证：1BDD AC 平面⊥(Ⅱ)求异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值；（Ⅲ）求点B 到平面EC A 1的距离.18．（本小题满分14分）某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为23()37004510R x x x x =+-（单位：万元），成本函数为()4605000C x x =+（单位：万元），又在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-。

2021-2022学年福建省莆田市中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年福建省莆田市中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在区间上任取两个实数，则函数在区间上有且只有一个零点的概率是A. B. C. D.参考答案：D2. 在△ABC中，若，b=4，B=2A，则sinA的值为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理的式子，结合二倍角的正弦公式和题中数据算出cosA，再由同角三角函数的基本关系即可算出sinA的值．【解答】解：∵△ABC中，，b=4，∴由正弦定理得，∵B=2A，∴==，化简得cosA=＞0，因此，sinA==．故选：D．3. 若，且，则的最小值等于A．2 B．3 C．5 D．9参考答案：B4. 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设侧面展开正方形边长为a，可得底面半径r满足：2πr=a，得r=从而算出底面圆面积S底=，由此加以计算即可算出这个圆柱的全面积与侧面积的比．【解答】解：∵圆柱的侧面展开图是一个正方形，∴设正方形的边长为a，可得圆柱的母线长为a，底面周长也等于a底面半径r满足：2πr=a，得r=因此，该圆柱的底面圆面积为S底=πr2=圆柱的全面积与侧面积的比为=故选：A5. 一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的外接球半径为A．B．C．D．参考答案：C略6. 已知点在由不等式确定的平面区域内，则点所在的平面区域面积是（）A．2 B．3 C．4 D ．5参考答案：C7. 设使直线与曲线有公共点的a的取值范围为集合A，则（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】设公共点，可得，通过构造函数，求导分析单调性可得，从而得.【详解】设直线与曲线有公共点,则,设,则,所以在上是增函数,在上是减函数,所以,，又，所以，当时，,所以,故选A.【点睛】本题是一道灵活处理方程问题求参的试题，用到了放缩的思想和构造新函数的方法，方法较为巧妙，难度较大，属于难题.8. 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：C9. 已知在上的最大值为M，最小值为N，则M+N=（）A．3 B．2 C．1 D．0参考答案：B10. 已知=( )A． B． C． D．参考答案： C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对于任意的值恒大于零，则x 的取值范围是 . 参考答案：12. 设sin ，则.参考答案：13. 设sin2α=﹣sin α，α∈（，π），则tan α的值是．参考答案：﹣【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】依题意，利用二倍角的正弦可得cos α=﹣，又α∈（，π），可求得α的值，继而可得tan α的值．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα， ∴cosα=﹣，又α∈（，π），∴α=，∴tanα=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系与二倍角的正弦，属于基础题． 14. 若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .参考答案：试题分析：为使存在实数使成立，只需的最小值满足不大于.15. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为__________.参考答案：2 略16. 已知圆C 过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C 的标准方程为 .参考答案：.试题分析：设圆C 的圆心C 的坐标为，则圆C 的标准方程为.圆心C 到直线的距离为：，又因为该圆过点，所以其半径为.由直线被该圆所截得的弦长为以及弦心距三角形知，，即，解之得：或（舍）.所以，所以圆C 的标准方程为.考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系.17. 11．二项式的展开式中，含的项的系数是____________．（用数字作答）参考答案：10三、解答题：本大题共5小题，共72分。

福建省莆田一中高三数学上学期期末考试(理)新人教版【会员独享】

福建省莆田一中2010届高三上学期期末考试试卷数学(理科)（2010-02）注意事项：非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，否则答案无效．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ∪B ）= P （A ）+ P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （AB ）= P （A ）· P （B ）()()22221211236n n n n ++++++=第一部分选择题（共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{(,)|0,,},{(,)|0,,}A x y x y x y R B x y x y x y R =+=∈=-=∈,则集合A B的元素个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 32．已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -，则向量AC 对应的复数为（） A ．53i + B ．15i + C ．15i -- D ．53i --3．函数()sin cos ()f x x x x R =-∈的最小正周期是（） A.2πB. πC. 2π D ．3π 4．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为（A.4 B. 2 C. 2D. 125．如图1所示的算法流程图中，第3个输出的数是（） A. 1 B.32 C. 2 D. 526．如果一个几何体的三视图如图2所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是（）A. 2(80cm +B. 296cm C. 2(96cm + 主视图左视图 D. 2112cm图2俯视图8．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是（） A ．72 B ．73 C ．74 D ．75 9．若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是（） A. ()2,2- B. []2,2- C. (),1-∞- D. ()1,+∞10．已知一个数列的各项是1或2，首项为1，且在第k 个1和第1k +个1之间有12k -个2，即1,2,1,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,⋅⋅⋅则该数列前2009项的和2009s = （） A. 2009 B. 2011 C. 4005 D. 4007第二部分非选择题(共100分)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 命题“若20,0m x x x m >+-=则关于的方程有实数根”的逆命题是12．已知,3,2,==⊥b a b a 且b a 23+与b a-λ垂直，则实数λ的值为 .13. 不等式组2020220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩所确定的平面区域记为D ,若圆222:O x y r +=上的所有点都在区域D 内，则圆O 的面积的最大值是14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n <，使得m n S S =，则0m n S +=.类比上述结论，设正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，若存在正整数(),m n m n <，使得m n T T =，则m n T += .15. 已知函数()()()56(4)462x a x f x a x x -⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩, 数列{}n a 满足()()+∈=N n n f a n ，且数列{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 16．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且222a cb ac +-=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3c a =，求tan A 的值． 17．（本小题满分14分）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 为AB 的中点． (Ⅰ)求证：1BDD AC 平面⊥(Ⅱ)求异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值；（Ⅲ）求点B 到平面EC A 1的距离.18．（本小题满分12分）中央电视台《同一首歌》大型演唱会曾在我市湄洲岛举行，之前甲、乙两人参加大会青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。

2019-2020学年福建省莆田市忠门第一中学高三数学理上学期期末试题含解析

2019-2020学年福建省莆田市忠门第一中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1为函数的最大值，且满足a n－a n S n+1=－a n S n，则数列{a n}的前2018项之积A2018=A．1 B． C．－1 D．2参考答案：A2. 如果两个实数之和为正数,则这两个数A. 一个是正数,一个是负数B. 两个都是正数C. 至少有一个是正数D. 两个都是负数参考答案：C略3. 平面区域，，在区域M内随机取一点，则该点落在区域N内的概率是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】画出两区域图形，求出面积，根据几何概型即可得解.【详解】解：区域表示的是一个正方形区域，面积是2，表示以为圆心，为半径的上半圆外部的区域，则在区域内随机取一点，则该点落在区域内的概率是，故选.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，属于基础题.4. 若，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B5. 如果，那么（）（A） (B) (C) (D)参考答案：C6. 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4－x）=f（x），且当x∈时，f（x）=则g（x）=f（x）－|1gx|的零点个数是（A）7 （B）8 （C）9 （D）10参考答案：D略7. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x+1）≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，∴函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，∵f（0）=0，∴不等式f（x+1）≥0等价为f（x+1）≥f（0），则x+1≥0，得x≥﹣1，即不等式的解集为[﹣1，+∞），故选：C8. 设集合P={1,2,3,4}, 集合M={3,4,5} 全集U=R 则集合P?UM= （）A．{1，2} B．{3，4} C．{1} D．{-2，-1，0，1，2}参考答案：A略9. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，特殊值的位置判断求解即可．【解答】解：函数是偶函数，排除B，x=e时，y=e，即（e，e）在函数的图象上，排除A，当x=时，y=，当x=时，y=﹣=，，可知（，）在（）的下方，排除C．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．10. 下列说法错误的是A．如果命题“”与命题“”都是真命题，那么命题一定是真命题；B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”；C．若命题，，则，；D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是．参考答案：略12. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．参考答案：4【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：413. 如果实数x,y满足x2+y2=1,则（1+xy）(1－xy)的最小值为参考答案：14. 复数的共轭复数＝。

2024届福建省莆田第一中学数学高三第一学期期末统考试题含解析

2024届福建省莆田第一中学数学高三第一学期期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（） A ．2y x = B ．22y x = C ．24y x = D ．28y x =2．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（） A ．－10 B ．－9 C ．－7 D ．13．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A B C ．2 D ．34．复数2(1)i i +的模为（）．A ．12B ．1C ．2D ．5．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( )A ．3B ．2C ．3D ．2 6．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y b x a--的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．⎣⎦ 7．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．108．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（） A ．[2，4] B ．[4，6] C ．[5，8] D ．[6，7]9．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则1()3f x =是32123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知向量()34OA =-，，()15OA OB +=-，，则向量OA 在向量OB 上的投影是（）A ．255-B ．255C ．25-D ．2511．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ> 12．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（） A ．-1 B ．1 C ．0D ．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建莆田一中高三数学上学期期末理试卷新人教A版

高中数学精品资料2020.8【人教版高三数学模拟试卷】莆田一中2011-2012学年上学期期末试卷高三数学（理科）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分；每题只有一个正确答案） 1. 函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是( ) (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）2. 设{a n }是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。

已知a 2a 4=1, 37S =, 则5S =( ) （A ）152 (B)314 (C)334(D)1723. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣, 则AM ∣∣=( )（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）14. 设椭圆以正方形的两个顶点为焦点且过另外两个顶点，那么此椭圆的离心率为( )(A) 1 (B)2 (C) 12 (D) 215. E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（）(A)1627 (B)23 (C) 3 (D) 346.根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63．5万元B ．64．5万元C ．67．5万元D ．71．5万元 7．在ABC ∆中，下列说法不正确的是（） (A) sin sin A B >是a b >的充要条件 (B) cos cos A B >是A B <的充要条件(C) 222a b c +<的必要不充分条件是ABC ∆为钝角三角形 (D) 222a b c +>是ABC ∆为锐角三角形的充分不必要条件8．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（）Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．1189. 已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为( )(A)2(B)210. 直线：y=3x +D的圆：22((1)3x y +-=交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )(A) 76π (B) 54π (C) 43π (D) 53π二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

福建省莆田一中高三数学上学期段考试试题理(含解析)新人教A版

莆田一中2013–2014学年度上学期第一学段考试试卷高三理科数学试卷满分 150分考试时间 120分钟第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置． 1.已知集合}2|{≤=x x A ，}0)3(|{<-=x x x B ，则B A =( ) A ．}20|{≤<x x B ．}0|{<x x C ．2|{≤x x ，或}3>x D ．0|{<x x ，或}2≥x2.已知a 为常数，则使得e 11d a x x>⎰成立的一个充分而不必要条件是 ( ) A ．0>a B ．0<a C ．e >a D ．e <a3.已知抛物线2x =的准线过双曲线2221x y m-=-的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A.4B.2D.34.ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边分别,,a b c ，且c o s ,c o s ,o s a Cb Bc A 成等差数列，则角B 等于（） A .030B. 060C. 090D.01205.函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2πϕ＜）的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x=的图象，则只需将()f x 的图象（）A.向右平移6π个长度单位 B.向右平移3π个长度单位 C.向左平移6π个长度单位D.向左平移3π个长度单位6.已知O 为坐标原点，直线y x a =+与圆224x y +=分别交于,A B 两点．若2-=⋅OB OA ，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1±D ．2±7.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为（） A ．5 B ．52C ．32D ．1788.三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（） A ．130B ．115C ．110 D ．15【答案】C ．【解析】试题分析：由已知把第二个及第三个学校的学生看做整体得同校学生排在一起共323323A A A 种方法，而三个学校的学生随便排有66A 种方法，有古典概型的概率计算公式得所求概率32332366110A A A P A ==，故选C ．考点：古典概型的概率计算．9.设向量12(,)a a a =，12(,)b b b =，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=,已知1(,2)2m =，11(,sin )n x x =．点Q 在()y f x =的图像上运动，且满足OQ m n =⊗ （其中O 为坐标原点），则()y f x =的最大值及最小正周期分别是（） A ．1,2π B ．2,π C ．1,42π D ．2,4π10.对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00()()1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”．现给出两个函数：①2()f x x =，22)(-=x x g ；②()f x =()2g x x =+；③xx f -=e )(，1()g x x=-；④()f x ln x =，x x g =)(，则在区间()0,+∞上的存在唯一“友好点”的是（） A ．①② B ．③④ C ． ②③ D ．①④第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.732x⎛⎝的展开式中常数项为．12.已知随机变量2(0,)N ξσ，若(2)0.8P ξ<=，则(2)P ξ<-= ．【答案】0.2．【解析】试题分析：由正态分布曲线及其性质可得(2)(2)1(2)0.2P P P ξξξ<-=>=-<=．考点：正态分布曲线及其性质．13.已知变量,x y 满足20230,0x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则2log (1)z x y =++的最大值是．试题分析：如图作出不等式组表示的可行域可知，当1,2x y ==时，z 取最大值，max 2log (121)2z =++=．考点：线性目标函数的最值问题．14.已知()41xf x =+，()4xg x -=，若偶函数()h x 满足()()()h x mf x ng x =+（其中m ，n 为常数），且最小值为1，则m n += ．【答案】23．【解析】试题分析：()h x 是偶函数，()()h x h x ∴-=，即()()414414xxx x m n m n --++⋅=++⋅，()()()()440,,441x x x x m n m n h x m --∴--=∴=∴=++．又()h x 的最小值为1，()()()112441131,,,333x x h x m m m m n m m n -∴=++≥==∴=∴==∴+=．考点：1．函数的奇偶性；2．函数的最值；3．均值不等式．15.对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②()11f =；③若12120,0,1,x x x x ≥≥+≤都有()()()1212f x x f x f x +≥+ 成立；则称函数()f x 为ϖ函数．下面有三个命题：（1）若函数()f x 为ϖ函数，则()00f =；（2）函数()[]()210,1xf x x =-∈是ϖ函数；（3）若函数()f x 为ϖ函数，假定存在[]00,1x ∈，使得()[]00,1f x ∈，且()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则()00f x x =；其中真命题．．．是________．（填上所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分13分）已知函数21()cos cos (0)2f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π．（I ）求ω值及()f x 的单调递增区间；（II ）在△ABC 中，a b c 、、分别是三个内角C B A 、、所对边，若1a =，b =22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求B 的大小．（II ）,,.26A f a b A π⎛⎫=<∴= ⎪⎝⎭1,a b =由正弦定理sin sin b A B a == ,a b <∴4B π=或34B π=．考点：1．三角恒等变换（倍角公式）；2．三角函数的周期和单调性；3．正弦定理．17.（本小题满分13分）已知函数()323f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行．(1)求a 的值和函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值范围．18.（本小题满分13分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 ．(I) 求这次铅球测试成绩合格的人数；(II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合格．．．的人数，求X 的分布列及数学期望； (III) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.【答案】(I) 这次铅球测试成绩合格的人数为50； (II) X 的分布列为数学期望714()22525E X =⨯=； (III) 甲比乙投掷远的概率116．【解析】218324(0)()25625P X ===，12718252(1)()()2525625P X C ===，2749(2)()25625P X ===.从而得X的分布列，进而求得X 的数学期望值；(III) 设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x 、y 米，列出基本事件满足的区域：8109.510.5x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤，事件A “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x y >，画出图形，利用几何概型公式()A P A =构成事件的区域的面积实验的全部结果所构成的区域的面积来求甲比乙投掷远的概率．试题解析：(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴此次测试总人数为7500.14=(人). …………（2分） ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)………（4分） (II)X 的可能取值为0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为1475025=,∴X ～7(2,)25B .…………（5分218324(0)()25625P X ===，12718252(1)()()2525625P X C ===，2749(2)()25625P X ===. …………（7分）所求的X 的分布列为714()22525E X =⨯=…………（9分）19.（本题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点)0,1(Q 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点(4,3)P ，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程．【答案】（Ⅰ）椭圆C 的方程为22142x y +=；（Ⅱ）直线l 的方程为10x y --=．【解析】（Ⅱ）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=33342424⨯=-+； …………………6分②当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，将1x m y =+代入22142x y +=，整理得22(2)230m y m y ++-=．则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+． …………………8分又111x m y =+，221x m y =+，所以，112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y m y m y --=--12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++= 2232546m m m ++=+23414812m m +=++……………10分．令41t m =+，则122324225t k k t t ⋅-+32254()2t t=++-1≤所以当且仅当5=t ，即1=m 时，取等号．由①②得，直线l 的方程为10x y --=．……………13分．考点：1．椭圆方程的求法；2．直线和椭圆位置关系中最值问题；3．均值不等式．20.（本小题满分14分）已知函数32()f x x x bx =-++，()ln g x a x x =+（0a ≠）（Ⅰ）若函数()f x 存在极值点，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅲ）当0b =且0a >时，令(),1()(),1f x x F x g x x x <⎧=⎨-≥⎩，P (11,()x F x )，Q (22,()x F x )为曲线()y F x =上的两动点，O 为坐标原点，能否使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y 轴上？请说明理由．y 轴上．则0OP OQ ⋅=且120x x +=．不妨设10x t =>．故(,())P t F t ，则32(,)Q t t t -+．232()()0OP OQ t F t t t ⋅=-++=，(*)该方程有解．下面分01t <<，1t =，1t >讨论，得方程(*)总有解．最后下结论，对任意给定的正实数a ，曲线上总存在,P Q 两点，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y 轴上．试题解析：（Ⅰ）2()32f x x x b '=-++，若()f x 存在极值点，则2()320f x x x b '=-++=有两个不相等实数根．所以4120b =+>， ……………2分解得13b >-……………3分21．（本小题满分14分）本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答．如果多做，则按所做的前两题记分．21.（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换曲线221:1C x y +=在矩阵0(0,0)0a M a b b ⎛⎫=>>⎪⎝⎭的变换作用下得到曲线222:14x C y +=．（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）求矩阵M 的特征值及对应的一个特征向量．【答案】（Ⅰ）矩阵2001M ⎛⎫=⎪⎝⎭；（Ⅱ）矩阵M 的特征值1λ=或2λ=．当1λ=时，对应的特征向量为101α⎛⎫= ⎪⎝⎭；当2λ=时，对应的特征向量为210α⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先设曲线221:1C x y +=上的任一点(),x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(),x y ''，则由0,0a x x b y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得,.x ax y by '=⎧⎨'=⎩再由点(),x y ''在曲线2C 上，21.（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为,(4x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为θθρcos 4sin2=．（Ⅰ）求曲线2C 直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 、2C 交于A 、B 两点，定点(0,4)P -，求PA PB +的值．21.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲. 若c b a ,,为正实数且满足236a b c ++=．（1）求abc 的最大值为43；（2的最大值．。

福建省莆田市数学高三上学期理数期末考试试卷

福建省莆田市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）复数的虚部是（）A .B .C .D . 12. （2分）已知U为全集，集合P Q，则下列各式中不成立的是（）A . P∩Q=PB . P∪Q=QC . P∩(CUQ) =D . Q∩(CU P)=3. （2分）(2019·河南模拟) 若，且，则（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·江西模拟) 已知向量、夹角为，且，，若，且，则实数的值为（）A .B .C .D .5. （2分）(2012·四川理) 如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·晋江期中) 等差数列{an}的前n项和记为Sn ，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{Sn}中也为常数的项是（）A . S7B . S8C . S13D . S157. （2分） (2018高三上·沧州期末) 已知变量满足约束条件则的最大值为（）A . 0B . 3C . 4D . 58. （2分）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A . 33B . 34C . 35D . 369. （2分） (2018高一下·平顶山期末) 已知函数 .若对恒成立，且，则的单调递增区间是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·哈尔滨月考) 已知椭圆C：(a>b>0)离心率为 .双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷文) 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A . 乙可以知道两人的成绩B . 丁可能知道两人的成绩C . 乙、丁可以知道对方的成绩D . 乙、丁可以知道自己的成绩12. （2分）(2018·中原模拟) 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·珠海期末) 计算________．14. （1分）(2016·山东文) 执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．15. （1分）(2017·南京模拟) 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________．16. （1分）(2013·重庆理) 已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1 ， a2 ， a5成等比数列，则S8=________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2016高一下·岳池期末) 已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA= acosC．（1）求角C；（2）若c= ，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18. （5分）为了响应低碳环保的社会需求，某自行车租赁公司打算在A市设立自行车租赁点，租车的收费标准是每小时1元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为,，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为,，两人租车时间都不会超过三小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．19. （10分）(2018·临川模拟) 在如图所示的五面体中，，，，四边形是正方形，二面角的大小为．（1）在线段上找出一点，使得平面，并说明理由；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20. （10分）(2017·宁德模拟) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M（x0 ， y0）到点N（2，0）距离的最小值为．（1）求抛物线C的方程；（2）若x0＞2，圆E（x﹣1）2+y2=1，过M作圆E的两条切线分别交y轴A（0，a），B（0，b）两点，求△MAB面积的最小值．21. （15分）(2018·兴化模拟) 已知函数f(x)= －，g(x)= ．（1）若，函数的图像与函数的图像相切，求的值；（2）若，，函数满足对任意（x1 x2），都有恒成立，求的取值范围；（3）若，函数 =f(x)+ g(x),且G（）有两个极值点x1,x2,其中x1 ，求的最小值．22. （15分）已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系式；（2）求△OQP面积的最小值；（3）求||PO|﹣|PA||的最大值．23. （10分） (2018高二下·抚顺期末) 已知函数．（1）当时，求关于x的不等式的解集；（2）若关于x的不等式有解，求a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、。

福建省莆田一中届高三上学期期末考试(数学理)doc

福建省莆田一中2010届高三上学期期末考试试卷数学(理科)（2010-02）注意事项：非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，否则答案无效．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ∪B ）= P （A ）+ P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （AB ）= P （A ）· P （B ）()()22221211236n n n n ++++++=第一部分选择题（共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{(,)|0,,},{(,)|0,,}A x y x y x y R B x y x y x y R =+=∈=-=∈,则集合A B 的元素个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 32．已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -，则向量AC 对应的复数为（） A ．53i + B ．15i + C ．15i -- D ．53i --3．函数()sin cos ()f x x x x R =-∈的最小正周期是（） A.2πB. πC. 2π D ．3π 4．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为（A.4 B. 2 C. 2D. 125．如图1所示的算法流程图中，第3个输出的数是（） A. 1 B.32 C. 2 D. 526．如果一个几何体的三视图如图2所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是（）A. 2(80cm +B. 296cm C. 2(96cm + 主视图左视图 D. 2112cm图2俯视图8．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是（） A ．72 B ．73 C ．74 D ．75 9．若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是（） A. ()2,2- B. []2,2- C. (),1-∞- D. ()1,+∞10．已知一个数列的各项是1或2，首项为1，且在第k 个1和第1k +个1之间有12k -个2，即1,2,1,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,⋅⋅⋅则该数列前2009项的和2009s = （）A. 2009 B. 2011 C. 4005 D. 4007第二部分非选择题(共100分)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 命题“若20,0m x x x m >+-=则关于的方程有实数根”的逆命题是12．已知,3,2,==⊥b a b a 且b a 23+与b a-λ垂直，则实数λ的值为 .13. 不等式组2020220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩所确定的平面区域记为D ,若圆222:O x y r +=上的所有点都在区域D 内，则圆O 的面积的最大值是14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n <，使得m n S S =，则0m n S +=.类比上述结论，设正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，若存在正整数(),m n m n <，使得m n T T =，则m n T += .15. 已知函数()()()56(4)462x a x f x a x x -⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩, 数列{}n a 满足()()+∈=N n n f a n ，且数列{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 16．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且222a cb ac +-=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3c a =，求tan A 的值． 17．（本小题满分14分）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 为AB 的中点． (Ⅰ)求证：1BDD AC 平面⊥(Ⅱ)求异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值；（Ⅲ）求点B 到平面EC A 1的距离.18．（本小题满分12分）中央电视台《同一首歌》大型演唱会曾在我市湄洲岛举行，之前甲、乙两人参加大会青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。

2023-2024学年福建省莆田一中高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年福建省莆田一中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ＝{x |1＜x ＜6}，N ＝{x |x 2﹣5x +6＜0}，则M ∩N ＝（） A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1＜x ＜3}C ．{x |2＜x ＜3}D ．{x |2＜x ＜6}2．已知函数f(x)={x 3−2，x ≥01x 2−1，x ＜0，则f （f （1））＝（）A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣23．已知x ＞0，y ＞0，则x +y ≥2是xy ≥1的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．函数y =x 2cosx−1，x ∈（−π3，π3）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为α（0°＜α＜45°），且小正方形与大正方形面积之比为1：25，则tan α的值为（）A ．35B ．34C ．45D ．24256．已知△ABC 外接圆圆心为O ，半径为1，2AO →=AB →+AC →，且√3|OA →|=|AB →|，则向量AB →在向量BC →上的投影向量为（）A ．34BC →B ．√34BC →C ．14BC →D ．−34BC →7．已知函数f （x ）＝2﹣|x |，g （x ）＝x 2，设函数L(x)={f(x)，f(x)≤g(x)g(x)，f(x)＞g(x)，则下列说法错误的是（）A ．L （x ）是偶函数B ．函数L （x ）有两个零点C ．L （x ）在区间（﹣1，0）上单调递减D ．L （x ）有最大值，没有最小值8．如果一个方程或不等式中出现两个变量，适当变形后，可使得两边结构相同，此时可构造函数，利用函数的单调性把方程或不等式化简．利用上述方法解决问题：已知实数a ，b ∈（1，+∞），log 2a +log b 3＝log 2b +log a 2，则（） A ．a ＜√b ＜bB ．√b ＜a ＜bC ．b ＜√a ＜aD ．√a ＜b ＜a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若函数y ＝f （x ）的图象为如图所示的曲线m 和线段n ，曲线m 与直线l 无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是（）A ．f （x ）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，2]B ．f （x ）的值域为[1，+∞）C ．在f （x ）的定义域内任取一个值，总有唯一的y 值与之对应D ．在f （x ）的值域内任取一个值，总有唯一的x 值与之对应 10．已知平面四边形ABCD ，则下列命题正确的是（）A ．若AB →=12DC →，则四边形ABCD 是梯形B ．若|AB →|=|AD →|，则四边形ABCD 是菱形C ．若AC →=AB →+AD →，则四边形ABCD 是平行四边形D ．若AB →=DC →且|AB →+AD →|=|AB →−AD →|，则四边形ABCD 是矩形 11．已知函数f(x)=sin(ωx +π6)（ω＞0），则下列说法正确的是（）A ．若ω＝1，则(π3，0)是f （x ）的图象的对称中心B ．若f(x)≤f(π6)恒成立，则ω的最小值为2C ．若f （x ）在x ∈[0，π2]上单调递增，则0＜ω≤23D ．若f （x ）在[0，2π]上恰有2个零点，则1112≤ω≤171212．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x +2）是奇函数，f （2x +1）是偶函数，且当x ∈[2，3]时，f （x ）＝2﹣x ，则下列选项正确的是（） A ．f （x ）的图象关于直线x ＝1对称 B ．f （2022）+f （2023）+f （2024）＝﹣1 C ．f(12x −1)+1关于点（2，1）对称D ．f(12x −1)+1关于点（1，1）对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知弧度数为π3的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是．14．已知x ＞2，求f(x)=9x−2+x 的最小值． 15．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点A （1，0）出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第1804次相遇时，点P 的坐标是．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1、C 2、C 3依次为y ＝2log 2x 、y ＝log 2x 、y ＝k log 2x （k 为常数，0＜k ＜1）．曲线C 1上的点A 在第一象限，过A 分别作x 轴、y 轴的平行线交曲线C 2分别于点B 、D ，过点B 作y 轴的平行线交曲线C 3于点C ．若四边形ABCD 为矩形，则k 的值是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知|a →|=2，|b →|=4，且|a →+b →|=2√3．（1）求a →与b →的夹角；（2）若(2a →−b →)⊥(a →+kb →)，求实数k 的值．18．（12分）已知函数f(x)=cos(π3−x)+sin(x −π6)+cosx ．（1）当x ∈[0，π2]，求f （x ）的最大值以及取得最大值时x 的集合．（2）先将函数y ＝f （x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，求当x ∈R 时，使g （x ）≥1成立的x 的取值集合． 19．（12分）已知函数f （x ）＝e x −1e |x|．（1）若f （x ）＝2，求x 的值；（2）若e t f （2t ）+mf （t ）≥0对于t ∈[0，1]恒成立，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知角α为锐角，π2＜β−α＜π，且满足tan α2=13，sin(β−α)=7√210．（1）证明：0＜α＜π4；（2）求β．21．（12分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究，在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：设茶水温度从100℃开始，经过xmin 后的温度为y ℃，现给出以下三种函数模型：①y ＝kx +b （k ＜0，x ≥0）；②y ＝ka x +b （k ＞0，0＜a ＜1，x ≥0）；③y ＝log a （x +k ）+b （a ＞1，k ＞0，x ≥0）．（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min 的数据求出相应的解析式；（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477．）22．（12分）小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运算“⊗”：对于任意实数a ，b ，都有a ⊗b ＝lg （10a +10b ），通过研究发现新运算满足交换律：a ⊗b ＝b ⊗a ．小颖提出了两个猜想：∀x ，y ，z ∈R ，①（x ⊗y ）⊗z ＝x ⊗（y ⊗z ）；②（x ⊗y ）+z ＝（x +z ）⊗（y +z ）．（1）请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；（注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分）（2）设a＞0且a≠1，s＝log a（x﹣2a）（x﹣4a），当0＜m＜n＜2a时，若函数f（x）＝（s+1）⊗（s+3）﹣1﹣lg101在区间[m，n]上的值域为[log a n，log a m]，求a的取值范围．2023-2024学年福建省莆田一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ＝{x |1＜x ＜6}，N ＝{x |x 2﹣5x +6＜0}，则M ∩N ＝（） A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1＜x ＜3}C ．{x |2＜x ＜3}D ．{x |2＜x ＜6}解：因为N ＝{x |x 2﹣5x +6＜0}＝{x |2＜x ＜3}⫋{x |1＜x ＜6}，所以M ∩N ＝{x |2＜x ＜3}．故选：C ．2．已知函数f(x)={x 3−2，x ≥01x 2−1，x ＜0，则f （f （1））＝（）A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣2解：f(x)={x 3−2，x ≥01x 2−1，x ＜0，f （1）＝1﹣2＝﹣1，则f （f （1））＝f （﹣1）＝1﹣1＝0．故选：B ．3．已知x ＞0，y ＞0，则x +y ≥2是xy ≥1的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解：当x ＝0.01，y ＝2时，满足x +y ⩾2，但xy ⩾1不成立，即充分性不成立，当xy ⩾1时，x +y ⩾2√xy =2，即必要性成立，即“x +y ⩾2”是“xy ⩾1”的必要不充分条件．故选：B ．4．函数y =x 2cosx−1，x ∈（−π3，π3）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．解：函数f （﹣x ）＝﹣f （x ），则函数f （x ）是奇函数，排除D ，当0＜x ＜π3时，2cos x ﹣1＞0，则f （x ）＞0，排除B ，C ，故选：A ．5．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为α（0°＜α＜45°），且小正方形与大正方形面积之比为1：25，则tan α的值为（）A ．35B ．34C ．45D ．2425解：因为小正方形与大正方形面积之比为1：25，设小正方形的边长为1，则大正方形边长为5，由题意可得，小直角三角形的三边分别为5cos α，5sin α，5，因为4个小直角三角形全等，所以4×12×5cos α×5sin α+1＝25，即25sin αcos α＝12，所以25sinαcosαsin 2α+cos 2α=12，所以25tanαtan 2α+1=12，整理得12tan 2α﹣25tan α+12＝0，解得tan α=34或tan α=43，又因为0°＜α＜45°，所以tan α=34．故选：B ．6．已知△ABC 外接圆圆心为O ，半径为1，2AO →=AB →+AC →，且√3|OA →|=|AB →|，则向量AB →在向量BC →上的投影向量为（） A ．34BC →B ．√34BC →C ．14BC →D ．−34BC →解：由2AO →=AB →+AC →知O 为BC 中点，又O 为△ABC 外接圆圆心，∴|OA →|=|OB →|=|OC →|=1，|BC →|=2，∴AB ⊥AC ， ∵√3|OA →|=|AB →|，∴|AB →|=√3，∴cosB =√32，∴AB →在向量BC →上的投影为：|AB →|cos(π−B)=−32，∴向量AB →在向量BC →上的投影向量为：−32⋅BC →|BC →|=−34BC →，故选：D ．7．已知函数f （x ）＝2﹣|x |，g （x ）＝x 2，设函数L(x)={f(x)，f(x)≤g(x)g(x)，f(x)＞g(x)，则下列说法错误的是（）A ．L （x ）是偶函数B ．函数L （x ）有两个零点C ．L （x ）在区间（﹣1，0）上单调递减D ．L （x ）有最大值，没有最小值解：在同一直角坐标系中，画出函数f （x ）＝2﹣|x |，g （x ）＝x 2的图象，从而得函数L(x)={f(x)，f(x)≤g(x)g(x)，f(x)＞g(x)图象，如图实线部分：对于A ，∵函数L （x ）图象关于y 轴对称，∴L （x ）是偶函数，故A 正确；对于B ，根据零点的定义结合函数L （x ）的图象知，函数L （x ）有三个零点，分别为±2，0，故B 错误；对于C ，从函数L （x ）图象观察得L （x ）在区间（﹣1，0）上单调递减，故C 正确；对于D ，从函数L （x ）图象观察得L （x ）有最大值，没有最小值，故D 正确．故选：B ．8．如果一个方程或不等式中出现两个变量，适当变形后，可使得两边结构相同，此时可构造函数，利用函数的单调性把方程或不等式化简．利用上述方法解决问题：已知实数a ，b ∈（1，+∞），log 2a +log b 3＝log 2b +log a 2，则（） A ．a ＜√b ＜bB ．√b ＜a ＜bC ．b ＜√a ＜aD ．√a ＜b ＜a解：由log 2a +log b 3＝log 2b +log a 2，log b 3＞log b 2变形可知log 2a ﹣log a 2＝log 2b ﹣log b 3，则log 2a ﹣log a 2＜log 2b ﹣log b 2，利用换底公式等价变形，得log 2a −1log 2a ＜log 2b −1log 2b，令f(x)=x −1x ，因为y ＝x ，y =−1x在（0，+∞）上单调递增，所以函数f(x)=x −1x在（0，+∞）上单调递增，所以log 2a ＜log 2b ，即a ＜b ，排除C ，D ；其次，因为log 2b ＞log 3b ，得log 2a +log b 3＞log 3b +log a 2，即log 2a ﹣log a 2＞log 3b ﹣log b 3，即log 2a −1log 2a ＞log 3b −1log 3b，同样利用f(x)=x −1x的单调性知，log 2a ＞log 3b ，又因为log 3b =log √3√b ＞log 2√b ，得log 2a ＞log 2√b ，即a ＞√b ，所以√b ＜a ＜b ．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若函数y ＝f （x ）的图象为如图所示的曲线m 和线段n ，曲线m 与直线l 无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是（）A ．f （x ）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，2]B ．f （x ）的值域为[1，+∞）C ．在f （x ）的定义域内任取一个值，总有唯一的y 值与之对应D ．在f （x ）的值域内任取一个值，总有唯一的x 值与之对应解：由题意得：定义域为（﹣3，﹣1]∪[0，2]，A 错误； f （x ）的最小值为1，故值域为[1，+∞），B 正确；由函数定义及图象可知：在f （x ）的定义域内任取一个值，总有唯一的y 值与之对应，C 正确；在f （x ）的值域内任取一个值y 0∈[2，3]时，此时有两个x 值与之对应，D 错误．故选：BC ．10．已知平面四边形ABCD ，则下列命题正确的是（） A ．若AB →=12DC →，则四边形ABCD 是梯形B ．若|AB →|=|AD →|，则四边形ABCD 是菱形C ．若AC →=AB →+AD →，则四边形ABCD 是平行四边形D ．若AB →=DC →且|AB →+AD →|=|AB →−AD →|，则四边形ABCD 是矩形解：对于A 选项：因为AB →=12DC →，所以|AB|=12|DC|，AB ∥DC ，则四边形ABCD 是梯形，故A 选项正确；对于B 选项：因为|AB →|=|AD →|，相邻两边相等不能得出四边形ABCD 是菱形，所以B 选项错误；对于C 选项：因为AC →=AB →+AD →，所以BC →=AD →，所以四边形ABCD 是平行四边形，故C 选项正确；对于D 选项：因为AB →=DC →，所以AB ＝DC ，AB ∥DC ，则四边形ABCD 是平行四边形，因为|AB →+AD →|=|AB →−AD →|，所以|AB →+AD →|2=|AB →−AD →|2，即AB →⋅AD →=0，所以AB →⊥AD →，则四边形ABCD 是矩形，故D 选项正确．故选：ACD ．11．已知函数f(x)=sin(ωx +π6)（ω＞0），则下列说法正确的是（）A ．若ω＝1，则(π3，0)是f （x ）的图象的对称中心B ．若f(x)≤f(π6)恒成立，则ω的最小值为2C ．若f （x ）在x ∈[0，π2]上单调递增，则0＜ω≤23D ．若f （x ）在[0，2π]上恰有2个零点，则1112≤ω≤1712解：对于A ，若ω＝1，则f(x)=sin(x +π6)，所以f(π3)=1，所以x =π3是f （x ）图象的对称轴，(π3，0)不是f （x ）的图象的对称中心，故A 错误；对于B ，若f(x)≤f(π6)恒成立，即f(x)≤sin(ωπ6+π6)恒成立，则ωπ6+π6=π2+2kπ，k ∈Z ，解得：ω＝2+12k ，k ∈Z ，又因为ω＞0，则ω的最小值为2，故B 正确；对于C ，x ∈[0，π2]时，ωx +π6∈[π6，πω2+π6]，因为f （x ）在x ∈[0，π2]上单调递增，则π6＜πω2+π6≤π2，解得0＜ω≤23，故C 正确；对于D ，x ∈[0，2π]时，ωx +π6∈[π6，2πω+π6]，若f （x ）在[0，2π]上恰有2个零点，则2π≤2πω+π6＜3π，解得1112≤ω＜1712，故D 错误．故选：BC ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x +2）是奇函数，f （2x +1）是偶函数，且当x ∈[2，3]时，f （x ）＝2﹣x ，则下列选项正确的是（） A ．f （x ）的图象关于直线x ＝1对称B ．f （2022）+f （2023）+f （2024）＝﹣1C．f(12x−1)+1关于点（2，1）对称D．f(12x−1)+1关于点（1，1）对称解：根据题意，因为函数f（x+2）是奇函数，所以f（x）的图象关于点（2，0）对称，所以，f（﹣x）＝﹣f（4+x）；因为f（2x+1）是偶函数，所以f（2x）的图象关于直线x=12对称，所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（﹣x）＝f（2+x）；所以f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），所以f（x）周期为4，又因为f（﹣x）＝﹣f（4+x），所以f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，依次分析选项：对于A，因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，故正确；对于B，因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，f（x）周期为4，x∈[2，3]时，f（x）＝2﹣x，所以f（2022）＝f（505×4+2）＝f（2）＝0；f（2023）＝f（505×4+3）＝f（3）＝﹣1；f（2024）＝f（506×4）＝f（0）＝f（2）＝0；所以f（2022）+f（2023）+f（2024）＝﹣1，故B项正确；对于C项，f（x）为奇函数，图象关于点（0，0）对称，则f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，f(12x−1)的图象关于点（2，0）对称，f(12x−1)+1的图象关于点（2，1）对称，故C项正确，D项错误．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知弧度数为π3的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是2π3．解：∵弧度数为π3的圆心角所对的弦长为2，∴弦长与两条半径组成一个等边三角形，即半径为2，∴这个圆心角所对的弧长是2×π3=2π3．故答案为：2π3．14．已知x＞2，求f(x)=9x−2+x的最小值8．解：因为x＞2，则x﹣2＞0，又f（x）=9x−2+x﹣2+2≥2√9x−2⋅(x−2)+2＝8，当且仅当x﹣2=9x−2，即x＝5时取等号，故f（x）的最小值为8，故答案为：8．15．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点A （1，0）出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第1804次相遇时，点P 的坐标是 (−12，√32) ．解：相遇时间为t ＝1804×2π÷（π12+11π12）＝3608秒，∴P 转过的角度为π12×3608=300π+2π3，∴对应点坐标为（cos 2π3，sin 2π3），即（−12，√32）．故答案为：(−12，√32)．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1、C 2、C 3依次为y ＝2log 2x 、y ＝log 2x 、y ＝k log 2x （k 为常数，0＜k ＜1）．曲线C 1上的点A 在第一象限，过A 分别作x 轴、y 轴的平行线交曲线C 2分别于点B 、D ，过点B 作y 轴的平行线交曲线C 3于点C ．若四边形ABCD 为矩形，则k 的值是12．解：设A （t ，2log 2t ）（t ＞1），由AB 平行x 轴得B （t 2，2log 2t ），由AD 平行y 轴得D （t ，log 2t ），又BC 平行y 轴，∴C 的坐标为（t 2，2k log 2t ）， ∵四边形ABCD 为矩形，∴有log 2t ＝2k log 2t ，由于log 2t ＞0，故2k ＝1，即k =12．故答案为：12．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知|a →|=2，|b →|=4，且|a →+b →|=2√3．（1）求a →与b →的夹角；（2）若(2a →−b →)⊥(a →+kb →)，求实数k 的值．解：（1）因为|a →|=2，|b →|=4，且|a →+b →|=2√3，所以|a →+b →|2=a →2+2a →⋅b →+b →2=4+2×2×4×cos ＜a →，b →＞+16=12，解得cos ＜a →，b →＞=−12，又＜a →，b →＞∈[0°，180°]，则a →与b →的夹角为120°；（2）由（1）可知，a →⋅b →=2×4×(−12)=−4，因为(2a →−b →)⊥(a →+kb →)，所以(2a →−b →)⋅(a →+kb →)=2a →2+(2k −1)a →⋅b →−kb →2=0，即2×22﹣4（2k ﹣1）﹣16k ＝0，解得k =12．18．（12分）已知函数f(x)=cos(π3−x)+sin(x −π6)+cosx ．（1）当x ∈[0，π2]，求f （x ）的最大值以及取得最大值时x 的集合．（2）先将函数y ＝f （x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，求当x ∈R 时，使g （x ）≥1成立的x 的取值集合．解：（1）函数f(x)=cos(π3−x)+sin(x −π6)+cosx=cosxcos π3+sinxsin π3+sinxcos π6−cosxsin π6+cosx=12cos x +√32sin x ++√32sin x −12cos x +cos x =√3sinx +cosx =2sin(x +π6)．∵x ∈[0，π2]，∴x +π6∈[π6，2π3]．∴12≤sin(x +π6)≤1． ∴f(x)=2sin(x +π6)的最大值为2，此时x 的集合为{π3}．（2）由题意：将f （x ）的图象的横坐标缩短到原来的12得到y =2sin(2x +π6)的图象，再向右平移π6个单位后得到g(x)=2sin(2x −π6)，则g(x)=2sin(2x −π6)≥1，即sin(2x −π6)≥12，2kπ+π6≤2x −π6≤2kπ+5π6，（k ∈Z ），解得π6+kπ≤x ≤π2+kπ，（k ∈Z ）．则g （x ）≥1成立的x 的取值集合是{x|π6+kπ≤x ≤π2+kπ，k ∈Z}．19．（12分）已知函数f （x ）＝e x −1e |x|．（1）若f （x ）＝2，求x 的值；（2）若e t f （2t ）+mf （t ）≥0对于t ∈[0，1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）当x ＜0时，f(x)=e x −1e −x =0，则f （x ）＝2无解；当x ≥0时，f(x)=e x −1ex ，由f （x ）＝2得：e 2x ﹣2e x ﹣1＝0，解得：e x =1±√2，又e x ＞0，∴e x =1+√2，则x =ln(1+√2)；综上所述：x =ln(1+√2)；（2）当t ∈[0，1]时，f(t)=e t −1el 单调递增，则f(t)∈[0，e −1e ]；当t ＝0时，f （0）＝0，则e 0f （0）+mf （0）＝0，则m ∈R ：当t ∈（0，1]时，−m ≤e t f(2t)f(t)=e t (e 2t −1e 2t )e t −1et=e t (e t +1e t )=e 2t+1， ∵(e 2t +1)min=e 0+1=2，∴﹣m ≤2，解得：m ≥﹣2；综上所述：实数m 的取值范围为[﹣2，+∞）．20．（12分）已知角α为锐角，π2＜β−α＜π，且满足tan α2=13，sin(β−α)=7√210．（1）证明：0＜α＜π4；（2）求β．（1）证明：因为tanα2=13，所以tanα=2tan α21−tan 2α2=2×131−19=34＜1=tan π4，因为α为锐角且函数y ＝tan x 在(0，π2)上单调递增，所以0＜α＜π4，（2）解：由{tanα=sinαcosα=34sin 2α+cos 2α=1，结合角α为锐角，解得sinα=35，cosα=45，因为π2＜β−α＜π，且sin(β−α)=7√210，所以cos(β−α)=−√1−(7√210)2=−√210．sin β＝sin[α+（β﹣α）]＝sin αcos （β﹣α）+cos αsin （β﹣α）=35×(−√210)+45×7√210=√22，又π2＜π2+α＜β＜π+α＜5π4，所以β=3π4． 21．（12分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究，在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：设茶水温度从100℃开始，经过xmin 后的温度为y ℃，现给出以下三种函数模型：①y ＝kx +b （k ＜0，x ≥0）；②y ＝ka x +b （k ＞0，0＜a ＜1，x ≥0）；③y ＝log a （x +k ）+b （a ＞1，k ＞0，x ≥0）．（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min 的数据求出相应的解析式；（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477．）解：（1）选择②y ＝ka x +b （k ＞0，0＜a ＜1，x ≥0）作为函数模型，理由如下：由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以对数增长模型③不合适，当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以一次函数模型①不合适，故应选择②y ＝ka x +b （k ＞0，0＜a ＜1，x ≥0），将表中前2min 的数据代入，得{100=k +b 92=ka +b 84.8=ka 2+b ，解得{k =80a =0.9b =20，所以函数模型的解析式为y ＝80×0.9x +20；（2）由题意可得80×0.9x +20＝60，解得x =log 0.912，即x =−lg2lg0.9=lg21−2lg3≈0.3011−2×0.477≈6.54，所以刚泡好的乌龙茶大约放置6.54min 能达到最佳饮用口感．（3）由y ＝80×0.9x +20为减函数，且当x 越大时，0.9x 接近于0，则y 越接近20，考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，所以乌龙茶所在实验室的室温约为20℃．22．（12分）小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运算“⊗”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝lg（10a+10b），通过研究发现新运算满足交换律：a⊗b＝b⊗a．小颖提出了两个猜想：∀x，y，z∈R，①（x⊗y）⊗z＝x⊗（y⊗z）；②（x⊗y）+z＝（x+z）⊗（y+z）．（1）请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；（注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分）（2）设a＞0且a≠1，s＝log a（x﹣2a）（x﹣4a），当0＜m＜n＜2a时，若函数f（x）＝（s+1）⊗（s+3）﹣1﹣lg101在区间[m，n]上的值域为[log a n，log a m]，求a的取值范围．解：（1）若选①（x⊗y）⊗z＝x⊗（y⊗z），猜想正确；证明如下：(x⊗y)⊗z=lg(10x+10y)⊗z=lg[10lg(10x+10y)+10z]=lg(10x+10y+10z)，x⊗(y⊗z)=x⊗lg(10y+10z)=lg[10x+10lg(10y+10z)]=lg(10x+10y+10z)，故（x⊗y）⊗z＝x⊗（y⊗z）；若选②（x⊗y）+z＝（x+z）⊗（y+z），猜想成立；证明：（x⊗y）+z＝lg（10x+10y）+z，而（x+z）⊗（y+z）＝lg（10x+z+10y+z）＝lg[（10x+10y）•10z]＝lg（10x+10y）+z，故（x⊗y）+z＝（x+z）⊗（y+z）；（2）由题意可知f（x）＝（s+1）⊗（s+3）﹣1﹣lg101＝lg（10s+1+10s+3）﹣1﹣lg101＝lg[10s+1•（1+102）]﹣1﹣lg101＝s+1+lg101﹣1﹣lg101＝s＝log a（x﹣2a）（x﹣4a），令g（x）＝（x﹣2a）（x﹣4a）＝x2﹣6a+8a2，其图象对称轴为x＝3a，故g（x）在（0，2a）上单调递减，因为f（x）在区间[m，n]上的值域为[log a n，log a m]，故log a n＜log a m，而0＜m＜n，故0＜a＜1，此时y＝log a x在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）＝log a g（x）在[m，n]上单调递增，则{f(m)=log a nf(n)=log a m，即{log a(m−2a)(m−4a)=log a nlog a(n−2a)(n−4a)=log a m，即{(m−2a)(m−4a)=n(n−2a)(n−4a)=m，整理得m2﹣n2﹣6a（m﹣n）＝﹣（m﹣n），即m+n﹣6a＝﹣1，将n＝6a﹣m﹣1代入（m﹣2a）（m﹣4a）＝n，得m2﹣（6a﹣1）m+8a2﹣6a+1＝0，同理得n2﹣（6a﹣1）n+8a2﹣6a+1＝0，即m，n是x2﹣（6a﹣1）x+8a2﹣6a+1＝0在（0，2a）上的两个不同的根，令h（x）＝x2﹣（6a﹣1）x+8a2﹣6a+1，则{ℎ(0)=8a2−6a+1＞0ℎ(2a)=−4a+1＞00＜6a−12＜2aΔ=(6a−1)2−4(8a2−6a+1)＞0，解得{a〈14或a〉12a＜1416＜a＜12a〈−3−2√32或a〉−3+2√32，故a∈(2√3−32，14)．。