二次函数讲义详细(2020年10月整理).pdf

例 1、 函数 y=（m＋ 2 ）x m2−2 ＋2x－1 是二次函数，则 m=
．
例 2、 下列函数中是二次函数的有（
）
1
1
①y=x＋ x ；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y= x 2 ＋x．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
例 3、某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服装每提 高 1 元售价，销量就减少 5 套，如果商场将售价定为 x，请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表达式．
4a
2a 4a
x=− b . 2a
（2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分
线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
2、二次函数的图象及性质： （1）二次函数 y=ax2 (a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是 y 轴；当 a＞0 时，抛物线开口向
9．如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm．点 P 从点 A 开始沿 AB 方向向点 B 以 1cm/s 的速度移动，同 时，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向 C 以 2cm/s 的速度移动．如果 P、Q 两点分别到达 B、C 两点停止移动，设运动 开始后第 t 秒钟时，五边形 APQCD 的面积为 Scm2，写出 S 与 t 的函数表达式，并指出自变量 t 的取值范围．
3
例 3、求符合下列条件的抛物线 y=ax2 的表达式： （1）y=ax2 经过（1，2）；
1 （2）y=ax2 与 y= 2 x2 的开口大小相等，开口方向相反；
1 （3）y=ax2 与直线 y= 2 x＋3 交于点（2，m）．
例 4、抛物线 y=ax2＋bx＋c 如图所示，则它关于 y 轴对称的抛物线的表达式是
）
A．m、n 为常数，且 m≠0
B．m、n 为常数，且 m≠n
C．m、n 为常数，且 n≠0
D．m、n 可以为任何常数
8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为 135°的两面墙，另外两边是总长为 30 米的铁 栅栏．（1）求梯形的面积 y 与高 x 的表达式；（2）求 x 的取值范围．
第一讲 二次函数的定义
知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果 y = ax 2 + bx + c(a,b, c 是常数， a 0) ，那么 y 叫做 x 的
二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系 数不为 0 考点：二次函数的二次项系数不为 0，且二次函数的表达式必须为整式
例 4 、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，P 是 BC 边上一点，QP⊥AP 交 DC 于 Q，如果 BP=x，△ADQ 的面积 为 y，用含 x 的代数式表示 y．
1
训练题:
1、已知函数 y=ax2＋bx＋c（其中 a，b，c 是常数），当 a 时，是二次函数；当 a ，b
当 a ，b ，c 时，是正比例函数．
y=2x2＋6x－1
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
例 2、已知直线 y=－2x＋3 与抛物线 y=ax2 相交于 A、B 两点，且 A 点坐标为（－3，m）． （1）求 a、m 的值； （2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标； （3）x 取何值时，二次函数 y=ax2 中的 y 随 x 的增大而减小； （4）求 A、B 两点及二次函数 y=ax2 的顶点构成的三角形的面积．
上，顶点是最低点；当 a＜0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大． （2）二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是一条对称轴平行 y 轴或者与 y 轴重合的抛物线．要会根据对称轴和图像
判断二次函数的增减情况。
3、图象的平移：左加右减，上加下减
例 1、
抛物线
y=－2x2＋6x－1
2
（3）设四边形 DECF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式．
知识点归纳：
第二讲
二次函数的图像和性质
1、求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法： y = ax 2 + bx + c = a x +
b
2
+
4ac
−
b2
， ∴ 顶 点 是（ −
b
，4ac − b2 ），对称轴是直线
2a
10．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点 D 在斜边 AB 上，分别作 DE⊥AC，DF⊥BC， 垂足分别为 E、F，得四边形 DECF．设 DE=x，DF=y．
（1）AE 用含 y 的代数式表示为：AE=
；
（2）求 y 与 x 之间的函数表达式，并求出 x 的取值范围；
2、若函数 y=(m2+2m－7)x2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围为
。Fra Baidu bibliotek
时，是一次函数；
x2m +1
3、已知函数 y=(m－1)
+5x－3 是二次函数，求 m 的值。
4、已知菱形的一条对角线长为 a，另一条对角线为它的 3 倍，用表达式表示出菱形的面积 S 与对角线 a 的关系．
5、请你分别给 a，b，c 一个值，让 y = ax 2 + bx + c 为二次函数，且让一次函数 y=ax+b 的图像经过一、二、三
象限
6．下列不是二次函数的是（
）
1 A．y=3x2＋4 B．y=－ 3 x2 C．y= x2 − 5 D．y=（x＋1）（x－2）
7．函数 y=（m－n）x2＋mx＋n 是二次函数的条件是（
．
例 7、已知二次函数 y=（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2 的图象过点（0，5） （1）求 m 的值，并写出二次函数的表达式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
例
5、二次函数
y=a(x－h)2
的图象如图：已知
1 a=2
，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。
例 6、试写出抛物线 y=3x2 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。 2
（1）右移 2 个单位；（2）左移3 个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个单位。
例 7、把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位，在向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是 y=x2－3x+5，