2016-2017学年高中数学第三章函数的应用章末复习课新人教版必修1

【金版学案】2016-2017学年高中数学 第三章 函数的应用章末复习

课 新人教版必修1

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[警示·易错提醒]

1．正确认识零点存在定理，要抓住两个关键点：(1)函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线．(2)f (a )·f (b )<0，否则极易出错．

2．在用二分法求函数的零点的近似值或方程的近似解时，要注意精确度的要求． 3．在建立函数模型解决实际问题时，先作散点图，根据散点图来选择模拟函数，可避

免盲目性，是较好的方法．

专题一 函数的零点与方程的根

根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实根，有几个实根．函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决函数、方程与不等式的问题．

[例1] (1)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2

－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )

A ．{1，3}

B ．{－3，－1，1，3}

C ．{2－7，1，3}

D ．{－2－7，1，3}

(2)函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2

－2，x ≤0，

2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是______．

解析：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2

－3x ，所以

f (x )⎩

⎪⎨⎪⎧x 2

－3x ，x ≥0，

－x 2－3x ，x <0，所以

g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2

－4x ＋3，x ≥0，－x 2

－4x ＋3，x <0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，

x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝

3；

由⎩

⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2

－4x ＋3＝0，解得x ＝－2－7. 所以函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为{－2－7，1，3}．故选D.

(2)令x 2

－2＝0，得x ＝±2，只有x ＝－2符合题意；令2x －6＋ln x ＝0，得6－2x ＝ln x ，在同一坐标系中作出函数y ＝6－2x 和y ＝ln x 的图象如图，观察知，图象有1个交点．所以函数f (x )有2个零点．

答案：(1)D (2)2 归纳升华

确定函数零点的个数有两个基本方法：(1)利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断．(2)利用零点存在性定理判断，但还需结合函数的图象和单调性，特别是二重根容易漏掉．

[变式训练] (1)已知函数f (x )＝6

x

－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是

( )

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，4)

D ．(4，＋∞)

(2)设f (x )＝x 3

＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0

在[－1，1]内( )

A ．可能有3个实根

B ．可能有2个实根

C ．有唯一实根

D ．没有实根

解析：(1)因为函数f (x )在定义域(0，＋∞)上是连续不断的，且f (2)＝3－1>0，f (4)＝3

2

－2<0，所以，函数f (x )的零点在区间(2，4)内． (2)由于f (x )＝x 3

＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，

所以f (x )在⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，12上有唯一零点，即方程f (x )＝0在[－1，1]内有唯一实根． 答案：(1)C (2)C 专题二 函数零点的应用

函数零点的应用主要表现在：(1)利用函数零点求参数的值；(2)利用函数零点求参数的范围．

[例2] (2015·湖南卷)若函数f (x )＝|2x

－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．

解析：若函数f (x )＝|2x

－2|－b 有两个零点，可得方程|2x

－2|＝b 有两个根，从而函数y ＝|2x

－2|与函数y ＝b 的图象有两个交点，结合图象可得0

答案：0

已知函数的零点确定参数范围，其关键是利用数形结合思想与等价转化思想去建立参数不等关系，对于二次函数的零点问题，要充分利用图象，结合零点的条件从开口方向、对称轴位置、区间端点值的符号及判别式这几个方向去考虑．

[变式训练] (1)若函数f (x )＝ax 2

－x －1仅有一个零点，则实数a 的取值范围是______________．

(2)已知函数f (x )＝2mx ＋5－3m 在(－1，2)内存在零点x 0，求实数m 的取值范围． (1)解析：当a ＝0时，f (x )＝－x －1是一次函数，有一个零点；当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14

.

综上知a ＝0或a ＝－1

4

.

答案：⎩

⎨⎧⎭⎬⎫

a |a ＝0或a ＝－14

(2)解：m ＝0时，f (x )＝5，不合题意；当m ≠0时，函数f (x )的图象是一条直线，依题意f (－1)·f (2)<0，

即(5－5m )(m ＋5)<0，即(m －1)(m ＋5)>0， 解得m <－5或m >1.

所以实数m 的取值范围是{m |m <－5或m >1}． 专题三 函数模型及其应用

针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为