关于梯度旋度和散度的直观理解 (1)

关于梯度、旋度和散度的直观理解

散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）

若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负).

一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯.

梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在一个纯量场中,梯度的计算结果会是" 在每个位置都算出一个向量,而这个向量的方向会是在任何一点上从其周围(极接近的周围, 学过微积分该知道甚么叫极限吧?) 纯量值最小处指向周围纯量值最大处. 而这个向量的大小会是上面所说的那个最小与最大的差距程度" 举例子来讲会比较简单,如果现在的纯量场用一座山来表示, 纯量值越大的地方越高,反之则越低.经过梯度这个运操作数的运算以后, 会在这座山的每一个点上都算出一个向量,这个向量会指向每个点最陡的那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡. 散度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量散度的作用对像是向量场, 如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域), 在这个点上,向量场的发散程度, 如果是正的,代表这些向量场是往外散出的. 如果是负的,代表这些向量场是往内集中的. 一样,举例子: 因为散度的作用对像是向量场,所以就不能用上面所讲的山来想象, 这

次要想象一个大广场里挤了很多人,如果每个人都在到处走动, 是不是可以把每个人的行动都看成是一个向量, 假如现在某人放了一个屁,周围的人(可能包含他自己)都想要赶快闪远一点, 就会发现,在这块区域的人都往这小块区域以外的方向移动. 对啦..这就是散度(你也可以想说是闪远一点的闪度....冷....), 大家如果散得越快,散得人越多,这个散度算出来就就越大. 旋度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是向量旋度的作用对象也是向量场,这次直接用上面的例子来讲: 如果现在散开的众人都是直直的往那个屁的反方向散开, 这时候你看到这些人的动线是不是就是一个标准的幅射状?? 不过事实上,每个人在闻到屁的时候是不会确切的知道屁到底是来自哪个方向的.

而可能会走错方向,试过之后才发现不对劲,越找越臭. 这时候你看到众人的走向不见得就是一个幅射状(大家都径向移动), 而可能有一些切向移动的成份在(以屁发点为中心来看) 旋度对应的就是这些切向移动的情况,相对来讲, 散度对应的其实就是径向移动的情况. 而一个屁,虽然可能会像上述的造成一些切向的移动, 但理论上来讲,并不会使散开的众人较趋向于顺时钟转,或逆时钟转. 在这种情况,顺时钟转的情况可以看作与逆时钟转的情况抵消, 因此,在这情况下,旋度仍然是零. 也就是说,一个屁能造成散度,而不会造成旋度.... 而甚么时候是有旋度的呢?? 如果这时候音乐一放, 大家开始围着中间的营火手拉手跳起土风舞(当然是要绕着营火转的那种啦) 这时候就会有旋度没有散度啦.(刚刚一直放屁的那位跑出去找厕所的除外) 以上这三个,有一点一定要记得的. 不论是梯度,散度,旋度,都是一种local 的量(纯量,向量), 所考虑的都是任何一点(其周围极接近,极小的小范围)的情况. 以上举的例子因为要容易了解,所以都是针对二度空间向量

为例, 而且都是很大的东西,但广场是一个点,营火晚会也是一个点, 纳须弥于芥子,这就请自行想象吧.