计量经济学 多元线性回归分析

)
2 u
ˆ ~ N ( , 2 2
M (2)
)
2 u
2.4 随机项的方差的估计
RSS ˆ n3 n3
2 u i 1

n
2 i
平方和分解公式
TSS RSS ESS
n n i 1 i 1
2 i
其中
ˆ ˆ ESS x y 1 1i i 2 x2i yi
ESS RSS TSS ESS y
i 1 n
残差量的关系
ˆi ( y i y ) ( y ˆi y ) i yi y
ˆx ˆx y
i 1 1i 2
2i
ˆx ˆx ( y i i 1 1i 2 2i )
TSS ESS
2.5 拟合优度与修正的拟合优度
一、拟合优度
ESS RSS R 1 TSS TSS
2
含义
反映了因变量的总离差（或变差）平方和中，由所 有自变量所 解释（即决定）的那部分所占的百分比；
并且，当自变量的个数增加时，
二、修正的拟合优度
R
2
是非递减的。
定义
(n k 1) (n 3) R 1 1 TSS TSS (n 1) (n 1)
2
M (2)
2 ˆu
的置信区间为：
ˆ t (n 3) S ) ( ˆ j
j
二、单个回归参数的 t 检验 (1)
H : 0, H : 0
0 j 1 j
(2) 作检验统计量：
Tj
ˆ 0 j
(3) 在 (4)
H
0
成立的条件下，
0
S ˆ j T ~ t ( n 3)
(5) 拟合优度与F 检验中的 F 统计量的关系是什么?这两
个量在评价二元线性回归模型的估计效果上有何区别?
(6) 试比较一元线性回归与二元线性回归的回归误差,哪
个拟合的效果更好?
应用：
（1）预测当累计饲料投入为 20磅时，鸡的平均 重量是多少？
y ˆ 5.2415
f
（磅）
2
（2）对于二元线性回归方程，求饲料投入的边际生产率？
i 1 n
n
1i x 2i x
i 1
i 1 n
x
i 1
2i
y
x
i 1
n
2 2i
,
M 2 (2)
x
i 1 n
n
1i
y y
x
i 1
n
1i 2 i
x
x
i 1
2i
ˆ y ˆx ˆx
0 1 1 2
2
M (2) 1 ˆ 1 M (2)
1f
2i
2 f
，则
E ( y ) 的预测值为
f
ˆ ˆx ˆx ˆ(y ) y E ˆ
f f 0 1 1f 2
2f
例1
投入产出问题
（烤）鸡的平均重量（磅）； 平均累计饲料的投入（磅） 平均累计饲料的投入的平方（磅）
y
x
假设 其中:
1
x
2
yi 0 1x1i 2 x2i ui
M (2) 1155092.4,
M1 (2) 492014.608
M 2 (2) 9727.2
要求:
(1)分别解释一元线性回归方程与二元线性回归方程 中各回归系数的经济含义?
(2) 完成二元线性回归模型参数的 t 检验?
(3) 完成二元线性回归模型参数的整体显著性 检验(即 F 检验)? (4) 根据拟合优度和修正拟合优度综合分析二元线性回 归模型的估计效果.
x 8, x 82.67, y 2.802
1 2
15 2 15 2 i 1 2i i 1 i
x
i 1
15
2
1i
280, x 75805.33, y 24.3908
15 15 i i 1 2i i i 1 1i 2i
x
i 1
15
1i
y 81.54, x y 1269.9, x x 4480
ˆi ) RSS ( yi y
i 1 2 i i 1
n i 1 i 0 1
n
n
2
取到最小值
ˆ ˆx ˆx ) (y
1i 2 2i
2

由微积分 方法得出:
i 1
n i 1 n
i 1
n
i
0
1i
x
i
0
0
x
i
2i
正规方程组
即
ˆ ˆ x ˆ x y n
n n n 0 1 i 1 1i 2 i 1
2i
i 1
i
ˆ x ˆ x ˆ x x x y
n n 2 n n 0 i 1 1i 1 i 1 1i 2 i 1 1i 2i i 1 1i
i
ˆ x ˆ x x ˆ x x y
计量经济学
Econometrics
王琴英
第2章 多元线性回归分析
2.1
一、
多元线性回归模型及其基本假定
k 元线性回归模型
0 1 1 2 2 k k
y x x x u
取样本观测值
( x , x ,, x , y ) ，i 1,2,, n
1i 2i ki i
x2i x
2 1i
时期
1
y
i
x
1i
时期
9
y
i
x
1i
0.58
1.0
3.45
9.0
2
3
1.1
1.2
2.0
3.0
10
11
3.5
3.6
10.0
11.0
4
5
1.3
1.95
4.0
5.0
12
13
百度文库
4.1
4.35
12.0
13.0
6
7
2.55
2.6
6.0
7.0
14
15
4.4
4.45
14.0
15.0
8
2.9
8.0
计算值
均方差
F比值
k
n k 1
ESS
ESS
k
RSS
k
残差 总和
RSS
TSS
RSS (n k 1)
(n k 1)
n 1
(2) 作检验统计量
F
ESS RSS
2
( n 3)
(3) (4)
在
H
0
成立的条件下，
0
F ~ F (2, n 3)
H
的拒绝域为：
F F (2, n 3)
2
(0.0439)
(9.6989)
，
(0.0027)
或
t:
(3.1550)
R2 0.9855,
DW 1.845
R 0.9831
F 408.9551
2.9 应用与实例
预测
已知：
1i
对于给定的回归方程
ˆ ˆx ˆx y ˆ
i 0 1 1i 2
2i
x x ，x x
2
RSS
RSS
拟合优度与修正的拟合优度的关系
（1）
(n 1) R 1 (1 R ) (n k 1) k R (1 R ) R (n k 1)
2 2
2
2
2
（2）
R
2
通过自由度校正拟合优度 R
2
仅仅因为自变量 的递增性。在拟
个数的增加而增大， 从而克服了 R
i 1i
*
1i
（磅）
1i
例1（续）用EVIEWS完成回归
建 立 工 作 文 件
输 入 数 据
生 成 新 序 列
作 图 形
相 关 系 数
一 元 回 归
二 元 回 归
残 差 图
复 制 图 形
课外作业+上机作业
课外作业：
P 54: 1 ， 2 ，3 ， 4
上机作业：
P 54-55: 6
，则拒绝
(5) 推断：若
F F (2, n 3)
F F (2, n 3)
H
0
，
认为回归参数整体显著； 若 ，则接受
H
0
，
认为回归参数整体上不显著。
回归结果的综合表示
ˆi 0.0905 0.426x1i 0.0084x2i y
S ˆ :
j
(0.1527)
(0.5928)
,
M (2) 2 ˆ 2 M (2)
y
回归系数的含义
偏回归系数
ˆ 所度量的是在自变量 x2 ,, xk 保持不变的情况下， 1 x1 每变动1个单位时， y 的均值 E( yi x1i , x2i ,, xki )
的变化，即度量了自变量的单位变化对因变量的均值的 “净”影响，其中不包含其他变量
n n n 2 n 0 i 1 2i 1 i 1 1i 2i 2 i 1 2i i 1 2i
i
记号
M (2)
n
2 x 1i i 1
n
x
i 1 n
n
1i
2i x
1i x 2 i x
i 1
n
2 x 2i
2 x 1i i 1
M1 (2)
1i y x
i 1 2 i
n
n
i i y
i 1
n 2 i 1 i
n
i 1
ˆx ˆx (y )y
n i 1 i 1 1i 2 2i
i
ˆ x ˆ x y ( y y )
n n 1 i 1 1i i 2 i 1 2i i
E (u ) 0
i
，
i 1,2,, n
var(ui )
2 u
（常数），
i 1,2,, n
u ,u
i
j
相互独立，当
i j;
i, j 1,2,, n
5、自变量与随机误差项之间不相关（或自变量为非随机）。
6、K个自变量之间不相关（或不存在严格的线性关系）。
2.2 参数的最小二乘估计
j
H
的拒绝域为：
T j t (n 3)
2
(5) 推断：若
T j t (n 3)
2
，则拒绝
H
0
，
即

j
显著地不为零； 反之，则接受 H
。
0
2.8 回归参数的整体显著性检验
(1)
H : 0
0 1 2
;
H : ,
1 1
2
不全为零
方差分析表
方差 平方和 自由度 来源 回归 ESS
x2 ,, xk 对 y
的影响。
其它回归系数的含义类似，称为偏回归系数。
2.3 参数估计量的统计性质
最小二乘估计量满足线性、无偏性、最佳性
ˆ ~ N ( , var( ˆ )) 0 0 0
ˆ ~ N ( , 1 1
2 x2i i 1 n
M (2)
x
i 1 n 2 1i
k
ki
记号
Eˆ (y )
i
y ˆ
1i
i
ˆ ˆ x ˆ x ˆx y ˆ
i 0
1
2
2i
k
ki
其中
被解释变量（或因变量） y 解释变量（或自变量） x , x , , x
1
u
2
k
随机误差项
三、基本假定
假定 1、 2、 3、 4、
u
服从正态分布，
i
i 1,2,, n
0 1 1i 2 2i k ki i
y x x x u
i
二、K元线性回归方程
设
E( y ) x x x
i 0
1
1i
2
2i
k
ki
ˆ ˆ x ˆ x ˆx Eˆ (y )
i 0
1
1i
2
2i
由
y ˆ 0.0905 0.426x 0.0084x
i 1i
1i
dy ˆ ˆ 2 ˆ x 0.426 0.0168x dx
i 1 2 1i 1i
1i
（3）若每磅鸡的售价为 30 元，每磅饲料的价格为 6 元，
问最优的饲料投入水平是多少磅？
利润 令
L 30 y ˆ 6 x 最大化 dL 0 x 13.452 dx
2
合优度的判定上，修正的拟合优度比拟合优度更可靠。
2.7 单个回归参数的置信区间 与显著性检验
一、置信区间
记号
S ˆ
1
ˆ) ˆ var( 1
2 x2i i 1
n
M (2)
2 x 1i i 1 n
2 ˆ u
Sˆ

2
ˆ ) ˆ var( 2
j
的置信度为
1