大学数学试题

高等数学（下）模拟试卷一

一、填空题（每空3分，共15分）

（1）函数

11z x y x y =+

+-的定义域为 （2）已知函数

arctan

y z x =，则z

x ∂=

∂

（3）交换积分次序，

2

220

(,)y y dy f x y dx

⎰⎰

＝

（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则

()L

x y ds +=⎰

（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为

二、选择题（每空3分，共15分）

（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨

--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（）

A. L 平行于π

B. L 在π上

C. L 垂直于π

D. L 与π斜交

（2）设是由方程222

2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（）

A.dx dy +

B.2dx dy +

C.22dx dy +

D.2dx dy -

（3）已知Ω是由曲面222

425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω

+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（） A.

225

30

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰ B.

245

30

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰ C.

22

5

350

2r

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰ D. 22

5

2

d r dr dz

π

θ⎰

⎰⎰

（4）已知幂级数

，则其收敛半径

（）

A. 2

B. 1

C. 1

2 D.

2

（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *

=（）

A.

B.()x

ax b xe

+ C.()x

ax b ce ++

D.()x

ax b cxe ++

三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231

01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z

+-==的平面方程 2、 已知

22

(,)z f xy x y =，求z x ∂∂，z

y ∂∂ 3、 设

22

{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求

2

D

x dxdy

⎰⎰

4、 求函数

22

(,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分

阅卷人

5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰，其中L 为摆线sin 1cos x t t

y t =-⎧⎨=-⎩从点

(0,0)O 到(,2)A π的一段弧

6、求微分方程x

xy y xe '+=满足1

1x y ==的特解 四.解答题（共22分）

1、利用高斯公式计算

2

2xzdydz yzdzdx z dxdy ∑

+-⎰⎰，其中∑

由圆锥面z =与上

半球面z =所围成的立体表面的外侧(10)'

2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞

--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）

（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1

n

n nx

∞

=∑的和函数（6'）

高等数学（下）模拟试卷一参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

1、{(,)|0,0}x y x y x y +>->

2、22y

x y -

+ 3

、4102(,)x

dx f x y dy ⎰

4

5、312x x

y C e C e -=+

二、选择题：（每空3分，共15分）1.C 2.D 3.C 4A 5.D 三、计算题（每题8分，共48分）

1、解：12(1,2,3)

{1,0,1}{2,1,1}A s s →

→

=-=2'

121

0132

11

i

j k

n s s i j k →

→

→

→

→

→→→→

=⨯=-=-+6'

∴平面方程为320x y z -++=8'

2、解：令2

2u xy

v x y ==2'

2122z z u z v f y f xy

x u x v x

∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂6' 2122z z u z v f xy f x y u y v y ∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂8'

3、解：:0202D r θπ

≤≤≤≤，3' 22

232

230

cos cos D

D

x dxdy r drd d r dr

πθθθθ∴

==⎰⎰⎰⎰⎰⎰4π=8'

4．解：222(,)(2241)0(,)(22)0x x x y f x y e x y y f x y e y ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩得驻点

1(,1)2-4' 2222(,)(4484),(,)(44),(,)2x x x

xx xy yy A f x y e x y y B f x y e y C f x y e ==+++==+==6'