最新人大版微积分第三版课件32ppt课件
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长 的 时 间 隧 道，袅
人大版微积分第三版课件32
思路:
f(x)limf(xx)f(x) ( 构造性定义 )
x 0
x
本节内容
(C ) 0
(s inx) coxs 证明中利用了
(lnx) 1 x
两个重要极限
求导法则
其它基本初等 函数求导公式
初等函数求导问题
(3)
u
v
uvv2uv
证:
二、计算下列各函数的导数：
1、
y
1
1 x
x2
； 2、
y
10 10
x x
1； 1
3 、 y 2 csc x ； 1 x2
4、 f ( x ) 1 t ,求 f (4) ； 1 t
5 、 y a x b a x b ( a 0 , b 0 ) . b x a
三 、 求 抛 物 线 y ax 2 bx c 上 具 有 水 平 切 线 的 点 .
四、写出曲线 y x 1 与 x 轴交点处的切线方程. x
练习题答案
一 、 1、
sin x x(
2x
cos
x ) ； 2 、 3 a x ln
a
ex
2 x2
；
3 、 2 ； 4 、 sec x ( 2 sec x tan x ) ； 5 、 3 ； 6 、 .
2
类似可求得
(arctxa)n
1 1x2
,
(arccxo)t11x2
2) 设 yax(a0,a1),则 x lo a y ,y g ( 0 , )
(ax) 1 (loga y)
1
1
y ln a
ylnaaxlna
特别当 ae时, (ex) ex
Review:
(arcxs)in
1
1
x2
(arctx)an 1
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
y 的某邻域内单调可导, 且 [f1(y)]0
f
(
x
)
[f
1
1(y)]
或 d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x0,由反函数的单调性知
y f( x x ) f( x ) 0,
y x
1
x
y
且由反函数的连续性知 x 0时必 y 有 0, 因此
f(x) limy x0x
lim
y0
故结论成立.
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
例2. 求证 (tax)nse2x c, (c x )s c cx s cc x o . t
证: (tanx)csionxsx (six)n co cx o ss2sxix n (cx o)s
cos2 x sin2x cos2 x
设
f(x)uv
( (
x x
) )
,
则有
u( x
f(x)lim f(xh )f(x)limv ( x
h) h)
u(x) v(x)
h 0
h
h 0
h
h l i0m u(xhh)u(x)vv((x x ) h u)v (x()x v)(xhh)v(x)
u(xh )vu (x()x u)v(u(x(x)vxv)2)( (vxx(u ))x(x)h v)(x)
1
x
2
(ax)axlna
(arccx)os 1
1 x2
(ar cc ox)t
1
1 x
2
(ex) ex
EXERCISES
一、填空题： 1 、 设 y x sin x ， 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2 、 设 y 3 a x e x 2 ， 则 dy = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . x dx 3 、 设 y e x ( x 2 3 x 1 ) , 则 dy = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . dx x 0 4 、 设 y 2 tan x sec x 1 , 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 5、 设 y f (x) 3 x 2 ,则 f ( 0 ) =________. 5 x 5 6 、 曲 线 y sin x 在 x 0 处 的 切 线 与 x 轴 正 向 的 2 夹 角 为 _________.
se2cx
(csxc) sin1
源自文库
x
(sixn) sin 2 x
co xs sin 2 x
cx s cc x ot
类似可证: (cx o) tcs2x c,(sx )e s ce x tc a x .n
二、反函数的求导法则
定理2. 设 yf(x)为 xf1(y)的反 ,f函 1(y)在 数
1
x
y
1
[ f 1(y)]
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设 yarcsxi,n则 xsiyn, y(, ),
22 coys0, 则
(arcsxi)n
1 (siny)
1 cos
y
1 1sin2 y
1 1 x2
(arcxc) o? s 1 1 x2
利a用rccx osarcxsin
人大版微积分第三版课件32
思路:
f(x)limf(xx)f(x) ( 构造性定义 )
x 0
x
本节内容
(C ) 0
(s inx) coxs 证明中利用了
(lnx) 1 x
两个重要极限
求导法则
其它基本初等 函数求导公式
初等函数求导问题
(3)
u
v
uvv2uv
证:
二、计算下列各函数的导数：
1、
y
1
1 x
x2
； 2、
y
10 10
x x
1； 1
3 、 y 2 csc x ； 1 x2
4、 f ( x ) 1 t ,求 f (4) ； 1 t
5 、 y a x b a x b ( a 0 , b 0 ) . b x a
三 、 求 抛 物 线 y ax 2 bx c 上 具 有 水 平 切 线 的 点 .
四、写出曲线 y x 1 与 x 轴交点处的切线方程. x
练习题答案
一 、 1、
sin x x(
2x
cos
x ) ； 2 、 3 a x ln
a
ex
2 x2
；
3 、 2 ； 4 、 sec x ( 2 sec x tan x ) ； 5 、 3 ； 6 、 .
2
类似可求得
(arctxa)n
1 1x2
,
(arccxo)t11x2
2) 设 yax(a0,a1),则 x lo a y ,y g ( 0 , )
(ax) 1 (loga y)
1
1
y ln a
ylnaaxlna
特别当 ae时, (ex) ex
Review:
(arcxs)in
1
1
x2
(arctx)an 1
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
y 的某邻域内单调可导, 且 [f1(y)]0
f
(
x
)
[f
1
1(y)]
或 d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x0,由反函数的单调性知
y f( x x ) f( x ) 0,
y x
1
x
y
且由反函数的连续性知 x 0时必 y 有 0, 因此
f(x) limy x0x
lim
y0
故结论成立.
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
例2. 求证 (tax)nse2x c, (c x )s c cx s cc x o . t
证: (tanx)csionxsx (six)n co cx o ss2sxix n (cx o)s
cos2 x sin2x cos2 x
设
f(x)uv
( (
x x
) )
,
则有
u( x
f(x)lim f(xh )f(x)limv ( x
h) h)
u(x) v(x)
h 0
h
h 0
h
h l i0m u(xhh)u(x)vv((x x ) h u)v (x()x v)(xhh)v(x)
u(xh )vu (x()x u)v(u(x(x)vxv)2)( (vxx(u ))x(x)h v)(x)
1
x
2
(ax)axlna
(arccx)os 1
1 x2
(ar cc ox)t
1
1 x
2
(ex) ex
EXERCISES
一、填空题： 1 、 设 y x sin x ， 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2 、 设 y 3 a x e x 2 ， 则 dy = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . x dx 3 、 设 y e x ( x 2 3 x 1 ) , 则 dy = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . dx x 0 4 、 设 y 2 tan x sec x 1 , 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 5、 设 y f (x) 3 x 2 ,则 f ( 0 ) =________. 5 x 5 6 、 曲 线 y sin x 在 x 0 处 的 切 线 与 x 轴 正 向 的 2 夹 角 为 _________.
se2cx
(csxc) sin1
源自文库
x
(sixn) sin 2 x
co xs sin 2 x
cx s cc x ot
类似可证: (cx o) tcs2x c,(sx )e s ce x tc a x .n
二、反函数的求导法则
定理2. 设 yf(x)为 xf1(y)的反 ,f函 1(y)在 数
1
x
y
1
[ f 1(y)]
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设 yarcsxi,n则 xsiyn, y(, ),
22 coys0, 则
(arcsxi)n
1 (siny)
1 cos
y
1 1sin2 y
1 1 x2
(arcxc) o? s 1 1 x2
利a用rccx osarcxsin