圆锥曲线和导数

圆锥曲线和导数

圆锥曲线

1.位置关系的判定方法一般有两种：

（1）代数方法：转化为方程根个数的判定

（2）几何方法：通过图形本身的特征，寻找存在交点个数的位置关系，列等量（不等）关系式.

2. 直线与椭圆（双曲线）的综合

（1）设：设交点A（x1

，y1），B（x1，y1），设直线l：y=kx+b，

椭圆（双曲线）C：mx2+ny2=1（mn>0椭圆，mn<0双曲线）；

（2）联（硬解定理）：

联立直线方程与椭圆（双曲线）方程{mx2+ny2=1，消去y得：

{y=kx+b

（nk2+m）x2+2kbnx+nb2-1=0

Δ=nk2-mnb2+m>0，

{x1+x2=-2kbn/nk2+m，{y1+y2=2mb/nk2+m，

{x1x2=nb2-1/nk2+m {y1y2=mb2-k2/nk2+m

根系关系是一种设而不求的思想（设点不求点，用系数代替），其目的是代入到与交点有关的关系式中，实现多元归一.

（3）化：条件（结论）几何性质转化为几何等量关系再转化为坐标运算

弦长公式，|EF|=√（x1+x2）2+（y1-y2）2=√1+k2|x1-x2|=√1+k2•

√（x1+x2）2-4x1x2；

|EF|=√（x1+x2）2+（y1-y2）2=√1+k2•√Δ/|nk2+m|=√1+k2•

√nk2-mnb2+m/|nk2+m|（硬解定理）.

以AB为直径的圆经过原点O⇒OE⊥OF⇒x1x2+y1y2=0⇒nb2-1+mb2-k2/nk2+m=0，即（n+m）b2=1+k2（硬解定理）.

（4）整：抓住元，将结论表示成某参（一般为斜率或点坐标等）的函数式；

（5）算：根据结论不同问法选取不同的求解策略

求解取值范围一般有两种解题策略：

①利用题设中或明或暗的不等式关系构造不等式解得范围；

②选择合适的参数构造目标函数，转化为函数值域问题.对于比较复杂的动态过程，理顺动态因素之间的从属关系、先后关系.

3. 一般性质结论

在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，向量CA=（x1，y2），向量CB=（x2，y2），则S△ABC=1/2|x1y2-x2y1|.

在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，且三点坐标分别为A（x1，y2），B（x2，y2），C（x0，y0），O为坐标原点，则

S⇒AOB=1/2|x1y2-x2y1|，S⇒ABC=1/2|（x1-x0）（y2-y0）-（x2-x0）（y1-y0）|.

对椭圆x2/a2+y2/b2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S，若直线l1与l2的斜率之积为-b2/a2（在x轴）或-a2/b2（在y轴），则

（1）x12+x22=a2；（2）y12+y22=b2；（3）S=2ab.（在x轴）或（1）x12+x22=b2；（2）y12+y22=a2；（3）S=2ab.（在y轴）

4.焦点三角形的相关结论

以椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）上一点P（x0，y O）（y O≠0）和焦点F1（-c，0），F2（c，0）为顶点的⇒PF1F2（焦点三角形）中，若∠F1PF2=θ，则（1）|PF1|+|PF2|=2a.

（2）4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cosθ.

（3）|PF1|•|PF2|=2b2/1+cosθ.

（4）S⇒PF1F2=1/2|PF1|•|PF2|•sinθ=b2tan（θ/2）.

以双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）上一点P（x0，y O）（y O≠0）和焦点F1（-c，0），F2（c，0）为顶点的⇒PF1F2（焦点三角形）中，若⇒F1PF2=θ，则（1）||PF1|-|PF2||=2a.

（2）4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cosθ.

（3）|PF1|•|PF2|=2b2/1-cosθ.

（4）S⇒PF1F2=1/2|PF1|•|PF2|•sinθ=b2tan-1（θ/2）.

4. 结论：抛物线E：x2=2py第一象限上一动点P的切线，与椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）交于不同的两点A、B，线段AB中点为D，直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点M，则点M在定直线y=-pb2/a2上，当且仅当a2=4b2时，S1/S2的最大值为定值9/4；

5.曲线一般性质总结：

圆锥曲线：

过圆锥曲线E：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0上任一点P（x0，y0）引两条弦

PA、PB，若k PA k PB=k或k PA+k PB=k（k≠a/c椭圆双曲线，k≠0抛物线），则直线AB经过定点.

曲线过定点题型方法归纳：

①参数元关法②探索定点③关系法

6.[答题模板]

第一步：假设结论存在.

第二步：以存在为条件，进行推理求解.

第三步：明确规范表述结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设.

第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.

7. 椭圆与双曲线焦点弦性质总结：

圆锥曲线上的一点P（x0，y0）到焦点的线段称为焦半径.

焦半径常考公式；

焦半径公式（I）：

对左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）的椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）或双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）上一点P（x0，y0），有|PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|a-ex0|.

焦半径公式（Ⅱ）：

对左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）的椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）或双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）上一点P（x0，y0），有|PF1|=b2/a-ccosα（椭圆）或|PF1|=b2/|a+ccosα|（双曲线），|PF2|=b2/a+ccosβ（椭圆）或|PF2|=b2/|a-ccosβ|（双曲线），其中α、β为焦半径PF1、PF2与