行列式的几种求法

行列式的求法有多种，以下简单进行总结。 一、逆序定义法

行列式的逆序法定义如下：

1212121112121222(,,......,)12,,......,1

2(1)......n n n

n n j j j j j nj j j j n n nn

a a a a a a a a a a a a τ=

-∑

这里，12,,......,n j j j 为1,2,...,n 的任一排列，12(,,......,)n j j j τ为该排列的逆序数，求和是对所有的排列求的，因此，该和式一共有!n 项，每项都是n 个数相乘，并得计算逆序数，计算量巨大。因此，一般而言，逆序法定义具有理论上研究的意义，而比较少用于求行列式。但是，如果行列式的项中有大量的0，那么用逆序法计算可能会很简单。以下举例如下：

例1：求

11

22

nn

a a a

。

解答：

12121211

22

(,,......,)12,,......,(1)......n n n

j j j j j nj j j j nn

a a a a a a τ=

-∑

只当11j =，22j =，……，n j n =，其项才可能非零。因此，

11

22

(1,2,......,)01,12,2,1,12,2,1,12,2,(1)......(1)............n n n n n n n

nn

a a a a a a a a a a a a τ=-=-=

例2、求

1

2

n

d d d 。

解答：

1212121

2

(,,......,)12,,......,(1)......n n n

j j j j j nj j j j n

d d a a a d τ=

-∑

只当1j n =，21j n =-，……，1n j =，其项才可能非零。因此，

1

(1)2

(,1, (1)

2

1,2,1,112(1)

(1)

......n n n n n n n n n

d d a a a d d d d τ---=-=- 。

例3、求

1

2

1

n n

d d d d -

。

解答：1212121

2

(,,......,)12,,......,1

(1)......n n n

j j j j j nj j j j n n

d d a a a d d τ-=

-∑

只当12j =，23j =，……，1n j n -=，1n j =时，其项才能非零，于是

1

2

(2,3,4,......,1,,1)11,22,31,,11211

(1)......(1)......n n n n n n n n

n n

d d a a a a d d d d d d τ-----=-=-

二、按任意行或任意列展开

11121212221

1

1

21

1

(1)

(1)n n

n

n i j

ij ij

j j n n nn

n

n

i j

ij ij

i i a a a a a a M A a a a M A +==+===-==-=∑∑∑∑

其中，ij M 是原行列式划去第i 行和第j 列所成的行列式，称为i 行j 列位置上的余子式，而

(1)i j ij ij A M +=-则称为i 行j 列位置上的代数余子式。至于各个ij M 的计算，则继续按照此

递归定义计算下去。当然，必须说的是，如果单纯这样做，计算量也是相当之大的。不过，如果行列式中有大量零，可以考虑这种方法(没有零，就利用行列式性质弄出大量零)。以下举几个例子：

例4、438 951 276

。

解答：438

519195

951438423352853360 762627

276

=-+=⨯-⨯+⨯=

例5、3642 0157 3456 2175

。

解答：

3642

342362364

0157

135653467345

3456

275215217

2175

=⨯-+

342

563635

356342317)4321141

752527

275

=⨯-⨯+⨯=⨯(--⨯+⨯=-

362

623236

34625228125(6)14

463634

215

=⨯-+⨯=⨯-+⨯-=

364

353434

345641611413317

272735

217

=-⨯+⨯-⨯=-⨯+⨯-=-

这样，

3642

342362364

0157

1356534673451(41)5147(17)230 3456

275215217

2175

=⨯-+=⨯--⨯+⨯-=-

三、利用初等变换求行列式

利用初等变换求行列式是最常用的行列式求法。以下简单举几个例子：

例6、1111 1200 1030 1004