(整理)数学物理方法

《数学物理方法》课程考试大纲

一、课程说明：

本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。

本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。

本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。

本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。

二、参考教材：

必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。

参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。

三、考试要点：

第一章复变函数

（一）考核知识点

1、复数及复数的运算

2、复变函数及其导数

3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件

（二）考核要求

1、掌握复数三种形式的转换。

2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的

方法。

u 。

3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv

第二章复变函数的积分

（一）考核知识点

1、复变函数积分的运算

2、柯西定理

（二）考核要求

1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。

2、掌握应用原函数法计算积分。

3、掌握柯西公式计算积分。

第三章幂级数展开

（一）考核知识点

1、幂级数的收敛半径

2、解析函数的泰勒展开

3、解析函数的洛朗展开

（二）考核要求

1、理解幂级数收敛圆的性质。

2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。

3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。

4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。

第四章留数定理

（一）考核知识点

1、留数的计算

2、留数定理

3、利用留数定理计算实变函数定积分

（二）考核要求

1、掌握留数定理和留数计算方法。

2、掌握利用留数定理计算三类实变函数定积分。

第五章傅里叶变换

（一）考核知识点

1、傅里叶级数

2、傅里叶变换

3、δ函数

（二）考核要求

1、掌握周期函数的傅里叶级数形式和定义在有限区间)

,0(l上的函数的傅里叶展开。

2、掌握非周期函数的傅里叶变换。

3、掌握δ函数的性质及其傅里叶积分的形式。

第七章数学物理方程的定解问题

1、数学物理方程

2、定解条件

3、定解问题

（二）考核要求

1、了解数学物理方程的意义。

2、了解三类数学物理方程形式：波动方程、输运方程和稳定场方程。

3、能根据题意正确写出常用的各类定解条件及定解问题。

第八章分离变数（傅里叶级数）法

（一）考核知识点

1、分离变数法

2、傅里叶级数法

3、非齐次边界条件的处理

（二）考核要求

1、掌握齐次方程的分离变数法。

2、掌握数学物理方程的傅里叶级数解法。

3、掌握非齐次边界条件的处理方法。

4、了解泊松方程的解法。

第九章二阶常微分方程级数解法本征值问题

（一）考核知识点

1、本征值问题

2、常点邻域上的级数解法

（二）考核要求

1、理解球函数方程。

2、理解勒让德方程的解。

第十章球函数

（一）考核知识点

1、勒让德多项式的性质

2、勒让德多项式的母函数

3、轴对称球函数

4、一般球函数

1、掌握勒让德多项式的性质及其母函数。

2、理解轴对称球函数。

3、掌握球坐标系下关于极轴对称的拉普拉斯方程的解法。

4、了解一般球函数的形式及其性质。

四、样卷例题

（一）、填空题：（共12分，每小题2分）

1．复数1i e +的模为 ，辐角为 。

2．方程z i z i +=-表示复平面上的 。

3．当R r <

时，函数以(cos )l P θ为基本函数族的广义傅里叶级数展开

为 。

4．幂级数112k k k z ∞

=∑

的收敛半径为 。

5．()x δ函数复数形式的傅里叶变换为 ，复数形式的傅里叶积分为 。

6．研究细杆的热传导， l x =端是绝热的，则该端的边界条件为 。

（二）、名词解释：（共8分，每小题4分）

1．m 阶极点

2．第一类边界条件

（三）、单项选择题：（共12分，每小题3分）

1．下列复变函数中，非周期函数的是( )。

A ．z e

B ．ln z

C ．shz

D ．iz e

2．若积分路径c 为：3=z ，积分dz z z z c ⎰+-+)

4)(1(14值为( )。

A ．0

B ．1

C ．i π2

D ．i π8

3．点0z =是函数1()sin f z z

=的( )。 4．线密度为ρ长为l 的均匀弦，两端固定，用细棒敲击弦的0x 处，敲击力的冲量为I ，然后弦作横振动。该定解问题为：（ ）。

A ．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====-====0,00,00002t t t l x x xx tt u u u u I u a u ρ

B ．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====-=-====0,00,0)(00002t t t l x x xx tt u u u u x x I u a u ρδ

C ．⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎪⎨⎧====<<=-====ρI u u u u l x u a u t t t l x x xx tt 0002,00

,0)

0(,0 D ．⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧-====<<=-====ρδ)(,00,0)0(,000002x x I u u u u l x u a u t t t l x x xx tt （四）、证明题：（共32分，每小题8分）

1．已知解析函数)(z f 的虚部为22(,)v x y x y =-，试证这个解析函数为2()f z iz C =+，其中C 为任意常数。

2．证明函数1()(1)(2)

f z z z =--在圆环域12z <-<∞上的幂级数展开为 21()(1)(2)(1)(2)k k k f z z z z -=-∞

==----∑, (12z <-<∞)。 3．证明i dz z z e z z

π4)1(22

2=-⎰= 4．证明20(1)dx x x ∞

-∞=+⎰ （五）、计算题：（共36分，每小题12分）

1．用分离变数法求定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===<<=-===)

(0,0)0(,0002x u u u l x u a u t l x x xx t ϕ的解，其中)(x ϕ为x 的已知函数。 A ．本性奇点 B ．极点

C ．可去奇点

D ．以上都不对