第21套量子力学自测题参考答案

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量子力学答案完全版

⒈热辐射的峰值波长与辐射体温度之间的关系被维恩位移定律：表示，其中。

求人体热辐射的峰值波长（设体温为）。

解：，由题意，人体辐射峰值波长为：。

⒉宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于黑体辐射。

此辐射的峰值波长是多少？在什么波段？解：T=2.726K ，由维恩位移定律，属于毫米波。

⒊波长为的X 射线光子与静止的电子发生碰撞。

在与入射方向垂直的方向上观察时，散射X射线的波长为多大？碰撞后电子获得的能量是多少eV ？解：设碰撞后，光子、电子运动方向与入射方向夹角分别为θ,α，由能量守恒，，动量守恒:;；整理得:;联立第一式：nm c m h e 01.0;2sin 20201===-λλθλλ ;则X 射线的波长为：01.02sin 221+=θλc m h e ；电子能量：1λλhchc E e -= ⒋在一束电子束中，单电子的动能为，求此电子的德布罗意波长。

解：电子速度远小于光速，故：;则：。

5.设归一化函数：（x ）=Aexp(-2x 2)(-)a 为常数，求归一化常数A 。

解：由归一化条件 |2dx=1 得A 2==A=6.设归一化波函数=A(0n为整数，a为常数，求归一化常数A解：由归一化条件|2dx得A2=1解得A=7.自由粒子的波函数为=Aexp()其中和是粒子的动量和能量，和t是空间与时间变量，ℏ是普朗克常数，A是归一化常数，试建立自由粒子波函数所满足的方程。

解：由=Aexp()，将其对时间求偏微商，得到=-E,然后对其空间求偏微商，得到：=-利用自由粒子的能量和动能的关系式：E=就可以得到：i=---------自由粒子波函数所满足的方程8．设一个微观粒子的哈密顿算符的本征方程为Ĥ=该粒子的初始波函数为=+设和是实数，求任意时刻的波函数及粒子的几率密度.解：由=exp()=dx=== exp()+ exp()粒子的几率密度===[ exp()+ exp()][ exp()+ exp()]因为和是实数，利用欧拉公式：原式=9.宽度为a的一维无限深势阱中粒子的本征函数为=求证本征函数的正交性：dx=0(m)证：===[]=0()10．原子核内的质子和中子可以粗略地当成处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中可以认为是自由的，按一维无限深势阱估算，质子从第一激发态（n=2）跃迁到基态（n=1）时，释放的能量是多少MeV?核的线度按a=1.0m计算。

第22套量子力学自测题参考答案

量子力学自测题（22）参考答案1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。

力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。

（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ∆＝1±，m ∆＝0,1±，s m ∆＝0根据：电矩m 矩阵元-e →rn’l’m’ms’，n l m ms ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。

（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0（c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-222νω+，E 2＝2 22νω+当ω»ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H ’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S ∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01] 则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为 '11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων 2241＝-ω 21-ων241 E 2＝E 2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων241 4、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝⎪⎩⎪⎨⎧0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ⎰021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=⎰π x p ＝-i ⎰=a dx dx d 011ψψ-i ⎰=a a x d a 020)sin 21(2πx xp ＝-i ⎰⎰-=aa a x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝⎰-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --⎰a dx a x 02]sin π ＝0+⎰=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。

【试题】量子力学期末考试题库含答案22套

【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。

（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。

四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。

五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。

性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。

3、全同费米子的波函数是反对称波函数。

两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。

4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。

5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。

以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。

坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，，令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即三、解：已知氢原子的本征解为：，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为：，，（1）能量的取值几率，，平均值为：（2）取值几率只有：，平均值（3）的取值几率为：，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。

量子力学习题答案

量子力学习题答案1.2在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。

解：由德布罗意波粒二象性的关系知：Eh；ph/由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek(3eV)ec2(0.51106)），故：EP2/(2e)h/ph/2eEhc/692ecE621.24100.7110/20.51103m0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。

解：对于氦原子而言，当T1K时，其能量为E于是有h/ph/2HeE3432kT321.3811023JK11K2.071023J6.6261026.6901027J231.26nmJkg2.0710一维谐振子处于(某)Ae2某/22状态中，其中为实常数，求：1.归一化系数；2.动能平均值。

（解：1.由归一化条件可知：e某22d某/）(某)(某)d某A2某Ae2某22d某1/1取相因子为零，则归一化系数A1/2/1/42.T222某(某)T(某)d某Ae某222/222某/2(P/2)ed某2A2e某/2(2222d2d某dd某)e某22/2d某222A22e某/2(某e2某22/2)d某2/2A{某e22某22(某e22某22)d某}22222A24某e1212222某22d某222A(241222)2某d(e某22)A(24){某e某e某d某}422＝A(24（)）＝A422＝若＝，则该态为谐振子的基态，T4解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。

一维谐振子的哈密顿量为：H22d2d某12某22它的基态能量E012选择为参量，则:dE0d12；dHdTd2d某2(2d22d某)2T0dHd020dHd02T12由F-H定理知：可得：dE0dT1422.2由下列定态波函数计算几率流密度：(1)11reikr(2)21reikr从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的球面波。

量子力学智慧树知到答案章节测试2023年泰山学院

第一章测试1.导致“紫外灾难”的是（）A:维恩公式B:巴尔末公式C:瑞利-金斯公式D:普朗克公式答案:C2.量子力学的研究对象是微观物体。

（）A:错B:对答案:B3.光电效应实验中，光电子的最大动能与（）有关。

A:其余选项都不对。

B:入射光的光强C:入射光的频率D:入射光照射的时间答案:C4.玻尔在（）岁时获得诺贝尔物理学奖。

A:50B:37C:45D:26答案:B5.氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长为0.37nm。

（）A:对B:错答案:A第二章测试1.量子力学的态叠加原理是指（）A:波函数描述的相位的叠加;B:波函数的线性叠加;C:两列波振幅的叠加;D:两列波振动位移的叠加.答案:B2.对于一维束缚定态，如果势能具有空间反演不变性，则所有能量本征态都有确定的宇称。

（）A:错B:对答案:B3.下列哪种论述不是定态的特点（）。

A:任何不含时力学量的平均值都不随时间变化B:几率流密度矢量不随时间变化C:任何力学量的取值都不随时间变化D:几率密度不随时间变化答案:C4.质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，，基态的能量为。

（）A:对B:错答案:A5.波函数满足的标准化条件为单值、有限、连续。

（）A:对B:错答案:A第三章测试1.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为（）。

A:6B:12C:3D:9答案:D2.以下关于厄米算符本征问题说法正确的是（）A:厄米算符的本征值不一定为实数;B:厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交;C:厄米算符的本征值必为实数;D:厄米算符的本征函数系是完备的答案:BCD3.量子力学中可观测量对应的算符都是厄米算符。

（）A:错B:对答案:B4.力学量算符的正交归一本征函数完备系为，本征方程为，若体系的波函数为，则在态中测量力学量F结果为的几率为（）。

A:1B:9/4C:1/4D:9/10答案:D5.若在某一力场中力学量F守恒，则力学量F一定取确定值。

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设？A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案：A2. 量子力学中，波函数ψ的物理意义是什么？A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案：A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态？A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案：B4. 对于厄米算符A和B，若它们对易（即[A, B] = 0），则可以同时拥有共同的一组本征态。

A. 正确B. 错误答案：A5. 量子力学中，双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理？A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案：A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。

答案：iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。

答案：±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。

答案：波函数4. 在量子力学中，观测算符A的平均值表示为_________。

答案：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时，波函数会坍缩到观测算符A的_________上。

答案：本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。

答：波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。

在量子力学中，波函数描述了粒子的波动性质，可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。

波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象，例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。

2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。

答：量子力学中的不确定性原理由海森堡提出，它表明在同时测量一粒子的位置和动量时，粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，其精度存在一定的限制。

量子力学自学辅导与参考答案

题库(含答案)2011级尹如冰(一) 单项选择题1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是A A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C.2.1A 0. D. 2.5A 0.2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是B A 0 B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0.3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是C⨯1012-A 0 D. 2.0A 0.4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是DA.8A 0. B. 5.6A 0. C. 10A 0. D. 12.6A 0.5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）AA.E n n = ω.B.E n n =+()12ω.C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω.6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是B A 0B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0.7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为AA. 0.25⨯1018-J.B. 1.25⨯1018-J.C. 0.25⨯1016-J.D. 1.25⨯1016-J.8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为BA. 2μc .B.22μc. C. 222μc . D. 22μc . pton 效应证实了CA.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了A A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000 中运动，设粒子的状态由ψπ()sinx C xa= 描写，其归一化常数C 为B A.1a . B.2a . C.12a . D.4a.12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为DA.δ()x .B.δ()x dx .C.δ2()x .D.δ2()x dx .13. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为C A.ψ(,,)x y z dxdydz 2. B.ψ(,,)x y z dx 2. C.dx dydz z y x )),,((2⎰⎰ψ. D.dx dy dz x yz ψ(,)⎰⎰⎰2.14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为D A.c c 112222ψψ+.B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c . C. c c 112222ψψ++2*1212ψψc c .D. c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 15.波函数应满足的标准条件是DA.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是CA.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C.17.已知波函数Cψ1=-+u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ21122=-+u x i E t u x iE t ()exp()()exp() ,ψ312=-+-u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ41122=-+-u x i E t u x iE t ()exp()()exp().其中定态波函数是A.ψ2.B.ψ1和ψ2.C.ψ3.D.ψ3和ψ4. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数)19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)，A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c .D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同.20.波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t ipx dp =⎰12π的傅里叶变换式是 A. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=⎰12π ψ. B. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=⎰12π ψ. C. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=-⎰12π ψ. D. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=-⎰12πψ. 21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:(1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是 A. (1)、(3)和(6). B. (2)、(3)、(4)和(5). C. (1)、(3)、(4)和(5). D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是A.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t iμ∂∂ B.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r tμ∂∂ C. ∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t μ∂∂D.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t i μ∂∂23.几率流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B.J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 24.质量流密度矢量的表达式为A.J=∇ψ-2()**ψψ∇ψ.B.Ji=∇ψ-2()**ψψ∇ψ.C.Ji=-∇ψ2()**ψ∇ψψ.D.J=-∇ψ2()**ψ∇ψψ.25. 电流密度矢量的表达式为A.Jq=∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.B.Jiq=∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.C.Jiq=-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.D.Jq=-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22224na,B.πμ22228na,C.πμ222216na, D.πμ222232na.28. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222na, B.πμ22224na, C.πμ22228na, D.πμ222216na.29. 在一维无限深势阱U x x b x b(),/,/=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222nb,B.πμ2222nb, C.πμ22224nb, D.πμ22228nb.30. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.x=0,B.x a=, C.x a=-, D.x a=2.31. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩中运动的质量为μ的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是A.x a =±/2,B.x a =±,C.x =0,D.4/a x ±=. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的 A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为 A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω. B.(),(,,,....)n n +=1012 ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω. D.(),(,,,...)n n +=1123 ω.34.线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为A.x =0.B.x =±μω. C.x =μω . D.x =± μω.35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子的能级为A.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242ne sμ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.r r R nl )(2. B.22)(r r R nl .C.rdr r R nl )(2.D.dr r r R nl 22)(.39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为 A.),(ϕθlm Y . B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** Fd F d =⎰⎰.B.ψφτφψτ** ( )F d F d =⎰⎰.C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰.D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. 41. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D. i FGGF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 pi xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π45.角动量Z 分量的归一化本征函数为A.12πϕ exp()im . B. )ex p(21r k i ⋅π. C.12πϕexp()im . D. )ex p(21r k i⋅π. 46.波函数)ex p()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L2的本征函数,不是 L z的本征函数. B. 不是 L 2的本征函数,是 L z的本征函数. C. 是 L2、 L z的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 48.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是 A. 库仑场特有的. B.中心力场特有的. C.奏力场特有的. D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0. B. 40a . C. 90a . D. 160a .51.设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A.E E 321434,;,. B.E E 321232,;,-.C.E E 321232,;,.D.E E 323414,;,.52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为 A.21 , . B. ,1. C.212 ,. D.212 ,.53. 接51题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为A.01434,;,- .B. 01434,;, .C.01232,;, -.D. 01232,;,-- .54. 接51题,该体系的角动量Z 分量的平均值为A.14 .B. -14 .C. 34 .D. -34 .55. 接51题,该体系的能量的平均值为A.-μe s 4218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s .D.-177242μe s. 56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为A. k k ,-.B. k .C. - k .D. 12k .57.接上题,体系的动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3. 58.接56题, 体系的动量平均值为A.0.B. k .C. - k .D. 12k .59.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为A.3252 ωω,.B. 1252 ωω,.C. 3272 ωω,.D. 1252ωω,.60.接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为A.2321,c c . B. 232121c c c +,232123c c c +.C.23211c c c +,23213c c c +. D. 31,c c .61.接59题,该振子的能量平均值为A.ω 232123215321c c c c ++. B. 5 ω.C.92ω. D.ω 232123217321c c c c ++.62.对易关系[ ,()]pf x x 等于(f x ()为x 的任意函数) A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '(). D.-i f x ().63. 对易关系[ ,exp()]piy y 等于 A.)exp(iy . B. i iy exp().C.- exp()iy .D.-i iy exp().64.对易关系[, ]x px 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .65. 对易关系[, ]L yx 等于 A.i z. B. z . C.-i z . D.- z . 66. 对易关系[, ]L zy 等于 A.-i x. B. i x . C. x . D.- x . 67. 对易关系[, ]L zz 等于 A.i x. B. i y . C. i . D. 0. 68. 对易关系[, ]x py 等于 A. . B. 0. C. i . D. - . 69. 对易关系[ , ]pp y z 等于 A.0. B. i x . C. i p x . D. p x . 70. 对易关系[ , ]LL xz等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y . 71. 对易关系[ , ]LL zy等于 A.i L x . B. -i L x . C. L x . D. - L x . 72. 对易关系[ , ]LL x2等于 A. L x . B. i L x . C. i L L z y ( )+. D. 0. 73. 对易关系[ , ]LL z2等于 A. L z . B. i L z . C. i L L x y( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L px y 等于 A.i L z . B. -i L z. C. i p z . D. -i p z . 75. 对易关系[ , ]p L z x等于 A.-i py. B. i p y . C.-i L y . D. i L y. 76. 对易关系[ , ]L p zy 等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i Lx . D. i L x . 77.对易式[ , ]Lx y 等于 A.0. B. -i z . C. i z . D. 1. 78. 对易式[ , ]FF m n 等于(m,n 为任意正整数) A. Fm n +. B. F m n -. C. 0. D. F . 79.对易式[ , ]FG 等于A. FG. B. GF . C. FG GF -. D. FG GF +. 80. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数) A.cF. B. 0. C. c . D. F ˆ. 81.算符 F和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是 A.( )( )∆∆F G k 2224≥. B. ( )( )∆∆F G k 2224≥.C. ( )( )∆∆FG k 2224≥. D. ( )( )∆∆F G k 2224≥. 82.已知[ , ]xp i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )∆∆x p x 222≥ . B. ( )( )∆∆x p 2224≥ .C. ( )( )∆∆x p x 222≥ . D. ( )( )∆∆x p x 2224≥ .83. 算符 L x 和 L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z = ,则 L x 、 L y的测不准关系是 A.( )( ) ∆∆L L L x y z 22224≥ .B.( )( ) ∆∆L L L x y22224≥ . C.( )( ) ∆∆FG L z 22224≥ . D.( )( ) ∆∆FG L 22224≥ . 84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze rE s.B. []-∇+= 22222μψψze r E s.C.[]-∇-= 2222μψψze rE s.D.[]-∇-= 22222μψψze rE s.85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A.-μz e n s 22222. B. -μ224222z e n s . C.-μze n s 2222 . D. -μz e ns 24222 .86. 在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动的质量μ为的粒子,其状态为ψππ=42aa x a x sin cos ,则在此态中体系能量的可测值为 A.22222229,2aa μπμπ , B. πμπμ2222222 a a , , C.323222222πμπμ a a ,, D.524222222πμπμ a a, . 87.接上题,能量可测值E 1、E 3出现的几率分别为 A.1/4,3/4. B. 3/4,1/4. C.1/2, 1/2. D. 0,1. 88.接86题,能量的平均值为A.52222πμ a ,B.2222πμ a ,C.72222πμ a ,D.5222πμ a .89.若一算符 F的逆算符存在,则[ , ]F F -1等于 A. 1. B. 0. C. -1. D. 2.90.如果力学量算符 F和 G 满足对易关系[ , ]F G =0, 则 A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子的能量本征值 A. 可取一切实数值. B.只能取不为负的一切实数. C.可取一切实数,但不能等于零. D.只能取不为正的实数.92.对易关系式[ , ()]pp f x x x 2等于 A.-i pf x x '()2. B. i p f x x '()2 . C.-i pf x x ()2. D. i p f x x ()2. 93.定义算符yxL i L L ˆˆˆ±=±, 则[ , ]L L +-等于 A.z L ˆ . B.2 L z . C.-2 L z. D.z L ˆ -. 94.接上题, 则[ , ]LL z+等于 A. L +. B. L z . C. -+ L . D. - L z . 95. 接93题, 则[ , ]LL z-等于 A. L -. B. L z . C. -- L . D. - L z . 96.氢原子的能量本征函数ψθϕθϕnlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数. 97.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数.98.对易关系式[ , ]FGH 等于 A.[ , ] [ , ]FH G F G H +. B. [ , ] F H G C. [ , ]FG H . D. [ , ] [ , ]F H G F G H -. 99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'e x p (21)('x p ix Pπψ=,它在动量表象中的表示是A.δ(')p p -.B.δ(')p p +.C.δ()p .D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是 A.δ(')x x -. B.δ(')x x +. C.δ()x . D.δ(')x . 101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪. 102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001.B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a . B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++0//02222b a b b a a .C. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 0b a . D.00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 A. . B. - . C. 2 . D. 0.105.算符 Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n,则算符 (,)F x i x∂∂在 Q表象中的矩阵元的表示是 A.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂.B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂.C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()*∂∂.D.F u x F x i xu x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂.106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B. 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是 A.-i p x ∂∂. B.i p x∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是A.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212pp ∂∂μωμ -. D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A. ±1.B. 0.C. ±i .D. 1±i . 110.接上题, F 的归一化本征态分别为A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.C.12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,.111.幺正矩阵的定义式为A.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-.112.幺正变换A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/ax ip =+μωμω212 ,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]a a +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]aa +=-1. D. [ , ]a a i +=. 114.非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似) A.E H H E E n nn mn nm m()()()''0200++-∑. B. E H H E E n nn mnnmm()()()'''0200++-∑.C.E H H E E n nn mn m nm()()()'''0200++-∑. D.E H H E E n nn mnmnm()()()''0200++-∑.115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为 A.H mn '. B.H nn '. C.-H nn '. D.H nm '.116. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的二级修正项为 A.H E E mn nm m'()()200-∑. B.''()()H EE mnnmm200-∑.C.''()()H EE mnm n m 200-∑. D. H E E mnm nm '()()200-∑. 117. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为A.H E E mn n mm m '()()()000-∑ψ. B. ''()()()H E E mn nm m m 000-∑ψ.C. ''()()()H E E mn mn m m 000-∑ψ.D. H E E mn mn m m '()()()000-∑ψ.118.沿x 方向加一均匀外电场ε,带电为q 且质量为μ的线性谐振子的哈密顿为 A. H d dx x q x =-++ 22222212μμωε. B. H d dx x q x =-++ 2222212μμωε.C. H d dx x q x =-+- 2222212μμωε.D. H d dx x q x =-+- 22222212μμωε. 119.非简并定态微扰理论的适用条件是A.H E E mk km'()()001-<<. B.H E E mk km'()()001+<<.C. H mk '<<1.D. E E k m ()()001-<<.120.转动惯量为I ，电偶极矩为 D 的空间转子处于均匀电场ε中,则该体系的哈密顿为A.ε ⋅+=D I L H2ˆˆ2. B. ε ⋅+-=D IL H 2ˆˆ2. C. ε ⋅-=D I L H 2ˆˆ2. D. ε ⋅--=D IL H 2ˆˆ2. 121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A.ψψψn n nm n m mm H E E =+-∑()()()()''0000.B.ψψψn n mn n m mm H E E =+-∑()()()()''0000.C.ψψψn n mn m n mm H E E =+-∑()()()()''0000.D.ψψψn n nm m n m m H E E =+-∑()()()()''0000. 122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为A. 五个子能级.B. 四个子能级.C. 三个子能级.D. 两个子能级.123.一体系在微扰作用下,由初态Φk 跃迁到终态Φm 的几率为 A.22' )'ex p('1⎰tmk mkdt t i H ω .B.20 ' )'ex p('⎰t mk mkdt t i H ω.C.22')' ex p(1⎰t mk mkdt t i Hω.D.2' )'ex p(⎰tmk mkdt t i Hω.124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A. 写出体系的哈密顿. B. 选取合理的尝试波函数.C. 计算体系的哈密顿的平均值.D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋.126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]SS yx等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z . 127. σ为Pauli 算符,则[ , ]σσxz等于 A.-i y σ. B. i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ. 128.单电子的自旋角动量平方算符 S2的本征值为 A.142 . B.342 . C.322 . D.122 .129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 130.Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .131.电子自旋角动量的x 分量算符在 S z表象中矩阵表示为 A. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i i x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. C. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. D. S x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 132. 电子自旋角动量的y 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A. S y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i y=-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S i i i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. D. S i i y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. 133. 电子自旋角动量的z 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A. S z =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110.C. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.D. S i z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 134. , J J 12是角动量算符, J J J =+12,则[ ,] J J 212等于A. J 1.B. -J 1. C. 1 . D. 0 .135.接上题, [ ,] J J z 12等于A. i J J x y( )11+. B.i J z 1. C. J z 1. D. 0. 136.接134题, ]ˆ,ˆ[12z J J 等于A. i JJ xy( )11+. B.i J z1. C. J z1. D. 0. 137.一电子处于自旋态χχχ=+-a s b s z z 1212//()()中,则s z 的可测值分别为A.0, .B. 0,- .C.22,. D. 22,-. 138.接上题,测得s z 为22,-的几率分别是A.a b ,.B. a b 22,.C.a b 2222/,/.D. a a b b a b 222222/(),/()++. 139.接137题, s z 的平均值为A. 0.B. )(222b a - .C. )22/()(2222b a b a +- . D. .140.在s z 表象中,χ=⎛⎝ ⎫⎭⎪3212//,则在该态中s z 的可测值分别为A. ,-.B. /,2.C. /,/22-.D. ,/-2. 141.接上题,测量s z 的值为 /,/22-的几率分别为A.3212/,/.B.1/2,1/2.C.3/4,1/4.D.1/4, 3/4. 142.接140题,s z 的平均值为A. /2.B. /4.C.- /4.D.- /2. 143.下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数 A.是对称的. B.是反对称的. C.具有确定的对称性. D.不具有对称性.145.分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是A. 0,1,2,3,4.B.1,2,3,4.C. 0,1,2,3.D.1,2,3.(二) 填空题pton 效应证实了。

XXX科技大学2021年物理类专业研究生入学考试《量子力学》试题及答案(试卷一、二、三)

XXX大学2021年物理类专业究生入学考试《量子力学》试题（试卷一、二、三）试卷一一、简答题（每题8 分，共40分）。

1、设ˆU为么正算符，而()()11ˆˆˆˆˆˆ,22A U U B U U i++=+=-，试证：（1）ˆA和ˆB 均为厄密算符；（2）22ˆˆ1AB +=。

2、已知)ˆ,,1L l m l m +=+，（1）写出矩阵元ˆ,,l m L l m +''的表达式；（2）若2,l =试写出ˆL +的全部不为零的矩阵元。

3、氢原子处于态()433141104111122,,333r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问：（1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。

若不是，说明理由；（2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？4、一小球在xy 平面内绕原点转动。

试写出同时确定此转子的方位角ϕ和角动量分量z L 的不准关系。

粒子被约束在半径为r 的圆周上运动。

（1）设立路障进一步限制粒子在00ϕϕ<<的一段圆弧上运动，()000,0,2U ϕϕϕϕϕπ<<⎧=⎨∞<<⎩；求粒子的能量本征值和本征函数；（2）设粒子处于（1）的基态，突然撤去路障后，粒子仍然在最低能态的几率是多少？一量子体系的哈密顿算符0ˆˆˆ,H H H '=+在0ˆH 表象中。

40ˆ0200100H ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 00ˆ00000k H k ⎛⎫⎪'= ⎪⎪⎝⎭；其中常数1k <<，（1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；（2）求出体系能量的精确解，并与（1）式结果比较。

考虑微弱地相互作用着的三个玻色子组成的系统，各粒子皆处于已知的单粒子态(),iq j ψξ其中i q 表示包含空间和自旋运动的第i 个态，j ξ表示第j 个粒子的所有坐标。

试写出系统的各种可能的零级近似波函数。

大学物理下(毛峰版)量子力学习题及答案

第18章量子力学基础习题解答1．一波长为300nm 的光子，假定其波长的测量精度为610-，即6110λλ∆=，求该光子位置的不确定量。

解：光子λhp =，λλλλ∆=∆-=∆22hhp由测不准关系，光子位置的不准确量为292630010 2.3910244410x m m p λλπλπλλπ---⨯∆=====⨯∆∆∆⨯ 2．原子的线度为1010m -，求原子中电子速度的不确定量。

解：依题意，电子位置的不确定量为1010x m -∆=，由不确定关系，有2x x p x m v ∆∆=∆∆≥34631101.0510/0.610/229.11010v m s m s m x ---⨯∆≥==⨯∆⨯⨯⨯ 3．波函数模的二次方的物理意义是什么？波函数必须满足哪些条件？解：波函数是描述粒子运动状态的函数，是微观粒子具有波动性的数学描述，波函数描述的波是概率波，波函数模的平方表示粒子在空间出现的概率，即概率密度。

波函数要满足标准条件（即波函数必须是单值、连续和有限的）和归一化条件。

4．波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间分布的概率会发生什么变化?解：不变．因为波函数是计算粒子t 时刻空间各点出现概率的数学量．概率是相对值．则21、点的概率比值为：22212221φφφφD D =∴概率分布不变．5．假设粒子只在一维空间运动，它的状态可用如下波函数来描写：00,(,)sin 0i Et x x ax t Ae x x aa ψπ-≤≥⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩式中，E 和a 分别为确定常数，A 为归一化系数，计算归—化的波函数和概率密度。

解：根据波函数的归一化条件，有2222(,)sin 12aaxa x t dx A dx A aπψ===⎰⎰ 得A =故归一化波函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥≤=-ax x a e aax x t x Et i 0sin 2,00),(πψ相应的概率密度()P x =200,2sin 0x x a x x aaa π≤≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩6．已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：3()2xx a πψ=)(a x a ≤≤- 那么，粒子在a x 65=处出现的概率密度为多少? 解：22*)23cos1(ax aπψψψ== aa a a a a aa 21)21(14cos 1)4(cos 145cos 12653cos 122222===+===πππππ7．粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：()n n xx aπψ=)0(a x << 若粒子处于1=n 的状态，在0～4a区间发现粒子的概率是多少? 解：x ax a x w d sin 2d d 22πψ== ∴在4~0a区间发现粒子的概率为： ⎰⎰⎰===4020244)(d sin 2d sin 2a a ax aa x a a x a x a dw p ππππ091.0)(]2cos 1[2124/0=-=⎰x ad a x a πππ8．宽度为a 的一维无限深势阱中粒子的波函数为x an A x πψsin )(=，求：(1)归一化系数A ；(2)在2=n 时何处发现粒子的概率最大？解：(1)归一化系数⎰⎰==+∞∞-ax x 0221d d ψψ即⎰⎰=aa x an x a n A n a x x a n A 00222)(d sin d sin ππππ⎰-=a x an x a n A n a 02)(d )2cos 1(2πππ12222===A an A n a ππ∴=A a2 粒子的波函数x a n a x πψsin 2)(=(2)当2=n 时，x aa πψ2sin 22= 几率密度]4cos 1[12sin 2222x aa x a a w ππψ-=== 令0d d =x w ，即04sin 4=x a a ππ,即,04sin =x aπ， ,2,1,0,4==k k x aππ∴4ak x =又因a x <<0，4<k ，∴当4a x =和a x 43=时w 有极大值，当2ax =时，0=w ．∴极大值的地方为4a ，a 43处9．求一电子处在宽度为0.1a nm =和a =1m 的势阱中运动的能级值。

量子力学练习答案

《量子力学》试题(A) 答案及评分标准一、简答题（30分，每小题5分） 1．何谓势垒贯穿？是举例说明。

答：微观粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。

它是一种量子效应，是微观粒子波粒二象性的体现。

例如金属电子冷发射、α衰变等现象都是由隧道效应产生的，利用微观粒子势垒贯穿效应的特性制造了隧道二极管。

2．波函数()t r ,ψ是应该满足什么样的自然条件？()2,t r ψ的物理含义是什么？答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。

()2,t r ψ表示在t 时刻r 附近τd 体积元中粒子出现的几率密度。

3．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。

若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是本征值相应的简并度。

将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数一样，则称其为正宇称态；将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

4．物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？答：物理上可观测量对应线性厄米算符。

线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与观测值比较。

5．坐标x 分量算符与动量x 分量算符x pˆ的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。

答：对易关系为[] i ˆ,=x px ，测不准关系为2≥∆⋅∆x p x 6．厄米算符F ˆ的本征值nλ与本征矢n 分别具有什么性质？答：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系二、证明题：（10分，每小题5分）（1）证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证明：由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=-及反对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ ，得z y x i σσσˆˆˆ=上式两边乘z σˆ，得2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ （2）证明幺正变换不改变矩阵的本征值。

第1章量子力学基础-习题与答案

一、是非题1. “波函数平方有物理意义，但波函数本身是没有物理意义的”。

对否解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。

试用测不准关系判断该模型是否合理。

解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。

二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。

正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。

()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。

------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。

量子力学考试题库及答案

量子力学考试题库及答案一、选择题1. 量子力学中，波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率密度。

下列关于波函数的描述中，哪一项是正确的？A. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率密度B. 波函数的绝对值代表粒子在空间某点出现的概率密度C. 波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率D. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率答案：A2. 海森堡不确定性原理表明，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。

以下哪项是海森堡不确定性原理的数学表达式？A. ΔxΔp ≥ ħ/2B. ΔxΔp ≤ ħ/2C. ΔxΔp = ħ/2D. ΔxΔp = ħ答案：A二、填空题3. 在量子力学中，粒子的波函数ψ(x,t)满足________方程，该方程由薛定谔提出，是量子力学的基本方程之一。

答案：薛定谔方程4. 根据泡利不相容原理，一个原子中的两个电子不能具有相同的一组量子数，即不能同时具有相同的________、________、________和________。

答案：主量子数、角量子数、磁量子数、自旋量子数三、简答题5. 简述量子力学中的隧道效应，并给出一个实际应用的例子。

答案：量子隧道效应是指粒子通过一个势垒的概率不为零，即使其能量低于势垒的高度。

这一现象在经典物理学中是不可能发生的。

一个实际应用的例子是扫描隧道显微镜（STM），它利用量子隧道效应来探测物质表面的原子结构。

6. 描述量子力学中的波粒二象性，并解释为什么这一概念是重要的。

答案：波粒二象性是指微观粒子如电子和光子等，既表现出波动性也表现出粒子性。

这一概念重要，因为它揭示了物质在微观尺度上的基本行为，是量子力学的核心概念之一，对理解原子和分子结构、化学反应以及材料的电子性质等方面都有深远的影响。

四、计算题7. 假设一个粒子被限制在一个宽度为L的一维无限深势阱中，求该粒子的基态能量。

答案：基态能量E1 = (π²ħ²)/(2mL²)，其中ħ是约化普朗克常数，m是粒子的质量，L是势阱的宽度。

21量子物理基础答案

量子物理基础一、单选题：1、（4181B30）D2、（4182B30）D3、（4183A10）A4、（4185A15）D5、（4244B30）B6、（4382C50）D7、（4383A20）D8、（4384B25）D9、（4385A20）C 10、（4386A20）B 11、（4387A20）C 12、（4503A20）D 13、（4607A10）D 14、（4736A15）D 15、（4737A20）D 16、（4739B30）B 17、（5232C50）C 18、（5363A20）C 19、（5365B25）D 20、（5367B35）D 21、（5617A20）B 22、（5364A20）E 23、（0507B35）D 24、（4190B25）C 25、（4194A15）C 26、（4195B25）B 27、（4197A10）C 28、（4198B25）C 29、（4199B25）C 30、（4239C45）A 31、（4411A15）C 32、（4619A10）D 33、（4622B30）B 34、（4747A15）A 35、（4748B25）A 36、（4749B30）A 37、（4750B25）C 38、（4206C50）C 39、（4241A20）A 40、（4242B25）D 41、（4628B35）D 42、（4770A15）A 43、（4211A05）D 44、（4428A20）A 45、（4778A15）A 46、（5234A20）C 47、（5619B25）C 48、（8020A15）D 49、（4440A20）D 50、（4965A20）B 51、（4966A20）C 52、（8022B25）D 53、（8023B25）C 54、（4785B25）A 55、（4786B25）B 56、（8028A20）B 57、（8029A20）C47、参考解：根据 p = h / λ 则 22/λλ∆∆=h p xλλ∆∆≥/2xm i nx ∆λλ∆=/2=5000³10-10³5000³103= 2.5 m= 250 cm二、填空题：1、（0475A10） 3.82³1032、（4179A10） λ/hc ； λ/h ； )/(λc h3、（4180B25） 2.5 ； 4.0³10144、（4184A15） 1.45V ； 7.14³105 m ²s -15、（4187A10） π ； 06、（4250A10） 2.21³10-327、（4388A20） 0.998、（4389A20） 5³1014 ； 29、（4390A15） A /h ； ))(/(01νν-e h 10、（4391A20） 2.5 ； 4.0³1014 11、（4546A10） 1.5³1019 12、（4608A15） 1.5 13、（4609A10） 6.63³10-26 J ； 2.21³10-34 kg ²m/s 14、（4611A15）不变；变长；波长变长15、（4612A20） θφννc o s )c o s (p ch c h +'= 16、（4740A20） 0.58617、（4741A15）＞；＜18、（4742B30） )(20νν-m h19、（5618B25） λλλλ'-'hc参考解：根据能量守恒定律有νν'+=+h mc h c m e 22 则 νν'-=-=h h c m mc E e K 22λλλλλλ'-'='-=)(hc hc hc20、（0514A10）负；不连续 21、（4191B25）－0.85 ；－3.4 22、（4192B25） 13.6 ； 3.4 23、（4196B25） 13.6 ； 5 24、（4200B25） 6 ； 973 25、（4201B25） 123ννν+= ；123111λλλ+=26、（4423A15）定态能级；能级跃迁决定谱线频率．27、（4424A10） 10.2 28、（4513A15）量子化定态假设；量子化跃迁的频率法则 h E E k n kn /-=ν ；角动量量子化假设 π=2/nh L n =1，2，3，…… 29、（4517B40） 12.75 30、（4518B40） 12.09 31、（4620C50） 54.4 32、（4623A10） 1.51 33、（4624B25） 2.55 34、（4751A15）原子只能处在一系列能量不连续的稳定状态(定态)中，处于定态中的原子，其电子只能在一定轨道上绕核作圆周运动，但不发射电磁波． 35、（4752A15）原子中电子从能量为E n 的定态跃迁到能量为E k 的定态时，便发射(当E n ＞E k 时)或吸收(当E n ＜E k 时)单色光，其频率ν由下式决定：hE E kn -=ν (h 为普朗克常量) 36、（4753A15）在电子绕核的圆周运动中，只有电子的动量矩L 等于h /2π 的整数倍的那些轨道才是可能的，即： π=2hn L (n = 1，2，3，……)(h 为普朗克常量)37、（4754A10） 4 、 1 ； 4 、 3 38、（4755A15） 1 ； 2 39、（4756A15） 2.55 ； 4 40、（4757A20）－0.85 41、（4758A10） 12.6 42、（4759A15） 9 43、（4760A20） 6.56³1015 Hz 44、（4761A10） 1.51 45、（4762A15） 1.846、（4763A20） 1.35 47、（4765B25） 5 ； 10 48、（5369A20） 10 ； 3 49、（4207C50） 3/1 50、（4429A20） 0.0549 51、（4524B25） 2/112)2/(eU m h e 52、（4629B25） 1.45 Å ； 6.63³10-19 Å 53、（4630B30） 0.1 Å 54、（4771A15） 150 V 55、（4772A20） 3.29³10-21 J 56、（4773B25） 1∶1 ； 4∶1 57、（4203B25）粒子在t 时刻在(x ，y ，z )处出现的概率密度；单值、有限、连续；1d d d 2=⎰⎰⎰z y x ψ58、（4632A10） 1.33³10-23 59、（5372A15） 1.06³10-24 （或 6.63³10-24或0.53³10-24 或 3.32³10-24）参考解：根据 ≥∆∆y p y ，或 h p y y ≥∆∆，或 21≥∆∆y p y ，或h p y y 21≥∆∆，可得以上答案．60、（4215A10） 1，2，3……(正整数)．；原子系统的能量． 61、（4221B25） 2 ； 2³(2l +1) ； 2n 2 62、（4533B25）电子自旋的角动量的空间取向量子化．63、（4782A10） 21 ； -2164、（4783B25） 0，， -， 2， 2- 65、（4784B25） 0， 2， 6 66、（4963A15） 867、（4968A15） 1 ； 0 ； 21 或 -2168、（8024A20） 0，1，2，3 ； 0，±1，±2，±3 69、（8026A20） h / (2π) ； 0 ；量子力学 70、（4219A10）泡利不相容；能量最小 71、（4635A15）一个原子内部不能有两个或两个以上的电子有完全相同的四个量子数(n 、l 、m l 、m s ) 72、（4787B25） 4 73、（4788B25） 3274、（4967B25） 1，0，0，21- ； 2，0，0，21 或 2，0，0，21-75、（4969B25） 7 参考解：钴的电子组态为：1s 2，2s 2，2p 6，3s 2，3p 6，3d 7，4s 2．76、（8025A20） (1，0，0，21) ； (1，0，0，21-)三、计算题：1、（0640B40）解：(1) νεh =，c h h p //νλ==， 2/c h m ν=． 3分 (2) 光对平面镜的光压如图示，每一个光子入射到平面镜MN 上，并以i 角反射，其动量改变量为：n i c h ni mc c m c m ˆcos 2/ˆcos 2⋅==-'ν 2分平面镜上面积为S 的截面上，在单位时间内受到碰撞的光子数为Sn i c N ⋅=cos (此处n 为光子数密度) 2分所以光压 S Sn i c i mc S c m c m N P /)cos cos 2(/|)(|⋅⋅=-'=2分 i n mc 22cos 2=i n h 2c o s 2ν= 1分 2、（4186B40）解：(1) 由 A h U e a -=ν得 e A e h U a //-=ν 3分 e h U a /d /d =ν (恒量)由此可知，对不同金属，曲线的斜率相同． 3分(2) h = e tg θ 1410)0.50.10(00.2⨯--=e 2分=6.4³10-34 J ²s 2分 3、（4246B30）解：(1) 由 R m eB /2v v = 得 m R e B/)(=v ， 2分代入 A m h +=221v ν可得 222221mB e mR hc A ⋅-=λ m B e R hc 2222-=λ 3分 (2) 221v m U e a = 2分meB R e m U a 22222==v 1分 4、（4392A20）解：由爱因斯坦方程 A m h +=221v ν 和 a U e mv =221得 A hc U e a -=)/(λ所以 )11()(1212λλ-=-hc U U e a a 3分遏止电压改变 V 345.0)11)(/(12=-=λλ∆e hc U a 2分数值加大．5、（4393A20）解：设能使该金属产生光电效应的单色光最大波长为λ0．)(c c-'c '由 00=-A h ν 可得 0)/(0=-A hc λA hc /0=λ 2分又按题意： K E A hc =-)/(λ ∴ K E hc A -=)/(λ得 λλλλK K E hc hc E hc hc -=-=)/(0= 612 nm 3分 6、（4502A20）解：设光源每秒钟发射的光子数为n ，每个光子的能量为h ν则由 λν/n h cnh P == 得： )/(hc P n λ=令每秒钟落在垂直于光线的单位面积的光子数为n 0，则)4/()4/(/220hc d P d n S n n π=π==λ 3分光子的质量 )/()/(/22λλνc h c hc c h m ====3.33³10-36 kg 2分 7、（4504B25）解：设散射前电子为静止自由电子，则反冲电子的动能E K =入射光子与散射光子能量之差=εε-0入射X 射线光子的能量 000/λνεhc h == 00/ελhc = 2分散射光子的能量 00)2.1/1()20.1/(/ελλε===hc hc反冲电子的动能 =-=-=00)2.1/11(εεεK E 0.10 MeV 3分 8、（4505C60）解：(1) 康普顿散射光子波长改变：=-=∆)cos 1)((φλc hm e 0.024³10-10 m=+=∆λλλ0 1.024³10-10 m 4分(2) 设反冲电子获得动能2)(c m m E e K -=，根据能量守恒： K e E h c m m h h +=-+=ννν20)( 即 K E hc hc ++=∆)]/([/00λλλ故 )](/[00λλλλ∆∆+=hc E K =4.66³10-17 J =291 eV 4分 9、（4743B25）解：(1) 由 00/λνhc h A ==得 ==A hc0λ 5.65³10-7 m = 565 nm 2分 (2) 由 a U e m =221v , A U e hch a +==λν 得 =+=A U e hca λ 1.73³10-7 m = 173 nm 3分 10、（4744B30）解：当铜球充电达到正电势U 时，有221v m A eU h ++=ν 2分当 νh ≤A eU +时，铜球不再放出电子， 1分即 eU ≥h ν -A ==-A hcλ2.12 eV 故 U ≥2.12 V 时，铜球不再放出电子． 2分 11、（4745A20）解：入射光子的能量为 00λεhc= 1分散射光子的能量为 λεhc= 1分反冲电子的动能为 εε-=0K E =-=)11(0λλhc 1.68³10-16 3分12、（5233C50）解：令p 、ν和p '、ν'分别为入射与散射光子的动量和频率，v m 为反冲电子的动量(如图)．因散射线与入射线垂直，散射角φ =π / 2，因此可求得散射X 射线的波长c m he +='λλ= 0.724 Å 2分 (1) 根据能量守恒定律22mc h h c m e +'=+νν且 22c m mc E e K -= 得 )/()(λλλλνν'-'='-=hc h h E K = 9.42³10-17J 4分(2) 根据动量守恒定律 vm p p +'=则 2222)/()/(λλ''+='+=h h p p m v 22)/()/(/c o s λλλθ'+==h h h m p v 2)/(11λλ'+=='+=-21)/(11c o sλλθ44.0° 4分13、（5366B30）解：根据能量守恒,有 220mc h c m h e +=+νν 2分这里 2)/(11c m m e v -= 1分∴ 20c m h h e +=νν])/(111[2c v --则 20c m hc hc e +=λλ])/(111[2c v --解得： ])/(111[1200c h c m e v --+=λλλ= 0.00434 nm 2分14、（5380B35）解：(1) 当电子匀速直线地穿过互相垂直的电场和磁场区域时，电子所受静电力与洛仑兹力相等，即 B e eE v = 2分p '==B E /v 106 m/s 1分 (2) 根据爱因斯坦光电理论，则有210//v e m hc hc +=λλ 2分 ∴ )(21102hcm e λλλv +=2分 =1.63³10-7m = 163 nm 1分 15、（4610B35）解： 221v e m A h +=ν ① 1分=B e v R m e /2v ② 1分 0/λhc A = ③ 1分 νλ/c = ④ ①，②，③，④式联立可求得137.0)2/()(1200=+=hc m eBR e λλλ Å 2分 16、（0316A15）解：(1) 此双原子气体分子绕轴旋转时的角动量为：221d m L ω= 2分据 )2/(π=nh L ，n = 0，1，2…… 2分则 221d m ω)2/(π=nh , )/(2d m nh π=ω 2分(2) 此系统的转动动能为：22222224221dm h n r m m E π==⨯=ωv ，n = 0，1，2…… 2分 17、（0521B35）解：(1) )11(2n Rhc E -=∆75.12)11(6.132=-=neVn =4 2分 (2) 可以发出λ41、λ31、λ21、λ43、λ42、λ32六条谱线． 1分能级图如图所示．图2分18、（0532B25）解：极限波数 2//1~k R ==∞λν 可求出该线系的共同终态. 1分 2==∞λR k 2分)11(1~22n k R -==λν2分由λ =6565 Å 可得始态 ∞∞-=λλλλR n =3 2分由 2216.13n n E E n -==eV 1分 λ43 λ42 λ41λ32λ31 λ21 n =4321可知终态 n =2，E 2 = -3.4 eV 1分始态 n =3，E 3 = -1.51 eV 1分 19、（0537B25）解：设始态能级量子数为 k , 则轨道半径由r k 变为r n , 且r k = qr n由 2202me h k r k π=ε 2分可得 22qn k = 1分光子的频率 )11(22k n Rc -=ν即 )11()1(2222q nRc k n n Rc -=-=ν 2分20、（0538B35）解：(1) r m r e 22024v =πε ① 1分 π=2hn r m v ② 1分r n v=ω ③ 1分①、②、③联立解出 3320412nh me n ⋅π=εω33204142nh me nn ⋅=π=εων 2分(2) 电子从n 态跃迁到( n -1 )态所发出光子的频率为2222)1(12]1)1(1[--=--=='n n n cR n n cR c λν 223204)1(128--⋅=n n n h me ε 2分(3) 当n 很大时，上式变为23204)1()/1(28--⋅='n n n h me ενn nh me νε=⋅≈3320418 3分 21、（0570B30）解：电子作一次圆周运动所需时间(即周期T )为ωπ=2T ① 1分令激发态的平均寿命为 τ = 10-8 s ，故电子在τ内从激发态跃迁到基态前绕核的圈数为TN τ= ② 1分电子作圆周运动的周期Ｔ可由下面二式求出r m r e 22024v =πε ③ 1分 π=22hr m ωn ④ 2分可求出 33320412nh n me ⋅π=εω ⑤ 2分由①、②、⑤可得 T N τ=373332041054.614nn h n me ⨯=⋅=ετ 2分当 n = 5 N = 5.23³105 1分22、（4202C45）解：(1) ==λν/hc h 2.86 eV ． 2分 (2) 由于此谱线是巴耳末线系，其 k =2 2分 4.32/21-==E E K eV (E 1 =－13.6 eV)νh E n E E K n +==21/51=+=νh E E n K ． 4分(3) 可发射四个线系，共有10条谱线． 2分见图 1分波长最短的是由n =5跃迁到n =1的谱线． 1分23、（4412A20）解：由于发出的光线仅有三条谱线，按：)11(~22n k cR c -=⋅=νν 2分 n =3，k =2 得一条谱线． n =3，k =1 得一条谱线． n =2，k =1 得一条谱线．可见氢原子吸收外来光子后，处于n =3的激发态．以上三条光谱线中，频率最大的一条是： )3111(22-=cR ν=2.92³1015 Hz这也就是外来光的频率． 3分 24、（4413B25）解： )11(~22n k R -=ν令线系极限： n →∞ 可得2/~k R =ν2分赖曼系： k =1=ν~ 1.097³107/12 =1.097³107 m -1 1分巴耳末系： k =2=ν~ 1.097³107/22 =0.274³107 m -1 1分帕邢系： k =3=ν~ 1.097³107/32 =0.122³107 m -1 1分 25、（4414B25）解：因为观察到巴耳末系中的三条光谱线，所以只可能是从n = 5、4、3的状态，分别跃迁到n =2的状态而发出的．由 )121(1~2222n R n n-==λν =5=4=3=2=1得 22222221-⋅=n n R n λ 所求的波长为氢原子从由n = 3的状态跃迁到n = 2的状态发出的谱线的波长，上式代入n = 3得λ23 = 6.56³10-7 m = 656 nm 2分外来光应使氢原子从n = 2的状态跃迁到n = 5的状态，其频率为： ν25 = c /λ25而： λ25 = 4.34³10-7 m = 434 nmν25 = c /λ25 = 6.91³1014 Hz 3分 26、（4519B25）解：根据玻尔氢原子理论的角动量量子化条件π=2/nh r m e v (n =1，2，3，……)则 )2/(r m nh e π=vn =1时对应最小轨道半径 r 1 =5.3³10-11 m 3分 ∴ )2/(1r m nh e π=v =2.18³106 m/s 2分 27、（4520C50）解：设激发态量子数为n , 根据玻尔理论：νh E E n +=1 对氢原子 E 1 =－13.6 eV (基态)， h ν =12.09 eV∴ E n =－1.51 eV 2分另外，对氢原子有 E n =－13.6/n 2eV 由此有－1.51＝－13.6/n 2故 n 2≈9，n =3 2分氢原子的半径公式为 r n = n 2a 1 = 9 a 1即氢原子的半径增加到基态时的9倍． 1分 28、（4547B35）解：设轨道半径为r n ，电子运动速度为v ．则由n r m B e /2v v = 2分n r m L n ==v 2分得 n eB r n ⋅=2/1)/( ( n = 1，2，3……) 1分 29、（4767B25）解：所发射的光子能量为 ==λε/hc 2.56 eV 2分氢原子在激发能为10.19 eV 的能级时，其能量为=+=∆E E E K 1-3.41 eV 2分氢原子在初始状态的能量为 =+=K n E E ε-0.85 eV 2分该初始状态的主量子数为 41==nE E n 2分 30、（4768）解：按题意可知单色光照射的结果，氢原子被激发至n = 3的状态(因为它发射三种频率的谱线)，故知原照射光子的能量为)6.13(36.13213---=-=E E ε = 12.09 eV=1.93³10-18 J 3分该单色光的频率为 ==hεν 2.92³1015 Hz 2分31、（5238C45）解：因为 1025.7 Å是紫外线，是属于赖曼系的一条谱线，故知它是在n = n 1→ n =1这两个能级间的跃迁中发射出来的．根据)/11/1(~212n R -=ν 3分并代入λν/1~= 可解得 )1(1-=R R n λλ=3.00 所以1025.7 Å谱线是在n =3─→n =1的能级间的跃迁中辐射的． 2分32、（5370B30）解：把一个基态氢原子电离所需最小能量E i = 13.6 eV 1分则有 221v e i m E h +=ν 2分=-=e i m E h /)(2νv 7.0³105 m/s 2分33、（4234C45）解：从题设可知，若圆周半径为r ，则有2πr = n λ，这里n 是整数，λ是电子物质波的波长． 1分根据德布罗意公式 )/(v m h =λ 得 )/(2v m nh r =π于是 nh rm =πv 2 2分这里m 是电子质量，v 是电子速度的大小，r m v 为动量矩，以L 表示, 则上式为：)2/(π=nh L 这就是玻尔的动量矩量子化条件． 2分34、（4431B35）解：(1) 德布罗意公式：)/(v m h =λ由题可知α 粒子受磁场力作用作圆周运动R m B q /2v v α=，qRB m =v α又 e q 2= 则 e R B m 2=v α 4分故 nm 1000.1m 1000.1)2/(211--⨯=⨯==eRB h αλ 3分 (2) 由上一问可得 αm eRB /2=v 对于质量为m 的小球αααλλ⋅=⋅==mm m m e R B hm h 2v =6.64³10-34 m 3分 35、（4506A10）解： )2/()/()2/(22e e K m h m p E λ== 3分 =5.0³10-6 eV 2分 36、（4522C55）解：据 202c m mc E K -=20220))/(1/(c m c c m --=v 1分得 220/)(c c m E m K += 1分)/(220202c m E c m E E c K K K++=v 1分将m ，v 代入德布罗意公式得2022/c m E E hc h/m K K+==v λ 2分37、（4525C55）解： )/(/v m h p h ==λ 1分因为若电子在第n 玻尔轨道运动，其轨道半径和动量矩分别为a n r n 2= )2/(π==nh r m L n v 2分故 )2/(na h m π=v得 na m h π==2)/(v λ 2分 38、（4527C55）解：用相对论计算由 20)/(1/c m m p v v v -== ① 2022012])/(1/[c m c c m eU --=v ②p h /=λ ③计算得 122012121071.3)2(-⨯=+=c m eU eU hcλ 6分若不考虑相对论效应则 v 0m p = ④v 01221m eU = ⑤由③，④，⑤式计算得=='2/1120)2/(eU m h λ 3.88³10-12 m 3分相对误差 %6.4=-'λλλ 1分39、（4535B25）解：非相对论动能 221v e K m E =而 v e m p = 故有 eK m p E 22= 2分又根据德布罗意关系有 λ/h p = 代入上式 1分则 ==)/(2122λe K m h E 4.98³10-6 eV 2分40、（4542C55）解：由 202c m mc E K -=20220])/(1/[c m c c m --=v 2分解出： 220/)(c c m E m K += 2分)/(220202c m E c m E E c K K K++=v 2分根据德布罗意波： )/(/v m h p h ==λ 2分把上面m ，v 代入得： 2022cm E E hcK K +=λ 2分当 20c m E K << 时，上式分母中，2022c m E E K K <<，2KE 可略去．得 202/c m E hc K =λ02/m E h K ≈ 1分当 20c m E K >> 时，上式分母中，2022c m E E K K >>，202c m E K 可略去．得 K E hc /≈λ 1分 41、（4631B35）解：若电子的动能是它的静止能量的两倍，则：2222c m c m mc e e =- 1分故： e m m 3= 1分由相对论公式 22/1/c m m e v -= 有 22/1/3c m m e e v -=解得 3/8c =v 1分德布罗意波长为：)8/()v /(c m h m h e ==λ131058.8-⨯≈ m 2分 42、（4774A20）解：远离核的光电子动能为4.16.1315212=-==v e K m E eV则 ==e Km E 2v 7.0³105 m/s 2分光电子的德布罗意波长为===ve m h p h λ 1.04³10-9 m =10.4 Å 3分 43、（5248B40）解： )/(v e m h =λ ① 2分ad 2202=-v v ②a m eE e = ③ 2分由①式： ==)/(λe m h v 7.28³106 m/s 由③式： ==e m eE a /8.78³1013 m/s 2由②式： )2/()(202a d v v -== 0.0968 m = 9.68 cm 4分44、（1813C50）解：光子动量： p r = m r c = h /λ ① 2分电子动量： p e = m e v = h /λ ② 2分两者波长相等，有 m r c = m e v得到 m r / m e ＝ v / c ③电子质量 220/1cv m m e -= ④ 2分式中m 0为电子的静止质量．由②、④两式解出)/(122220h c m cv λ+= 2分代入③式得)/(1122220h c m m m e r λ+= 2分45、（4430B30）解：先求粒子的位置概率密度)/(sin )/2()(22a x a x π=ψ)]/2cos(1)[2/2(a x a π-= 2分当 1)/2c o s (-=πa x 时， 2)(x ψ有最大值．在0≤x ≤a 范围内可得 π=πa x /2∴ a x 21=． 3分 46、（4435B35）解：1 keV 的电子，其动量为==2/1)2(K mE p 1.71³10-23 kg ²m ²s -1 2分据不确定关系式： ≥⋅∆∆x p得 2310106.0/-⨯==∆∆x p kg ²m ²s -1 2分∴ ∆p / p =0.062＝6.2％ 1分 [若不确定关系式写成 h x p ≥⋅∆∆ 则 ∆p / p =39％，或写成 2/ ≥⋅∆∆x p 则 ∆p / p =3.1％，均可视为正确．] 47、（4442B40）解：光子动量 λ/h p = 1分按题意，动量的不确定量为)/)(/(/2λλλλλ∆∆∆=-=h h p 2分根据测不准关系式得： ∆x ≥)/(2)2/(λλλ∆∆π=πh h p h )/(2λλλ∆π=故 ∆x ≥0.048 m ＝48 mm 2分若用 )4/(π≥⋅∆∆h p x x 或h p x x ≥⋅∆∆，或h p x x 21≥⋅∆∆，计算∆x 同样得2分．48、（4526C50）解： x ax a x P d s i n 2d d 22π==ψ 3分粒子位于0 – a /4内的概率为：x a x a P a d s i n 24/02⎰π=)d(sin 24/02a xa x a a a πππ=⎰4/021]2s i n 41[2a a x a xπππ-=)]42sin(414[221aa a a π-ππ= =0.091 2分 49、（4779B30）解：由 x p x ∆∆≥h 即 x ∆≥xp h∆ ① 1分据题意v m p x =∆ 以及德布罗意波公式v m h /=λ得xp h∆=λ ② 2分比较①、②式得 x ∆≥λ 2分 50、（4970A20）解： d 分壳层就是角量子数l =2的分壳层． 2分 d 分壳层最多可容纳的电子数为10)122(2)12(2=+⨯=+=l Z l 个 2分m l =0，±1，±2 2分21±=s m 2分四、证明题：1、（0486A15）证：碰撞前后的光子的能量分别为00/λνhc h E == 1分 λν/hc h E ==' 1分据能量守恒，反冲电子的动能应当为E E K '-= 2分则 λλλ0-='-=E E E E K 1分 2、（0504C45）证：将动量守恒关系式写成分量形式：0s i n )/(s i n =-φλθh m v 3分 0/c o s )/(c o s λφλθh h m =+v 3分则 φλλφθc o s)/(s i n tg 0-= 上式分子： )2c o s ()2s i n (2s i nφφφ= 上式分母： φλλλλφλλc o s )(c o s 0000--+=-00)c o s 1(λλλϕ-+-= 2分由康普顿效应的结论已知： )2(s i n 2200φλλc m h =- 3分∴ )2(s i n 2)2(s i n 2c o s 20020φλφφλλ⋅+=-c m h ]1)[2(sin 2002λφc m h += ∴ 100)]2tg()1[(tg -+=φλθc m h 1分3、（4394A20）证：由爱因斯坦方程 A h m -=ν221v及逸出功 0νh A = 2分得 =-0ννh h 221v m 0221νν-=v m h 0νν-=K E 因为 0νν= 时E K = 0，由图可知：入射光频率为ν时)/(0QS RS E K=-νν 即 )/(QS RS h = 3分 4、（4443C60）证：散射图中0n和n 分别代表碰撞前后光子运动方向的单位矢量，设碰撞后电子沿θ角方向飞出，它的能量和动量分别变为mc 2和vm ．因为光子与电子碰撞过程服从能量守恒定律和动量守恒定律，有220mc h c m h e +=+νν ① 3分n c h n c h m)/()/(00νν-=v ② 3分由图可看出，②式也可写成：2202)/()/()(c h c h m νν+=v φννc o s )/)(/(20c h c h -即： 22202222ννh h c m +=v φννc o s 202h - ③①式也可写成： 202)(c m h mc e +-=νν ④ 将④式平方减③式得：)c o s 1(2)/1(02422242φνν--=-h c m c c m e v )(202νν-+h c m e根据相对论，上式中的 2222)/1(e m c m =-v 所以上式可改写为：)c o s 1(2024242φνν--=h c m c m e e )(202νν-+h c m e由此可求得： =-φc o s 1νννν002)(h c m e - 3分ννννφ00222)(2s i n h c m e -= 1分5、（4193A20）证：根据巴耳末公式： )121(/122nR -=λ 2分得第一条谱线波长为 23/1/1λλα=)3121(22-=R 2分第二条谱线波长为 24/1/1λλβ=)4121(22-=R 2分而帕邢系中第一条谱线的波长应为34/1λ)4131(22-=R 2分由 23242423232411λλλλλλ-=-)4131(22-=R 34/1λ= 可得 βαβαλλλλλλλλλ-=-=2423232434 2分 6、（4417B25）证： )}/1)/1[(/122n k R -=λ 1分当 n →∞得极限波长 2//1k R k =λ ∴ R k k λ=2 1分 2)(2/1≈=R k k λ 2分可见：该谱线系为巴尔末系． 1分 7、（4426B25）解：应用库仑定律和牛顿运动定律有：n h ν)4/(/2022r e r m e επ=v 1分根据玻尔理论的量子化条件假设： n r m L e ==v 2分由以上两式消去v ，并把r 换成r n ．得)/(2202e m h n r e n π=ε，n =1，2，3，…… 2分 8、（4427B25）解： )()/1(k n kn E E h -⋅=ν , )()/1(/~kn kn kn E E hc c -⋅==νν 2分而： )8/(22204n h e m E e n ε-=， )8/(22204k h e m E e k ε-= ，代入上式： )11(8~223204nk c h e m e kn -=εν与 )11(~22n k R kn-=ν 比较得里德伯常量 )8/(3204c h e m R e ε=． 3分 9、（4444D75）证：(1) 根据：r m F /2v =及 2/r GMm F =（M 为地球质量）得： r m r G M m //22v = 2分利用玻尔假设： π⋅=2hn r m n v 1分联立以上两式则得： []M Gm nh r n 22)2/(π= 2分令： MGm h k 2224π=上式变为：2kn r n = 得证． 1分 (2) 由： 2kn r n = 可得：k n kn n k r r n n )12()1(221+=-+=-+ 1分估算k 与n ：设 m > 1 kg ，代入数据可得 m 1082-<k ，而 2/11)(22n n n kr nk r r =≈-+则 0)/(2/)(2/11≈≈-+n n n n r k r r r (实际情形r n ﹥R ) 即相邻两个轨道之间的距离与轨道半径相比可忽略不计，这表明轨道半径的“容许”值实际上可认为是连续变化的． 3分 10、（4445C45）证： p h /=λ 2分如果考虑相对论效应，则有2)/(1/c m m p e v v v -== ① 3分 222)/(1c m c c m eU e e --=v ② 3分由①，②式计算得 222/2c U e eU m p e +=则 2/1222)/2(c U e eU m he +=λ 2分 11、（4550B35）证：单缝夫朗禾费衍射各级极小的条件为： λφk a ±=s i n ( k = 1，2……)令 k = 1，得 λφ=s i n a 1分可见，衍射图形第一级极小离中心点距离a f f R x /s i n tg 1λφφ⋅=≈= 1分又电子德布罗意波的波长 p h /=λ 2分所以中央最大强度宽度 )/(221ap Rh x d == 1分 12、（5240C45）证：设电子在量子数为n ，半径为r n 的稳定轨道上运动，运动速率为v n ．则根据玻尔的角动量假设(或量子化条件)有n r m n n e =v ( n =1，2，……)则 )/(n e n m n r v = , )v /(2n e n m nh r =π 2分而 n n e p m =v 是电子在该轨道上运动时的动量．根据德布罗意假设，该电子的德布罗意波长为： n n p h /=λ 则 n n n n p nh r λ==π/2因n 只能取1，2，3，……等整数值，这就证明了氢原子稳定轨道的长度正好等于电子的德布罗意波长的整数倍． 3分 13、（4434B40）解：依题意： d n =2/λ 1分则有 n d /2=λ 由于 λ/h p =则 )2/(d nh p = 2分故 )8/()2/(2222md h n m p E ==即 )8/(222md h n E n =，n =1，2，3，…… 2分。

量子力学试题含答案

一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有波粒二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。

3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率。

4．量子力学中力学量用厄米算符表示。

5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的本征值。

7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。

8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。

二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度几率流密度证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

现代物理中的量子力学测试题

现代物理中的量子力学测试题量子力学作为现代物理学的重要分支，其理论和概念常常让人感到神秘而又深奥。

为了更好地理解和掌握量子力学的知识，我们设计了一系列的测试题，来检验大家对这一领域的理解程度。

一、选择题1、下列哪个实验证实了光具有粒子性？（）A 双缝干涉实验B 光电效应实验C 迈克耳孙莫雷实验D 杨氏双缝实验2、量子力学中，描述微观粒子状态的函数是（）A 波函数B 概率密度函数C 哈密顿量D 薛定谔方程3、对于一个处于定态的微观粒子，其能量具有（）A 不确定性B 确定性C 可能连续也可能离散D 以上都不对4、量子力学中的“隧道效应”指的是（）A 粒子在势垒中运动B 粒子可以穿过高于其能量的势垒C 粒子在势阱中运动D 粒子无法穿过势垒5、下列哪个物理量在量子力学中是不守恒的？（）A 能量B 动量C 宇称D 电荷二、填空题1、海森堡不确定性原理表明，不能同时精确地测量一个粒子的_____和_____。

2、波函数的平方表示粒子在空间某点出现的_____。

3、量子力学中的算符通常作用在_____上。

4、薛定谔方程的一般形式为_____。

5、量子力学中，自旋是粒子的一种_____性质。

三、简答题1、请简要解释量子纠缠现象，并说明其在量子通信中的应用。

量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，即使它们相隔很远，对其中一个粒子的测量会瞬间影响到另一个粒子的状态。

在量子通信中，利用量子纠缠可以实现安全的密钥分发。

由于量子纠缠的特性，任何对传输信息的窃听都会被察觉，从而保证通信的安全性。

2、什么是量子隧穿效应？举例说明其在实际中的应用。

量子隧穿效应是指微观粒子能够穿越比它自身能量高的势垒的现象。

例如，在半导体器件中，电子可以通过量子隧穿效应穿过绝缘层，从而实现器件的功能。

在放射性衰变中，原子核中的粒子也可以通过量子隧穿效应逃出原子核。

3、简述波函数的物理意义，并说明为什么要对波函数进行归一化。

波函数描述了微观粒子的状态。

《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》

试题名称：1992 量子力学（理论型）
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中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称：量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。
一、简单回答下列问题： (1) 举出一个实验事实说明微观粒子具有波粒二象性。 (2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面 M , P 1和P 2 为光电探测器，试分别按照经典与量子的观点说明 P 1和P 是否能同时接收到光信号（ l1 l2 ）。
E
n

n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其基态的能量。四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
ˆ A , ˆ 与B ˆ 具有共同本征态函数，即 A 二、若厄密算符 A na n na
ˆ B ，而且构成体系状 B na n na

量子力学考试题讲解及答案

量子力学考试题讲解及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，波函数的平方代表的是：A. 粒子的位置B. 粒子的动量C. 粒子出现的概率密度D. 粒子的能量答案：C2. 根据海森堡不确定性原理，下列说法正确的是：A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案：B3. 薛定谔方程是用来描述：A. 经典力学系统B. 热力学系统C. 量子力学系统D. 电磁学系统答案：C4. 量子力学中的波粒二象性是指：A. 粒子有时表现为波动性，有时表现为粒子性B. 粒子总是同时具有波动性和粒子性C. 粒子只具有波动性D. 粒子只具有粒子性答案：B5. 量子力学中，哪个假设是关于测量的？A. 叠加原理B. 波函数坍缩C. 泡利不相容原理D. 量子纠缠答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 量子力学中的波函数通常用希腊字母________表示。

答案：Ψ2. 量子力学中的德布罗意波长公式为λ = ________。

答案：h/p3. 在量子力学中，一个粒子的总能量可以表示为E = ________ + V。

答案：K.E.4. 费米子遵循的统计规律是________统计。

答案：费米-狄拉克5. 量子力学中的测不准原理是由海森堡提出的，其数学表述为ΔxΔp ≥ ________。

答案：h/4π三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学中的波函数坍缩概念。

答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当一个量子系统的状态被测量时，系统的波函数会从多个可能的状态中“选择”一个确定的状态，这个过程称为波函数坍缩。

2. 解释量子力学中的叠加原理。

答案：叠加原理是指在量子力学中，一个量子系统可以同时处于多个状态的叠加，即系统的波函数可以是多个不同状态波函数的线性组合。

3. 描述量子力学中的泡利不相容原理。

答案：泡利不相容原理指出，两个相同的费米子（如电子）不能处于同一个量子态，即它们不能具有相同的一组量子数。